序偶与笛卡儿积(牛连强)

3.4 序偶与笛卡儿积

集合既可以由简单元素构成，也可由复杂元素如集合构成。特别地，当集合元素是一类特殊的集合——序偶时有着特殊的作用，这样的集合是构成关系和函数的基础。

3.4.1 序偶与元组

[定义3-14] 序偶（ordered pairs ）是两个元素组成的有序集合，记作,x y <>，也称为有序对或二元组。x 、y 分别称为序偶的第一、第二个元素。

序偶一词本身的含义就是“有序的对”。

生活中的许多事物之间有一定关系，且成对出现，如平面上点的2个坐标、飞机票与座位、上与下、左与右及计算机上的网线接头与插口等。计算机内可以用<地址码，操作码>来构成单地址指令，手机电话簿中常用<拼音，人名>方式作为索引。

[辨析] 因为强调次序的原因，若x y ≠，则,,x y y x <>≠<>。注意序偶的限界符既不是“{ }”，也不是“( )”，而是“< >”。通常{x , y }表示一般集合，(x , y )表示2个元素组成的无序集合。若经过约定，也可以用“( )”代替“< >”。

除了有序外，与普通集合不同的是，组成序偶的元素可以重复，如,x x <>是正确的序偶。

[定义3-15] 两个序偶相等，即,,x y a b <>=<>当且仅当x a =且y b =。

例3-15 若已知22,2,x y y x y <+>=<->，求x 和y 。

解 由定义，可构成一个二元一次方程组

222x y +=，y x y =-

解之得2x =-，1y =-。

上述定义可推广到n 元组，如三元组、四元组等，形式为，其含义是：

12121,,,,,,,n n n x x x x x x x -<>=<<>>

一般情况下，1212,,,,,,n n x x x x x x <>≠<<>> 。

[辨析] 严格讲，12,,,n x x x <<>> 不是一个n 元组，而是二元组。该二元组由一个简单元素x 1和一个n -1元组2,,n x x <> 组成。

在最初的计算机设计中，一个字节并不是固定的8个二进制位。因此，为了防止歧义，早期的国际标准中常称一个8位二进制串为八元组而不是字节。一个关系数据库是由若干张二维表组成的，每个表又由若干记录组成，而每个记录都是一个n 元组。

[延伸] 实际上，程序设计中的所有运算和含有参数的函数在本质上都是以一个多元组为参数的。例如，对于如下的C 语言函数f ：

void f(int x, double y, char z);

它的调用形式为f (2,3.5,''a )，这里的参数数量、类型和次序都是不可改变的，故是一个三元组，只是没有（也不需要）写成2,3.5,''a <>的形式而已[1]

。

3.4.2 笛卡儿积

由于序偶的两个元素各来自于一个集合，因此，任给两个集合A 和B ，都可以构造一种序偶的集合。

[定义3-16] 若A 、B 是集合，它们构成的笛卡儿积是一个序偶集合，序偶的第一元素取自于A ，而第二个元素取自于B ，记作A B ?，即

{<,>|}A B x y x A y B ?=∈∧∈

笛卡儿积也称为集合的直（接）积，或者叉乘。这是一个核心性的定义。

[理解] 若,x y A B <>∈?，必有结论x A ∈且y B ∈。反之，对x A ?∈，y B ?∈，必有结论,x y A B <>∈?。由于集合A 和B 可以相同，因此，x A ?∈，必有结论,x x A A <>∈?。

例3-16 设A ={a ,b }，B ={1,2,3}，求A ×B 和B ×A 。

解

A B ?={,,,,,}

B A ?={<1,a >,<1,b >,<2,a >,<2,b >,<3,a >,<3,b >}

在组成笛卡儿积时，要求来自A 、B 的元素是全部的，因此，集合中不能缺少任何一个序偶。同时，对于有限的笛卡儿积，显然有||||||A B A B ?=?。

事实上，如果A B ==R ，笛卡儿积R R ?就是平面直角坐标系。可见，一般的笛卡儿积等同于“离散的直角坐标系”。

与简单集合类似，笛卡儿积部分的主要问题还是证明集合包含。不过，笛卡儿积的元素是序偶，因此，证明A B C D ???仍是从定义出发，形式为：

对,?<>x y ，有

,<>∈??∈∧∈?x y A B x A y B 其他定义和条件的应用 ,x y C D ?<>∈?。

很容易得出以下结论，这是笛卡儿积的常用性质。

[定理3-5] 对于任意集合A 、B 和C ，有

(1)?=A ???A ?=。

(2) 通常，笛卡儿积不满足交换律，即

A B B A ?≠?

(3) 笛卡儿积不满足结合律，即

()()A B C A B C ??≠??

其实，前者是三元组集合，而后者仅是二元组集合。

为了与n 元组的含义一致，约定：

12121()n n n A A A A A A A -???=????

特别地，n n A A A A =??? 个，n ≥1。

(4) 笛卡儿积对交和并运算满足分配律，即

① ()()()A B C A B A C ?=?? ；

② ()()()B C A B A C A ?=?? ； ③ ()()()A B C A B A C ?=?? ； ④ ())()(B C A B A C A ?=?? 。 证明 这里仅证明①，其余性质的证明方法类似。

对,x y ?<>，有

,()x y A B C <>∈? 注：来自集合包含的假定

x A C y B ?∈∧∈ 儿(笛卡积定义)

()x A y B C y ?∈∧∈∨∈(集合并定义)

())(x A y B x A C y ?∈∧∈∨∈∧∈(命题分配律)

,,x y A B x y A C ?<>∈?∨<>∈?儿(笛卡积定义)

,()()x y A B A C ?<>∈?? (集合并定义)

故结论成立。

例3-17 求证：

(1) 若A 、B 、C 、D 非空，则A C ?且B D A B C D ?????。

(2) 若C ≠?，则A B A C B C C A C B ?????????。

证明 (1) A C B D A B C D ?∧???? 。对,x y ?<>，有

,,x y A B x A y B x C y D x y C D <>∈??∈∧∈?∈∧∈?<>∈?

故A B C D ???。

A B C D A C B D ????∧? 。对x A ?∈和y B ?∈，有 ,x y A B <>∈?。因为A B C D ???，有 ,x y C D <>∈?，故x C ∈且y D ∈，即A C ?且B D ?。结论成立。

(2) 先说明A B A C B C ?????。

A B A C B C ???? 。

对,x y ?<>，有

,,x y A C x A y C x B y C x y B C <>∈??∈∈?∈∈?<>∈∧?∧

A C

B

C A B ???? 。对?x ∈A ，因为C ≠?，故()C y y ?∈成立。于是，有

,x y A C <>∈?

因此，,x y B C <>∈?，得x ∈B ，即A B ?。结论成立。

同理可证，A B C A C B ?????。结论成立。

[辨析] 这里的C ≠?很重要，它保证了C 至少含有一个以上的元素，从而与A 中的元素构成序偶。

例3-18 对任意集合A 、B 、C ，判断下述命题是否成立。

(1) A B A C B C ?=??=。 (2) ()()()A B C A B A C -?=-?-。

(3) 存在集合A ，使得A A A ??。

解 (1) A =?时不成立，否则成立。

(2) 除非A 、B 、C 均为空集，否则不成立。

(3) 成立，如取A =?。事实上，?是使命题成立的唯一一个集合。 例3-19 证明：若X X Y Y ?=?，则X Y =。

证明 X Y ?。对x ?，有

,,x X x x X X x x Y Y x Y ∈?<>∈??<>∈??∈

同理可证Y X ?。结论成立。

[理解] 题目要证明的是X Y ?且Y X ?，而不是X X ?? ，不能从,x y X X ?<>∈?的假定出发，更不能用,x x X X ?<>∈?作为前提进行论证。

关系代数讲解与例题

关系代数 关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。 关系代数的9种操作： 并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接运算。 五个基本操作： 并(∪) 差(-) 笛卡尔积（×）投影(σ) 选择(π) 四个组合操作： 交(∩) 联接（等值联接）自然联接(RS) 除法(÷) 关系代数表达式： 由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。 关系代数(演算)要求掌握各种语句的应用，多做书中的例题可以帮助自己熟能生巧。 关系代数表达式举例 用关系代数表示数据查询的典型例子 [例]设教学数据库中有3个关系： 学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX) 学习关系SC(SNO,CNO,GRADE) 课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER) 下面用关系代数表达式表达每个查询语句。 (1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。 πSNO，GRADE(σCNO='C2'(SC)) (2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名 πSNO，SNAME(σCNO='C2'(SSC)) 由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。 此查询亦可等价地写成： πSNO，SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))） 这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。 （3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。 πSNO，SANME(σCNAME='MATHS'(SSCC)) （4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。 πSNO(σCNO='C2'∨CNO='C4'(SC)) （5）检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号。 π1(σ1=4∧2='C2'∧5='C4'（SC×SC）) 这里（SC×SC）表示关系SC自身相乘的乘积操作，其中数字1，2，4，5都为它的结果

笛卡尔积与连接查询

笛卡尔积与连接查询 l连接查询（左连接右连接内连接）笛卡尔乘积 集合特性：确定性无序性唯一性 一张表可以看做是一个集合，每行数据相当于集合的一个元素 Union时去掉重复原理就是集合元素的唯一性 表中存在完全相同的两行是因为表内部存在 rowid 进行区分 笛卡尔积 如果 a∈A, b∈B A*B = ( a, b); 例如A=(1,2,3,4,5);B=(11,12); 那么A*B (1,11), (2,11), (3,11), (4,11), (5,11),

(1,12), (2,12), (3,12), (4,12), (5,12); A有 M 个元素 B 有N 个元素 那么 A*B 有 M*N个元素 同理 表A有 M 行表B 有N 行 那么 A*B 有 M*N行 例如： ta tb两表 笛卡尔积

通过分析可以看出 tb表的a b c d每个分别和ta的a b c d组合一遍 左连接 1连上表 2连接条件 例如： select good_id,goods.cat_id,goods_name,shop_price from goods left join category

on good.cat_id = category.cat_id; 字段名重复那么需要加表前缀，否则会报错； error 1052(23000) column * in field list is ambiguous 最后两行可以看作是一张表。 左连接语法： select列1，列2，列N from table 1left join table 2 on table 1 列 = table 2 列；

离散数学教案

学习目标： 1．深刻理解序偶、笛卡尔积、关系、集合的划分与覆盖、等价关系、等价类、商集、相容关系、（最大）相容类、偏序关系、极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元、全序关系、良序关系等概念； 2．掌握集合的交、并、差、补、对称差的运算及其运算规律； 3．掌握关系的交、并、逆、复合运算、闭包运算及其性质； 4．掌握关系的矩阵表示和关系图； 5．深刻理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性，掌握其判别方法； 6．掌握集合的覆盖与划分的联系与区别； 7．掌握偏序关系的判别及其哈斯图的画法；会求偏序集中给定集合的极大元、极小元、上（下）界、上（下）确界、最大（小）元。 主要内容： 1．集合的基本概念及其运算 2．序偶与笛卡尔积 3．关系及其表示 4．关系的性质及其判定方法 5．复合关系和逆关系 6．关系的闭包运算 7．等价关系与相容关系 8．偏序关系 重点： 1．关系的性质及其判别； 2．关系的复合运算及其性质； 3．等价关系与等价类、等价关系与集合的划分的联系； 4．偏序关系判别及其哈斯图的画法、偏序集中特异位置元素的理解。 难点： 1．关系的传递性及其判别； 2．等价关系的特性； 3．偏序关系的哈斯图的画法；偏序集中特异位置元素的求法。 教学手段： 通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容，并通过大量的练习使同学们巩固和掌握关系的性质及其判别、关系的复合运算及其性质、等价关系的特性、偏序关系的哈斯图的画法及偏序集中特异位置元素的求法。 习题：

习题 3.1：4，6；习题 3.2：3（8），4（12），6（m ）；习题 3.4：1 （2）、 (4)，3；习题 3.5：1，4；习题 3.6：2，5，6；习题 3.7：2，5，6；习题 3.8：1（1）-（6）；习题3.9：3（2）、（4），4（3）；习题3.10：1 ，4，5。 3.1 集合的基本概念 集合(set)（或称为集）是数学中的一个最基本的概念。所谓集合，就是指具有共同性质的或适合一定条件的事物的全体，组成集合的这些“事物”称为集合的元素。 集合常用大写字母表示，集合的元素常用小写字母表示。若A 是集合，a 是A 的元素，则称a 属于A ，记作a A ∈；若a 不是A 的元素，则称a 不属于A ，记作。若组成集合的元素个数是有限的，则称该集合为有限集(Finite Set)，否则称为无限集(Infinite Set)。 常见集合专用字符的约定： N —自然数集合(非负整数 集) I (或Z )—整数集合(I +，I -) Q —有理数集合(Q +，Q -) R —实数集合(R +，R -) F —分数集合(F +，F -) 脚标+和-是对正、负的区分 C —复数集合 P —素数集合 O —奇数集合 E —偶数集合 幂集 定义 3.1.1 对于每一个集合A ，由A 的所有子集组成的集合，称为集合A 的幂集(Power Set)，记为 ()P A 或2A ．即(){}P A B B A =?。 例如：{,,}A a b c =, (){,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}}P A a b c a b b c a c a b c φ=。 定理3.1.1 如果有限集A 有n 个元素，则其幂集()P A 有2n 个元素。 证明 A 的所有由k 个元素组成的子集数为从n 个元素中取k 个的组合数。 (1)(2)(1)! k n n n n n k C k ---+= L 另外，因A φ?，故()P A 的元素个数N 可表示为 1 201n k n k n n n n n k N C C C C C ==++++++=∑L L 又因 0()n n k k n k n k x y C x y -=+= ∑ 令 1x y == 得 02n n k n k C ==∑ 故()P A 的元素个数是2n 。 人们常常给有限集A 的子集编码，用以表示A 的幂集的各个元素。具体方法是： 设12{,,,}n A a a a =L ，则A 子集B 按照含i a 记1、不含i a 记0(1,2,,)i n =L 的规定

交并差与笛卡尔积

SQL的并集UNION,交集JOIN,交叉连接(CROSS JOIN笛卡尔积),差集(NOT IN) 1. a. 并集 SELECT column1, column2 FROM table1 UNION SELECT column1, column2 FROM table2 b. 交集 SELECT * FROM table1 AS a JOIN table2 AS b ON https://www.sodocs.net/doc/2612666626.html,=https://www.sodocs.net/doc/2612666626.html, c. 差集 SELECT * FROM table1 WHERE name NOT IN (SELECT name FROM table2) d. 笛卡尔积 SELECT * FROM table1 CROSS JOIN table2 与 SELECT * FROM table1,table2相同 2. SQL中的UNION UNION与UNION ALL的区别是，前者会去除重复的条目，后者会仍旧保留。 a. UNION SQL Statement1 UNION SQL Statement2 b. UNION ALL SQL Statement1 UNION ALL SQL Statement2

3. SQL中的各种JOIN SQL中的连接可以分为内连接，外连接，以及交叉连接(即是笛卡尔积) a. 交叉连接CROSS JOIN 如果不带WHERE条件子句，它将会返回被连接的两个表的笛卡尔积，返回结果的行数等于两个表行数的乘积；举例SELECT * FROM table1 CROSS JOIN table2 等同于SELECT * FROM table1,table2 一般不建议使用该方法，因为如果有WHERE子句的话，往往会先生成两个表行数乘积的行的数据表然后才根据WHERE条件从中选择。因此，如果两个需要求交际的表太大，将会非常非常慢，不建议使用。 b. 内连接INNER JOIN 如果仅仅使用SELECT * FROM table1 INNER JOIN table2 没有指定连接条件的话，和交叉连接的结果一样。但是通常情况下，使用INNER JOIN需要指定连接条件。 -- 等值连接(=号应用于连接条件, 不会去除重复的列) SELECT * FROM table1 AS a INNER JOIN table2 AS b on a.column=b.column -- 不等连接(>,>=,<,<=,!>,!<,<>) 例如SELECT * FROM table1 AS a INNER JOIN table2 AS b on a.column<>b.column -- 自然连接(会去除重复的列) c. 外连接OUTER JOIN 首先内连接和外连接的不同之处：内连接如果没有指定连接条件的话，和笛卡尔积的交叉连接结果一样，但是不同于笛卡尔积的地方是，没有笛卡尔积那么复杂要先生成行数乘积的数据表，内连接的效率要高于笛卡尔积的交叉连接。指定条件的内连接，仅仅返回符合连接条件的条目。 外连接则不同，返回的结果不仅包含符合连接条件的行，而且包括左表(左外连接时), 右表(右连接时)或者两边连接(全外连接时)的所有数据行。 1)左外连接LEFT [OUTER] JOIN 显示符合条件的数据行，同时显示左边数据表不符合条件的数据行，右边没有对应的条目显示NULL 例如SELECT * FROM table1 AS a LEFT [OUTER] JOIN ON a.column=b.column

第2章习题解1

习题 一、单项选择题 1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．B 7．B 8．B 9．C 10．C 二、填空 1、关系中主码的取值必须惟一且非空，这条规则是实体完整性规则。 2、关系代数中专门的关系运算包括：选择、投影、连接和除法，主要实现查询类操作。 3、关系数据库的关系演算语言是以谓词演算为基础的DML语言。 4、关系数据库中，关系称为表，元组亦称为行，属性亦称为列。 5、数据库描述语言的作用是定义数据库。 6、一个关系模式可以形式化地表示为R（U，D，dom，F）。 7、关系数据库操作的特点是一次一集合式操作。 8.数据库的所有关系模式的集合构成关系数据库模型，所有的关系集合构成关系数据库。 9、在关系数据模型中，两个关系R1与R2之间存在1：m的联系，可以通过在一个关系R2中的 外键或外码或外部关键字在相关联的另一个关系R1中检索相对应的记录。 10、将两个关系中满足一定条件的元组连接到一起构成新表的操作称为θ-连接操作。 三、简单、计算或查询 1、试述关系模型的三要素内容。 解： （1）关系模型的数据结构——关系 关系模型的数据结构：非常单一，在用户看来，关系模型中数据的逻辑结构是一张二维表。但关系模型的这种简单的数据结构能够表达丰富的语义，描述出现实世界的实体以及实体间的各种联系。 （2）关系模型的关系操作：关系模型给出了关系操作的能力，它利用基于数学的方法来表达关系操作，关系模型给出的关系操作往往不针对具体的RDBMS语言来表述。 关系模型中常用的关系操作包括：选择（select）、投影(project)、连接(join)、除(divide)、并(union)、交(intersection)、差(difference)等查询(query)操作和添加(insert)、删除(delete)、修改(update)等更新操作两大部分。查询的表达能力是其中最主要的部分。 早期的关系操作能力通常用代数方式或逻辑方式来表示，分别称为关系代数和关系演算。关系代数是用对关系的运算（即元组的集合运行）来表达查询要求的方式。关系演算是用谓词来表达查询要求的方式。关系演算又可按谓词变元的基本对象是元组变量还是域变量分为元组关系演算和域关系演算。关系代数、元组关系演算和域关系演算三种语言在表达功能上是等价的。 另外还有一种介于关系代数和关系演算之间的语言SQL（Structured Query Language）。SQL不但具有丰富的查询功能，而且具有数据定义、数据操纵和数据控制功能，是集查询、DDL、DML、DCL于一体的关系数据语言。它充分体现了关系数据语言的特点和优点，是关系数据库的国际标准语言。因此，关系数据语言可以分成三类： 1) 关系代数：用对关系的集合运算表达查询要求，例如 ISBL。 2) 关系演算：用谓词表达查询要求，可分为两类：①元组关系演算：谓词变元的基本对象是元组变量，例如 APLHA、QUEL；②域关系演算：谓词变元的基本对象是域变量，例如QBE。 3) 关系数据语言，例如SQL。 这些关系数据语言的共同特点是：语言具有完备的表达能力，是非过程化的集合操作语言，功能强，能够嵌入到高级语言中使用。 （3）关系模型的三类完整性约束：关系模型提供了丰富的完整性控制机制，允许定义三类完整性：实体完整性、参照完整性和用户自定义的完整性。其中实体完整性和参照完整性是关系模型必须满足的

Power Pivot 购物篮分析分组 GENERATE 之笛卡尔积、排列、组合

昨天在看论坛帖子时候，看到一个关于SKU 组合的问题，有很多M 大佬都给出了处理方案，于是想用dax 也写一个。注： 原贴有dax 的写法，这里主要说明下GENERATE 之笛卡尔积、排列、组合处理过程。 上效果图 左起依次表名：data 、笛卡尔积、排列、组合 1、大前提是使我们要使用data 的数据做购物篮分析分组； 2、在问题1已的基础上，笛卡尔积表（5*5）存在类似黄色区域问题，SKU 两两相同，这是不需要看到的； 3、在问题1的基础上，排列表（见图中公式）存在类似绿色区域的问题，SKU1对SKU2和SKU2对SKU1其实是一样的，这也是我们不需要看到的； 4、基于以上，我们通过笛卡尔积-排列-组合这样 处理下来得到我们要的购物篮分组。 1、笛卡尔积 Power Pivot 购物篮分析分组 GENERATE 之笛卡尔积、 排列、组合 1、背景 2、问题 3、上DAX

DEFINE VAR T1 = SELECTCOLUMNS ( data, "SKUA", data[SKU] ) VAR T2 = SELECTCOLUMNS ( data, "SKUB", data[SKU] ) VAR T3 = GENERATE ( T1, T2 ) EVALUATE T3 ORDER BY [SKUA], [SKUB] ASC 2、排列

DEFINE VAR T1 = SELECTCOLUMNS ( data, "SKUA", data[SKU] ) VAR T2 = SELECTCOLUMNS ( data, "SKUB", data[SKU] ) VAR T3 = GENERATE ( T1, T2 ) VAR T4 = FILTER ( T3, [SKUA] <> [SKUB] ) EVALUATE T4 ORDER BY [SKUA], [SKUB] ASC 3、组合

笛卡尔积

笛卡尔（Descartes）乘积又叫直积。假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。 在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而且这种成对出现的事物，具有一定的顺序。例如，上，下；左，右；3〈4；张华高于李明；中国地处亚洲；平面上点的坐标等。一般地说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x，y〉。上述各例可分别表示为〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈张华，李明〉；〈中国，亚洲〉；〈a，b〉等。 序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a，b}={b，a}，但对序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。 设x，y为任意对象，称集合{{x},{x,y}}为二元有序组，或序偶（ordered pairs），简记为 。称x为的第一分量，称y为第二分量。 定义 3-4.1 对任意序偶 , , = 当且仅当a=c 且b = d 。 递归定义n元序组 ={{a1}，{a1 , a2}} = { {a1}，{a1 , a2},{a1 , a2 , a3}} = < , a3 > = <, an> 两个n元序组相等 < a1，…an >= < b1，…bn >Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn) 定义3-4.2 对任意集合 A1，A2 , …，An， （1）A1×A2，称为集合A1，A2的笛卡尔积(Cartesian product)，定义为 A1 ×A2={x | $u $v(x = ∧u ÎA1∧vÎA2)}={ | u ÎA1∧vÎA2} （2）递归地定义A1 × A2× … × An A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An 例题1 若A={α，β}，B={1，2，3}，求A×B，A×A，B×B以及（A×B）Ç（B×A）。 解A×B={〈α，1〉，〈α，2〉，〈α，3〉，〈β，1〉，〈β，2〉，<β，3〉}

数据库第3章习题

（一）选择题 1．关系数据库管理系统应能实现的专门关系运算包括____。 A．排序、索引、统计B．选择、投影、连接 C．关联、更新、排序D．显示、打印、制表 2．在一个关系中如果有这样一个属性或属性组存在，它的值能唯一地标识关系中的每一个元组，称这个属性或属性组为____。 A．关键字B．数据项C．主属性D．主属性值 3．同一个关系模型的任两个元组值____。 A．不能全同B．可全同C．必须全同D．以上都不是 4．一个关系数据库文件中的各条记录____。 A．前后顺序不能任意颠倒，一定要按照输入的顺序排列 B．前后顺序可以任意颠倒，不影响库中的数据关系 C．前后顺序可以任意颠倒，但排列顺序不同，统计处理的结果就可能不同 D．前后顺序不能任意颠倒，一定要按照关键字段值的顺序排列 5．在关系代数的传统集合运算中，假定有关系R和S，运算结果为W。如果W中的元组属于R，或者属于S，则W为____运算的结果。如果W中的元组属于R而不属于S，则为____运算的结果。如果W中的元组既属于R又属于S，则W为____运算的结果。 A．笛卡尔积B．并C．差D．交 6．在关系代数的专门关系运算中，从表中取出满足条件的属性的操作称为____；从表中选取满足某种条件的元组的操作称为____；将两个关系中具有共同属性值的元组连接到一起构成新表的操作称为____。 A．选择B．投影C．连接D．扫描 7．自然连接是构成新关系的有效方法。一般情况下，当对关系R和S使用自然连接时，要求R和S含有一个或多个共有的____。 A．元组B．行C．记录D．属性 8．等值连接与自然连接是____。 A．相同的B．不同的 9．如图所示的关系R，经操作ΠA,B（σB=b（R））（Π为“投影”运算符，σ“选择”运算符）的运算结果是____。

树Tn与路Pm的笛卡尔积图的交叉数

第29卷第2期2017年6月 河南工程学院学报（自然科学版） JOURNAL OF HENAN UNIVERSITY OF ENGINEERING Vol.29,No.2 Jun.2017树7；与路的笛卡尔积图的交叉数 胡宁贝，魏首柳，白银燕 (闽江学院数学系，福建福州350121) 摘要：图的交叉数是图论中一个重要的研究课题.分别记含有n+ l个顶点的树和路为7；与/通过数学归纳法验证并计算得到了笛卡尔积图7；xPm的交叉数，其中 关键词：笛卡尔积图；好画法；交叉数;树;路 中图分类号:〇157.5 文献标志码：A 文章编号:1674 -330X(2017)02-0078 -05 令G表示一个简单连通图.设F(G)和￡( G)分别表示图G的顶点集和边集.^x G2表示图^和G2的笛卡尔积图，具体定义如下：K A x G2)= K G J x G2)=I^=1^且或者w2= d2卜图的交叉数问题是近代图论中——个重要的研究课题.图G的交叉数[1]指图G在平面上所有好画法中边与边之间相互交叉的最小顶点数，用cr(G)表示.其中，好画法满足:①相互交叉的任何两条边最多仅在顶点处交叉;②边不能自身相交;③有相同端点的两条边不交叉;④任 何3条边都不可能交叉于同一顶点.最优画法指含最小交叉数的好画法，用cr B(G)表示图G在好画法时D的交叉数.如果没有特别说明，本研究涉及的一些概念和术语均来自文献[2 ]. 图的交叉数的确定问题不仅在理论研究中具有非常重要的意义，而且在诸多实际问题中也有相应的研 究背景，如超大规模集成电路V LSL中圈的布局[3_5]、离散几何与计算几何的研究及软件开发过程中文档的 实体联系图（E R图）的自动生成和工业上电子线路板设计中的布线问题等. 国内外学者对图的交叉数的计算问题已经做了大量的分析和研究，也得到了一些成果.1993年，Garey 和J〇hns〇n[6]研究并证明了图的交叉数问题是一个NP-完全问题.但是，由于其研究方法不统一，导致能够 被准确计算出交叉数的显式表达式的图类比较少，主要针对一些相对比较特殊的图类（特别是笛卡尔积图）的交叉数[742]，而对于树与其他特殊图类的笛卡尔积图的交叉数的研究结果，目前集中在袁梓瀚[13]的博士 论文和刘伟[14]的硕士论文中，柯小玲[15]也研究了不大于5个顶点的树与圈的笛卡尔积图的交叉数问题，本 课题进一步研究不大于5个顶点的树与路的笛卡尔积图的结构并给出了其交叉数的显式表达式. 1预备知识 7；表示含有《 + 1个顶点的树；表示含有《+ 1个顶点的星图，g院全图; '表示含有《 + 1个顶 点的路；[*]表示不超过*的最大整数. 定义1 图G和为同构的，如果存在两个一一映射0: 和<^ ￡(G)—￡(tf)，使得0c(e)=?当且仅当 ，记为 G@ 引理1 若为图G的子图，则cr(tf)矣cr(G). 引理2( Jordan曲线定理）平面上的任一简单闭曲线将平面唯一地分成3个彼此不相交的点集_/，int(_/) ,ext(_/),贝I J 收稿日期：2017 -02-20 基金项目：福建省自然科学基金（2015J01589);福建省大学生创新创业训练项目（201510395050) 作者简介：胡宁贝（1994 -)，女，河南滑县人，本科生，主要研究图论及其应用. 通信作者：魏首柳（1978 -)，男，福建大田人，副教授，博士，主要研究图论及其应用.E-m a il:w S lwillow@126.C〇m.

有序对与笛卡尔积

3.2.3 有序对与笛卡儿积 定义3.14 由两个元素x和y按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对，也称序偶，记作，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 例如，平面直角坐标系中点的坐标就是有序对，<1, 3>, <3, 1>, <2, 0>等代表平面中不 同的点。 由定义可知，有序对具有如下性质： （1）当x ≠ y时, ≠ ，即与顺序有关。 （2）给定两个有序对和， = 的充分必要条件是x=u且y=v。（3）有序对与集合{x, y}不同，后者中的元素是无次序的。如当x ≠ y时，{x, y} = {y, x}。

3.2.3 有序对与笛卡儿积 定义3.16 设A，B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积，记作A ? B。笛卡儿积的符号化表示为： A ? B = {|x ∈ A∧y ∈ B}

3.2.3 有序对与笛卡儿积 （1）对任意集合A，有?? A = A ?? = ? （2）当A ≠ B∧A ≠? ∧B ≠?时，有A ? B ≠ B ? A，即笛卡儿积运算不适合交换律。 （3）当A, B, C都不是空集时，有(A ? B) ? C ≠ A ?(B ? C)，即笛卡儿积运算不满足结合律。 （4）笛卡儿积运算对和运算满足分配律。即对任意的集合A, B, C有， A ?(B∪C) = (A ? B)∪(A ? C) (B∪C) ? A = (B ? A)∪(C ? A) A ?(B∩C) = (A ? B)∩(A ? C) (B∩C) ? A = (B ? A)∩(C ? A) 作为集合的一种二元运算，笛卡儿积运算具有如下性质：

离散数学26笛卡尔乘积及相关性质

笛卡尔乘积及相关性质

一、笛卡尔乘积 1、定义令A和B为任意两个集合, 如果序偶的第一元素是A 的元素, 第二元素是B的元素;所有这样的序偶的集合称为集合A 和B的笛卡尔乘积或者直积, 记作A ? B. 笛卡尔乘积的符号化表示为: A ? B = { | (x∈A)∧(y∈B) } 例如, 设A = { a, b }, B = { 0, 1, 2 }, 则 A ? B = { , , , , , } B ? A = { <0, a>, <0, b>, <1, a>, <1, b>, <2, a>, <2, b> } A?B≠B?A 即“?”是不满足交换律.

笛卡尔乘积举例 Jerry,Kelly,July三人去访友，可选择的汽车线路有：382，381。每人与一个汽车线路配对，共有多少种方式？ 设集合A={ Jerry,Kelly,July }， 集合B={ 382，381 } 所有可能的配对的集合是A B。共有6种方式.

2、笛卡尔积运算性质 1)．对任意集合A，根据定义有 A×Φ = Φ, Φ×A = Φ 2)．一般的说，笛卡尔积运算不满足交换律，即 A×B≠B×A(当A≠Φ∧B≠Φ∧A≠B时) 3)．笛卡尔积运算不满足结合律，即 (A×B)×C≠A×(B×C) (当A≠Φ∧B≠Φ∧C≠Φ时) 注意：(A×B)×C的元素是三元组，但A×(B×C)的元素不是三元组.

例1 设A={a，b}，B={1，2}，C={z} (A?B)?C={〈a,1〉,〈a,2〉,〈b,1〉,〈b,2〉}?{z} ={〈a,1,z〉,〈a,2,z〉,〈b,1,z〉,〈b,2,z〉} A? ( B?C ) ={a, b}?{〈1,z〉,〈2,z〉} ={〈a,〈1,z〉〉,〈a,〈2,z〉〉,〈b,〈1,z〉〉,〈b,〈2,z〉〉} 故（A?B）?C≠A?（B?C）“?”不满足结合律.

第三章 关系代数与关系运算

第三章关系代数与关系运算 关系数据语言有三类： 1．关系代数语言 2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言） 3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL 一．关系代数 关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。用对关系的运算来表达查询。 运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果 运算三要素：运算符、运算对象、运算结果 关系代数的运算对象和结果都是：关系 关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符 集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩） 传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行 专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除 专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列 比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠ 逻辑运算符：￢∧∨ 用来辅助专门的关系运算符 二．传统的集合运算符

传统集合运算符是二目运算符 设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域 1．并（Union） 记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。 例： （a）（b） （c）（d） (e) 2.差 关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。如图E 3.交 关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S 的所有元组组成。如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S) 4．广义笛卡尔积 两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S 有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作 R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目 如图例

广义笛卡尔积

广义笛卡尔积 假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为 {(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。 数据库求广域笛卡尔积问题 R： A B C S: A B C a 3 d b 1 f b 4 t r 3 e r 3 e d 3 t 求R×S A B C A B C A B C b 1 f A B C r 3 e A B C d 3 t a 3 d A B C a 3 d b 1 f a 3 d r 3 e a 3 d d 3 t b 4 t A B C b 4 t b 1 f b 4 t r 3 e b 4 t d 3 t r 3 e A B C r 3 e b 1 f r 3 e r 3 e r 3 e d 3 t (1) 选择（Selection） 在给定关系R中选择满足条件的元组。记为： 其中F表示选择条件，是一个逻辑表达式，它的值为“真”或“假”。 逻辑表达式是由属性名、常量、简单函数和比较运算符、逻辑运算符组成的有意义的式子。通常情况下，逻辑表达式是由逻辑运算符连接由比较运算符组成的比较关系式而成。即通过逻辑运算符将比较关系式XqY连接起来组成逻辑表

达式。当然单独的比较关系式也是一个逻辑表达式。 （2）投影（Projection） 在给定关系R(U)中选择若干属性列组成的新关系。记为： 其中A为R中属性组，且AíU。在关系二维表中，选择是一种水平操作，它针对二维表中行，而投影是一种垂直操作，它针对二维表中的属性列。 （3）连接（Join） 连接也称为条件连接，它从两个关系的笛卡儿积中选择满足条件的元组。记 为： 其中A和B分别是关系R和S上度数相同且可比属性组，q为比较运算符。 在连接中有三种最常见的连接，一种是等值连接，一种是自然连接，还有半连接。 ①等值连接（equijoin） 当比较运算符q为“=”时的连接称为等值连接，其结果是从关系R和S的笛卡儿积中选取属性组A和B值相等的元组。记为： ②自然连接（Natural join） 自然连接是一种特殊的等值连接。当关系R和S有相同的属性组B，且该属性组的值相等时的连接称为自然连接。结果关系的属性集合为R的属性并上S 减去属性B后的属性集合，即Att(R)∪(Att(S)-B)。其中Att( R )为关系R的属性集。R和S的自然连接记为： 自然连接与等值连接的区别是： ａ）自然连接要求两个关系中进行比较的属性或属性组必须同名和相同值域，而等值连接只要求比较属性有相同的值域。 ｂ）自然连接的结果中，同名的属性只保留一个。 ③半连接（half join） 半连接是一种特殊的自然连接。它与自然连接的区别在于其结果只保留R 的属性。当关系R和S有相同的属性组B，且该属性组的值相等时进行连接，其结果只保留R的属性，这种连接称为半连接。记为： （４）商（Division） 设关系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X，Y，Z是属性集合，R中的Y

离散数学计算笛卡尔乘积C++或C语言实验报告

离散数学实验报告 专业班级：12级计算机本部一班姓名：鲍佳珍 学号：201212201401016 实验成绩： 1．【实验题目】 通过编程实现求给定集合A和B的笛卡儿乘积C（C=A×B）的运算。 2．【实验目的】 已知所给集合A和B，求A与B的笛卡儿乘积C（C=A×B）。 假设集合A={1,2,3,4,5},集合B={2,3,8,9,10}, 3、实验原理与实现过程 笛卡儿集合：设A，B是两个集合，称集合A×B={|(x∈A)∧(y∈B)}为集合A与B的笛卡儿积。换句话说，笛卡儿乘积是以有序偶为元素组成的集合，它的定义为C={|x∈A∧y∈B}。所以，欲求笛卡儿乘积。只需取尽由集合A 的元素及集合B的元素，并构成序偶送入C之中即可。 算法描述：。 （1）将集合A的元素个数送入N。（2）将集合B的元素个数送入M。（3）1?i。 （4）若i>N,则结束。 （5）1?j。 （6）若j>M，则转（9）。 （7）?C。 （8）j+1?j，转（6）。 （9）i+1?i，转（4）。 4、C或C＋＋语言编程实现 将实验内容与结果按实验报告格式要求填写并上传。 5. 【算法描述】 1.实验原理

真值表:表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格。列出命题公式真假值的表。通常以1表示真，0 表示假。命题公式的取值由组成命题公式的命题变元的取值和命题联结词决定，命题联结词的真值表给出了真假值的算法。真值表是在逻辑中使用的一类数学表，用来确定一个表达式是否为真或有效。 2.实验过程 首先是输入一个合理的式子，生成相应真值表，然后用函数运算，输出结果：要求可生成逻辑非、合取、析取、蕴含、双条件表达式的真值表，例如：输入 !a 输出真值表如下： a !a 0 1 10 输入a&&b 输出真值表如下： a b a&&b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 输入a||b 输出真值表如下： a b a||b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 输入a->b 输出真值表如下： a b a->b 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 输入a<>b (其中<>表示双条件) 输出真值表如下： a b a<>b 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

集合的交,并,差操作

目录 序言 (1) 中文摘要 (2) 1.采用类C语言定义相关数据类型 (3) 2.各模块流程图及伪码算法 (4) 3.函数的调用关系图 (12) 4.调试分析 (13) 5.测试结果 (14) 6.设计总结 (19) 参考文献 (20) 致谢 (21) 附录（源程序） (22)

序言 云计算来袭，计算机技术的飞速发展，给我们的生活带来了很大的便利，特别是对于数学运算，一些以前人工计算很麻烦的甚至做不出的问题，计算机在几秒钟就可以算出来。毫无疑问，计算机技术的应用已是不可阻挡的。这里我们要做的是集合的简单操作，包括集合的交、并、差。经过分析，我们使用已经为业界所公认的成熟的稳定的开发工具VC6.0，利用其提供的简单操作，首先在短时间内建立程序原形，然后，对初始原型程序需求分析，编写源程序，不断修正和改进，直到形成满足要求的可行程序。集合的操作是数据结构中最简单的操作，对集合的学习实践可以帮助我们加深对数据结的掌握程度。本程序是用单链表的基本操作升华到集合上的操作，来实现集合运算。

中文摘要 利用单链表的插入删除操作进一步升华到求两个集合的交、并、差，笛卡尔积等运算。在Visual C++6.0中实现程序的编译，调试，运行，利用随机数验证并输出这个程序的结果。通过该题目的设计过程，可以进一步理解和熟练掌握课本中所学的各种数据结构的知识，加深对链表的认识，特别是对于指针、文件的应用，有了更多的认识。学会如何把学到的知识用于解决实际问题，培养自己的动手能力。 关键词：集合；链表；指针；随机数；文件；

1.采用类C语言定义相关数据类型 定义单链表 typedef struct ListNode { int data; //集合中元素的值 struct ListNode *next;//集合的指针域 }ListNode,*LinkList;//结点，结构体指针

离散数学实验报告求集合的笛卡尔乘积

【实验目的】 通过编程实现求给定集合A和B的并集C（C=A∪B）的运算。 【实验内容】 设A = {a, b}, B={1, 2, 3}, 求解: A×B×A。 【实验原理】 笛卡儿乘积是以有序偶为元素组成的集合，它的定义为C={|x∈A∧y ∈B}。所以，欲求笛卡儿乘积。只需取尽由集合A的元素及集合B的元素，并构成序偶送入C之中即可。 【程序代码】 #include #include # define m 3 # define n 2 struct Uni{ int a; int b; int c; }; struct Uni universe[m*n]; int main() { int i,j,k=0,a[m],b[n]; printf("集合a的3个元素：\n"); for (i=0;i

关系代数运算习题

一、选择题 1关系代数运算可以分为两类：传统的集合运算和专门的关系运算.下面列出的操作符中，属于传统的集合运算是（A ） Ⅰ.∩（交）Ⅱ.∪（并）Ⅲ.×(广义笛卡儿积) Ⅳ.一(差) Ⅴ.Π(投影) Ⅵ.σ(选择) A)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和ⅣB)Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ和Ⅵ C) Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ和ⅥD)都是 2、关系数据库管理系统能实现的专门关系操作包括（B） A、显来，打印和制表 B、选择，投影和连接 C、关联、更新和排序 D、排序、索引和统计 3、在关系数据基本操作中，从表中选项出满足某种条件的记录的操作称为（A） A、选择 B、投影 C、连接 D、扫描 4、元组的集合在关系数据库中称为关系，一般来说，表示元组的属性或者最小属性组 称为D A、字段 B、索引 C、标记 D、主键 5、在下面3个关系中 学生S（SNO，SNAME，SEX，AGE）课程C（CNO，CNAME，CREDIT） 学生选课SC（SNO，CNO，GRADE） 要查找选修“数据库”课程的女学生的姓名，将涉及到关系（D） A、S B、C，SC C、S，SC DS，C，SC 6、对于关系数据库来讲，下面（C）说法是错误的。 A、每一列的分量是同一种类型数据，来自同一个域 B、不同列的数据可以出自同一个域 C、行的顺序可以任意交换，但列的顺序不能任意交换 D\关系中的任意两个元组不能完全相同 7、关系数据库中有3种基本操作，从表中取出满足条件的属性的操作是（A） A、选择 B、投影 C、连接 D、扫描 8、关系数据库在有3种基本操作，将具有共同属性的两个关系中的元组连接到一起，构成新表的操作称为（C ） A、选择 B、投影 C、连接 D、扫描 9 若D1={a1,a2,a3}，D2={b1,b2,b3}，则D1*D2集合中共有元组（C）个 A、 6 B、8 C、9 D、12 10 下列（C）运算不是专门的关系运算 A、选择 B、投影 C、笛卡尔积 D、连接 11、如下两个关系R1和R2，它们进行运算后得到R3。（ D ）

软件规格技术说明 复习资料

软件规格技术说明 第1章 1.什么是形式方法？ 形式方法是基于坚实的数学基础来描述和开发系统软件的方法，用严格的数学符号和数学法则对软件系统的结构与行为进行有效的综合、分析和推理，它为系统的说明、开发和验证提供了一个规范框架。 2.软件形式方法有什么优点？ ①形式规格说明是精确的 ②由误解引起的错误减少 ③形式规格说明利于系统实现 ④能够对形式规格说明进行正确性证明 3.什么是Z语言？ Z语言是基于一阶谓词逻辑和集合论的形式规格说明语言。 4.软件规格说明有哪两种抽象？ 过程抽象和数据抽象。 过程抽象描述的是软件系统要实现的功能，而不是如何实现其功能的具体步骤；数据抽象就是在规格说明中使用集合、关系、映射、序列、包等抽象的数学结构，而不必担心这些结构最终是如何实现的。 5.程序设计语言用于描述什么？ 程序设计语言可克服自然语言的缺陷，人们可用它来描述规格说明。程序可以被看成是一种计算机可执行的规格说明。程序描述的是“怎么做”而不是做什么，因此，程序设计语言不适合用来描述抽象程度较高的规格说明。 第2章 1.什么是命题？ 命题是具有确定真假意义的陈述句。 什么是命题公式？ 命题逻辑中的命题公式，是如下定义的一个有穷符号串： (1)原子是命题公式。 (2)若P、Q是公式，则(?P)、(P∧Q)、(P∨Q)、(P?Q)、(P?Q)都是命题公式。 (3)命题公式仅通过有限次使用(1)、(2)获得。 (4)为了减少使用圆括号的数量，约定最外层的圆括号可以省略。 什么是命题演算？ 命题逻辑等值演算：根据已知的等值式推演出与原命题公式等值的新的命题公式的过程称为等值演算。 2.什么是真值表？ 对于一个公式G，将G在其所有解释下所取真值列成一个表，称为G的真值表。 3.什么是命题公式的解释？有多少个？ 设G是命题公式，A1、…、A n是出现在G中的所有命题变元，对A1、…、A n的一组真值赋值称为G的一个解释，记作I，共有2n个。 4.什么是谓词？ 带有参数的命题成为谓词。 什么是谓词公式？ 谓词逻辑中的谓词公式，简称公式，可以递归地定义如下。