=线性代数期末复习总结.docx
第一章行列式
一、行列式的性质
性质1行列式与它的转置行列式相等，即|A | = |A T
|.（行列互换，行列式不变）
性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.
推论1如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k,等于用数k 乘以此行列式.
a u
a i2
a i3
a
n
a
i2
^13
ka n
a i2
a i3
a
2X
a
22
a
23 — ka 2x
ka’2 転23 = ka 2}
a
22 a
23
角1 a 32 ?33
a 3i
角2 。33
脳31
?33
若行列式中有一行（列）为0,则行列式为0.
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.
坷 1
坷］a n 纠3
41 a n 坷 3
a
21+b l a 22+b 2 如+4
—
a 21 a 22
"23
+ b l b 2 S
。31 “32 。33
。31 “32 “33
。31 “32 “33 性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列
（行） 对应的元素上去，行列式不变.
a
\\
a i2
a
i3
a
u a n + ka !3 a i3 a
CL CL
a CL + ka
a
W
21 u 22
w
23
^21 "22 ' e"23 "23 “31 °32 "33
°31 “32 + 氐 °33 。33
性质7 （Laplace 定理）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余 子式乘积之和，BP ： | A| = a ix A i} + a i2A i2 + ? ? ? + a in A in （1 = 1,2,? ? ?, n ）
推论2
性质4 。21 ^22
a
31 “32
ka [{ ka {2
。
13
。
23
a 33 。
21 °3a n
"12 "13 a
22 ^23
a 32
= 40 = 0
性质5
行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.
二. 行列式的计算 1、字母型(用性质求值)
2a I 】
(1)、若三阶行列式￡>= a tJ =3,则2°3i
"1 “3
—2d] -2^2
—
2a*
(2)、若三阶行列式D = S b 2 g
=-1,则 -2叽-2b 2 -2b.
C] c 2 c 3
-2C] -2C 2 -2C 3
2、四阶行列式计算
降阶计算。
练习题：1. -2 0
1 0
12 3 4 12 3 4
12 3 4
12 3 4 2 3 4 1 0 ?1 -2 -7
0 -1 ?2 -7
0 -1 ?2 -7
3 4 12
0?2 -8?10
0 0 ?4 4
U 0 ?4 4 4 12 3 0 ?7 -10 ?13
0 0 4 36
0 0 0 40 =160. (1)、 3 114
1111 3 12 1
12-10
=12 (3)、
1-10 3
13 6-9 13 11
1 2 10 -7 ⑵、
=25 a 】】
a
\2
4% 2a lt -3a l2 a n
3.若
a 2X a 22 a 23
=1,则 4如 2^21 3^22 。21
a
3\
a
32
a
33
4皎 2。3] — 3。32 偽]
(A) -8
(B) -12
(C) 8
)?
(D)12
1 2 计算行列式: 3 1 -1 0
4
2
=-24. 5- 2 4 2 2 0 5 -3
5 1
二—42 4
(3)、若三阶行列式D=a tj =5,则 原则：将某行(列) 除某个元素外, 其它元素都化为0,再利用Laplace 定理, -5
2 = 0
1 3 11 ?计算行列式D=l ° 1 — 1
1 2
13
12
1 3 5 r 0 -3 解D 二
0 -4 ,/j
-1 1 2
4
0 1 -2
r
0 0 -2 I
°宁 -1
-3
-3
0 0
4 3 4 3
2 -2 2
3 _7 ~3
-3 0
1
2 2
0 1 0 0
-1
1 4 3 0 -2
2
3
-3
= 1x(—3)x( 一扌)x(—3) = —
12.
第二章矩阵及其运算
、矩阵的运算 1、矩阵加减法
S
3、矩阵乘法：俎心，〃如则
= C“z = (e
u)mxn
，其中
c
ij =
E %bkj k = \
(1) 一般地，AB^BA ?
(2) 一般地，AB=O^A = O^B = O ? (3)
AB = AC±B = C ?
AB = AC^AB-AC = O=>A (B-C )= 0^A = O^B-C = ()?
(4) 若A 〃 = 4C,则当A 满足|4| HO 时,B = C ? (5) (A + B)2
^ A 2
+ 2AB + B 2
;
(A+B )(A-B )^ A 2-B 2
;
(6)
^AB=BA,则称A,〃可交换.若A 与妨,〃2可交换，贝1U 与可交换?
=>A (Bd) =(AB )B2=(B4B2 = B 、(ABj = B 】(B2A )=(Bd )A.
(町=A; (A + Bf = A 7" + B T ; (M)r = M 7; (Afif 二 B T A T
5、有关对称矩阵：若4r
= A,则称A 为对称矩阵。
(1) A,B 为同阶对称矩阵分AB 也是对称矩阵.
((AB)7 ^B T A T
= BAJBBA 丰 AB ?)
(2)
2、 矩阵的数乘也=
AB. = B.A AIi 2 = B 2A
(7)
A
mxn
?AE n = E lt ,A =A ^
A IX /I ME” = E” A = A ? 4、 矩阵的转置
A"是对称矩阵，也是对称矩阵.
二、方阵仏
1、方阵的行列式|A|
ki=H ； I
M = F A ; \AB\ = \A\\B = BA . A =2,则\2A\= 16 , 2A =
-16
(-2 1、
A =
U -1,
(_6
3、
贝'J3A= 9
3 ,|3A|=?9 ?
2、方阵的逆矩阵
(1)定义:若方阵4 B 满足人〃=￡或34=￡,贝=
4”可逆，则A"唯一?
(2) A “可逆o |A|工0 o A 是非奇异矩阵o 心)卄 &满秩. (3) (A -1)"1 = A;(以)"=+屮("0)；
(AB)1 = B _,A
(A r )_1=(A-1)7；(AB )k ^A k B k ;A k+l = A k A l ;(A k )l =A kl . 3、有关可逆阵
(1) 若矩阵人皿前足是可逆的?(x)
(2) 若AX = B ，且A 可逆，则X = AT {B ?
若XB=A ，flB 可逆，则X = AB {? 若AXB = C,且可逆，贝\\X = A-{CB-{. 若 P4P" = B ，则 A = P~l BP. A H = P~x B ,l P.
三、初等变换
反例：A =
但A 不是方阵,
(\ 0)
,B= 0 1 ,AB = E 2 = ,0 0丿
不会是可逆阵。
0 0、 1 0>
<1 0、 <0 L
2、 行阶梯型矩阵、行最简型矩阵
3、 初等矩阵：由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵 彳亍：町㈠兮；Z T ；(R H O );斤+ kq; 列q ㈠ Cj;
辰：(E H 0); c, + 0? 初等矩阵*人：相当于对A 施行相应的初等行变换; A*初等矩阵：相当于对A 施行相应的初等列变换。 初等矩阵不改变方阵的非奇异性
四、 矩阵的秩 1、 秩：矩阵A 的非零子式的最高阶数，记为r(A)o 2、 性质： (1) r(A )= 0 <=> A 为零矩阵. (2) r (A r ) = r (A )?
(3) mxn 矩阵A 的秩r( A) < min{7w,w}? (4) 初等变换不改变矩阵的秩 五. 练习题
1、矩阵的运算
(2 一2、
(1) A 二 A 丫，贝W = ____________ M"1 = __________
I 。—1丿
A 2 = _______________ ，3A = __________________ ? (1 2、
⑵设珂3 J 则宀———
‘3
1
1、
(4) W(X )=X 2-X -1,A= 3
1 2 J'J/(A )= 11 -1 o 丿
1 0 f -1 2、 ‘3
2 1、
0 2 1 0 3 0 3 1,
\
Z
1 1 1
、2 5,
(5)
(6)
1、初等变换:
2\ ，则 3A — 2〃 =
________ ,AB =
(3)
2、 (3 4丿叫2
(7)己知矩阵人=0
<0 2 0 ,则R(A)= 4 0,
2、求逆矩阵
-2、
1 ，贝lj2B r-A =
2丿
0 0、
方法二：利用伴随矩阵求逆矩阵A1
A
方法三：利用逆矩阵定义，求逆矩阵
例：若仙阶矩阵，满足屮_34+￡ = 0」14-￡可逆，并求（4-町1 证明:v A2-3A +
E = 0,???A为方阵，
???（A-E）（A-2E）= E,两边取行列式，得：
|A-E||A-2E| = 1
???A-E^O
:.A-E可逆，且（A — E），二A — 2E?
‘ 2 2 3、
（1）A- 1 -1 0，求犷?
1-1 2 1丿
‘1 00>[3)
(2)A- 1 109 B =5，解方程AX = B.
J 1b3丿
解：⑴???|A| = 1HO，???A可逆；
（2）求A'1;
⑶求X = ?
3、求矩阵的秩M4）
方法：人初箜变换〉行阶梯型矩阵B r（A）= B^非零行的个数.
r0 1 1 ?1、
0 2 2 2
⑴从0 .1 .1 1 '则「⑷——
k l 1 0 0>
‘17 -f
-1 4 0 riI z x
（2）人二i 7 —，则心）------------
< 3 -1 -!>
练习题：
1. 设4〃均为〃阶方阵，下列命题中正确的是( (A) (AB)T = A T B T
(B)若A/B ,则|A|H |B
(C )|A + B | = |A |4-|B |
(D )A 2 3 4-E =(A -E )(A + E )
2. 设4阶矩阵A 二a%』2,73),B = (0，7|』2』3),其中a,0，7i 』2』3是4维列 向量，J&|A| = 2,|B| = 3,则\A + B\=( ).
(A) 10
(B)5
(C) 40
(D) 20
3. 设A 为三阶可逆矩阵，且|A| = 3,贝ij|2A-! = __________ ? 4 ?设A 为3阶矩阵,且|A| = 3,则|2A| = ( ). (A)3
(B)6 (C) 12
(D) 24
一
5?设4 = ，则M =
?
(2 3丿
6. 设 3 维列向量a = (l,-1,2/, >5 = (0,1,1)7,则”一20 二 。
7. 设A,B 均为斤阶方阵，则必有(
)?
(A) AB = BA (C) A-B = B-A
(B) ||A|B| = |A|LjB
(D )|A +B | = |A |+|B |
(2)由 AX = 2X + A 得(A — 2E)X = A.因为 |A —2E| = 1H O,
2 1)
& 设 A 二 ,且 AX = 2X + A, (1)求 A — 2E ； (2)求 X.
1-1 2 丿
(1) A-2E="
-2
(T
‘0 -1、 '2 P
-2、
,1 0?
— 2
丿
、2
X = (A-2E)~i
A
所以A-2E 可逆，H(A —2E 尸
‘0 -1、 J o>
(A)A-E (B)E-A (C) A/3 (D) iiEA 2 -A = 3E,A(A-E) = 3E,A[-(A-E)] = E,所以 A 可逆，且 A" =-(A-E)o
f 1 3) <3 2(3 9] <6 4
5、 3A — 2B = -2
=
（2 4 J 厶
r 丿 <2 3> I 12 丿一 <4 6丿
<2 6y 解（1） <1 3、 \y <3 2、
，1X 3+3X 2 Ix2+3x3>
y ir <2 4丿 X <2 3丿
、2x3 + 4x2 2x24-4x3；
<14 16, AB = 9.设 A =
3
、
4, <3 2、
<2 3,
AB ; (3) A'1.
10. -2
3、 2 丄 2>
设A,B 为三阶方阵，且满足A [BA = 6A^BA, A
,求A"及B.
A -1
(3
0 <0 \
、 0 7
（屮一砂=6￡?
7>
,= + 两边右乘 ,得 A'}B = 6E + B ,即
A 1
-E =
<2
0 <0
0、
0 , A-l -E 可逆且 6丿
0、 0 r
11.设方阵A 满足A 2-A-3E = O 9 贝!j(A-E)-,=( (A-E)/3
A _,
)
<3
(0
(A-'-EY'
第三章线性方程组
一、n 维向量、向量的线性相关性
1、线性相关；线性无关；极大线性无关组；向量组的秩 利用定义证明向量组的线性相关性
例1：已知线性无关，则少+硯‘弼+。3，勺+ "i 线性无关. 证明：设/ （么［+碼）+ & （”2 + ”3 ） + 心（“3 +） = 0
=> （匕 + 氐3）G ］ +（氐i + 氐2）。2 +（氐2 + %3）。3 =0
???a x9a 2,a 3线性无关，
k 、+ 比3=0
.?.< k x + =0 => k r =k 2 =k 3 =0
k 2 4-氐3 =0
故。［+么2，。2 +“3，。3 +"1线性无关.
2、题型：
判断a^a 2,...,a m （其中冬是〃维向量）是否线性相关， 求极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表出. （判断加个〃维向量是否相关） 求解方法：
（其中匕?是巾维列向量）
r （B ）= ;w （向量的个数）,线性无关 r （B ）<
m,
线性相关 “ B 非零行左起第一个非零元素所在的列, 对应向量
构成极大无关组
其余向量可用极大无关组表出
例 1：设弔=（1 丄2,3）心=（l,-l,l,l ）,a 3 = （1,3,3,1）心=（4厂2,5,6）, 求极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.
行阶梯形矩阵〃
I
初等行变换
行最简
形矩阵C I
初等行变换
1 1 1
4、
5 114)
0-2 2-6
__ V0 1-13
'行阶梯形矩阵，r（A）= 3<4,线性相
关、0-11-3-70 0 10，a2，冬构成极大线性无关组. 丿
,0 -2-2-6；,0 0 0 0,
<1 0 0 1^1
0 0 ] 0 （行最简形矩阵，闵=。1+3隔）
,0 0 0 0丿
例2：设硯=（l,2,-l,5）,a2 = （2,-l,l,l）,a3 = （4,3,-1,11）,
求极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示. 特例：
当a x,a2,...,a l是〃个〃维向量时，令4 =仏”住夕…皿〃）,
||A| = 0,则勺，勺，…，匕线性相关；
[A工0,则a i,a1,...,a n线性无关。
???a^a2,a3线性相关.
二、线性方程组（m个方程，n个未知量）
1、齐次线性方程组：A mxn X nxi = O nixi,其中気闻是系数矩阵?求解方法：
系数矩阵A
J初等行变换
7（A）= B的非零行的个数
行阶梯形矩阵B < r（B）= /z（未知量的个数）n方程组只有零解r（B）< 〃（未知量的个数）=> 方程组有非零解I初等行变换
X1 =Z1X4 + /2X5解：A=(a l9a29a3,a4) =
1 2
解：|A|= 2 -1
-1 1
3=0
-1 0
2 4
-5 -5 =lx(-l)1+1
3 3
-5
=0
3
2 1
3 5
5码的线性相关性.
行最简形矩阵C =>同解方程.x2 = m l x4 + m2x s
兀 3 = n t x4 + n2 x5
x2 =加]q + tn2c2 ^x4 = Cj,x5 = c2,(c p c2e R),则系数形式通解：，x3 = n1c l + n2c2
X4 = C]
X5= 5
向量形式通解:
/ \
兀2
工3
m r
n i C] +
(i、
l2
m2
n2C2,基础解系：? =叫，§2 =
r
i \
l2 m2 n2 1010
任丿,0丿丄
諾5+^2
兀1 -兀2 -兀3 = 0
例1： 3旺-3工2-5心=0,求解方程组，并写出它的一个基础解系.
2x t—2X2-4X3 = 0
特例:
当加=”时，（方程个数=未知量个数），由克莱姆法则:
J|A| = O,则齐次线性方程组有非零解；
A H0,则齐次线性方程组只有零解。
fcx + z = 0
例2：方程组<2兀+紗+ z = 0有非零解则系数E = ______
kx-2y-^-z = 0
0 1
k 0 =-2（2-k ） = 0=>k = 2.
-2 0
Xj = a 3c v
+a 4c 2 兀 2 =也 + b 4c 2
X
3 =
X
4 =
非齐次线性方程组的特解
2、非齐次线性方程组:
=
其中4“是系数矩阵?
求解方法：
增广系数矩阵入=（A B ）
、?初等行变换
行阶梯形矩阵C
r （A ）"（可 =非齐次线性方程组无解
? r （A ）=r （A ）=n =＞非齐次线性方程组有唯一解 r （A ）= r （A ）＜/i=＞非齐次线性方程组有无穷多
初等行变换
行最简形矩阵C =＞同解方程“
唯一解:￡? = &?， i = l ，2,?
??，〃 Xj =a 3x 3
+ a 4x 4
+ rf I
X = 63X3+64 兀+〃
无穷多解： 令心=C],兀4 = C
1\C
V C
2 e R ），则系数形式通解" "2
-x 4 =1
例3# 3旺-兀2 -3心+4乞=4,求它的基础解系，并用基础解系表示出全部解.
Xj + 5兀2 _ 9兀3 _ 8 兀4 = °
特例：
当m = n时，(方程个数=未知量个数)，
||A| = 0,则非齐次线性方程组无解或有无穷多解; 'A ^0,则非齐次线性方程组有唯一解。
ax{ + 兀2 + 兀3 = 一3
例4厂旺+ 〃兀2 +心=2，当a#满足什么条件时，该方程组没有唯一解.
X} + 2方兀2 +兀3 = 5
结论：若X] X2^AX = 0的解，贝吆X] +处X?也是AX = 0的解.
若X]是AX = 0的解，疋是AX = B的解则何X] +疋也是AX = B的解.
例5：若X]是AX = 0的解，X提AX = b的解，则X2-3X.是__________ 的解.
三、练习题:
1.己知向量组a v a^a3线性相关，a2,a3,a4线性无关，证明：$向量组a2,a v a4 线性
表示.
2.设向量(2,?3, 5)与向量(?4, 6, a)线性相关，则。= ______________ ?
3?向量组a I=(l,l)7；a2=(3,4)/',a3=(0,l)r线性___________ ?(填“相关”或“无关”)
4.向量组?=(1,-1)?心=(0,2j'心=(-4,18)7’一定线性___________ ?(填“相关”
或“无关”)
5.向量组A: ?,°2，???,％(加》3)线性无关的充要条件是()
(A)存在不全为零的数kg…％,使热$+￡笑+???+灯％H0
(B)向量组A中任意两个向量能线性无关
(C)向量组A中存在一个向量不能用其余向量线性表示
(D)向量组A中任意一个向量都不能用其余向量线性表示
6.设A为5阶方阵，若齐次线性方程组山=0的基础解系中含两个解向量，则
7.已知a,=(l,1,3,1几a2=(-l,0,-2,l)r,今(5,-2,&-9几a4 = (-l,3,l,7)r ,
(1)求向量组懾,“2，“3，。4的秩；
(2)向量组是否线性相关，并说明理由；
(3)求向量组a.,a2,a3,a4的最大无关组，把其余向量用最大无关组线性表示.
ft? A = (a^a2,a^a4) =(\
1
-1
5
-2
-r
3
<
1
-1
1
5
-7
-1)
4 3 -2 8 1 GW
口一人0
1 -7 4 J 1 -9 7, <
2 -14 8> V -1 5 -1) (1 0 -2 3
、
DP0 1 -7 4 0 1 -7 4
口-0 0 0 0 0 0 0 0
<0 0 0 o> <0 0 0 0
丿
(1) /?(a(,a2,a3,a4) = 2.
(2)因为2v4,所以线性相关.
(3)是向量组的一个最大无关组，且
a y = -2a}一7a2,a4 = 3a( + 4a2?
‘2 3 1 -3、
8.已知矩阵人=1 2 0 -2 , (1)求矩阵4的秩；(2)求A的列向量组的
、3 -2 8 3 丿
一个最大无关组，并把其余列向量用该最大无关组线性表示.
解对矩阵A施行初等行变换，得
<1 2 0 -2、<1 2 0 -
2、
彳
+2勺
<1 2 0 0
、
A?0 -1 1 1 0 -1 1 1 0 -1 1 0
々-
<0 -8 8 9丿<0 0 0 1> <0 0 0 b
(10 2 0)
斤+2勺
?0 1-10
々x(T)
(0 0 0 1 丿
(1) 7?(A) = 3；
(3 ) f-3> ⑴(2、(3 )
(2) 1 9 2 9-2 是A的列向量组的一个最大无关组，
且0 =2 1 — 2
0)<-
2> <3
；
0 3<-2>
9. 已知向量组
? — (2,1,4,3)卩,(X 2 — (一 1,1,—6,6)丁，(x 3 — (一 1,一2,2,—9)卩，(x 4 — (1,1,—2,7)r ,
(1) 求冋量组a^a 2,a 3,a 4的秩；
(2) 向量组0,闵,的,闵是否线性相关，并说明理由；
(3) 求條，硯的一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表
(2)因为3<4 ,所以?，笑““巾线性相关.
a r a 2,a 4是向量组a p a 2,a 3,a 4的一个最大无关组，且冬=-a } -a 2?
兀］+ 2X 2 + 兀3 一 兀4 = 4
9.已知非齐次线性方程组<3X ,+6X 2-X 3-3X 4=8
, (1)求出对应齐次线性方
5兀［+10%2 + ￡ — 5￡ = 16 程组的一个基础解系；
(2)求非齐次线性方程组的通解. 解对增广矩阵(4方)施行初等行变换，得
2 1 -1 1
1
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线性代数超强的总结(不看你会后悔的)
线性代数超强总结 ()0A r A n A Ax A A οο??
√ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =-K N N √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -????→M M 初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? O O 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? N N
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章 行列式 (一)要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、n 阶行列式ij a D =，元素ij a 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、克莱姆法则 （二）基本要求 1、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章 矩阵 （一）要点 1、矩阵的概念 n m ?矩阵n m ij a A ?=)(是一个矩阵表。当n m =时，称A 为n 阶矩阵，此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 （1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。 如果两矩阵A 与B 相乘，有BA AB =,则称矩阵A 与B 可换。 注：矩阵乘积不一定符合交换 （2）方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ， 规定I A =0 ,其中I 为单位阵 .
(3) 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλ?1110)( ，A 为方阵，矩阵A 的 多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ?,其中I 为单位阵。 （4）n 阶矩阵A 和B ，则B A AB =. （5）n 阶矩阵A ，则A A n λλ= 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵A 可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ， 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 （二）要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 （1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 （2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如n m A ?，l n B ?，将矩阵B 分块为 ) (21l b b b B =，其中j b （l j 2, ,1=）是矩阵B 的第j 列， 则 又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =，其中j p （n j 2, ,1=）是矩阵P 的第j 列. （3）设对角分块矩阵
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A
线性代数公式总结大全
线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
线性代数总结归纳
行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩
线性代数超强总结
√ 关于12,,,n e e e ???： ①称为 n 的标准基， n 中的自然基，单位坐标向量； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr()=E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. √ 行列式的计算： ① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 (1)mn A A A A B B B B A A B B οο οοο * = = =* *=- ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. ③关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 (1) n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a ο οο ---* = =- √ 逆矩阵的求法: ①1 A A A * -= ②1()()A E E A -???? →初等行变换 ③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ??????????
⑤1 1111 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=???? ???? ?????? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοο ο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? √ 矩阵方程的解法：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) 当0A ≠时, √ Ax ο=和Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断12,, ,s ηηη是0Ax =的基础解系的条件：
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
线性代数知识点总结归纳
线性代数知识点总结归纳 第一章行列式 知识点1：行列式、逆序数 知识点2：余子式、代数余子式 知识点3：行列式的性质 知识点4：行列式按一行（列）展开公式 知识点5：计算行列式的方法 知识点6：克拉默法则 第二章矩阵 知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律 知识点8：矩阵的乘法运算及运算律 知识点9：计算方阵的幂 知识点10：转置矩阵及运算律 知识点11：伴随矩阵及其性质 知识点12：逆矩阵及运算律 知识点13：矩阵可逆的判断 知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解 知识点16：初等变换的概念及其应用 知识点17：初等方阵的概念 知识点18：初等变换与初等方阵的关系
知识点19：等价矩阵的概念与判断 知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式 知识点21：矩阵的秩的概念与判断 知识点22：矩阵的秩的性质与定理 知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例 第三章向量 知识点25：向量的概念及运算 知识点26：向量的线性组合与线性表示 知识点27：向量组之间的线性表示及等价 知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念 知识点29：线性表示与线性相关性的关系 知识点30：线性相关性的判别法 知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系 知识点33：求向量组的最大无关组 知识点34：有关向量组的定理的综合运用 知识点35：内积的概念及性质 知识点36：正交向量组、正交阵及其性质 知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法 知识点38：向量空间（数一） 知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）
线性代数知识点归纳
线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1
⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆
线性代数总结归纳
行列式 1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。 答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。例如：排列45312为偶排列。 10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。 答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。例如：偶排列45312对换4与3，则变成排列35412，它的逆序数为7，排列35412是奇排列。 11．任一个n阶排列与标准排列可以互变吗？【知识点】：n阶排列与标准排列的关系。 答：可经过一系列对换互变。且所做对换的次数与排列具有相同的奇偶性。例如：排列32541的逆序数是6，因而是偶排列，它经过2次对换：3与1对换后变为12543，再对换5
线代贴吧-线性代数超强总结
线性代数公式总结
()0A r A n A Ax A A οο??
③11a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④1 2 11 11 2 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 2 1 1 1 12 1 1n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ????????? ? ⑤1 11 11 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???? ???? ??? ?? ? 1 112 1 211 n n A A A A A A ----? ? ? ????? ? ???=??? ? ???? ????? ? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++ ++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++ ++为A 的一个多项式. √ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，AB 的列向量为 12,, ,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ???则：即 用中简 若则 单的一个提 即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度 的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοοο ?? ?? ? ??? ? ???==???????????? 11112222 kk kk A B A B AB A B ο ο ????? ?=????? ?
线性代数总结归纳
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行列式 1．为何要学习《线性代数》 学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2．《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3．《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4．如何学习《线性代数》 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5．什么是一个n阶全排列【 知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。 6．什么是标准排列【 知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。 7．什么是n阶全排列的逆序【 知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。数4与5，数1与2不构成逆序。 8．什么是n阶排列的逆序数【 知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312的逆序数为8。 9．什么是奇排列和偶排列【
考研线性代数知识点归纳
1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
线性代数知识点总结
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）
《线性代数》知识点 归纳整理
《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 - 02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 - 03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 - 04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 - 05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 - 06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 - 07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 - 10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 - 12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 - 13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 - 14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 - 16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 - 18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 - 22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 - 25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 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