第十四章 极限与导数
一、 基础知识
1.极限定义:(1)若数列{u n }满足,对任意给定的正数ε,总存在正数m ,当n>m 且n ∈N 时,恒有|u n -A|<ε成立(A 为常数),则称A
为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限,记为)(lim ),(lim
x f x f x x -∞
→+∞→,另外)(lim 0
x f x x +
→=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ,称右极限。类
似地)(lim 0
x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。
2.极限的四则运算:如果0
lim x x →f(x)=a, 0
lim x x →g(x)=b ,那么0
lim x x →[f(x)±
g(x)]=a ±b, 0
lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0
lim
x x →).0()()(≠=b b
a
x g x f 3.连续:如果函数f(x)在x=x 0处有定义,且0
lim x x →f(x)存在,并且
lim x x →f(x)=f(x 0),则称f(x)在x=x 0处连续。
4.最大值最小值定理:如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5.导数:若函数f(x)在x0附近有定义,当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时(Δx 充分小),因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+
Δx)-f(x 0)).若x
y
x ??→?
lim 存在,则称f(x)在x 0处可导,此极限值称为f(x)在点x 0处的导数(或变化率),记作'f (x 0)或0'x x y =或
x dx
dy
,即
00)
()(lim
)('0
x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导
的必要条件。若f(x)在区间I 上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是:f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。
6.几个常用函数的导数:(1))'(c =0(c 为常数);(2)1)'(-=a a ax x (a 为
任
意
常
数
)
;
(
3
)
;cos )'(sin x x =(4)x x sin )'(cos -=;(5)a a a x x ln )'(=;(6)x x e e =)'(;(7)
)'(log x a x x a log 1=
;(8).1
)'(ln x
x = 7.导数的运算法则:若u(x),v(x)在x 处可导,且u(x)≠0,则 (1))(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±;(2))(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=;(3)
)(')]'([x u c x cu ?=(c
为常数);(4))
()
(']')(1[
2
x u x u x u -=;(5))
()
()(')(')(]')()([
2x u x v x u x v x u x u x u -=
。 8.复合函数求导法:设函数y=f(u),u=?(x),已知?(x)在x 处可导,f(u)在对应的点u(u=?(x))处可导,则复合函数y=f[?(x)]在点x 处可导,且(f[?(x)])'=)(')](['x x f ??.
9.导数与函数的性质:(1)若f(x)在区间I 上可导,则f(x)在I 上连续;(2)若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ,则f(x)在(a,b)单调递增;(3)若对一切x ∈(a,b)有0)(' 11.极值的第一充分条件:设f(x)在x0处连续,在x 0邻域(x 0-δ,x 0+δ)内可导,(1)若当x ∈(x-δ,x 0)时0)('≤x f ,当x ∈(x 0,x 0+δ)时 0)('≥x f ,则f(x)在x 0处取得极小值;(2)若当x ∈(x 0-δ,x 0)时0)('≥x f ,当x ∈(x 0,x 0+δ)时0)('≤x f ,则f(x)在x 0处取得极大值。 12.极值的第二充分条件:设f(x)在x 0的某领域(x 0-δ,x 0+δ)内一 阶可导,在x=x 0处二阶可导,且0)('',0)('00≠=x f x f 。(1)若0)(''0>x f ,则f(x)在x 0处取得极小值;(2)若0)(''0 13.罗尔中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b),使.0)('=ξf [证明] 若当x ∈(a,b),f(x)≡f(a),则对任意x ∈(a,b),0)('=x f .若当x ∈(a,b)时,f(x)≠f(a),因为f(x)在[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有一个不等于f(a),不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m ,则c ∈(a,b),且f(c)为最大值,故0)('=c f ,综上得证。 14.Lagrange 中值定理:若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导, 则存在ξ∈(a,b),使.) ()()('a b a f b f f --= ξ [证明] 令F(x)=f(x)-)() ()(a x a b a f b f ---,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且F(a)=F(b),所以由13知存在ξ∈(a,b)使)('ξF =0,即.) ()()('a b a f b f f --= ξ 15.曲线凸性的充分条件:设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数,(1)如果对任意x ∈I,0)(''>x f ,则曲线y=f(x)在I 内是下凸的;(2)如果对任意x ∈I,0)('' 16.琴生不等式:设α1,α2,…,αn ∈R +,α1+α2+…+αn =1。(1)若f(x)是[a,b]上的凸函数,则x 1,x 2,…,x n ∈[a,b]有f(a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n )?a 1f(x 1)+a 2f(x 2)+…+a n f(x n ). 二、方法与例题 1.极限的求法。 例1 求下列极限:(1)??? ??+++∞→22221 lim n n n n n ;(2))0(1lim >+∞→a a a n n n ;(3)???? ??++++++∞→n n n n n 2221 211 1lim ;(4)).1(lim n n n n -+∞ → [解](1)??? ??+++∞→22221lim n n n n n ==+∞→22)1(lim n n n n 21 2221lim =??? ? ?+∞→n n ; (2)当a>1时,.11 1lim 1 111lim 1lim =+?? ? ??=+??? ??=+∞ →∞ →∞→n n n n n n n a a a a 当0 =+=+=+∞ →∞ →∞→n n n n n n n a a a a 当a=1时,.2 1111lim 1lim =+=+∞→∞→n n n n a a (3)因为.1 12 11 12 2 2 2 2 +< ++ +++ +< +n n n n n n n n n 而,1111lim 1 1 lim ,1111lim lim 2 2 2 =+=+=+ =+∞ →∞ →∞ →∞ →n n n n n n n n n n 所以.11211 1lim 222=???? ??++++++∞→n n n n n (4).2 111 11lim 1lim )1(lim =++ =++=-+∞ →∞ →∞ →n n n n n n n n n n 例2 求下列极限:(1)∞ →n lim (1+x)(1+x 2 )(1+2 2x )…(1+n x 2)(|x|<1); (2)?? ? ??---→x x x 1113lim 31;(3)x x x x +---→131lim 21。 [解] (1)∞ →n lim (1+x)(1+x 2)(1+2 2x )…(1+n x 2) =.1111lim 1)1()1)(1)(1(lim 1 222x x x x x x x x n n n n -=--=-+++-+∞→∞→ (2)??? ? ??--+-=???? ??----=??? ??---→→→32132131111lim 113lim 1113 lim x x x x x x x x x x x =.112lim 1)2)(1(lim 2131=+++=?? ? ??-+-→→x x x x x x x x (3)) 13)(13()13)(1(lim 131lim 21 21 x x x x x x x x x x x x ++-+--++--=+---→→ =2 ) 13)(1(lim )1(2)13)(1)(1(lim 11x x x x x x x x x x ++-+-=-++-+-→→ .22-= 2.连续性的讨论。 例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且恒满足f(x+1)=2f(x),又当x ∈[0,1)时,f(x)=x(1-x)2,试讨论f(x)在x=2处的连续性。 [解] 当x ∈[0,1)时,有f(x)=x(1-x)2,在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t ,则x=t-1,当x ∈[1,2)时,利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1),因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t ∈[1,2)时,有f(t)=2(t-1)?(2-t)2;同理,当x ∈[1,2)时,令x+1=t ,则当t ∈[2,3)时,有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而 f(x)=[)[)?????∈--∈--. 3,2,)3)(2(4; 2,1,)2)(1(22 2 x x x x x x 所以 0)3)(2(4lim )(lim ,0)2)(1(2lim )(lim 222222=--==--=+ →+ →- →- →x x x f x x x f x x x x ,所以 - →2l i m x f(x)=+ →2lim x f(x)=f(2)=0,所以f(x)在x=2处连续。 3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 [解] 因为点(2,0)不在曲线上,设切点坐标为(x 0,y 0),则0 01 x y = , 切线的斜率为201|'0 x x x - =,所以切线方程为y-y 0=)(1020 x x x --,即)(110200x x x x y --=- 。 又因为此切线过点(2,0),所以)2(11020 0x x x --=-,所以x 0=1,所以所求的切线方程为y=-(x-2),即x+y-2=0. 4.导数的计算。 例5 求下列函数的导数:(1)y=sin(3x+1);(2)x x x x y -+=352; (3)y=e cos2x ;(4))1ln(2-+=x x y ;(5)y=(1-2x)x (x>0且2 1 (2)2 22)'()35()'35('x x x x x x x x x y ?-+-?-+= 2 23521310x x x x x x x ++-??? ? ??-+= .2153 x + = (3).2sin 2)'2()2sin (2cos )'2(cos '2cos 2cos x e x x x e x e y x x ?-=?-?=?= (4)??? ? ??+-?-+= -+?-+= 1111 )'1(1 1'22 22x x x x x x x x y .1 12 -= x (5)))'21ln((]'[]')21[(')21ln()21ln(x x e e x y x x x x x -==-=-- .212)21ln()21(?? ???? ----=x x x x x 5.用导数讨论函数的单调性。 例6 设a>0,求函数f(x)=x -ln(x+a)(x ∈(0,+∞))的单调区间。 [解] )0(1 21)('>+- = x a x x x f ,因为x>0,a>0,所以 ?>0)('x f x 2 +(2a-4)x+a 2 >0;?<0)('x f x 2 +(2a-4)x+a+<0. (1)当a>1时,对所有x>0,有x 2+(2a-4)x+a 2>0,即'f (x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)当a=1时,对x ≠1,有x 2+(2a-4)x+a 2>0,即0)('>x f ,所以f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内递增,又f(x)在x=1处连续,因此f(x)在(0,+∞)内递增;(3)当0x f ,即x 2+(2a-4)x+a 2>0,解得x<2-a-a -12或x>2-a+a -12,因此,f(x)在(0,2-a-a -12)内单调递增,在(2-a+a -12,+∞)内也单调递增,而当2-a-a -12 0)(' 6.利用导数证明不等式。 例7 设)2 ,0(π ∈x ,求证:sinx+tanx>2x. [证明] 设f(x)=sinx+tanx-2x ,则)('x f =cosx+sec 2x-2,当) 2 ,0(π ∈x 时,2cos 2 cos 1cos 2cos 1cos 22>=?>+ x x x x x (因为0 ,所以)('x f =cosx+sec 2 x-2=cosx+ 02cos 12>-x .又f(x)在?? ? ??2,0π上连续,所以f(x)在?? ? ? ?2,0π上单调递增,所以当x ∈?? ? ? ?2,0π时,f(x)>f(0)=0,即 sinx+tanx>2x. 7.利用导数讨论极值。 例8 设f(x)=alnx+bx 2+x 在x 1=1和x 2=2处都取得极值,试求a 与b 的值,并指出这时f(x)在x 1与x 2处是取得极大值还是极小值。 [解] 因为f(x)在(0,+∞)上连续,可导,又f(x)在x 1=1,x 2=2处取 得极值,所以0)2(')1('==f f ,又x a x f =)('+2bx+1,所以?????=++=++,0142 , 012b a b a 解得??? ???? -=-=.61,32b a 所以x x x x x x f x x x x f 3)2)(1(13132)(',61ln 32 )(2--=+-- =+--=. 所以当x ∈(0,1)时,0)(' 9 设 x ∈[0,π ],y ∈[0,1],试求函数 f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。 [解] 首先,当x ∈[0,π],y ∈[0,1]时, f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x ???????--+--x x y y x y x y sin )1(12)1()1sin(2=(1-y)2x ???????-+---x x y y x x x y x y sin )1(sin )1()1sin( 2 2,令g(x)= x x sin , ),2()tan (cos )('2 π ≠-=x x x x x x g 当?? ? ? ?∈2,0πx 时,因为cosx>0,tanx>x ,所以0)(' 当?? ? ??∈ππ ,2 x 时,因为cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以0)(' 又因为g(x)在(0,π)上连续,所以g(x)在(0,π)上单调递减。 又因为0<(1-y)x 0s i n )1()1s i n ( >---x x x y x y , 又因为0sin ) 1(2 2>?-x x y y ,所以当x ∈(0,π),y ∈(0,1)时,f(x,y)>0. 其次,当x=0时,f(x,y)=0;当x=π时,f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π?0. 当y=1时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当y=1时,f(x,y)=sinx ?0. 综上,当且仅当x=0或y=0或x=π且y=1时,f(x,y)取最小值0。 三、基础训练题 1.n n n n n 3232lim 1 1++++∞→=_________. 2.已知211lim 2=??? ? ??--++∞→b an n n n ,则a-b=_________. 3.=+-+-+++∞→∞ →2 23143lim ) 1(2cos 1lim 232 3x x x x n n n n π _________. 4.=-++-+→2 11)1()1(lim x n x n x n x _________. 5.计算=--++-++∞→∞→)11(lim )1(2lim 22x x n x n n _________. 6.若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且)0('f 存在,则 =)0('f _________. 7.函数f(x)在(-∞,+∞)上可导,且1)2('=f ,则 =--+→h h f h f h 2) 2()2(lim _________. 8.若曲线f(x)=x 4-x 在点P 处的切线平行于直线3x-y=0,则点P 坐标为_________. 9.函数f(x)=x-2sinx 的单调递增区间是_________. 10.函数2 2 11ln )(x x x f +-=的导数为_________. 11.若曲线2 2) (1 ax x y -= 在点)41,2(M 处的切线的斜率为41,求实数a. 12.求sin290的近似值。 13.设0 ,求证:.tan tan sin sin b a b a b a << 四、高考水平练习题 1.计算1 21 n 33312421lim --∞→++++++++n n =_________. 2.计算=??? ? ??+--+∞→1212lim 223x x x x x _________. 3.函数f(x)=2x 3-6x 2+7的单调递增区间是_________.。 4.函数x x x x e e e e y --+-=的导数是_________. 5.函数f(x)在x 0邻域内可导,a,b 为实常数,若c x f =)('0,则 =??--?+→?x x b x f x a x f x ) ()(lim 000 _________. 6.函数f(x)=2 1e x (sinx+cosx),x ]2 ,0[π ∈x 的值域为_________. 7.过抛物线x 2=2py 上一点(x 0,y 0)的切线方程为_________. 8.当x>0时,比较大小:ln(x+1) _________x. 9.函数f(x)=x 5-5x 4+5x 3+1,x ∈[-1,2]的最大值为_________,最小值为_________. 10.曲线y=e -x (x ?0)在点M(t,e -t )处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S(t),则S(t)的最大值为_________. 11.若x>0,求证:(x 2-1)lnx ?(x-1)2. 12.函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导。导函数)('x f 是减函数,且)('x f >0, x 0∈(0,+∞).y=kx+m 是曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线方程,另设g(x)=kx+m ,(1)用x 0,f(x 0),)('0x f 表示m ;(2)证明:当x ∈(0,+∞)时,g(x)?f(x);(3)若关于x 的不等式x 2+1?ax+b ?32 2 3 x 在(0,+∞)上恒成立,其中a,b 为实数,求b 的取值范围及a,b 所满足的关系。 13.设各项为正的无穷数列{x n }满足lnx n +)(111 ++∈ 1(n ∈N +). 五、联赛一试水平训练题 1.设M n ={(十进制)n 位纯小数0?i n a a a a |21 只取0或1(i=1,2,…,n-1),a n =1},T n 是M n 中元素的个数,S n 是M n 中所有元素的和,则=∞→n n n T S lim _________. 2.若(1-2x )9展开式的第3项为288,则=?? ? ??+++∞ →n n x x x 11 1l i m 2 _________. 3.设f(x),g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x<0时, 0)(')()()('>+x g x f x g x f ,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为 _________. 4.曲线22 12x y -=与24 13-=x y 的交点处的切线夹角是_________. 5.已知a ∈R +,函数f(x)=x 2e ax 的单调递增区间为_________. 6.已知2 1)(x x x f -= 在(a,3-a 2 )上有最大值,则a 的取值范围是 _________. 7.当x ∈(1,2]时,f(x)=)0(1 2>>-a a x x 恒成立,则y=lg(a 2 -a+3)的最小值为_________. 8.已知f(x)=ln(e x +a)(a>0),若对任意x ∈[ln(3a),ln(4a)],不等式|m-f -1(x)|+ln[)('x f ]<0恒成立,则实数m 取值范围是_________. 9.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函数f(x)的最大值;(2)设0 ?