2014年福建高考理科数学试题详解

2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)

数学试题(理工农医类)

第Ⅰ卷(选择题共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2014福建，理1)复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于()．

A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i

答案：C

解析：因为z＝(3－2i)i＝3i－2i2＝2＋3i，

所以23i

z=-.故选C.

2．(2014福建，理2)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()．A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱

答案：A

解析：因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A.

3．(2014福建，理3)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()．A．8 B．10 C．12 D．14

答案：C

解析：因为S3＝3a1＋331

2

d

?(-)

＝3×2＋

32

2

d

?

＝12，所以d＝2.所以a6＝a1＋(6－1)d

＝2＋5×2＝12.故选C.

4．(2014福建，理4)若函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()．

答案：B

解析：由图象可知log a 3＝1，所以a ＝3.A 选项，133x

x

y -??

= ???

＝为指数函数，在R 上单

调递减，故A 不正确．B 选项，y ＝x 3为幂函数，图象正确．C 选项，y ＝(－x )3＝－x 3，其图象和B 选项中y ＝x 3的图象关于x 轴对称，故C 不正确．D 选项，y ＝log 3(－x )，其图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，故D 选项不正确．综上，可知选B.

5．(2014福建，理5)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )．

A ．18

B ．20

C ．21

D ．40 答案：B

解析：该程序框图为循环结构，由S ＝0，n ＝1得S ＝0＋21＋1＝3，n ＝1＋1＝2，判断S ＝3≥15不成立，执行第二次循环，S ＝3＋22＋2＝9，n ＝2＋1＝3，判断S ＝9≥15不成立，执行第三次循环，S ＝9＋23＋3＝20，n ＝3＋1＝4，判断S ＝20≥15成立，输出S ＝20.故选B.

6．(2014福建，理6)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为

1

2

”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：A

解析：k ＝1时，图象如图(1)，此时△OAB 的面积11

1122

S =??=，所以k ＝1是△OAB 面积为

12的充分条件；而当△OAB 面积为1

2

时，直线l 有l 1或l 2两种可能，如图(2)，k ＝1或k ＝－1.综上，可知选

A.

图(1)

图(2)

7．(2014福建，理7)已知函数()21,0,

cos ,0,

x x f x x x ?+>=?≤?则下列结论正确的是( )．

A ．f (x )是偶函数

B ．f (x )是增函数

C ．f (x )是周期函数

D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 答案：D

解析：由题意，可得函数图象如下：

所以f (x )不是偶函数，不是增函数，不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D. 8．(2014福建，理8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )． A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 答案：B

解析：由平面向量基本定理可知，平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示，A 中e 1＝0·e 2，B 中e 1，e 2为两个不共线向量，C 中e 2＝2e 1，D 中e 2＝－e 1.故选B.

9．(2014福建，理9)设P ，Q 分别为圆x 2

＋(y －6)2

＝2和椭圆22

+110

x y =上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )．

A ．

B

C ．

D ．答案：D

解析：设Q (x ，y )， 则该点到圆心的距离

d ====y

∈[－1,1]，

∴当122

293

y -=-

=-?(-)时，

max

d ===

∴圆上点P 和椭圆上点Q 的距离的最大值为max d r +==.故选D. 10．(2014福建，理10)用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原

理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )．

A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5

B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5

C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)

D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5) 答案：A

解析：本题可分三步：第一步，可取0,1,2,3,4,5个红球，有1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5种取法；第二步，取0或5个蓝球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有(1＋c )5种取法．所以共有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5种取法．故选A.

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．(2014福建，理11)若变量x ，y 满足约束条件10,

280,0,x y x y x -+≤??

+-≤??≥?

则z ＝3x ＋y 的最小值

为__________．

答案：1

解析：由线性约束条件画出可行域如下图阴影部分所示．

由线性目标函数z ＝3x ＋y ，得y ＝－3x ＋z ，可知其过A (0,1)时z 取最小值，故z min ＝3×0＋1＝1.

故答案为1. 12．(2014福建，理12)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4

，BC =ABC 的面积等于__________．

答案：解析：由题意及余弦定理得222216121

cos 2242

b c a c A bc c +-+-=

==??，解得c ＝2. 所以S ＝12bc sin A ＝1

2

×4×2×sin 60°

＝

故答案为13．(2014福建，理13)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是__________(单位：元)．

答案：160

解析：设池底长x m ，宽y m ，则xy ＝4，

所以4

y x

=

，则总造价为： f (x )＝20xy ＋2(x ＋y )×1×10＝80＋

80x ＋20x ＝420x x ?

?+ ??

?＋80，x ∈(0，＋∞)．

所以f (x )≥20×＋80＝160，当且仅当4x x =，即x ＝2时，等号成立．

所以最低总造价是160元．

14．(2014福建，理14)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为__________．

答案：

22e

解析：根据题意y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，图象关于y ＝x 对称，所以两个阴影部分的面积相等．联立y ＝e 与y ＝e x 得x ＝1，所以阴影部分的面积1

100

2(e e )d 2(e e )|x x S x x ?

＝－＝－＝2[(e －e)－(0－1)]＝2，由几何概型可知所求概率为

22e .故答案为22e

. 15．(2014福建，理15)若集合{a ，b ，c ，d }＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：

①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是__________．

答案：6

解析：根据题意可分四种情况：

(1)若①正确，则a ＝1，b ＝1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组有0个；

(2)若②正确，则a ≠1，b ≠1，c ≠2，d ＝4，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)； (3)若③正确，则a ≠1，b ＝1，c ＝2，d ＝4，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；

(4)若④正确，则a ≠1，b ＝1，c ≠2，d ≠4，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2)．

所以共有6个． 故答案为6.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分13分)(2014福建，理16)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－1

2

.

(1)若π02α<<

，且sin 2

α=f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．

分析：首先结合已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系式及已知的正弦值，求出余弦值，注意符号的判断，然后代入已知的函数关系式，得出结果．

在第(2)问中，结合式子特点，利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式以及辅助角公式，得出最终的目标——y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 形式，运用2π

T ω

=

得出周期，再结合三角函

数的图象与性质等基础知识求得单调区间，此时要注意复合函数的单调性．

另外，也可先化简再分别求解．

解法一：(1)因为π02α<<

，sin 2α=cos 2

α=.

所以()

11 (

22222

fα=+-=.

(2)因为f(x)＝sin x cos x＋cos2x－1 2

＝11cos21 sin 2

222

x

x

+

+-

＝11

sin 2cos2 22

x x

+

＝

π

) 24

x+，

所以

2π

π

2

T==.

由

πππ

2π22π

242

k x k

-≤+≤+，k∈Z，得

3ππ

ππ

88

k x k

-≤≤+，k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间为

3ππ

π,π

88

k k

??

-+

??

??

，k∈Z.

解法二：f(x)＝sin x cos x＋cos2x－1 2

＝11cos21 sin 2

222

x

x

+

+-

＝11

sin 2cos2 22

x x

+

π

2

4

x

??

+

?

??

.

(1)因为

π

2

α

<<，sinα=

π

4

α=，

从而()

π3π1

)

24242

fαα

=+==.

(2)

2π

π

2

T==.

由

πππ

2π22π

242

k x k

-≤+≤+，k∈Z，得

3ππ

ππ

88

k x k

-≤≤+，k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间为

3ππ

π,π

88

k k

??

-+

??

??

，k∈Z.

17．(本小题满分13分)(2014福建，理17)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．

(1)求证：AB ⊥CD ；

(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．

分析：在第(1)问中，考查线线垂直问题，要寻求线线垂直的条件，可以是线面垂直或面面垂直．结合具体条件，利用面面垂直去证明线线垂直，只需在其中一个平面内的一条直线垂直于交线就可以了．在第(2)问中，欲求直线与平面所成角的正弦值，自然联想到借助于向量解决，建立合适的坐标系之后，求得平面的法向量n ，再在直线上确定一个方向向量，求得这两个向量夹角的余弦值，其绝对值即为线面角的正弦值．

解：(1)∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ?平面ABD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥平面BCD .

又CD ?平面BCD ，∴AB ⊥CD

.

(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图．

由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ?平面BCD ，BD ?平面BCD ， ∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD . 以B 为坐标原点，分别以BE ，BD ，BA

的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间

直角坐标系．

依题意，得B (0,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，A (0,0,1)，110,,

22M ??

???

， 则()1,1,0BC = ，110,,22BM ??= ???

，(0,1,1)AD =-

．

设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，

则0,0,BC BM ??=???=?? n n 即00000,11

0,22

x y y z +=???+=?? 取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1,1)．

设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，

则sin θ＝|cos 〈n ，AD 〉|

＝||||||AD AD ?=

n n ， 即直线AD 与平面MBC

18．(本小题满分13分)(2014福建，理18)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．

(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率；

②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；

(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．

分析：在第(1)问中，主要考查古典概型概率问题，60元的组成为50＋10，而摸到每个球都是等可能的，所以只要代入公式即可求得获得60元奖励的概率．而要求得分布列及期望值，依然利用古典概型，把X 的所有取值对应概率准确求出，再利用期望公式求出即可．

(2)先根据两种方案中小球的面值估算期望值为60的各种可能：(10,10,50,50)和(20,20,40,40)，再利用古典概型求出两种可能性方案对应的分布列和期望值进行验证；若两者的期望值相同，则需求出它的方差，利用方差大小确定更为合适的设计方案．

解：(1)设顾客所获的奖励额为X .

①依题意，得1113

2

4C C 1(60)C 2

P X ===， 即顾客所获的奖励额为60元的概率为1

2

.

②依题意，得X 的所有可能取值为20,60.

1(60)2P X ==，2

324C 1

(20)C 2

P X ===，

即X 的分布列为

0.5＝40(元)．

(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．

对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.

对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.

以下是对两个方案的分析：

对于方案1，即方案

X 1，则X 1的分布列为

X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×3＋100×6

＝60，

X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1600

3

.

对于方案2

，即方案X 2，则X 2的分布列为 X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×3＋80×6

＝60，

X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝400

3

.

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以

应该选择方案2.

19．(本小题满分13分)(2014福建，理19)已知双曲线E ：22

221x y a b

-= (a ＞0，b ＞0)的

两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .

(1)求双曲线E 的离心率；

(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．

分析：在第(1)问中，已知渐近线方程，即a 与b 的关系，再结合双曲线本身a ，b ，c 的关系及离心率c

e a

=

，便可求得离心率． (2)首先根据渐近线方程设双曲线方程，然后根据动直线l 的斜率是否存在进行分类讨论．显然斜率不存在时，由直线l 和双曲线有且只有一个公共点可知其方程为x ＝a ，此时只需检验△OAB 的面积是否为8即可；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，首先由△OAB 的面积为8求出k ，m 的关系式，然后根据直线和圆锥曲线有且只有一个公共点，利用判别式的符号判断其存在性．

解法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，

所以

2b

a

=，

2=，

故c ，

从而双曲线E 的离心率c

e a

=

=. (2)由(1)知，双曲线E 的方程为22

22

14x y a a

-=.

设直线l 与x 轴相交于点C .

当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点， 则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，

又因为△OAB 的面积为8，

所以1|||

|82

OC AB ?=，

因此

1

482

a a ?=，解得a ＝2， 此时双曲线E 的方程为

22

1416

x y -=. 若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为

22

1416x y -=. 以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：

22

1416

x y -=也满足条件． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k ＞2或k ＜－2，

则,0m C k ??

-

???.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由,2y kx m y x

=+??=?得122m y k =-，同理得222m y k =+，

由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|得，1228222m m m

k k k

-?-=-+，即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．

由22,1416

y kx m x y =+??

?-

=??得，(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.

因为4－k 2＜0，

所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)， 又因为m 2＝4(k 2－4)，

所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．

因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为

22

1416

x y -=. 解法二：(1)同解法一．

(2)由(1)知，双曲线E 的方程为22

22

14x y a a -

=. 设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

依题意得11

22

m -

<<. 由,2y my t y x =+??=?

得1212t y m =-，同理得2212t y m -=+.

设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)． 由S △OAB ＝

12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得122||821212t t

t m m

?+=-+， 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．

由22

22,

14x my t x y a a

=+???-=??得，(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0. 因为4m 2－1＜0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，

即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0， 所以a 2＝4，

因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为

22

1416

x y -=. 解法三：(1)同解法一．

(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得k ＞2或k ＜－2. 由22

,40

y kx m x y =+??

-=?得，(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0，

因为4－k 2

＜0，Δ＞0，所以2

122

4m x x k

-=-， 又因为△OAB 的面积为8，

所以

1

2

|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝8， 又易知4

sin 5

AOB ∠=，

8=，化简得x 1x 2＝4. 所以2

2

44m k

-=-，即m 2＝4(k 2－4)． 由(1)得双曲线E 的方程为22

22

14x y a a

-=， 由22

22,14y kx m x y a a

=+???-=??得，(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0， 因为4－k 2＜0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2

＋4a 2)＝0，

即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，

所以双曲线E 的方程为

22

1416

x y -=. 当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：22

1416

x y -

=有且只有一个公共点．

综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为

22

1416

x y -=. 20．(本小题满分14分)(2014福建，理20)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.

(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；

(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2＜c e x .

分析：(1)由题意可知点A 的横坐标为0，先求出f (x )的导函数f ′(x )，则曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为f ′(0)，由f ′(0)＝－1可求得a 的值．再利用求极值的步骤求解即可．

对于(2)，常对此类问题构造新函数g (x )＝e x －x 2，只需g (x )＞0在(0，＋∞)上恒成立即可，利用导数得到g (x )的单调性，从而得证．

(3)根据c 的值与1的大小关系分类进行证明．当c ≥1时，可直接根据(2)中的结论得证；当0＜c ＜1时，证明的关键是找出x 0.先将不等式转化为2

1e x

x c

>

，利用对数的性质，进一

步转化为x ＞21ln x c ??

???

＝2ln x －ln c ，即可构造函数h (x )＝x －ln x ＋ln c ，然后利用导数研究其单调性，在该函数的增区间内找出一个值x 0，使h (x 0)＞0即可得证．也可结合(2)的结论，合理利用e x ＞x 2将x 2中的一个x 赋值，利用不等式的传递性来解决问题．

解法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.

当x ＜ln 2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln 2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )取得极小值，

且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．

(2)令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＞0，

故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， 因此，当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x . (3)①若c ≥1，则e x ≤c e x .

又由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x . 所以当x ＞0时，x 2＜c e x .

取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2＜c e x .

②若0＜c ＜1，令1

1k c

=

>，要使不等式x 2＜c e x 成立，只要e x ＞kx 2成立． 而要使e x ＞kx 2成立，则只要x ＞ln(kx 2)，只要x ＞2ln x ＋ln k 成立． 令h (x )＝x －2ln x －ln k ，则()221x h x x x

-'=-

=. 所以当x ＞2时，h ′(x )＞0，h (x )在(2，＋∞)内单调递增．

取x 0＝16k ＞16，所以h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增，

又h (x 0)＝16k －2ln(16k )－ln k ＝8(k －ln 2)＋3(k －ln k )＋5k ， 易知k ＞ln k ，k ＞ln 2,5k ＞0，所以h (x 0)＞0. 即存在016

x c

=

，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2＜c e x . 综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2＜c e x . 解法二：(1)同解法一． (2)同解法一．

(3)对任意给定的正数c ，取

0x =

， 由(2)知，当x ＞0时，e x

＞x 2

，所以2

2

2

2

e e e 22x x x

x x ????

=?> ? ?????

，

当x ＞x 0时，222

241

e 222x x x x x c c

??????>>= ? ? ???????，

因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2＜c e x . 解法三：(1)同解法一． (2)同解法一．

(3)首先证明当x ∈(0，＋∞)时，恒有3

1e 3

x x <. 证明如下：

令()31e 3

x

h x x =

-，则h ′(x )＝x 2－e x . 由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x ，

从而h ′(x )＜0，h (x )在(0，＋∞)单调递减，

所以h (x )＜h (0)＝－1＜0，即

3

1e 3

x x <. 取03x c =，当x ＞x 0时，有2311e 3

x

x x c <<.

因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2＜c e x .

21．(2014福建，理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．

(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵A 的逆矩阵12112A -??=

???

. ①求矩阵A ；

②求矩阵A －

1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．

分析：①求得|A －

1|的值，利用求逆矩阵的公式便可求得A .

②结合A －1的特征多项式，解方程，从而求得A －

1的特征值．

解：(1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且|A －

1|＝2×2－1×1＝3≠0，

所以2

1211331212333??-

?

-??==

? ?- ???- ???

A . (2)矩阵A

－1

的特征多项式为()21

12

f

λλλ--=

-- ＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，

令f (λ)＝0，得矩阵A －1

的特征值为λ1＝1或λ2＝3，

所以111??=

?-??

ξ是矩阵A －1

的属于特征值λ1＝1的一个特征向量， 211??

= ???

ξ是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．

(2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线l 的参数方程为2,4x a t y t =-??=-?(t 为参数)，圆C 的参数方程为4cos ,

4sin x y θθ=??=?

(θ为

参数)．

①求直线l 和圆C 的普通方程；

②若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．

分析：①通过消参，直线是代入消去法，圆是利用平方关系便可求得直线和圆的普通方程．在②中，利用直线和圆的位置关系，得d ≤r ，从而求得a 的范围．

解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，

故圆C 的圆心到直线l

的距离4d =≤，

解得a -≤≤.

(3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲

已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.

①求a的值；

②若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.

分析：①利用绝对值不等式的性质容易得证，但要注意利用|a|＋|b|≥|a±b|中的哪一个．

②利用柯西不等式(a2＋b2＋c2)(m2＋n2＋s2)≥(am＋bn＋cs)2，结合所给式子特点，合理赋值，可得证结果．

解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，

当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，

所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.

(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，

所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，

即p2＋q2＋r2≥3.

2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)及答案

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（） A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）

A．B．C．1 D． 6．（5分）已知a=，b=，c=，则（） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣ 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）

A．18+36B．54+18C．90 D．81 10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（） A．4πB． C．6πD． 11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点， A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（） A．B．C．D． 12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（） A．18个B．16个C．14个D．12个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．

2014年高考全国2卷文科数学试题(含解析)

绝密★启用前 2014年高考全国2卷文科数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．设集合2 {2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I （ ） A ．? B ．{}2 C ．{0} D ．{2}- 2． 131i i +=-（ ） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i -- 3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ ρ，则=?b a ρρ（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ． (1)2n n + D ．(1) 2 n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为（ ） A ． 2717 B ．95 C ．2710 D ．3 1 7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为 （A ）3 （B ） 3 2 （C ）1 （D 3 D 1 1 A B 1 8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ）

2014年全国高考理科数学试题及答案-浙江卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数学（理科） 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{} 5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A.? B. }2{ C. }5{ D. }5,2{ （2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是 A. 902 cm B. 1292 cm C. 1322cm D. 1382 cm 4. 为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数 x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移 4π个单位 B.向左平移4π 个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12 π 个单位 5. 在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为 ),(n m f ，则 =+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ） A.45 B.60 C.120 D. 210 6. 已知函数则且,3)3()2()1(0,)(2 3 ≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ） A.3≤c B.63≤c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）

2014年 福建省 高考数学 试卷及解析(理科)

2014年福建省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1．（5分）复数z=（3﹣2i）i 的共轭复数等于（） A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i 2．（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱 3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．14 4．（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（） A ． B ． C ． 1

D ． 5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（） A．18 B．20 C．21 D．40 6．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件 2

7．（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数 C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞） 8．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（） A ．=（0，0），=（1，2） B ．=（﹣1，2），=（5，﹣2） C ．=（3，5），=（6，10） D ．=（2，﹣3），=（﹣2，3） 9．（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（） A．5 B ．+ C．7+D．6 10．（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（） A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5 C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相 3

2016年高考全国卷Ⅱ理科数学试题及答案

2016年高考全国卷Ⅱ理科数学试题及答案 （满分150分，时间120分钟） 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. （1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）(31) -， （B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （A ）{1}（B ）{1 2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m = （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 （4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43- （B ）3 4 - （C ） 3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π

（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π 12个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x =k π2–π6 (k ∈Z ) （B ）x =k π2+π 6 (k ∈Z ) （C ）x =k π2–π12 (k ∈Z ) （D ）x =k π2+π 12 (k ∈Z ) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序 框图.执行该程序框图，若输入的x =2，n =2，依次输入的a 为2，2，5， 则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)= 3 5，则sin 2α= （A ）725 （B ）15 （C ）–15 （D ）–7 25 （10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ， …，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似 值为 （A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n （11）已知F 1，F 2是双曲线E 22 221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直， sin 211 3 MF F ∠= ,则E 的离心率为 （A ）2 （B ）3 2 （C ）3 （D ）2 （12）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x +=与() y f x =图像的交点为 1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ??? 则1 ()m i i i x y =+=∑ （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m

2015年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年福建，理1，5分】若集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B 等于（ ） （A ）{}1- （B ）{}1 （C ）{}1,1- （D ）φ 【答案】C 【解析】由已知得{}i,1,i,1A =--，故{}1,1A B =-，故选 C ． （2）【2015年福建，理2，5分】下列函数为奇函数的是（ ） （A ）y = （B ）sin y x = （C ）cos y x = （D ）x x y e e -=- 【答案】D 【解析】函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ． （3）【2015年福建，理3，5分】若双曲线22:1916 x y E -=的左、 右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） （A ）11 （B ）9 （C ）5 （D ）3 【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即2326PF a -==，解得29PF =，故选B ． （4）【2015年福建，理4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭， 万元家庭年支出为（ ） （A ）11.4万元 （B ）11.8万元 （C ）12.0万元 （D ）12.2万元 【答案】B 【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元）， 6.27.58.08.59.8 85 y ++++==（万元） ，故80.76100.4a =-?=，所以回归直线方程为0.760.4y x =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为 0.76150.411.8y =?+=（万元），故选B ． （5）【2015年福建，理5，5分】若变量,x y 满足约束条件20 0220x y x y x y +≥?? -≤??-+≥? ，则2z x y =-的最 小值等于（ ） （A ）52- （B ）2- （C ）3 2 - （D ）2 【答案】A 【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z =-的纵截距最大， 故将 直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B ? ?- ?? ?时，z 取到最小值，最小值为 ()15 2122 z =?--= -，故选A ． （6）【2015年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1

2014年高考数学全国卷1(理科)

绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 I 卷 ) 数 学(理科 ) 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x 2 2x 3 0 } ， － ≤＜＝，则A B = B={ x | 2 x 2 A .[-2,-1] B .[-1,2 ） C .[-1,1] D .[1,2） (1 i )3 2. (1 i ) 2 = A .1 i B .1 i C . 1 i D . 1 i 3.设函数 f ( x) ， g( x) 的定义域都为 R ，且 f ( x) 时奇函数， g (x) 是偶函数，则下列结论正确的 是 A . f (x) g( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 C .f (x) | g( x) 是奇函数 D .|f ( x) g ( x) 是奇函数 | | 4.已知 F 是双曲线 C ： x 2 my 2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3 B .3 C . 3m D . 3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率 A . 1 B . 3 C . 5 D . 7 8 8 8 8 6.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边 为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0, ]上的图像大致为

2014年江苏省高考数学试卷答案与解析

2014年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014?江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）（2014?江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．3．（5分）（2014?江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是． 4．（5分）（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是． 5．（5分）（2014?江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是． 6．（5分）（2014?江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm． 7．（5分）（2014?江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是． 8．（5分）（2014?江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．

9．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为． 10．（5分）（2014?江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是． 11．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12．（5分）（2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是． 13．（5分）（2014?江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实 数a的取值范围是． 14．（5分）（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα=． （1）求sin（+α）的值； （2）求cos（﹣2α）的值． 16．（14分）（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC．

2014年高考福建文科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年福建，文1，5分】若集合{}|24P x x =≤<，{}|3Q x x =≥，则P Q = （ ） （A ）{}|34x x ≤< （B ）{}|34x x << （C ）{}|23x x ≤< （D ）{}|23x x ≤≤ 【答案】A 【解析】{|34}P Q x x ≤ ＝ ＜，故选A ． （2）【2014年福建，文2，5分】复数()32i i +等于（ ） （A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i + 【答案】B 【解析】232i i 3i 223()i i ＋＝＋＝－＋，故选B ． （3）【2014年福建，文3，5分】以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱 的侧面积等于（ ） （A ）2π （B ）π （C ）2 （D ）1 【答案】A 【解析】根据题意，可得圆柱侧面展开图为矩形，长212ππ?=，宽1，∴212S ππ=?=，故选A ． （4）【2014年福建，文4，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B 【解析】第一次循环1n =，判断1221>成立，则112n =+=；第二次循环，判断2222>不成立，则 输出2n =，故选B ． （5）【2014年福建，文5，5分】命题“[)0,x ?∈+∞，30x x +≥”的否定是（ ） （A ）(),0x ?∈-∞，30x x +< （B ）(),0x ?∈-∞，30x x +≥ （C ）[)00,x ?∈+∞，3000x x +< （D ）[)00,x ?∈+∞，3 000x x +≥ 【答案】C 【解析】全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是[)00,x ?∈+∞，3 000x x +<，故选C ． （6）【2014年福建，文6，5分】直线l 过圆()2 234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ） （A ）20x y +-= （B ）20x y -+= （C ）30x y +-= （D ）30x y -+= 【答案】D 【解析】直线过圆心()0,3，与直线10x y ++=垂直，故其斜率1k =．所以直线的方程为()310y x -=?-， 即30x y -+=，故选D ． （7）【2014年福建，文7，5分】将函数sin y x =的图像向左平移 2 π 个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ） （A ）()y f x =是奇函数 （B ）()y f x =的周期为π （C ）()y f x =的图像关于直线2x π =对称 （D ）()y f x =的图像关于点,02π?? - ??? 对称 【答案】D 【解析】sin y x =的图象向左平移 2π个单位，得π()=sin =cos 2y f x x x ? ?=+ ?? ?的图象，所以()f x 是偶函数，A 不正 确；()f x 的周期为2π，B 不正确；()f x 的图象关于直线()x k k π=∈Z 对称，C 不正确；()f x 的图象

2016全国三卷理科数学高考真题及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. （1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I >P ，则S I T = (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(,22BA =uu v ,1 ),2 BC =uu u v 则∠ABC= (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。下面叙述不正确的是 (A) 各月的平均最低气温都在00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，34 4b =，13 25c =，则 （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n = （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

2014年高考新课标全国2卷数学(文)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） 数学试题卷（文史类） 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的、号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. （1）已知集合A={2-，0，2}，B={x |022 =--x x }，则A B= （A ）? （B ）{}2 （C ）{}0 （D ）{}2- （2） 131i i +=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i -- （3）函数()f x 在0x x =处导数存在．若p ：0'()0f x =；q ：0x x =是()f x 的极值点，则 （A ）p 是q 的充分必要条件 （B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 （4）设向量a ，b 满足||a b +=，||a b -= ，则a b = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 （5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （A ）()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + （D ） ()12 n n - （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个 底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得 到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 （A ） 1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）1 3

2014年江苏省高考数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={}，，则 ▲ . 2. 已知复数(i 为虚数单位),则的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数与(0≤),zxxk 它们的图象有一个横坐 标为 的交点,则的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则 在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 7. 在各项均为正数的等比数列中,,则的值是 ▲ . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分 别为，，若它们的侧面积相等，且，则 的值是 ▲ . 9. 在平面直角坐标系中,直线被圆 截得的弦长为 ▲ . 10. 已知函数若对于任意,都有成立,则实数的 取值围是 ▲ . 11. 在平面直角坐标系中，若曲线(a ，b 为常数) zxxk 过点，且该曲线在点P 处的切线与直线平行，则的值是 ▲ . 12. 如图，在平行四边形中，已知，， 4,3,1,2--}3,2,1{-=B =B A 2)i 25(+=z z n x y cos =)2sin(?+=x y π?<3 π ?}{n a , 12=a 4682a a a +=6a 1S 2S 1V 2V 4 921=S S 2 1 V V xOy 032=-+y x 4)1()2(22=++-y x ,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(

2014年福建高考理科数学试卷及答案解析

2014年福建高考理科数学试卷及答案解 析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 4．（5分）（2014?福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（） ．．C．． 5．（5分）（2014?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）

6．（5分）（2014?福建）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（） 7．（5分）（2014?福建）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（） 8．（5分）（2014?福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）．=（0，0），=（1，2）=（﹣1，2），=（5，﹣2） =（3，5），=（6，10）=（2，﹣3），=（﹣2，3） 9．（5分）（2014?福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，5+ 10．（5分）（2014?福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置 11．（4分）（2014?福建）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为_________． 12．（4分）（2014?福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于 _________．

2014年高考理科数学全国卷1有答案

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页） 绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1） 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|230}A x x x =--≥,{|22}B x x =-<≤,则A B = ( ) A .[2,1]-- B .[1,2)- C .[1,1]- D .[1,2) 2. 3 2 (1i)(1i)+=- ( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()|f x ()g x 是奇函数 C .()f x |()|g x 是奇函数 D .|()()|f x g x 是奇函数 4.已知F 为双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ( ) A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) A .18 B .38 C . 58 D . 78 6.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ,则 ()y f x =在[0,π]的图象大致为 ( ) A . B . C . D . 7.执行如图的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3.则输出的M = ( ) A . 203 B . 72 C .165 D .158 8.设π(0,)2α∈,π(0,)2 β∈,且1sin tan cos β αβ+=,则 ( ) A .π32αβ-= B .π 32αβ+= C .π22αβ-= D .π 22αβ+= 9.不等式组1, 24x y x y +??-?≥≤的解集记为D ,有下面四个命题： 1p ：(,)x y D ?∈,22x y +-≥； 2p ：(,)x y D ?∈,22x y +≥； 3p ：(,)x y D ?∈,23x y +≤； 4p ：(,)x y D ?∈,21x y +-≤. 其中的真命题是 ( ) A .2p ,3p B .1p ,2p C .1p ,4p D .1p ,3p 10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个 交点,若4FP FQ =,则||QF = ( ) A .72 B .3 C .52 D .2 11.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是 ( ) A .(2,)+∞ B .(1,)+∞ C .(,2)-∞- D .(,1)-∞- 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( ) A .B .6 C .D .4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 (用数字填写答案). 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时, 甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若1()2 AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,2a =,且(2)(sin b A +- sin )()sin B c b C =-,则ABC △面积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,0n a ≠,11n n n a a S λ+=-,其中λ为常数. （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=； （Ⅱ）是否存在λ,使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 姓名________________ 准考证号_____________ -------------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ----------------

2014年福建省高考押题卷：数学(文理)试题

2014年福建押题卷——数学（文理） 一、选择题 1.已知集合{}{}22,0,1(2)x M y y x N x y g x x ==>==-，则M N 为( ). （A ）（1，2） （B ）),1(+∞ （C ）),2[+∞ （D ）),1[+∞ 1.Ａ {}{}2,01x M y y x y y ==>=>，{}{}21(2)02N x y g x x x x ==-=<<，则{}{}{}10212M N y y x x x x =><<=<<． 2.设i 是虚数单位，若复数z 满足32zi i =-，则z =( ). （A ）32z i =+ （B ）23z i =- （C ）23z i =-- （D ）23z i =-+ 2.C 232(32)3232231i i i i zi i z i i i --+=-?= ===---. 3.命题“对任意x R ∈，均有2250x x ≤－＋”的否定为( ). （A ）对任意x R ∈，均有2250x x ≥－＋ （B ）对任意x R ?，均有2250x x ≤－＋ （C ）存在x R ∈，使得2250x x >－＋ （D ）存在x R ?，使得2250x x >－＋ 3.C 因为全称命题的否定为特称命题，所以“对任意x R ∈，均有2250x x ≤－＋”的否定为“存在x R ∈，使得2250x x >－＋”. 4.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90人的样本，则应在这三校分别抽取学生 ( ). （A ）30人，30人，30人 （B ）30人，50人，10人 （C ）20人，30人，40人 （D ）30人，45人，15人 4. D 因为三所学校共10800180054003600=++名学生，从中抽取一个容量为90人的样本，则抽取的比例为：12011080090=，所以在甲校抽取学生数为30120 13600=?名，在乙校抽取学生数为4512015400=? 名，在丙校抽取学生为1512011800=?名. 5.函数sin ln sin x x y x x -??= ?+?? 的图象大致是( )

2016年高考江苏数学试题及答案(word解析版)

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据12,, ,n x x x 的方差() 2 2 1 1n i i s x x n ==-∑，其中1 1n i i x x n ==∑． 棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积1 3 V Sh =，其中S 是棱锥的底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2016年江苏，1，5分】已知集合{}1,2,3,6A =-，{}|23B x x =-<<，则A B =_______． 【答案】{}1,2- 【解析】由交集的定义可得{}1,2A B =-． 【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题． （2）【2016年江苏，2，5分】复数()()12i 3i z =+-，其中i 为虚数单位，则z 的实部是_______． 【答案】5 【解析】由复数乘法可得55i z =+，则则z 的实部是5． 【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2016年江苏，3，5分】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22 173 x y -=的焦距是_______． 【答案】 【解析】c = ，因此焦距为2c = 【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础 （4）【2016年江苏，4，5分】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_______． 【答案】0.1 【解析】 5.1x =，()2222221 0.40.300.30.40.15 s =++++=． 【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用． （5）【2016年江苏，5，5 分】函数y =_______． 【答案】[]3,1- 【解析】2320x x --≥，解得31x -≤≤，因此定义域为[]3,1-． 【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题． （6）【2016年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是________． 【答案】9 【解析】,a b 的变化如下表： 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答． （7）【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具） 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________． 【答案】5 6 【解析】将先后两次点数记为( ),x y ，则共有6636?=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有 ()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为 305366 =．

2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学 第Ⅰ卷 （选择题 共60分） 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合A={x |2 230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2.32 (1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数 C .()f x |()g x |是奇函数 D .|()f x ()g x |是奇函数 4.已知F 是双曲线C ：2 2 3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 A .18 B .38 C .58 D . 78 6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边 为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M = A . 203 B .165 C .72 D .158