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任意角的三角函数知识点

任意角的三角函数知识点
任意角的三角函数知识点

2.1任意角的三角函数

课前复习:

1. 特殊角的三角函数值记忆

新课讲解:

任意点到原点的距离公式:

1.三角函数定义

在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P (除了原点)的坐标为(,)x y ,

它与原点的距离为(0)r r ==

>,那么 (1)比值y r

叫做α的正弦,记作sin α,即sin y r α=; (2)比值x r

叫做α的余弦,记作cos α,即cos x r α=; (3)比值y x

叫做α的正切,记作tan α,即tan y x α=; (4)比值x y

叫做α的余切,记作cot α,即cot x y α=; 说明:①α的始边与x 轴的非负半轴重合,α的终边没有表明α一定是正角或负角,以及α

的大小,只表明与α的终边相同的角所在的位置;

②根据相似三角形的知识,对于确定的角α,四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小; ③当()2k k Z π

απ=+∈时,α的终边在y 轴上,终边上任意一点的横坐标x 都等

于0,所以tan y x α=

无意义;同理当()k k Z απ=∈时,y x =αcot 无意义; ④除以上两种情况外,对于确定的值α,比值

y r 、x r 、y x 、x y

分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y

1=时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

有向线段:

坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。

有向线段:带有方向的线段。

2.三角函数线的定义:

设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点

P (,)x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,它与角α的终边或其反向延长线交与点T .

由四个图看出:

当角α的终边不在坐标轴上时,有向线段,OM x MP y ==,于是有 sin 1y y y MP r α====, cos 1x x x OM r α====,tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。

(Ⅳ) (Ⅲ)

说明:

(1)三条有向线段的位置:正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段;余弦线 在x 轴上;正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单位圆 内,一条在单位圆外。

(2)三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向与α的终边的交点。

(3)三条有向线段的正负:三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值,与x 轴或y 轴反向的为负值。

(4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。

题型一:求解三角函数值

一般角:利用三角函数的定义

特殊角:先化为0至360度之间的角

)

Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()

Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ

例1.求下列各角的四个三角函数值:

(1)0; (2)π; (3)

32

π.

例2.已知角α的终边经过点(2,3)P -,求α的四个函数值。

变式训练1:已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠,求α的四个三角函数值。

变式训练2:角α的终边上有一点P (a ,a ),a ∈R ,a ≠0,则sin α的值是( ) A.

22 B.-22 C. 22或-22 D.1

例3.求下列三角函数的值:

(1)9cos

4π (2)11tan()6

π-,

变式训练1: .____________tan600o 的值是 D 3.D 3.C 3

3.B 33.A --

题型二:判断三角函数值在不同象限内的正负性

例4.确定下列三角函数值的符号:

(1)cos 250; (2)sin()4π

-; (3)tan(672)-; (4)11tan 3

π. 变式训练1: .________,0cos sin 在则若θθθ> B

第二、四象限 第一、四象限第一、三象限

第一、二象限.D .C .B .A

变式训练2: ____0sin20cos 的终边在则若 θθ<>θ,且 C

第二象限 第四象限 第三象限 第一象限.D .C .B .A 变式训练3: 若θ是第二象限角,则( ) A.sin 2θ>0 B.cos 2θ<0 C.tan 2θ>0 D.cot 2

θ<0 变式训练4: 若角α、β的终边关于y 轴对称,则下列等式成立的是( )

A.sin α=sin β

B.cos α=cos β

C.tan α=tan β

D.cot α=cot β

变式训练5: sin2·cos3·tan4的值( )

A.小于0

B.大于0

C.等于0

D.不存在 例5.求函数x x

x x y tan tan

cos cos +=的值域

变式训练1: 若x x sin |

sin |+|cos |cos x x +x x tan |

tan |=-1,则角x 一定不是( )

A.第四象限角

B.第三象限角

C.第二象限角

D.第一象限角

例6.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

(1)3π

; (2)56π; (3)23π-; (4)136π

-.

课上练习:

1.有下列命题:

①终边相同的角的三角函数值相同;

②同名三角函数的值相同的角也相同;

③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相同;

④不相等的角,同名三角函数值也不相同.

其中正确的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

2.若角α的终边经过P (-3,b ),且cos α=-5

3,则b =_________,sin α=_________. 3.在(0,2π)内满足x 2cos =-cos x 的x 的取值范围是_________.

4.已知角α的终边在直线y =-3x 上,则10sin α+3cos α=_________.

5.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在第_________象限.

6.计算

=-65sin π ,=413cos π ,=43sin π ,=-3

2sin π , 7.解答题: (1)若点(6,)P t 是角α终边上的一点,且满足0t >,3cos 5α=

,求sin α,tan α的值

(2)已知角α的终边上有一点(3,4)(0)P t t t -≠,求sin α,cos α,tan α的值;

任意角的三角函数及基本公式

第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 (第课时) 任意角的三角函数? ? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ?? ??????? ±±--?±?+????? ????? ??的函数关系与以及的函数关系 与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式 商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义 弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k 重点:1.任意角三角函数的定义;2.同角三角函数关系式;3.诱导公式。 难点:1.正确选用三角函数关系式和诱导公式;2.公式的理解和应用。 2.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义;3.掌握同角三角函数的基本关系式;4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。 ⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的,射线旋转开始的位置叫做角的始边,旋转终止的位置叫做角的终边,射线的端点叫做角的顶点。 ⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。 2.弧度制 ⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。 注意:1sin 表示1弧度角的正弦,2sin 表示2弧度角的正弦,它们与?1sin 、?2sin 不是

一回事。 ⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零。 ⑶ 设一个角的弧度数为α,则 r l = α (l 为这角所对的弧长,r 为半径)。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的,这个对应是利用角的弧度制建立的。 ⑸ 1π=?弧度,1弧度?=)180 ( 。 设扇形的弧长为l ,扇形面积为S ,圆心角大小为α弧度,半径为r , 则 αr l = ,α22 1 21r lr S == 。 3.角的集合表示 ⑴ 终边相同的角 设β表示所有终边与角α终边相同的角(始边也相同),则 αβ+??=360k (也可记为 απβ+=k 2 Z k ∈) 。 ⑵ 区域角 介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<

任意角的三角函数-讲义

1.2任意角的三角函数 (一)、任意角的三角函数 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y , 那么: (1)y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin y α=; (2)x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos x α=; (3)y x 叫做α的正切,记作tan α,即tan y x α=; 可以看出:当()2k k Z π απ=+∈时,α的终边在y 轴上,这时点P 的横坐标0x =,所以 tan y x α=无意义,除此之外,对于确定的角α,以上三个值都是唯一确定的。 正弦,余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数,我们将它们统称为三角函数。 注:取角α的终边上任意一点(,)P a b (原点除外) ,则对应的角α的正弦值 sin α=,余弦值cos α=tan b a α=。注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理。 例1、有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若sin α>0,,则α是第一、二象限的角; ④若α是第二象限的角,且(,)P x y 是其终边上一点,则 cos α=(其中正确的命 题的个数是) . A、1 B 、2 C 、3 D 、4 例2、若sin 0θ<且tan 0θ>,则θ是第__________象限角。 例3、若sin cos 0θθ>,则θ在() A 、第一或第二象限 B 、第一或第三象限 C 、第一或第四象限 D、第二或 四象限 例4、已知sin sin ,cos cos ,sin cos 0θθθθθθ=-=-?≠且,判断点(tan ,sin )P θθ在 第几象限。 例5、已知角α的终边过点(3,4)(0)P a a a -≠,求2sin cos αα+的值 例6、有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若sin 0α>,则α是第一、二象限角;

任意角的三角函数知识点复习

任意角的三角函数 任意点到原点的距离公式:d = x 2+y 2 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P (除了原点)的坐 标为(,)x y ,它与原点的距离为(0)r r ==>,那么 sin y r α= ;cos x r α=;tan y x α=; 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三角函数。 求解三角函数值 一般角:利用三角函数的定义 特殊角:先化为0至360度之间的角 ) Z (tan )2tan()Z (cos )2cos() Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ 例1已知角α的终边经过点(2,3)P -,求α的三角函数值。 练:已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠,求α的四个三角函数值。 例2.求下列三角函数的值: (1)9cos 4π (2)11tan()6 π - ,

练: .____________tan600o 的值是 D 3.D 3.C 3 3 .B 33.A -- 例3.确定下列三角函数值的符号: (1)cos 250 ; (2)sin()4π-; (3)tan(672)- ; (4)11tan 3 π . 练: 确定下列三角函数值的符号 (1)cos250?; (2)sin()4 π -; (3)tan(672)?-; (4)tan 3π. 例4 若θ是第二象限角,则( ) A.sin 2 θ >0 B.cos 2 θ <0 C.tan 2 θ >0 D.cot 2 θ<0 2.三角函数线的定义: 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交 与点P (,)x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,它与角α的终边或其反向延长线交与点T .

人教版数学必修四三角函数复习讲义

人教版数学必修四三角函数 复习讲义 本页仅作为文档页封面,使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March

第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广: 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 象限角的概念: 在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示: α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为:,k k Z απ=∈; α终边在y 轴上的角可表示为:,2 k k Z π απ=+∈; α终边在坐标轴上的角可表示为:,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系: 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点), 它与原点的距离是0r =>,那么sin ,cos y x r r αα==,

()tan ,0y x x α= ≠,cot x y α=(0)y ≠,sec r x α=()0x ≠,()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征:正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线 OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式: 1. 平方关系:222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系:sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系:sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意:1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形 式。 三角函数诱导公式:“ (2 k πα+)”记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限” 典型例题 例1.求下列三角函数值: (1)cos210o; (2)sin 4 5π 例2.求下列各式的值: (1)sin(-3 4π ); (2)cos(-60o)-sin(-210o) 例3.化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα 例4.已知cos(π+α)=-2 1,2 3π<α<2π,则sin(2π-α)的值是( ).

任意角的三角函数知识点(随堂教学)

2.1任意角的三角函数 课前复习: 1. 特殊角的三角函数值记忆 新课讲解: 任意点到原点的距离公式: 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P (除了原点)的坐标为(,)x y ,它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+= +>,那么 (1)比值y r 叫做α的正弦,记作sin α,即sin y r α=; (2)比值x r 叫做α的余弦,记作cos α,即cos x r α=; (3)比值y x 叫做α的正切,记作tan α,即tan y x α=; (4)比值x y 叫做α的余切,记作cot α,即cot x y α=; 说明:①α的始边与x 轴的非负半轴重合,α的终边没有表明α一定是正角或负角,以及α 的大小,只表明与α的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角α,四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小; ③当()2k k Z π απ=+∈时,α的终边在y 轴上,终边上任意一点的横坐标x 都等 于0,所以tan y x α= 无意义;同理当()k k Z απ=∈时,y x =αcot 无意义; ④除以上两种情况外,对于确定的值α,比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y 221x y +=时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 有向线段:带有方向的线段。 2.三角函数线的定义: 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P (,)x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,它与角 α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出: 当角α的终边不在坐标轴上时,有向线段,OM x MP y ==,于是有 sin 1y y y MP r α====, cos 1x x x OM r α====,tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 o x y M T P A o x y M T P A x y o M T P A x y o M T P A (Ⅳ) (Ⅰ) (Ⅲ)

任意角的三角函数练习题及答案详解

任意角的三角函数 一、选择题 1.以下四个命题中,正确的是( ) A .在定义域内,只有终边相同的角的三角函数值才相等 B .{α|α=k π+6 π,k ∈Z }≠{β|β=-k π+6 π ,k ∈Z } C .若α是第二象限的角,则sin2α<0 D .第四象限的角可表示为{α|2k π+2 3π<α<2k π,k ∈Z } 2.若角α的终边过点(-3,-2),则( ) A .sin α tan α>0 B .cos α tan α>0 C .sin α cos α>0 D .sin α cot α>0 3.角α的终边上有一点P (a ,a ),a ∈R ,且a ≠0,则sin α的值是( ) A . 2 2 B .- 2 2 C .± 2 2 D .1 4.α是第二象限角,其终边上一点P (x ,5),且cos α=42 x ,则sin α的值为 ( ) A .410 B .46 C .42 D .-410 5.使lg (cos θ·tan θ)有意义的角θ是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第一或第二象限角 D .第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角,且|cos 2α|=-cos 2α,则角2α 是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角 7.点P 是角α终边上的一点,且 ,则b 的值是( ) A 3 B -3 C ±3 D 5 8.在△ABC 中,若最大的一个角的正弦值是 ,则△ABC 是( ) A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形 9.若α是第四象限角,则 是( ) A 第二象限角 B 第三象限角 C 第一或第三象限角 D 第二或第四象限角 10.已知sin α=4 5 ,且α为第二象限角,那么tan α的值等于 ( )

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课,它是本章的基础,主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程,从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中:三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数,学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数,其研究范围是锐角;其研究方法是几何的,没有坐标系的参与;其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的,因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验,发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值;能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析: 重点:理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。 难点:引导学生将任意角的三角函数的定义同化,帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略: 教学中注意用新课程理念处理教材,采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备: 为了加强学生对三角函数定义的理解,帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍,本节课准备在计算机的支持下,利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系,构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境,使学生能够更好地数形结合地进行思维. 七、教学过程 (一)教学情景 1.复习锐角三角函数的定义 问题1:在初中,我们已经学过锐角三角函数.如图1(课件中)在直角△POM中,∠M是直角,那么根据锐角三角函数的定义,∠O的正弦、余弦和正切分别是什么?

任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义

任意角和弧度制及任意角的三角函数讲义 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. (2)分类:按旋转方向分为、和零角;按终边位置分为和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S=. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于的弧所对的圆心角叫作1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式: 角α的弧度数的绝对值|α|=l r(弧长用l表示) 角度与弧度的换算①1°=π180rad,②1rad=180π° 弧长公式弧长l= 扇形面积公式S=12lr=12|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=,cos α=,tanα=y x(x≠0). (2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图3-16-1中的有向线段OM,MP,AT分别称为角α 的、和. 图3-16-1 常用结论 象限角与轴线角 (1)象限角

(2)轴线角 题组一常识题 1.[教材改编]终边在射线y=-3x(x<0)上的角的集合是. 2.[教材改编](1)67°30'=rad; (2)π12=°. 3.[教材改编]半径为120mm的圆上长为144mm的弧所对圆心角α的弧度数是. 4.[教材改编]若角α的终边经过点P(-1,2),则sinα-cosα+tanα=. 题组二常错题 ◆索引:对角的范围把握不准;由值求角时没有注意角的范围;求三角函数值时没有考虑角的终边所在的象限;求弧长或者扇形面积把角化为弧度数时出错. 5.在△ABC中,若sin A=. 6.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,则在[0,2π]内α的取值范围 是. 7.已知角α的终边落在直线y=-3x上,则|sinα|sinα-|cosα|cosα=. 8.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为cm2. 课堂考点探究 探究点一角的集合表示及象限角的判定 1(1)设集合M=x x=k2·180°+45°,k∈Z,N=x x=k4·180°+45°,k∈Z,那么() A.M=N B.M?N C.N?M D.M∩N=? (2)已知角α的终边在图3-16-2中阴影部分表示的范围内(不包括边界),则所有角α构成的集合是. 图3-16-2 [总结反思]把角表示成2kπ+α(k∈Z,0≤α<2π)的形式,即可判断其所在的象限. 式题(1)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.

2021高考数学一轮复习考点规范练:18任意角、弧度制及任意角的三角函数(含解析)

2021高考数学一轮复习考点规范练:18任意角、弧度制及任意角 的三角函数(含解析) 基础巩固 1.若sin α<0,且tan α>0,则α是() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案:C 解析:∵sinα<0,∴α的终边落在第三、第四象限或y轴的负半轴. 又tanα>0,∴α在第一象限或第三象限.综上可知,α在第三象限. 2.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是() ABC.-D.- 答案:A 解析:将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故选项C,D不正确. ∵拨慢10分钟,∴转过的角度应为圆周的,即为2π= 3.(2019河北石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°,cos 150°),则α=() A.150° B.135° C.300° D.60° 答案:C 解析:由sin150°=,cos150°=-,可知角α终边上一点的坐标为,故α为第四象限角.由三角函数的定义得sinα=-,因为0°≤α<360°,所以α=300°. 4.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为() AB.sin 0.5C.2sin 0.5D.tan 0.5 答案:A 解析:连接圆心与弦的中点,则由弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形,弦长的一半为1,其所对的圆心角为0.5,故半径为,这个圆心角所对的弧长为故选A.

5.(2019安徽示范高中高三测试)已知角θ的顶点在坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边经过点P(4,y),且sin θ=-,则tan θ=() A.-BC.-D 答案:C 解析:由题意可知,r=,sinθ==-,解得y=-3,所以P(4,-3),所以tanθ=- 6.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是() A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3] 答案:A 解析:由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所以有解得-20,n>0),则直线OB的倾斜角为+α. 因为A(4,1),所以tanα=,tan,即m2=n2, 因为m2+n2=(4)2+12=49, 所以n2+n2=49,所以n=或n=-(舍去),所以点B的纵坐标为 9.若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=,则tan α=. 答案:- 解析:由三角函数定义,知cosα=,且y<0, 可解得y=-4.故tanα==-

任意角的三角函数复习

任意角的三角函数复习 一 选择题 1.-1120°角所在象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2.半径为πcm ,中心角为120°的弧长为( ) A .3 π cm B .23πcm C .23πcm D .223π cm 3.已知4sin 5α= ,并且α是第二象限的角,那么tan α的值等于( ) A.43- B.34 - C.43 D.34 4.已知αβπ+=-,下列等式中正确的是( ) A .cos sin αβ=- B .cos cos αβ= C .sin sin αβ=- D .sin sin αβ= 5.已知5sin cos 4 αα-=-,则sin cos αα等于( ) A .4 B .916- C .932- D .932 6.下列不等式中,不成立的是( ) A .sin130sin140> B .cos130cos140> C .tan130tan140> D .cos130sin140> 7.函数x x x x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域是( ) A .{}3,1,0,1- B .{}3,0,1- C .{}3,1- D .{}1,1- 8.α是第二象限角,其终边上有一点(P x ,且cos 4 x α=,则sin α的值为( ) A B C .4 D . 9cos(2)π- ) A .sin 2cos2+ B .cos2sin 2- C .sin 2cos2- D .(cos 2sin 2)±- 10.下列三角函数○14sin()3n ππ+○2cos(2)6n ππ+○3sin(2)3n ππ+○4cos[(21)]6n ππ+-○5sin[(21)]()3n n Z ππ+-∈,其中函数值与sin 3π 相同的是( )

巩固练习_任意角的三角函数_基础

【巩固练习】 1.角θ的终边经过点12? ? ? ??? ,那么tan θ的值为( ) A .12 B .- C . D .2.若角0420的终边上有一点()a ,4-,则a 的值是( ) A .34 B .34- C .34± D .3 3.下列三角函数值结果为正的是( ) A .cos100° B .sin700° C .2tan 3π??- ??? D .9sin 4π??- ??? 4.化简0sin 390的值是( ) A . 12B .12-C .5.若42π π θ<<,则下列不等式成立的是( ) A .sin θ>cos θ>tan θ B .cos θ>tan θ>sin θ C .sin θ>tan θ>cos θ D .tan θ>sin θ>cos θ 6.设α角属于第二象限,且2cos 2cos α α -=,则2 α角属于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.若θ为锐角且2cos cos 1-=--θθ,则θθ1cos cos -+的值为( ) A .22 B .6 C .6 D .4 8.若cos θ>0,且sin2θ<0,则角θ的终边所在象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 9.5sin90°+2cos0°―3sin270°+10cos180°=________。 10.若α为第二象限角,则|sin |cos sin |cos | αααα-=________。 11.已知角α的终边经过点(230,2cos30)P sin -o o ,则cos α=。 12.已知角α的终边在直线2y x =上,则sin α=。

三角函数讲义

三角函数 知识点精讲: 定义1 角:一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。 ????? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为___________________________________ 第二象限角的集合为___________________________________ 第三象限角的集合为___________________________________ 第四象限角的集合为___________________________________ 终边在x 轴上的角的集合为______________________________ 终边在y 轴上的角的集合为______________________________ 终边在坐标轴上的角的集合为____________________________ 3、与角α终边相同的角的集合为{} 360,k k ββα=?+∈Z 二、弧度制 定义2 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度 弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。 360度=2π弧度。 若圆心角的弧长为L ,则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+,21122S lr r α==. 三、任意角的三角函数 定义3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x 轴的

三角函数最全知识点总结

三角函数、解三角形 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角. ①正角:按__逆时针__方向旋转形成的角. ②负角:按__顺时针__方向旋转形成的角. ③零角:如果一条射线__没有作任何旋转__,我们称它形成了一个零角. (2)终边相同角:与α终边相同的角可表示为:{β|β=α+2kπ,k∈Z},或{β|β=α+k·360°,k∈Z}. (3)象限角:角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角,终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角 轴线角 2.弧度制 (1)1度的角:__把圆周分成360份,每一份所对的圆心角叫1°的角__. (2)1弧度的角:__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__. (3)角度与弧度的换算: 360°=__2π__rad,1°=__π 180__rad,1rad=(__180 π__)≈57°18′. (4)若扇形的半径为r,圆心角的弧度数为α,则此扇形的弧长l=__|α|·r__, 面积S=__1 2|α|r 2__=__1 2lr__.

3.任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角,α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x,y),它与 原点的距离为r,则sinα=__y r__,cosα=__ x r__,tanα=__ y x__. (2)三角函数在各象限的符号是: (3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线. 4.终边相同的角的三角函数 sin(α+k·2π)=__sinα__, cos(α+k·2π)=__cosα__, tan(α+k·2π)=__tanα__(其中k∈Z), 即终边相同的角的同一三角函数的值相等.

任意角三角函数练习题

1-2-1任意角的三角函数 1.以下四个命题中,正确的是( ) A .在定义域内,只有终边相同的角的三角函数值才相等 B .{|=k +6 π,k ∈Z }≠{|=-k +6 π,k ∈Z } C .若是第二象限的角,则sin2<0 D .第四象限的角可表示为{|2k +2 3 <<2k ,k ∈Z } 2.若角的终边过点(-3,-2),则( ) A .sin tan >0 B .cos tan >0 C .sin cos >0 D .sin cot >0 3.角的终边上有一点P (a ,a ),a ∈R ,且a ≠0,则sin 的值是( ) A . 2 2 B .- 2 2 C .± 2 2 D .1 4.α是第二象限角,其终边上一点(),5P x ,且2 cos 4 x α= ,则sin α的值为( ) A . B . C . D .- 5.使lg (cos θ·tan θ)有意义的角θ是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第一或第二象限角 D .第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角,且cos cos 2 2 α α =- ,则角2 α 是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角 7.若α是第四象限角,则 2 α 是( ) A.第二象限角 B.第三象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 8.若α 为第二象限角,则下列各式恒小于0的是( ) A.sin cos αα+ B.tan sin αα+ C cos tan αα- D sin tan αα- 9.已知角的终边落在直线y =3x 上,则sin =________.

任意角的三角函数和弧度制 基础练习(含解析)

任意角的三角函数和弧度制 基础练习 一、选择题 1.下列选项中与-80°终边相同的角为( ) A. 100° B. 260° C. 280° D. 380° 2.在平面直角坐标系中,角 3πα+ 的终边经过点P (1,2),则sin α=( ) 3.若5sin 13α=- ,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A. 125 B. 512- C. 512 D. 125 - 4.小明出国旅游,当地时间比中国时间晚一个小时,他需要将表的时针旋转,则转过的角的弧度数是 ( ) A. π3 B. π6 C. -π3 D. -π6 5.已知角α的终边经过点(sin 48,cos48)P ??,则 sin(12)α?-=( ) A. 12 C. 12- D. 6.若12cos 13x = ,且x 为第四象限的角,则tanx 的值等于 A 、125 B 、-125 C 、512 D 、-512 7.若函数 ()cos 2()6f x x xf π=+',则()3f π-与()3f π的大小关系是( ) A. ()()33f f π π-= B. )3()3(ππf f <- C. )3()3(π πf f >- D. 不确定 8.若θ是第四象限角,则下列结论正确的是( ) A .sin 0>θ B .cos 0<θ C .tan 0>θ D .sin tan 0>θθ 9.一扇形的中心角为2,对应的弧长为4,则此扇形的面积为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 10.已知tan 2α ,其中α为三角形内角,则cos α=() A. 5 - D.

二、填空题 11.若扇形的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,则扇形圆心角的弧度数为______. 12.已知角2α的终边落在x 轴下方,那么α是第 象限角. 13.在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1 3,则 sin β=_________. 14.已知一扇形所在圆的半径为10cm ,扇形的周长是45cm ,那么这个扇形的圆心角为 弧度. 15.弧长为3π,圆心角为135°的扇形,其面积为____. 三、解答题 16.已知角α的终边经过点P (54,5 3-). (1)求 sin α的值. (2) 17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O 为圆心的两个 同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的 半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米,圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为 9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ,求y 关于x 的函数关系式,并求出x 为何值时,y 取得最 大值?

人教版数学必修四三角函数复习讲义

第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广: 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 象限角的概念: 在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示: α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为:,k k Z απ=∈; α终边在y 轴上的角可表示为:,2 k k Z π απ=+∈; α终边在坐标轴上的角可表示为:,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系: 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),

它与原点的距离是0r =>,那么sin ,cos y x r r αα==, ()tan ,0y x x α= ≠,cot x y α=(0)y ≠,sec r x α=()0x ≠,()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征:正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式: 1. 平方关系:222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系:sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系:sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意:1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式:“ (2 k πα+)”记忆口诀: “奇变偶不变,符号看象限” 典型例题 例1.求下列三角函数值: (1)cos210o; (2)sin 4 5π 例2.求下列各式的值: (1)sin(-3 4π ); (2)cos(-60o)-sin(-210o) 例3.化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα

任意角、弧度制、任意角的三角函数题型归纳

第四章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 ? 基础知识 1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类? ???? 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+2k π,k ∈Z }. 终边相同的角不一定相等,但相等的角其终边一定相同. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad. (2)公式: 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π=180°,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. 3.任意角的三角函数 (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么sin α=y ,cos α=x ,tan α=y x (x ≠0). (2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.

二、常用结论汇总——规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.(2)三角函数定义的推广 设点P(x,y)是角α终边上任意一点且不与原点重合,r=|OP|,则sin α=y r,cos α= x r,tan α= y x(x≠0). (3)象限角 (4)轴线角

任意角的三角函数练习题及标准答案详解

任意角的三角函数练习题及答案详解

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任意角的三角函数 一、选择题 1.以下四个命题中,正确的是( ) A .在定义域内,只有终边相同的角的三角函数值才相等 B .{α|α=k π+ 6π,k ∈Z }≠{β|β=-k π+6 π ,k ∈Z } C .若α是第二象限的角,则sin2α<0 D .第四象限的角可表示为{α|2k π+ 2 3 π<α<2k π,k ∈Z } 2.若角α的终边过点(-3,-2),则( ) A .sin α tan α>0 B .cos α tan α>0 C .sin α cos α>0 D .sin α cot α>0 3.角α的终边上有一点P (a ,a ),a ∈R ,且a ≠0,则sin α的值是( ) A . 2 2 B .- 2 2 C .± 2 2 D .1 4.α是第二象限角,其终边上一点P (x ,5),且cos α=42 x ,则sin α的值为( ) A .410 B .46 C .42 D .-410 5.使lg (cos θ·tan θ)有意义的角θ是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第一或第二象限角 D .第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角,且|cos 2α|=-cos 2α,则角2α 是( ) A .第一象限角 B .第二象限角 C .第三象限角 D .第四象限角 7. 已知集合E={θ|cos θ<sin θ,0≤θ≤2π},F={θ|tan θ<sin θ},那么E ∩F 是区间( )

任意角的三角函数教案(第一课时)

任意角的三角函数教案(第一课时) 一.教材分析 三角函数是函数的一个基本组成部分,也是一个重要组成部分,在整个高中以至于大学都会经常用到三角函数的知识。初中已经学习过锐角的三角函数,教材第一节学习了任意角的表示方法,这些是学习任意角三角函数的基础。本节课的主要内容是:弦、余弦、正切的定义;正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号 二.教学目标 1、理解任意角的三角函数的定义; 2、会求任意角的三角函数值; 3、体会类比,数形结合的思想。 三.重点,难点 教学重点:理解任意角的三角函数的定义。 教学难点:从函数的角度理解三角函数。 四,教学过程 (一) 新课引入 (二) 练习:sin30= cos30= tan30= 那么300度,30000度呢? 我们已经学习了锐角三角函数,知道它是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限。在α的终边上任取一点P (a,b ),它与原点的距离r =22b a +>0,表示三角函数;

sin α=r b , cos α=r a , tan α=a b .取P ,使r=1,则sin α=b cos α=a tan α=a b ,引入单位圆的概念。 (三) 概念介绍 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x,y ),那么, (1) y 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ; (2) x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x ; (3) x y 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=x y 。 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数。 (四) 例题讲解 例一 求3 5π的正弦,余弦和正切值。 小结:让学生熟悉三角函数的概念,用单位圆表示三角函数。 例二 已知角α的终边经过p (-3,-4),求角α的正弦,余弦,正切值。 小结:通过这道题的求解,让学生知道质押知道终边上一个点的左边就可以求出三角函数值,于是用角的终边上任意点坐标的比值来定义三角函数和用单位圆是等价的。引导学生思考这种“等价性”的原因,并让他们自己给出新的定义: 角α的终边上一点P (a,b ),它与原点的距离r =22b a +>0,则 (1) r b 叫做三角形的正弦,即sin α=r b ; (2) r a 叫做三角形的余弦,即cos α=r a ; (3) a b 叫做三角形的正切,即tan α=.a b

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