全国高中数学联赛模拟试题(三)
全国高中数学联赛模拟试题(三)
学校_____ 姓名______得分_______
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这
样的数s 的集合是
（A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集
（D ）所有形如4k +3的数集
2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4
辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009
3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给
定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=1
n i i
a
等于 （A ）2
（B ）-1
（C ）1
（D ）0
4、已知、是方程ax 2
+bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，β
α2
是实
数，则∑=???
?
??5985
1k k
βα的值是
（A ）1 （B ）2
（C ）0
（D ）3i
5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()ab
b a ac
c a bc
c b A 2
2
2
2
2
2
111111--+--+--=
，则A 的
值是
（A ）3
（B ）-3
（C ）4
（D ）-4
6、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()2
11
+=
∑=n n x n
i i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8
（D ）9
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距
离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使
n
n h a h a h a +++Λ22
11（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ．
2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小
于1的不同正根．那么，a 的最小值是 ．
3、已知()2
cos 22
sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、∈R ，a ≠0．那么，对于任意的a 、，F (a ,)
的最大值和最小值分别是 ．
4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情
况是 ．
5、已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中
x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是 ．
6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得x n +x +1被x k +x +1整除，则这样的有序实
数对(n ,k )是（对于给定的k ） ．
三、（20分）
过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求
最小
最大S S 之值．
四、（20分）
数列{a n }定义如下：a 1=3，a n =1
3
-n a （n ≥2）．试求a n （n ≥2）的末位数．
五、（20分）
已知a 、b 、c ∈R +
，且a +b +c =1．
证明：
27
13≤a 2+b 2+c 2
+4abc ＜1．
第二试
一、（50分）
已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB 的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．
二、（50分）
M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的
边平行于坐标轴．
三、（50分）
实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．
参考答案 第一试
二、填空题： 1、该凸多边形存在内切圆； 2、5； 3、32+
，32-；
4、9；
5、5，8；
6、(k ,k )或(3m +2,2)（m ∈N +）．
三、
3
3
2．
四、7．
五、证略．
第二试
一、证略；
二、证略．
三、 有．