14省考同余特性浅谈

2014省考同余特性浅谈

1.同余概念：

两个整数a 和b ，除以一个大于1的自然数m 所得余数相同，就称a 和b 对于m 同余,b 叫做a 对于m 的同余数。例21÷4余1，17÷4余1，所以17和21对于4同余。 注：1、被除数、正余数和负余数对于除数互为同余。

2、所有余数属于除数的同一剩余类。如，余-5，-2,1,4，7都属于÷3余1这个剩余类。

2.同余特性

①余数的和决定和的余数；（和的余数=余数和的同余余数）

例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1；23，24除以5的余数分别是3和4，所以23+24除以5的余数等于余数和7，正余数是2.

②余数的差决定差的余数；

例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23-16=7除以5的余数等 于2，即两个余数的差3-1；16-23除以5的负余数为-2，正余数为3.

③余数的积决定积的余数；

例：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 ④余数的幂决定幂的余数。

例：今天是星期一，求再过20122012天是周几？

分析：一个2012除以7余3，根据余数的积决定积得余数，所以20122012÷7余

数为20123，20123=10069除以7余数是10062；10062=33582?，相应余数是335122?=。所以结果为周三。

注：余数特性中的表述要注意为“决定”而不是“等于”，比如5+5=10，等式的两边同时除以3，等式左边的余数和为2+2=4，而等式右边的余数为1。

三、余数性质的应用

1、利用同余性质计算周期问题——已知某天是星期几，求过若干天（幂次方）是星期几？ 例1：老王、老李、老周三人周一同去图书馆，已知老王每15天去一次图书馆，老

李每16天去一次图书馆，老周每17天去一次图书馆，那么这三人下次相遇时

是周几？

解析：由题意会发现我们要寻找下次三人还能同时去图书馆的时间，需要我们去寻找

15、16、17三者的最小公倍数，因为三者互质，即15×16×17，然后除以

7找余数，但是这样计算会比较麻烦，所以根据余数的积决定积的余数，

可以分别寻找15除以7余1，16除以7余2，17除以7余3，所以15×16

×17的余数为1×2×3=6，所以下次三者相遇的时间为周一往后数六天，

即周日。

例2：今天周一，如果再过20092010、20102011、20112012天结果怎样？

20092010：根据余数的幂决定幂的余数，因为2010除以7余1，所以20092010 除以7的余数决定于幂的余数，即20091=1

20102011：根据余数的幂决定幂的余数，因为2011除以7余2，所以20102011

除以7的余数决定于幂的余数，即20102

=3358，因为8除以7余数为1，所以3358 除以7的余数决定于幂的余数，即3351=1。

20112012：根据余数的幂决定幂的余数，因为2012除以7余3，所以20112012

除以7的余数决定于幂的余数，即20113，因为3的平方为9，9除以7余数为2，2的三次方为8，8除以7余1，换句话说就是3的六次方除以7余1，所以我们只需要去寻找2011除以6的余数就可以了，2011除以6余1，所以20113

除以7的余数决定于1

3除以7的余数，即3。

2、利用同余性质解不定方程

例：解不定方程 5313......(,x y x y Z

+=∈ 例1：解不定方程x+3y=100，x ，y 皆为整数

A 41

B 42

C 43

D 44

解析：C ，因为3y 能够被3整除，100除以3余1，根据余数的和决定和的余数，

x 除以3必定是余1的，所以答案为C 。

例2: 解不定方程101x+102y=3537，x ，y 皆为整数

解析：因为101x 能够被101整除，3537除以101余2，根据余数的和决定和的余

数，102y 除以101必定是余2的，根据余数的积决定积的余数，102除以

101余1，所以y 除以101必定是2的，所以y 可取2、103、204。。。代入

可得，y=2.

3、剩余问题

例：一堆苹果三个三个分，还剩一个，四个四个分，还剩一个，这堆苹果至少多少个？ 分析：苹果数=12k+1

例：某个数除以3余2，除以7余2，除以11余3，求这个数的最小值。

解析：根据余同加余，同时满足除以3余2和除以7余2条件的数可表示为21n+2,这个数还应满足除以11余3，所以根据同余特性有21n除以11余1，即-10，而21除以11余-1，那么n除以11余10，n为10，则所求这个数的最小值为21×10+2=212。