万有引力与航天重点知识归纳及经典例题练习
第五讲 万有引力定律重点归纳讲练
知识梳理
考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律 （1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。 （2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 （3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式：
k T
a =23
。其中k 值与太阳有关，与行星无关。 （4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。当卫星绕行星旋转时，k T
a =2
3
，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。
（5） 中学阶段对天体运动的处理办法：
①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动； ③k T
R =2
3
，R ——轨道半径。
2. 万有引力定律
（1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2
成反比。 （2） 公式：2
21r
m m G F =，G 叫万有引力常量，2211
/10
67.6kg m N G ??=-。
（3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。 （4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。 3. 万有引力与重力的关系
(1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。 ①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m R Mm G mg 22
ω-=；
②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2
；故纬度越大，重力加速度越大。
由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。
(2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。在地面上，2
2
R GM g mg R Mm G =?=；在地球表面高度为h 处：
22)()(h R GM g mg h R Mm G
h h +=?=+，所以g h R R g h 2
2
)
(+=，随高度的增加，重力加速度减小。 考点二、万有引力定律的应用——求天体质量及密度
1．T 、r 法：2
3
2224)2(GT
r M T mr r Mm G ππ=?=，再根据3
23
33,34R GT r V M R V
πρρπ=?==
，当r=R 时，2
3GT πρ=
2．g 、R 法：G
g
R M
mg R
Mm G 22
=
?=，再根据GR
g V
M R V πρρπ43,3
43=?==
3．v 、r 法：G
rv M r v m r Mm G 2
22
=?=
4．v 、T 法：G T v M T mr r Mm G r v m r Mm G ππ2)2(,3
22
2
2=?==
考点三、星体表面及某高度处的重力加速度
1、 星球表面处的重力加速度：在忽略星球自转时，万有引力近似等于重力，则2
2
R GM g mg R Mm G =?=。
注意：R 指星球半径。
2、 距星球表面某高度处的重力加速度：22)()(h R GM g mg h R Mm G
h h +=?=+，或g h R R g h 2
2
)
(+=。 注意：卫星绕星球做匀速圆周运动，此时的向心加速度2
)(h R GM a n
+=
，即向心加速度与重力加速度相等。 考点四、天体或卫星的运动参数
我们把卫星（天体）绕同一中心天体所做的运动看成匀速圆周运动，所需要的向心力由万有引力提供，
)
4(2222
2T
mr mr r v m ma r Mm G n πω====，就可以求出卫星（天体）圆周运动的有关参数：
1、 线速度：r r GM v r v m r Mm G 12
2∝=?= 2、角速度：3
3221r
r GM mr r Mm G ∝=?=ωω
3周期：3
3
22
2)2(r GM
r T T mr r Mm G ∝=?=π
π 4、向心加速度：2
2r
GM a ma r
Mm G n n =?=
规律：当r 变大时，“三小”（v 变小,ω变小,a n 变小）“一大”（T 变大）。
考点五、地球同步卫星
对于地球同步卫星，要理解其特点，记住一些重要数据。总结同步卫星的以下“七个一定”。 1、 轨道平面一定：与赤道共面。
2、 周期一定：T=24h ，与地球自转周期相同。
3、 角速度一定：与地球自转角速度相同。
4、 绕行方向一定：与地球自转方向一致。
5、 高度一定：由2
732
2222
226106.34,4)()(R m R T gR h gR GM T h R m h R Mm G
≈?=-=?=+=+π
π。 6、 线速度大小一定：
s m h
R gR h
R GM
v gR GM h R v
m h R Mm G
/101.3,)()
(32
22
2
?=+=+=?=+=+。 7、 向心加速度一定：22
222
2/23.0)
()(,)(s m h R gR h R GM a gR GM ma h R Mm G
n n =+=+=?==+。 考点六、宇宙速度
1、 对三种宇宙速度的认识：
⑴第一宇宙速度——人造卫星近地环绕速度。大小v 1=7.9km/s 。 第一宇宙速度的算法： 法一：由r
GM v r
v
m r Mm G =
?=2
2
，r=R+h ，而近地卫星h=0，r=R ，则R
GM v R v m R Mm G =?=2
2
，代入数据可算
得：v 1=7.9km/s 。
法二：忽略地球自转时，万有引力近似等于重力，则gr v r
v m mg =?=2
，同理r=R+h ，而近地卫星h=0，r=R ，
gR v R
v
m
mg =?=2
，代入数据可算得：v 1=7.9km/s 。 对于其他星球的第一宇宙速度可参照以上两法计算。计算重力加速度时一般与以下运动结合：①自由落体运动；②竖直上抛运动；③平抛运动；④单摆 （2）第二宇宙速度——脱离速度。
大小v 2=11.2km/s ，是使物体脱离地球吸引，成为绕太阳运行的行星的最小发射速度。 （3）第三宇宙速度——逃逸速度。
大小v 3=16.7km/s ，是使物体脱离逃逸引力吸引束缚的最小发射速度。 2、 环绕（运行）速度与发射速度的区别：
三种宇宙速度都是发射速度，环绕速度是指卫星绕地球做匀速圆周运动时的线速度大小；轨道越高，环绕速度越小，所需的发射速度越大，所以第一宇宙速度时指最大环绕速度，最小发射速度。 考点七 卫星变轨问题 人造卫星发射过程要经过多次变轨，如图所示，我们从以下几个方面讨论：
一、变轨原理及过程 1、为了节约能量，卫星在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆形轨道1上。
2、在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供轨道上做圆周运动的向心
力，卫星做离心运动进入轨道2。
3、在B 点（远地点）再次点火进入轨道3。 二、一些物理量的定性分析 1、速度：设卫星在园轨道1和3运行时速率为v 1、v 3，在A 点、B 点速率为v A 、v B 。在A 点加速，则v A ＞v 1，在B 点加速，则v 3＞v B ，又因v 1＞v 3，故有v A ＞v 1＞v 3＞v B 。
2、加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道1还是轨道2经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同。
3、周期：设卫星在1、2、3轨道上运行周期分别为T 1、T 2、T 3。轨道半径分别为r 1、r 2（半长轴）、r 3，由
开普勒第三定律k T r =2
3
可知，T 1＜T 2＜T 3。 三、从能量角度分析变轨问题的方法
把椭圆轨道按平均半径考虑，根据轨道半径越大，卫星的机械能越大，卫星在各轨道之间变轨的话，若从低轨道进入高轨道，则能量增加，需要加速；若从高轨道进入低轨道，则能量减少，需要减速。 四、从向心力的角度分析变轨问题的方法
当万有引力恰好提供卫星所需向心力时，即2
2
R
v m R
Mm G =时，卫星做匀速圆周运动。
若速度突然增大时，2
2
R
v m R
Mm G ，万有引力小于向心力，做离心运动，则卫星轨道半径变大。
若速度突然减小时，2
2
R
v m R Mm G ，万有引力大于向心力，做近心运动，则卫星轨道半径变小。
考点八 双星问题
被相互引力系在一起，互相绕转的两颗星就叫物理双星。双星是绕公共重心转动的一对恒星。如图所示双星系统具有以下三个特点：
1、各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即：12112
2
1r m L
m Gm ω=，
22
222
21r m L
m Gm ω=； 2、两颗星的周期及角速度都相同，即：T 1=T 2，ω1=ω2； 3、两颗星的半径与它们之间距离关系为：r 1+r 2=L 。 补充一些需要用到的知识： 1、卫星的分类：
卫星根据轨道平面分类可分为：①赤道平面轨道（轨道在赤道平面内）；②极地轨道（卫星运行时每圈都经过南北两极）；③任意轨道（与赤道平面的夹角在0o~90o之间）。但轨道平面都经过地心。
卫星根据离地高度分类可分为：①近地卫星（在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，可认为h=0，r=R ）；②任意高度卫星（离开地面一定高度运行的卫星，轨道半径r=R+h ，R 指地球半径，h 指卫星离地高度，其中同步卫星是一个它的一个特例）。轨道平面都经过地心。
2、人造卫星的机械能：E=E K +E P （机械能为动能和引力势能之和），动能2
2
1mv E K =
，由运行速度决定；引力势能由轨道半径（离地高度）决定，r 增大，动能减小，引力势能增大，但K P E E ?? ，所以卫星的机械能随着轨道半径（离地高度）增大而增大。
3、人造卫星的两个速度：①发射速度：在地球表面将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度，发射时所具有的动能要包括送入预定轨道的动能和引力势能之和，即机械能，所以r 增大，发射速度增大；
②环绕（运行）速度：卫星在轨道上绕地球做匀速圆周运动所具有的速度，R
GM v R v m R Mm G =?=2
2
，r 增
大时，环绕速度减小。
4、推导并记住近地卫星的几个物理量的公式和数值:
近地卫星指在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，可认为h=0，r=R 。 ①运行速度：s
km gR R
GM
v R
v m R
Mm G /9.722
===
?=，它是所有卫星的最大运行速度（因为h=0，无需增大引力
势能，故发射速度等于运行速度，所以这个速度又是所有卫星的最小发射速度）；
②角速度：322r
GM mr r
Mm G =?=ωω，r=R ，3
R
GM =ω，r 最小，它的角速度在所有卫星中最大。（无需记数值）
③周期：GM
r T T mr r Mm G 3
22
2)2(π
π=?=，r=R ，min 8523
==GM
R T π=5100s ，r 最小，它的周期在所有卫星中最小。
④向心加速度：2
2r
GM a ma r
Mm G n n =?=，r=R ，22/8.9s m g R
GM a n ===，r 最小，它的向心加速度在所有卫
星中最大。
5、卫星的追击问题： 由GM
r T T
mr r
Mm G 322
2)2(π
π=?=知，同一轨道上的两颗卫星，周期T 相同，后面的不可能追上前面的。卫星
绕中心天体的半径越大，T 越大。同一半径方向不同轨道的两颗卫星（设周期分别为T 1、T 2 ，且T 1＞T 2）再次相遇的时间满足1=-A
B
T t T t ，或πωω2=-A B 。
6、万有引力与航天知识要注意模型：
①把天体都看成质点；②把天体的运动在没有特殊说明时都看成匀速圆周运动；
③常见的匀速圆周运动模型分三种：核星模型（中心天体不动，行星或卫星绕中心天体运动）；双星模型（两颗星绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动）；三星模型（三颗星组成稳定的系统，做匀速圆周运动，三颗星一般组成正三角形或在一条直线上）。 7、估算问题的思维与解答方法：
①估算问题首先要找到依据的物理概念或物理规律（这是关键）；②运用物理方法或近似计算方法，对物理量的数值或取值范围进行大致的推算；③估算题常常要利用一些隐含条件或生活中的常识。如：在地球
表面受到的万有引力等于重力；地球表面附近的重力加速度g=9.8m/s 2
；地球自转周期T=24h ，公转周期T 0=365天；月球绕地球公转周期约为27天；近地卫星周期为85分钟；日地距离约1.5亿千米；月地距离约38亿千米；同步卫星、近地卫星的数据等。
8、 物体随地球自转的向心加速度与环绕地球运行的公转向心加速度：
①物体随地球自转的向心加速度由地球对物体的万有引力的一个分力提供，计算公式为：
02021)2(
R T
R a πω==，式中T 为地球自转周期，R 0为地表物体到地轴的距离； ②卫星环绕地球运行的向心加速度所需的向心力由地球对它的全部万有引力提供，计算公式为：
22r
GM
a ma r Mm G
n n =?=，式中M 为地球质量，r 为卫星与地心的距离。 例题讲解
【例1】甲、乙两颗人造地球卫星，质量相等，它们的轨道都是圆，若甲的运动周期比乙小，
则（ ）
A ．甲距地面的高度比乙小
B ．甲的加速度一定比乙小
C ．甲的加速度一定比乙大
D ．甲的速度一定比乙大
【例2】A 、B 两颗行星，质量之比
p M M B
A =，半径之比q R R
B A =，则两行星表面的重力加速度之比
为（ ）
A. q
p B. 2pq C. 2q
p
D.pq
【例3】如图1-4-1所示，在同一轨道平面上，有绕地球做匀速圆周运动的卫星A 、B 、
C 某时刻在同一条直线上，则（ ）
A.经过一段时间，它们将同时回到原位置
B.卫星C 受到的向心力最小
C.卫星B 的周期比C 小
D.卫星A 的角速度最大
【例4】人造卫星离地球表面距离等于地球半径R ，卫星以速度v 沿圆轨道运动，设地面上的重力加速度为g ，则（ ）
A. gR v 4=
B. gR v 2=
C. gR v =
D. 2gR v =
【例5】地球公转的轨道半径是R 1，周期是T 1，月球绕地球运转的轨道半径是R 2，周期是T 2，
则太阳质量与地球质量之比是 （ ）
A.
22
322131T R T R B.
21
322
231T R T R C.
21
222
221T R T R D.
32
223
121T R T R
【例6】土星外层上有一个环。为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中
各层的线速度a 与该l 层到土星中心的距离R 之间的关系来判断： ( ) A ．若v ∝R ，则该层是土星的一部分； B ．若v 2∝R ，则该层是土星的卫星群
北
b C ．若v ∝１／R ，则该层是土星的一部分 D ．若v 2∝１／R ，该层是土星的卫星群
【例7】火星与地球的质量之比为P ，半径之比为q ，则火星表面的重力加速度和地球表面的
重力加速度之比为（ ）
A. B. C. D.
【例8】地球表面处的重力加速度为g ，则在距地面高度等于地球半径处的重力加速度为（ ） A. g B. g/2 C. g/4 D. 2g
【例9】人造地球卫星绕地心为圆心，做匀速圆周运动，下列说法正确的是…………（ ） A. 半径越大，速度越小，周期越小 B. 半径越大，速度越小，周期越大 C. 所有卫星的速度均相同，与半径无关 D. 所有卫星的角速度均相同，与半径无关
巩固练习
1关于第一宇宙速度，下列说法不正确的是………………………………（ ） A. 它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
B. 它等于人造地球卫星在近地圆形轨道上的运行速度
C. 它是能使卫星在近地轨道运动的最小发射速度
D. 它是卫星在椭圆轨道上运动时的近地点速度
2、下述实验中，可在运行的太空舱里进行的是 （ ）
A ．用弹簧秤测物体受的重力
B ．用天平测物体质量
C ．用测力计测力
D ．用温度计测舱内温度
3．如图所示的三个人造地球卫星，则说法正确的是（ ） ①卫星可能的轨道为a 、b 、c ②卫星可能的轨道为a 、c ③同步卫星可能的轨道为a 、c ④同步卫星可能的轨道为a
A ．①③是对的
B ．②④是对的
C ．②③是对的
D ．①④是对的
4.同步卫星离地心距离为r ，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R ，则（ ）
A. a1/a2=r/R
B. a1/a2=R2/r2
C. v1/v2=R2/r2
D. v1/v2 r R /
5关于人造地球卫星及其中物体的超重和失重问题，下列说法正确的是…………（ ） ①在发射过程中向上加速时产生超重现象 ②在降落过程中向下减速时产生失重现象 ③进入轨道时作匀速圆周运动，产生失重现象 ④失重是由于地球对卫星内物体的作用力减小而引起的 A. ①③ B.②③ C. ①④ D.②④
6、某天体的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h 处平抛一物体，射程为L ，则在该天体上，从同样高处以同样速度平抛同一物体，其射程为：（ ） A ．L/6 B ．L/4 C ．3L/2 D ．6L
7、人造地球卫星所受的向心力与轨道半径r 的关系，下列说法中正确的是………（ ）
A. 由可知，向心力与r2成反比
B. 由可知，向心力与r 成反比
C. 由可知，向心力与r 成正比
D. 由可知，向心力与r 无关
7、已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为（ ）
A.0.2
B.2
C.20
D.200
8、（08江苏卷）火星的质量和半径分别约为地球的101和21
，地球表面的重力加速度为g ，则
火星表面的重力加速度约为 A ．0.2g B ．0.4g C ．2.5g D ．5g
9、（07重庆理）土卫十和土卫十一是土星的两颗卫星，都沿近似为圆周的轨道绕土星运动，其参数如表：
卫星半径(m) 卫星质量(kg) 轨道半径(m) 土卫十
8.90×104
2.01×1018 1.51×1018 土卫十一 5.70×104
5.60×1017
1.51×103
两卫星相比，土卫十（ ）
A ．受土星的万有引力较大
B ．绕土星做圆周运动的周期较大
绕土星做圆周运动的向心加速度较大D．动能较大
10、飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342 km的圆形轨道。已知地球半径R=6.37×103 k m，地面处的重力加速度g=10 m/s2。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期的数值（保留一位有效数字）。
11、（01北京、、安徽卷）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。