高一数学必修一函数知识点总结
/ 7 二、函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意： 1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示． 5．映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）” 对于映射f：A→B来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
/ 7 (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况． (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：复合函数 如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设
函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 例题： 1.求下列函数的定义域： ⑴221533xxyx ⑵211()1xyx 2.设函数fx()的定义域为[]01，，则函数fx()2的定义域为_ _ 3.若函数(1)fx的定义域为[]23，，则函数(21)fx的定义域是 4.函数22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx ，若()3fx，则x= 5.求下列函数的值域： ⑴223yxx ()xR ⑵223yxx [1,2]x (3)12yxx (4)245yxx 6.已知函数2(1)4fxxx，求函数()fx，(21)fx的解析式 7.已知函数()fx满足2()()34fxfxx，则()fx= 。
/ 7 8.设()fx是R上的奇函数，且当[0,)x时,3()(1)fxxx,则当(,0)x时()fx= ()fx在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： ⑴ 223yxx ⑵223yxx ⑶ 261yxx 10.判断函数13xy的单调性并证明你的结论． 11.设函数2211)(xxxf判断它的奇偶性并且求证：)()1(xfxf． 第三章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*． 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00n。 当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(||aaaaaann 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(*nNnmaaanmnm，)1,,,0(11*nNnmaaaanmnmnm 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）ra·srraa ),,0(Rsra； （2）rssraa)( ),,0(Rsra； （3）srraaab)( ),,0(Rsra． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 0
指数式与对数式的互化 幂值 真数 ba＝ NlogaN＝ b 底数 指数 对数 （二）对数的运算性质 如果0a，且1a，0M，0N，那么： ○1 Ma(log·)NMalog＋Nalog； ○2 NMalogMalog－Nalog； ○3 naMlognMalog )(Rn． 注意：换底公式 Nalog
/ 7 abbccalogloglog （0a，且1a；0c，且1c；0b）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）bmnbanamloglog；（2）abbalog1log． （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 对数函数对底数的限制：0(a，且)1a． 2、对数函数的性质： a>1 0
/ 7 2.计算： ①64log2log273 ;②3log422= ；2log227log553125= ; ③21343101.016])2[()87(064.075.030 = 3.函数y=log21(2x2-3x+1)的递减区间为 4.若函数)10(log)(axxfa在区间]2,[aa上的最大值是最小值的3倍，则a= 5.已知1()log(01)1axfxaax且，（1）求()fx的定义域（2）求使()0fx的x的取值范围 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy的零点。 2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。 即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点． 3、函数零点的求法： ○1 （代数法）求方程0)(xf的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： 二次函数)0(2acbxaxy． （1）△＞０，方程02cbxax有两不等实
根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程 cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．