16第十六章常用逻辑用语
第十六章常用逻辑用语
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第1讲命题及其关系,充分条件与必要条件
★知识梳理★
1．用语言、符号或式子表达的，可以判断真假、的陈述句称为命题．
其中判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题
2．（1）如果第一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论_
和条件_，那么这两个命题叫互逆命题.
（2）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定
和结论的否定，那么这两个命题叫互否命题.
（3）如果第一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定_
和_条件的否定_____，那么这两个命题叫互否命题.
3．一般地，把条件p的否定和结论q的否定，分别记为“┐p”和“┐q”，则命题的四种形式可写为：
原命题：“若p若q”
逆命题：“若q若p”
否命题：“若┐p是┐q”
逆否命题：“若┐q是┐p”
特别提醒：可以发现：
（1）原命题、逆命题、否命题、逆否命题的关系如下图所示：
（2）互为逆否命题的真假性是一致的, 互逆命题或互否命题真假性没有关系.
4. 用反证法证明的一般步骤是：
(1) 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
(2) 归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3) 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
特别提醒：
1、适宜用反证法证明的数学命题：
(1) 结论本身以否定形式出现的命题.
(2)关于唯一性、存在性的的命题.
(3)结论以“至多”，“至少”等形式出现的命题.
(4)结论的反面比原结论更具体或更易于研究的命题.
2. 用反证法证明引出矛盾的四种常见形式:
(1)与定义、公理、定理矛盾.
(2)与已知条件矛盾.
(3)与假设矛盾.
(4)自相矛盾.
5． 如果“若p 则q ”为真, 记为,p q ?, 如果“若p 则q ”为假, 记为p q ?/.
6．若,p q ?则p 是q 的充分, q 是p 的必要___
7．判断方法： （1）定义法：
① p 是q 的充分不必要条件?p q p q ????/? ② p 是q 的必要不充分条件?p q p q
??/??? 原命题 若p 则q 逆命题
若q 则p
否命题 若非p 则非q 逆否命题 若非q 则非p 互逆 互 互
互 为 为 互
否 逆 逆 否
否 否 互逆
③ p 是q 的充要条件?p q q p ????? ④ p 是q 的既不充分也不必要条件?p q p q ??/??/
? （2）集合法： 设P={p }, Q={q },
① 若__ P Q, 则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.
② 若___ P=Q _______，则p 是q 的充要条件（q 也是p 的充要条件）.
③ 若______ P
Q 且Q P _______， 则p 是q 的既不充分也不必要条件.
（3） 逆否命题法：
①?q 是?p 的充分条件不必要条件?p 是q 的______充分条件不必要条件_
②?q 是?p 的必要条件不充分条件?p 是q 的___充分条件不必要条件
③?q 是?p 的充分要条件?p 是q 的__________充要条件_____
④?q 是?p 的既不充分条件与不必要条件?p 是q 的__既不充分条件与不必要条件_
特别提醒： 1、解决充要条件的逆向问题时, 往往从集合角度考虑, 会更文便快捷, 设P={p}, Q={q},
① 若p 是q 的充分不必要条件，则P
Q ② 若q 是p 的必要不充分条件，则P Q
③ 若P=Q ，则p 是q 的充要条件（q 也是p 的充要条件）.
④ 若P Q 且Q P ， 则p 是q 的既不充分也不必要条件.
2、 证明p 是q 的充要条件，既要证“p q ?”，又要证“q p ?”，前者证明的是充分性；，
后者证明的必要性.
★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：初步掌握四种命题的关系，并能判断四种命题的真假；初步掌握利用反证法证明一
些问题；正确理解三个概念，并在分析中正确判断.正确理解充分条件、必要条件和充要条件
三个概念，并能用定义法、集合法和逆否命题法来判断命题p 是命题q 的什么条件.
2.难点：利用反证法证题；充要条件的证明.
3.重难点：.
(1) 与命题相关的判析
问题1：下列语句中哪些是命题？其中哪些是真命题？
①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；
②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；
③“一个数不是正数就是负数”；
④“珠海是一个多么美丽的海滨城市啊！”；
⑤“x y +为有理数，则x 、y 也都是有理数”；
⑥ “作ABC ?∽111A B C ?”.
解：根据命题的概念，判断是否为命题，若是，再判断真假.
① 通过反问句，对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题.
② 疑问句，没有垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断, 不是命题；
③ 是假命题, 数0既不是正数也不是负数.
④ 感叹句, 不是命题.
⑤ 是假命题, 如x y ==.
⑥ 祈使句, 不是命题.
∴ 命题有: ①③⑤ ；真命题有: ①
点拨: 判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假. 一般地, 陈述句、反问句都是
命题，而疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
问题2：你能将把下列命题写成“若p 若q ”的形式，并判断其真假吗?
(1) 实数的平方是非负数.
(2) 等底等高的两个三角形是全等三角形.
(3) 能被6整除的数既能被3整除也能被2整除.
(4) 弦的垂直平分线经过圆心, 并平分弦所对的弧.
解：(1) 若一个实数, 则它的平方是非负数. 这个命题是真命题.
(2) 若两个三角形等底等高, 则这个三角形是全等三角形. 这个命题是假命题.
(3) 若一个数能被6整除的数, 则它既能被3整除也能被2整除.
(4) 若一条直线是弦的垂直平分线, 则它经过圆心并平分弦所对的弧.
点拨:将命题写成“若p 若q ”形式时, 一定要注意找出命题的条件和结论, 同时要注出意叙
述条件和结论完整性.
（2）能掌握判断充要条件的三种基本方法，并能根据具体问题选择使用.
问题3: 下列四个命题中真命题有哪几个?
①“若xy =1，则x 、y 互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③
“若m ≤1，则方程x 2－2x +m =0有实根”的逆否命题 ④“若A ∩B =B ，则A ?B ”的逆否
命题
解析: ①的逆命题为“若x 、y 互为倒数, 则xy =1”, 是真命题;
②的否命题为“面积不相等的三角形不全等”, 是真命题;
③“若m ≤1, 则x 2-2x +m =0有实根”为真命题, 因此其逆否命题也为真命题;
④“若A ∩B =B , 则A ?B ”为假命题, 则其逆否命题也为假命题.
∴真命题有①②③
点拨: 在判断原命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真假时，可以借助原命题与逆否命题
同真或同假，逆命题与否命题同真或同假.
问题4．你能判断下列命题的真假吗?
（1）已知,,,,a b c d R ∈若,,.a c b d a b c d ≠≠+≠+或则
（2）若21,20m x x m >-+=则方程无实数根。
解：⑴ 因为“已知,,,,a b c d R ∈若,,.a c b d a b c d ≠≠+≠+或则”的逆否命题是：
“已知,,,,a b c d R ∈若,,.a b c d a c b d +=+==则且”
我们不难举反例说明其逆否命题不正确，从而原命题是假命题。
(2) 因为“若21,20m x x m >-+=则方程无实数根”的逆否命题是：
“若方程220x x m -+=有实数根，1m ≤则”
当方程220x x m -+=有实数根时，440,
1m m ?=-≥≤成立。故其逆否命题正
确，从而原命题是真命题；
点拨:利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否
命题的真假（尤其是对否定式语句的命题）——充分利用等价转化的思想方法。
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点一：命题及其相互关系
题型1. 判断命题及真假
[例1] 陈述句“在2016年，法国巴黎将举办第31届夏季奥林匹克运动会”是命题吗？
[解题思路]：判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”
解析：是命题，在2016年，法国巴黎将举办第31届夏季奥林匹克运动会，是真是假，虽然目
前还无法确定，但是随着时间推移，总能确定它的真假，所以我们把这类猜想仍算为命
题.
[例2] 广东省深圳外国语学校2009届高三上学期第二次统测）
下列四个命题中，真命题的个数为（ ）A
（1）若两平面有三个公共点，则这两个平面重合；
（2）两条直线可以确定一个平面； （3）若l M l M M ∈=∈∈则，,,βαβα ；
（4）空间中，相交与同一点的三条直线在同一平面内。
A.1
B.2
C.3
D.4
[解题思路]：根据命题本身涉及的知识去判断真假，判断一个命题为真，一般要进行严格的逻
辑推理，但判断一个命题为假，只要举出一个反例即可.
解析：（1）是假命题，两平面也可能相交；（2）是假命题，若两直线是异面直线，不可能
确定一个平面；（4）是假命题，两相交直线确定一个平面，第三条直线过该交点，可与该
平面相交。
【名师指引】判断一个语句是否是命题, 关键在于能否判断其真假.
【新题导练】
1．下列命题中是假命题的是（ ）
（A ）矩形的对角线相等
（B ）若a 是奇数，则2a 是奇数 （C ）1)1(2-=-
（D ）若3=x ，则0)3)(1(=-+x x 答案: C
2．（广东省华南师范附属中学2009届高三综合测试）
以下命题：
① 二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；
② 过圆上的点00(,)x y 与圆222x y r +=相切的直线方程是200x x y y r +=；
③ 平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；
④ 抛物线上任意一点M 到焦点的距离都等于点M 到其准线的距离。
其中正确命题的标号是 。
答案；②④
题型2。写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题
[例3] 写出下述命题逆命题、否命题、逆否命题.
（1）若22
0x y +=，则,x y 全为0 .
（2）若a b +是偶数，则,a b 都是偶数.
（3）若37x x ==或，则(3)(7)0x x --=
[解题思路]：“都”的否定词是“不都”，而不是“都不”，同理“全”的否定词是“不全”，而不是“全不”. 另外，原命题中的“或”，在否命题中要改为“且”. 要认真体会它
们的区别.
解析: 因为原命题是“若p 若q ”的形式, 根据其他三种命题的构造方法, 分别写出逆命题、
否命题、逆否命题.
解答：（1）逆命题：若,x y 全为0，则22
0x y +=.
否命题：若220x y +≠，则,x y 不全为0 .
逆否命题：若,x y 不全为0，则220x y +≠.
（2）逆命题：若,a b 都是偶数，则a b +是偶数.
否命题：若a b +不是偶数，则,a b 不都是偶数.
逆否命题：若,a b 不都是偶数，则a b +不是偶数.
（3）逆命题：若(3)(7)0x x --=，则37x x ==或.
否命题：若37x x ≠≠且，则(3)(7)0x x --≠
逆否命题：若(3)(7)0x x --≠，则37x x ≠≠且.
【名师指引】认清命题的条件p 和结论q ，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判
断真假
【新题导练】
3. （广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考（数学理））
命题“若m ＞0，则12m m
+
≥”的逆命题是 答案： 逆命题是“若0,21>≥+m m m 则” 4．（2009年广东省广州市高三年级调研测试）命题“,11a b a b >->-若则”的否命题．．．
是 （ ） A.,11a b a b >-≤-若则 B.,11a b a b >-<-若则
C.,11a b a b ≤-≤-若则
D.,11a b a b <-<-若则
答案： C
题型3。四种命题间的关系与反证法
[例4]若a 、b 、c ∈R ，写出命题“若ac ＜0，则ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根”的逆命题、
否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假
[解题思路]：认清命题的条件p 和结论q ，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判
断真假
解析：逆命题：若ax 2+bx +c =0（a 、b 、c ∈R ）有两个不相等的实数根，则ac ＜0；是假命题，
如当a =1，b =－3，c =2时，方程x 2－3x +2=0有两个不等实根x 1=1，x 2=2，但ac =2＞0
否命题：若ac ≥0，则方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c ∈R ）没有两个不相等的实数根；是假命
题. 这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题
逆否命题：若ax 2+bx +c =0（a 、b 、c ∈R ）没有两个不相等的实数根，则ac ≥0；是真命题.
因为原命题是真命题，它与原命题等价
[例5] 用反证法证明：
设三个正实数a 、b 、c 满足条件c
b a 111++=2求证：a 、b 、
c 中至少有两上不小于1. [解题思路]：用反证法证题时作出正确的反设是前提，“a , b, c 中至多有一个数不小于1”的
反设为“a , b, c 中至多有一个数不小于1”，有两种情况“a 、b 、c 三数均小于1”和“a 、
b 、
c 中有两数小于1”；而推出矛盾是关键，也是难点.
解析：证明：假设a , b, c 中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况：
（1）a 、b 、c 三数均小于1，
即0 ,11,11,11>>>c b a ∴c b a 111++>3与已知条件矛盾； （2）a 、b 、 c 中有两数小于1，
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