外国语学校 第17章 反比例函数教材分析

第十七章 反比例函数

西城外国语学校 罗巍

2009.12.09

函数知识在中学数学中有着极为重要的地位和作用，是教学的重点，也是教学的难点. 本章内容是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，让学生进一步理解函数所蕴涵的“变化和对应”思想，体会数形结合、转化、类比、归纳等数学思想方法，感受现实世界中存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题. 反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础.

一、本章特点

1．突出反比例函数与现实世界的联系. 2．注重数学思想方法的渗透. 二、本章要求 1．知识结构框图

2．课程学习目标

⑴理解反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式x

k

y =

(k 为常数，k ≠0)，能判断一个给定函数是否为反比例函数.

⑵能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点.

⑶能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数x

k

y =

(k 为常数，k ≠0)的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题.

⑷再次经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.

⑸在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法. 3.

4. 教学重点与难点：

教学重点：反比例函数的概念、图象和性质及反比例函数的应用.

教学难点：对反比例函数及其图象性质的理解和掌握，以及反比例函数的应用.

5．课时安排

本章共安排了2小节以及2个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（仅供参考）.

17.1 反比例函数 3课时 17.2 实际问题与反比例函数 4课时 数学活动

小结 1课时 三、对教学的几点建议

1．注意做好与已学内容的衔接.

2．加强反比例函数与正比例函数的对比.

3．把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索. 4．密切反比例函数与现实世界的联系. 5．注意突破知识的难点和重点. 四、具体知识

(一)反比例函数的概念

1.x k y =

(k ≠0)可以写成1-=kx y (k ≠0)的形式，注意自变量x 的指数为-1； 2.x

k

y = (k ≠0)也可以写成xy =k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而

得到反比例函数的解析式；

3. 反比例函数x

k

y =的自变量x ≠0，故函数图象与x 轴、y 轴无交点.

4. 在解决有关自变量系数问题时应特别注意系数k ≠0这一限制条件.

[例1]

1. 下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（ C ）

A. y =3x

B. x

y 1

1+= C. 3xy =1 D. 21-=x y

2. 若y 与

x 1成反比例，x 与z

1

成正比例，则y 是z 的（ B ） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 不能确定

3. 平面直角坐标系中有六个点(15)A ，，533??-- ???B ，，(51)--C ，，

522??- ???D ，，533?? ???E ，，522??

???

F ，，其中有五个点在同一反比例函数图象上，不在这个反比例函数图象上的点是（ B ） A ．点C B ．点D C ．点E D ．点F [例2]

1. k = 0 时，函数1

22

)2(-++=k k x k y 是反比例函数.

2. 如果函数1

22

)2(-++=k k

x k y 的图象是双曲线，那么k = 0 .

注：此类问题要同时考虑两个条件，①比例系数；②自变量的指数.

(二)反比例函数的图象和性质

注：双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.

2. 反比例函数的其它性质

(1)反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.

①)0

(≠

=k

x

k

y的图象是轴对称图形，对称轴为x

y

x

y-

=

=和两条直线；

②)0

(≠

=k

x

k

y的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；

③

x

k

y

x

k

y-

=

=和(k≠0)

注：正比例函数x

k

y

1

=

当0

2

1

<

?k

k

当0

2

1

>

?k

k

(2)反比例函数x k

y =

①过双曲线x

k

y =(k 所得矩形的面积为②过双曲线x

k

y =

(k [例3]

1.如果函数32

)1(-++=k k x k y 2.如果函数3

2

)1(-++=k k x k y [例4]

1. 已知一次函数y=ax+b 象限.

2. 已知反比例函数(=

k x

k

y 图象经过（ B ）

A. 第一、二、三象限

B. 第一、二、四象限

C. 第一、三、四象限

D. 第二、三、四象限

3. 已知a·b <0，点P （a ，b ）在反比例函数x

a

y =的图象上，则直线b ax y +=不经过的象限是

（ C ）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

4. 已知函数y=k (x -1)和x k

y -= (k ≠0)，它们在同一坐标系内的图象大致是（ B ）

注：①同一道题中的相同字母代表同一个值；

②根据其中一个函数的特点，确定待定系数的符号，再根据待定系数的符号确定另一个函数图象的位置，是解此类问题的重要方法. [例5]

1. 在反比例函数()0<=k x

k

y 的图象上有两点()11,y x A ，()22,y x B ，且021>>x x ，则21y y -

的值为（ A ）

A. 正数

B. 负数

C. 非正数

D. 非负数

y

O x A y O x B y O x C

y O x

2. 在函数x a y 12--=（a 为常数）的图象上有三个点),1(1y -，),41(2y -，),2

1

(3y ，则函数

值1y 、2y 、3y 的大小关系是（ D ）

A.2y <3y <1y

B.3y <2y <1y

C.1y <2y <3y

D.3y <1y <2y

3. 在函数x

k

y =

(k >0)的图象上有三点A 1 (x 1，y 1)，A 2 (x 2，y 2)，A 3 ( x 3，y 3)，已知x 1 < x 2 < 0 < x 3，则下列各式中正确的是（ C ）

A. y 1 < y 2 < y 3

B. y 3 < y 2 < y 1

C. y 2 < y 1< y 3

D. y 3 < y 1 < y 2

4. 下列四个函数中：①x y 5=；②x y 5-=；③x y 5=

；④x

y 5

-=. y 随x 的增大而减小的函数有（ B ）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 3个

注：①反比例函数增减性问题可利用图象解决，数形结合，直观明了.

②反比例函数的增减性注意是每一支双曲线上的增减性. [例6]

1.如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数

()2

0y x x =≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角 三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，

并设其面 积分别为12345S S S S S 、、、、， 则5S 的值为 . 5

1

2. 如图，在反比例函数2

y x

=（0x >）的图象上，

有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1， 2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，

图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 123S S S ，，，则123S S S ++= 1.5 ．

3. 两个反比例函数k y x =和1

y x

=在第一象限内的图象如图所示，点P

在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1

y x

=的图象于点A ，PD ⊥y

轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在k

y x

=的图象上运动时，

以下结论：

①△ODB 与△OCA 的面积相等；

②四边形P AOB 的面积不会发生变化，其面积值总为k -1； ③P A 与PB 始终相等；

y

x O P 1

P 2

P 3 P

4 P 5

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 2

x =P 1P 2

P 3

P 4

4

3

2

1

2

1

3

S S S y=

2

x

O x y

k y x

=

1y x

=

④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．

其中一定正确的是 ①②④ （把你认为正确结论的序号都填上）． 注：在研究反比例函数中有关面积问题, 注意考虑利用k 的几何意义加以解决. [例7]

1. 如图，点P 在反比例函数1

y x =

(x > 0)的图象上，且横坐标为2. 若将

点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的点为P '.则 在第一象限内，经过点P '的反比例函数图象的解析式是（ D ）A ．)0(5>-=x x

y B .)0(5

>=x x y

C . )0(6>-=x x y

D . )0(6>=x x

y 2. 已知反比例函数x m y 2=的图象经过点()8,2--，反比例函数x

m

y =的图象在第二、四象限，

则m 的值为 -4 . 3. 如图，直线y =kx (k >0)与双曲线x

y 2=交于A 、B 两点，若A 、B 两点 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1y 2+ x 2y 1的值为（ C ） A. -8 B. 4 C. -4 D. 0 注：比例系数k 的值等于反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标之积. (三) 实际问题与反比例函数

1. 求函数解析式的方法：①待定系数法；②根据实际意义列函数解析式.

2. 注意学科间综合，但重点放在对数学知识的研究上，对跨学科问题不宜过难.

[例8]

1. 已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是（ D ）.

B ．

C ．

D ．2. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“

E ”图案，如图所

示．设小矩形的长、宽分别为x y ，，剪去部分的面积为20，若

210x ≤≤，则y 与x 的函数图象是（ A

x y O B

A

P 5 1 O x

y

2 10

A ．

5

1

O x

y 2

10

B ．

2 O x

y

2

10

C ．

10

2 O x

y 2

10

D ．

10

h a

O

h O

h a

O

h O

x y 12 12

注：以上两题是根据题意直接列出的解析式. 在实际问题中应注意自变量的取值范围. [例9]

1. 近视眼镜的度数y (度)与镜片焦距x (米)成反比例. 已知400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式是 . x

y 100

=(x >0) 2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内 的气压P (千帕)是气球的体积V (米3)的反比例函数，其图 象如图所示 (千帕是一种压强单位). ①求出这个函数的解析式；

②当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？ ③当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全 起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 答案：①)0(96>=

V V P ；②120千帕；③3

2

立方米. 3. 为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米

空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例(如图所示)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含 药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息解答下列问题： ①药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为__________ ___，

自变量x 的取值范围是____________ ___；药物燃 烧后y 关于x 的函数关系式为_________________.

②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时

学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室； ③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 答案：①x y 43=

，0≤x ≤8，x

y 48

=

；②30；③有效. 4. 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售量

y x (元) 3 4 5 6 y (个)

20

15

12

10

数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； ②设经营此贺卡的销售利润为W 元，试求出W （元）与x （元）之间的函数关系式. 若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10/个，请你求出当日销售单价x 定为多少元时，才能获得最大日销售利润？

答案：①反比例函数能表示其变化规律. 因为表中每对x 、y 的值的乘积均为60，是一个定

值. x

y 60=

；②60120W (x 2)y (x 2)60x x =-=-?=-

，当日销售单价x 定为10元时，

才能获得最大日销售利润.

注：以上四题是用待定系数法求出的反比例函数解析式. 当两个变量的乘积是定值时，是反比

例函数；当两个变量的比值是定值时，是正比例函数. 在求函数最值问题时，可以将解析式进行变形，以便作出判断. (四) 反比例函数与其它知识的综合应用 [例10] 找规律 1. 将32=

x 代入反比例函数x

y 1

-=中，所得函数值记为y 1，又将x = y 1+1代入函数中，所得函数值记为y 2，再将x = y 2+1代入函数中，所得函数值记为y 3，如此继续下去，则

y 2005=_________. 2

3-

2. 两个反比例函数x y 3=

，x

y 6

=在第一象限内 的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3，…，P 2005

在反比例函数x

y 6

=图象上，它们的横坐标

分别是x 1，x 2，x 3，…，x 2005，纵坐标分别是 1，3，5，…，共2005个连续奇数，过点P 1， P 2，P 3，…，P 2005分别作y 轴的平行线，与

x

y 3

=的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1）

， Q 2（x 2，2），Q 3（x 3，y 3），…，

Q 2005（x 2005，y 2005），则y 2005= ．2

4009

[例11] 用函数的方法解决方程、不等式的有关问题 1. 如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数y =

x

2

的图象，则关于x 的方程kx+b =

x

2

的解为（ B ） A ．x l =1，x 2=2 B ．x l =1，x 2= -2 C ．x l = -2，x 2= -1 D ．x l =2， x 2= -1

2. 如图，已知(4)A n -，，(24)B -，

是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m

y x

=的图象的两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；

x

y

P 3(x 3,5)

P 2(x 2,3)P 1(x 1,1)y=3x

y=

6x

y 1y 2y 31

Q 3

Q 2Q 1

(3)求方程0=-

+x m

b kx 的解（请直接写出答案）

； (4)求不等式0<-+x m

b kx 的解集（请直接写出答案）.

答案：(1)x

y 8

-=，y = -x -2. (2)C （-2，0），6=?AOB S .

(3)2,421=-=x x . (4)-42

3. 不解方程，判断下列方程解的个数.

①

041=+x x ②041

=-x x

答案：①无实数解；②有两个实数解.

4. (1)已知矩形A 的长、宽分别是2和1，那么是否存在另一个矩形B ，它的周长和面积分别是

矩形A 的周长和面积的2倍？

对上述问题，小明同学从“图形”的角度，利用函数图象给予了解决，小明论证的过程开始是这样的：如果用x y ，分别表示矩形B 的长和宽，那么x y ，满足6x y +=，

4xy =．请你按照小明的论证思路完成后面的论证过程．

(2)已知矩形A 的长和宽分别是2和1，那么是否存在一个矩形C ，它的周长和面积分别是矩形A 的周长和面积的一半？小明认为这个问题是肯定的，你同意小明的观点吗？为什么？

答案：(2)不同意小明的观点．

注：函数与方程、不等式有着密切的联系，用函数图象解决方程、不等式的有关问题，直观简

捷. [例12] 函数与几何图形综合

1. 如图：等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=

在直y =x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边

行于x 轴、y 轴，若双曲线k

y x

=(k ≠0)与ABC ? A ．

12k << B ．13k ≤≤ C ．14k ≤≤ D ．14k <≤

2. 如图，已知直线1

2

=y x 与双曲线(0)=>k y k x 交于A 两点，且点A 的横坐标为4．

(第4题 图1)

(第4题 图2)

(1)求k 的值；

(2)直接写出使正比例函数的值小于反比例函数的值的x 的 取值范围；

(3)若双曲线(0)=

>k

y k x

上一点C 的纵坐标为8，求 AOC △的面积.

答案：(1)k =8；(2)x <-4或0

3. 如图，直线b x y +-=（b ＞0）与坐标轴交于A 、B 两点，P 是 双曲线x

k

y =

（k ＞0）上一点，且PO =PB . (1)试用k 、b 表示A 、P 两点的坐标；

(2)若△POB 的面积等于1，试求双曲线在第一象限的一支的函数 解析式. 答案：(1) A （0，b ），P （

2b ，b k 2）；(2) x

y 1

=（x ＞0）. 4．已知：直角三角形OAB

∠AOB =30°，点A 的坐标为（-，点B (1)若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点恰好落在反比例函数y a (2)若将三角形OAB 绕点O 旋转30°，点B 例函数k

y x

=

的图象上，求k 的值． 答案：(1)a =9；

(2)当三角形OAB 绕点O 逆时针旋转30°时，=k 当三角形OAB 绕点O 顺时针旋转30°时，=k 5. 如图，一次函数b ax y +=的图象与反比例函数x k

y =

的图象交于第一象限C ，D 两点，坐标轴交于A 、B 两 点，连结OC ，OD （O 是坐标原点）.

①利用图中条件，求反比例函数的解析式和m 的值； ②双曲线上是否存在一点P ，使得△POC 和△POD 的 面积相等？若存在，给出证明并求出点P 答案：①反比例函数解析式为4

=y x

，m =4；

②存在点P （2,2）

6．已知：如图，在第一象限内正比例函数y ax =()32A ，．

(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

(2)根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比 例函数的值大于正比例函数的值？ (3)()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中 03m <<，

过点M 作直线MB ∥x 轴，交y 轴于点B ； 过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线

MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判 断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．

答案：（1）x y 32=

，x

y 6

=； （2）0

题.

[例13] 运动变化

1. 如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 在函数x k y =

(k ＞0，x ＞0)的图象上，点P (m ，n )点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为E 、F ，

设矩形OEPF 在正方形OABC ①求B 点坐标和k 的值；

②当29=S 时，求点P 的坐标； ③写出S 关于m 的函数关系式.

答案：①B 点坐标（3，3），k =9；②当m >3时，P P (23，6)； ③??

???≥-<<-=)()

(3m m 2793m 03m 9S 注：种情况分别在相对“静止”题.

2. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，A 、C 两点间的距离为10， P 是BC 边上一动点，过D 作DE ⊥AP 于E ，设AP =x ，DE =y ，求 y 与x 的函数关系式，并求自变量的取值范围.

答案：x

y 48

=（6≤x ≤10）

注：在这类问题中，除了注意前面所说的观察在图形的运动过程中可能出现的所有情况外，还

应充分挖掘几何图形的特征，利用与图形相关的定理、性质、公式，列出含有两个变量的关系式，从而得到函数解析式. 而利用图形的面积解题又是一种常用的方法. 在求自变量的取值范围时，应从动点的极端位置考虑，在本题中，动点P 的极端位置是点B 和点C .

D C

B

A

E

P

初中数学_确定二次函数的表达式教学设计学情分析教材分析课后反思

确定二次函数表达式 一、导入新课 复习回顾：先复习二次函数的概念及二次函数的表达式，再通过一次函数，反比例函数的求法，引入确定二次函数表达式的方法。 二、学习目标 1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思 想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以 便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程。 三、教学过程 1、先复习二次函数的概念及二次函数的表达式，再通过一次函数， 反比例函数的求法，引入确定二次函数表达式的方法----待定系数法。 2、指出本节课的教学目标： （1）经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法,培养数学应用意识. （2）会利用待定系数法求二次函数的表达式.

（3）灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程。 3、精讲例题1，学习具体求解方法。 例1 已知二次函数y=ax2+c 的图象经过点（2，3）和 （－1，－3），求出这个二次函数的表达式. 解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数y=ax 2+c 中，得 ? ??4a+c=3a+c=－3 解这个方程组，得? ??a=3c=－5 ∴所求二次函数表达式为：y=2x 2－5. 4、让学板演评测题：做一做，并点评，介绍两种解法。说明什么时候设一般式。 做一做：已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 5、继续学习例题2，例3，并讲解不同解法，说明什么时候设顶点式，什么时候设交点式 例题2二次函数y=ax2+bx+c 的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。 例3已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。

函数教材分析解读

《函数》教材分析 1、哪儿发生变化，哪没变？从教材内容，（或添加、删减），内容 没变，但是呈现方式发生改变，体现的理念变化，为什么这么 变？实际上是要学有用的数学，身边的数学，应用数学，学是 为了用，设计思想，体现的理念。做数学，让学生参与。 2、新教材的重点和难点要分析出来，要将知识串起来。 3、变化的内容引起呈现方式的变化，技术所起的作用。技术的使用，引起学习方式的改变，怎么用？明确指出需要用技术的地方，形与数要结合。使用技术到非用不可，举例说明。重点！ “函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社

会中的简单问题。” 二、内容安排： 函数这章教材共分个大节：第一大节是函数的概念及函数的一般性质；第二大节是指数与指数函数；第三大节是对数与对数函数；第四大节是函数的应用举例和实习作业。 1、函数是中学数学中最重要的基本概念之一。中学的函数教学大致为三个阶段，初中初步探讨函数的概念、函数关系的表示法、函数图象，并具体学习正比例、反比例、一次函数、二次函数等，使学生获得感性知识；本章及三角函数的学习是函数教学的第二阶段，是对函数概念的再认识阶段，用集合、映射的思想理解函数的一般定义，通过指数函数、对数函数以及后续的三角函数，使学生获得较为系统的函数知识，并初步培养函数的应用意识。第三阶段在选修部分，极限、导数与微分、积分是函数及其应用的深化与提高。 高中的函数知识是在初中的基础上学习的，主要讲函数的概念、函数关系的表示法、并学习函数的一般性质。从映射的概念看，函数是集合A到集合B的映射（A、B是非空数集），映射是特殊的对应，函数是特殊的映射，反函数也是映射。 2、学生在初中的基础上学习有理指数幂及其运算法则是不困难的。指数函数及其图象和性质是这一节的重点，要通过具体实例了解指数函数模型的实际背景，通过具体函数的图象来观察、归纳函数的性质，反之，函数性质又直观反映在图象上，指导准确作出函数图象。

高中数学_2.4.1 函数的零点教学设计学情分析教材分析课后反思

2.4.1《函数的零点》教学设计 一、教材与教学分析 1．函数的零点在教材中的地位 本节课是人教B版必修一2.4.1《函数与方程》第一课时的内容，它是在学习了一次函数和二次函数以及函数的基本性质基础上，对函数知识的进一步延伸和拓展，为了下节学习“求函数零点近似解的一种计算方法——二分法”和后续的“算法学习”做好了铺垫。它在整个高中数学教材体系中起着承上启下的作用，地位至关重要。 2．教学目标分析 ①知识能力方面： （1）.掌握函数零点的概念，会求函数的零点. （2）.掌握二次函数零点的判定方法. （3）.会运用性质做出简单三次函数的大致图像. ②数学核心素养方面： （1）.在探索方程根与函数零点的关系中，构建函数零点的概念，提升学生数学抽象与数学建模素养； (2).在判定二次函数零点的个数及探索零点性质的过程中；培养学生数形结合与直观想 象的核心素养. 3.教学的重点：函数零点的概念与性质；判定二次函数零点的个数；会求函数的零点. 教学的难点：函数零点的应用

值为 四、函数零点的性质 性质1， 问题1．请同学们通过列表研究一次，二次函数零点左右的函数值的符号如何变化的？ 问题2．如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时，函数值变号吗？ 问题3．如果零点左右的函数值连续变号，函数图象与x 轴一定有什么关系？ 性质2， 问题4.通过几何画板观察一次函数，二次函数在零点分成的区间上，函数值有什么特点？ 1.通过列表，学生从数上理解函数零点的性质1 2.通过几何画板的演示，使学生直观地观察到连续i 函数在零点分成的区间上函数值保持同号。 3.培养学生分析问题探究问题的能力，培养学生数形结合思想，直观想象的核心素养。 师：观察函数12-=x y ， 2()6f x x x =--的图像，在零点两侧 附近函数值的符号是如何变化的？ 一生投影展示，大胆给出结论 师：性质1.（板书） 师：如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时，函数值变号吗？ 生：不变号 师：如果零点左右的函数值连续变号，函数图象与x 轴有什么关系？ 生：相交 师：通过几何画板观察一次函数，二次函数在零点分成的区间上，函数值有什么特点？ 师：性质2（板书） 五、性质简单应用 1.运用零点的性质，求函数 22)(23+--=x x x x f 的 零点，画出函数的图像。 2.变式：求函数 f (x )= 通过例题的练习，初步掌握利用三次函数图像的大致 画法。 例2教师板书：规范步骤。 强调：（1）求函数的零点 （2）取值列表 取与x 轴交点，与y 轴交点，以及零点分成区间内部至少一点。遇到对称值，可以再取点。 （3）描点连线，用平滑的曲线连接。 师：明确了作三次函数图像的步骤，变式：求f (x )=12432 3 +--x x x 的零点，并画出它的图象．

《函数》教材分析

第三章《函数》教材分析 本章为函数，共6节，内容如下映射、函数、作函数图像的描点法、函数的性质、反函数、函数的应用举例. 本章共需17课时，具体分配如下： 3.1映射约1课时 3.2 函数约3课时 3.3作函数图像的描点法约2课时 3.4函数的性质约3课时 3.5 反函数约2课时 3.6 函数的应用举例约2课时 小结与复习约4课时 一、内容与要求 函数是数学的重要的基础概念之一进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、 积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本 概念和研究对象的其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中 函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容数列可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n，an)都分布在直线y＝kx+b的图象上，等差数列的前n项和公式也可以看作关于n(n∈N)的二次函 数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数中学的其他数学内容也都与函数内容有关 函数在中学教材中是分三个阶段安排的第一阶段是在初中代数课本内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一 次函数、二次函数等最简单的函数，通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次 函数、二次函数的慨念和性质，理解函数的概念，并用描点法可以绘制相应函数图象 及第四章三角函数的内容是中学函数教学的第二阶段，也就是函数概念的再认识阶段，即用 集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，从而使学生在第二阶段函数 的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数的应用意识，为今后学习打下 良好的基础第二阶段的主要内容在本章教学中完成 学的限定选修课中安排的，选修Ⅰ的内容有极限与导数，选修Ⅱ的内容有极限、导数、积分，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的 基础知识 (一)内容安排 本章的函数是用初中代数中的“对应”来描述的函数概念，这两个函数定义反映了函数概念发展的不同阶段高一学生的数学知识较少，接受能力有限，用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的而且有利于初中和高中知识的自然过渡和衔接 映射是在学习完集合与函数的基本概念之后学习的它是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念学习集合的映射概念的目的主要为了进一步理解函数的定义 的“原象的集合A”“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合随 - 1 -

(完整版)反比例函数教案

9.1 反比例函数 【教学目标】 知识与能力：（1）理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别反比例函数； （2）能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 过程与方法：经历从实际问题中概括出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实际问题。 情感、态度与价值观：（1）经历反比例函数的形成过程，使学生体会到函数是描 述变量间对应关系的重要数学模型。 （2）通过学习反比例函数，培养学生合作交流和探索的能 力。 【教学重难点】 重点：根据已知条件确定反比例函数的表达式. 难点：理解反比例函数的意义. 【教学过程】 一、创设情境，引入新课 同学们，你们还记得在小学里学过的，两个变量满足什么条件时成反比例关系吗？你能写出下列例子中的等式吗？ 1.当路程s 一定时，时间t 与速度v的关系 2.当矩形面积S一定时，长a与宽b的关系 3.当三角形面积S 一定时，三角形的底边y 与高x的关系 学生通过回忆已学知识回答：如果两个量x和y满足xy=k（k为常数, k ≠0）那么x、y就成反比例关系. 现在我们来看生活中的例子。 活动一汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用的时间t（h）随着速度v（km/h）的变化而变化。 （1）你能用含v的代数式表示t吗?

（2）利用（1）的关系式完成下表： 随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？ （3）时间t是速度v的函数吗？ （4）时间t是速度v的一次函数吗？是正比例函数吗？ 引导学生回忆函数、一次函数、正比例函数有关的概念，引出新知：反比例函数. 二、引导学生探索反比例函数的概念和表达式 活动二用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系: 1.一个面积是64002 m的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化，则a与b的关系式为＿＿＿＿＿. 2.京沪线铁路全程为1463 km，某列车平均速度为v（km／h），全程运行时间为t（h），则v与t的关系式为＿＿＿＿＿ 3.已知三角形的面积是8,它的底边长y与底边上的高x之间的关系式为＿＿＿＿＿ 4.实数m与n的积是—200,m与n的关系式为＿＿＿＿＿ 【讨论、交流】 1. 函数关系式 6400 a b =、 1463 v t =、 16 y x =、 200 m n =-具有什么共同特征？ 2它们与正比例函数关系式有什么不同？ 3.你能仿照y=kx的形式表示一下上面函数的一般形式吗? 结论：反比例函数的定义: 一般的,形如 (k为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。 注：(1)有时反比例函数也写成y=1 kx-或k=xy的形式. (2)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

一次函数：教材分析

浙教版八年级（上）第七章 《一次函数》教材分析 一、内容定位 （一）注重函数建模过程，降低函数抽象图形分析的难度，融合方程、不等式、函数的统一 （二）本章教材设计，体现了“问题情景——建立数学模型——概念、规律应用与拓展”的模式。 通过大量的贴近学生生活的实例，让学生 ①体会了常变量之间关系的普遍性。 ②感受了学习变量关系的必要性。 ③明确了函数的三种表示方式：解析式法、图象法、列表法。 ④研究了具体的、简单的一次函数的性质。 我们希望通过本章学习一次函数，使学生了解一次函数的有关性质，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识与能力。这样为以后学习有关函数问题提供了研究的方法和起到了示范作用。 二、教学目标： 1、经历常量与变量、函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展学生的抽象思维能力，经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作交流活动中发展学生的意识与能力。 2、经历一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力。 3、初步理解函数的概念；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关系。 4、能根据所给的信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。 下面谈谈每一节的教学设计： 第一节：常量与变量 【教学目标】 在具体情境中理解什么是变量、常量，并能举出常量、变量之间关系的例子，获得探索常量、变量之间关系的体验。 重点：认识常量与变量。

难点：理解变量的概念。 【教材分析】 通过长途客车从杭州驶向上海，引出问题：什么量不变，什么量在变，再根据合作学习，探讨了圆的面积公式、钟点工的工资额相关运算问题，在运算的过程中，让学生感觉变与不变，从而深刻理解常量与变量的概念。 第二节：认识函数 【教学目标】 （1）初步了解函数的概念，明确函数中两个变量之间的关系。 （2）了解函数常用的三种表示方法，会列简单实际问题的函数解析式；会求函数值和简单函数的自变量的取值范围。 重点：建立函数观念，掌握求函数解析式。 难点：函数概念的理解，函数解析式的应用 【教材分析】 本节课共两课时， ●第一课时以大学生暑期打工的时间与报酬的关系图，跳远运动员的跳远的距离与 助跑的速度的经验公式呈现了两个生活化的场景，使学生明确“给定其中某一个 变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共性，从而归纳出函数的概念， 同时也明确了函数的三种表示方式，对于函数的概念，只要学生能结合具体情境， 体会到函数的概念即可，不必作不必要的拓展和加深,也不要作判断函数关系的抽 象训练．建议把P154骑车时热量消耗W（焦）与身体质量x（千克）之间的函数 关系图象，并设置问题情境，放入合作学习中，作为第三个问题。 ●第二课时是两个求函数解析式及其应用的简单例子，通过几何（等腰三角形）与 代数应用（游泳池换水）问题，使学生初步了解如何求函数关系式、自变量的取 值范围，想一想提出的问题很及时，让学生感受到实际问题的限制条件。探究活 动给了学生一个思维的空间，又一次让学生感受数学中的“数形结合”思想。 第三节：一次函数 【教学目标】 （1）使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念，能够说出一次函数与正比例函数之间的关系。 （2）会求正比例函数、一次函数的解析式。 （3）会求一次函数的值，会根据已知一次函数的值求对应的自变量的值。

高中数学_《指数函数》教学设计学情分析教材分析课后反思

一、【课程分析】 指数函数是学生升入高中后，在学习了一般函数的相关知识后，新接触的一 个重要初等函数，是必修一第三章的（一）单元第2节的内容。学习指数函数既是对第二章函数知识的巩固，也为后面学习对数函数奠定良好的基础。“指数函数”这节教材所蕴含的数形结合，分类讨论等数学思想，也是高考的必考内容。 结合新课标及教材内容，我确定本节的的重点是掌握指数函数的图像和性质； 难点是对于底数a>1与0

高中数学教材分析

高中数学教材分析 第一章集合与简易逻辑 一、本章教学要求、重点、难点 本章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容，集合的初步 知识包括集合的 有关概念、表示、集合间的相互关系，简单的绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及用集合来表示不等式的解集。简易逻辑主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”的意义，四种命题及其相互关系，充要条件的有关知识。本章的重点是有关集合的基本概念，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件。 在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其它内容密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点， 二、教学中的几个问题 1、为什么教科书在“集合”与“简易逻辑”之间插入了“含绝对值不等式解法”和“一元二次不等式的解法”这两节属于不等式的内容？ 答：这两小节属于不等式的内容，学生学习不会困难，并且安排在这个位置上至少有以 下两个优点： （1）巩固学生已经学过的有关集合的基本概念； （2）为下一章求某些函数的定义域和值域以及学习函数的单调性作必要 的准备。 因此，在教学中，既要让学生掌握含绝对值不等式和一元二次不等式的解法，另外， 又要控制不等式的难度，对一般学生来说，不要超出教科书的要求。 2、在新教材中为什么要增加“简易逻辑”？ 答：逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科，任何科学都要使用 逻辑，而以“严 谨性”著称的数学，因需要全面地理解概念，正确地进行表述、判断、推理，就更离不开对逻辑知识的掌握和应用。因此，新教材中新增了“简易逻辑”这部分的内容。

3、怎样理解逻辑联结词“或”的意义？ 答：“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是 指a，b中的某一个，但不是两者，日常生活中有时采用这一解释，如“你去或我去”，人们在理解上不会有你我都去这种可能。另一是“可兼有”，即“a 或b”是指a，b中的任何一个或两者，如“”，是指：x可能属于A但不属于B，x也可能属于B但不属于A，x还可能既属于A也属于B。在数学书籍中一般采用后一种解释，即“可兼有”，我们在解题时都要遵循这一点，还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”。4、大纲中没有真值表这一知识点，教科书中讲真值表是否超纲？ 答：不算超纲。大纲要求学生理解“或”、“且”、“非”三个逻辑联结词的意义，但对于“p或q”形式的复合命题，学生理解起来有困难，引进真值表是为了克服这种困难。真值表在这里只是一种数学语言，由于采用了表格形式，比较形象，容易接受。 5、教材中把“集合”与“简易逻辑”放在同一章中，这两者之间有内在联系吗？ 答：简易逻辑与集合有着密切的联系，简易逻辑中的很多问题我们可以转化为集合的观点用集合思想来解决。 （1）．三个逻辑联结词与集合的交、并、补运算的关系。 ①对“或”的理解可联想到集合中“并集”的概念，或 中的“或”，它是指“x∈A”或“x∈B”中至少有一个是成立。 ②对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念， 且中的“且”是指“x∈A”和“x∈B”这两个条件都要 满足。 ③对“非”的理解，可联想到集合中的“补集”概念，若命题中对应于 集合P，则命题非P就应对应着集合P在全集U中的补集CuP。 (2)．用集合观点来理解“充分条件”、“必要条件”、“充要条件” ①若p q，则p是q的充分条件；若p q，则p是q的必要条件。 设A={x|p} B={x|q}，如果A B，就是x∈A则x∈B，则A是B的充分条件， 即p q。如图： A

正反比例函数的内容特点及教材分析

正、反比例函数的内容特点及教材分析 第一部分：初中函数内容的知识框架结构 1.函数在初中数学知识体系中的地位和作用 函数是初中数学中的重要内容之一，它是从现实世界中抽象出来的，是从数量关系的角度刻画事物运动变化规律的工具。函数知识渗透在初中数学的许多内容中，它又与物理、化学等学科知识密切相关。同时函数本身也是一种重要的数学思想，运用函数的思想和方法，可以加深对一些代数问题的理解。 2.初中学习函数的意义和要求 初中学习函数的意义是初步感受现实世界中除了确定的一些量——常量外，还有不少的量——变量，初步知道两个变量之间存在的关系，能利用这些关系来研究它们之间的一些基本性质。 初中学习函数的要求是理解函数的意义，理解正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的概念，能画出它们的图像，并根据图像知道它们的一些基本性质。 3.教材内容安排的方式及要求所体现的思想 函数内容在初中教材中主要分布在八年级和九年级中，八年级第一学期学习函数的概念，研究两个最简单的函数——正比例函数和反比例函数的有关图像和性质；八年级第二学期学习一次函数的有关图像和性质；九年级第一学期学习二次函数的有关图像和性质，九年级第二学期在拓展II中进一步对二次函数进行深入的研究。这样首先出示基本概念，然后由易到难研究一些特殊函数的编排方式符合学生的认知规律，帮助学生充分理解函数的基本思想。 4.高中函数教学的介绍 课程标准中指出：在初中学习函数的基础上，进一步理解函数是变量之间相互依赖关系的反映；学习用集合与对应的语言刻画函数，再从直观到解析、从具体到抽象，研究函数的性质，并能从解析的角度理解有关性质。 函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想和方法贯穿于高中数学。 第二部分：函数知识内容的教学研究 （一）函数内容的知识体系 初中学习函数主要是让学生对函数有一个初步的认识，知道生活中的变量关系，能用函数的思想处理一些简单的问题，因此初中函数内容的知识体系是，先介绍函数的概念，然后以两个最简单的函数（正比例函数和反比例函数）作为载体，让学生理解函数的图像与一些性质，再介绍函数常用的三种表示方法，最后再分别研究现实生活中经常遇到的另外两个简单而常用的函数（一次函数和二次函数），使学生对函数有一个较完整的理解，并能进行简单的应用。 （二）函数内容的教材分析及教学注意事项 1．函数的相关概念教材分析及教学注意事项 (1)函数相关内容的概念框架与知识结构 函数的定义域

反比例函数集体备课教材分析

“反比例函数”集体备课 一、教材分析 本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、性质和图象．本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再次进入函数范畴，使学生进一步理解函数的内涵，并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是后续学习各类函数的基础． 二、重点难点 反比例函数是继一次函数之后又一重要的基本函数，它为今后学习图象和曲线的关系（如二次函数）提供了研究方法．反比例函数本身在日常生活和生产中也有着许多直接应用，这对学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数是本章教学的重点． 反比例函数图象的两个分支，给反比例函数的性质带来复杂性，学生不易理解，是本章教学的难点之一；综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题时，往往会遇到较复杂的问题情境，需要建模，利用图象以及综合运用方程、不等式及其他数学模型，所以综合运用反比例函数知识解较复杂的实际问题是本章教学又一主要难点． 三、课时安排 1.1 反比例函数 1课时 1.2 反比例函数的图象和性质 2 课时 1.3 反比例函数的应用 1课时 复习、评价2课时，机动使用2课时，合计8课时． 四、教学建议 （1）反比例函数概念和形成过程，应充分利用学生的生活经验和背景知识．生活经验就是学生已经知道两个量成反比例的概念，建立反比例函数离不开反比例关系这个基础；背景知识是八年级上册的“图形与坐标”及“一次函数”．所以在学习本章内容前可先与学生一起回顾一下以上已学内容，对扫清障碍，理解接受新概念很有益处． （2）注重数学思想的渗透，从数学自身发展过程看，正是由于变量与函数概念的引入，标志着初等数学向高等数学迈进，尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴涵的数学思想方法，对学生分析问题解决问题是十分有益的．教学中应让学生充分体会诸如变化与对应思想、数形结合思想，建模思想等．

初中数学_《二次函数的应用》(复习)教学设计学情分析教材分析课后反思

《二次函数的应用》教学设计

3 5 321212++- =x x y 3 532121-2++=x x y 教学环节 教学内容 学生活动 环节目标 创设情境问题 引入 1.已知二次函 数 ，求出抛物 线的顶点坐标与对称轴。 2.已知二次函数图象的顶点坐标是（6,2.6），且经过点（0,2），求这个二次函数的表达式 。 3.抛物线 c bx x y ++=26 1 -经过点（0,4）经过点（3,2 17 ），求抛物线的关系式。 问题： （1）求二次函数顶点坐标的方法 （2）设表达式的思路 （3）如何求二次函数与x 轴及y 轴的交点坐标 课前布置，独立完成，上课时没完成的继续完 成，之后组 内批阅，找学生上台板演，并回答老师提出的问题。 这三个小题是后面实际应用问题的答案，学生在复习二次函数基础知识的同时，把后面的计算提到前面来，便于后面把教学重点放在解题思路的分析与掌握上，减少学生的计算量。 探索交流获得新知 1例题解析 例 1 ：这是王强在训练掷铅球时的高度y （m)与水平距离x(m)之间的函数图像，其关系式为 ，则铅球达到的最大高度是_____米，此时离投掷点的水平距离是____米。铅球出手时的高度是_____米，此次掷铅球的成绩是____米。 2、跟踪练习： 如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从1、学生独立思考后回答问题答 案。 2、根据图像回答解题思路。（前面已经求过前两个空，只计算后面两个即可） 引导学生得到解决问题的方法：这四个问题都是求线段的长度，共同点为已知点的 一个坐标，可将其代入表达式求另一个坐标，再把坐标转化成线段的长。

O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，出手后水平运行6米达到最大高度2.6米， (1) 运行的高度记为y(m)，运行的水平距离记为x(m)，建立平面平面直角坐标系如图，求y 与x的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2) 若球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m。球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由 3、总结解决抛物线型问题的思路： （1）建立二次函数模型。（求表达式） （2）代入点的其中一个的坐标，求另一坐标。（3）将坐标转化为问题答案。 关键：线段的长与坐标之间的互相转化。1、学生回 答：先分析 各点的坐标 的怎样找到 的；再回答 如何求表达 式（3种方 法）（也不用 求了，前置 练习中第2 小题已求 过。 2、学生回 答解题思 路，独立完 成计算。 3、组内分 析讨论第三 小题，找出 解题方案。 发展学生的口 语表达能力， 明确坐标与线 段长度的互相 转化。 应用新知体验成功知识应用 （2015青岛10分）如图隧道的截面由抛物 线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按 照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 c bx x y+ + =2 6 1 -表示，且 抛物线上的点C到OB的水 平距离为3m，到地面OA的 距离为 2 17 m。 1、学生分 析各点的坐 标，强化线 段与坐标的 转化过程。 2、小组内 讨论如何解 决，学生回 答，后独立 由于前置练习 中已经做过第 一小题，学生 说出解题思路 即可。 关键分析后面

高中数学_函数的奇偶性教学设计学情分析教材分析课后反思

2.1.4《函数的奇偶性》 一、教材分析 （一）教材所处的地位和作用 函数的奇偶性是普通高中标准实验教科书数学必修一B版第二章函数的第4小节，函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟知的函数入手，结合初中学生已经学习过的轴对称和中心对称感受奇函数和偶函数的图像特征，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地学习函数的奇偶性。从知识结构上，奇偶性既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究基本初等函数的基础。起着承上启下的作用。 （二）学情分析 从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。 从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题． （三）教学目标 基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标： 【知识与技能】 1．理解函数奇偶性的概念和图象特征。 2．能判断一些简单函数的奇偶性。

【过程与方法】 经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。 【情感、态度与价值观】 通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。 （四）教学重点和难点 重点：函数奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性。 “函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验f(-x)=f(x)及f(-x)=-f(x) 成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。 难点：对函数奇偶性概念理解与认识。 二、教法与学法分析 （一）教法 根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主

第17章反比例函数教材分析

第十七章 反比例函数 17．1．1反比例函数的意义 一、教学目标 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 二、重、难点 1．重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2．难点：理解反比例函数的概念 3．难点的突破方法： （1）在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解 （2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式x k y =，等号左边是函数y ，等号右边是一个分式，自变量x 在分母上，且x 的指数是1，分子是不为0的常数k ；看自变量x 的取值范围，由于x 在分母上，故取x ≠0的一切实数；看函数y 的取值范围，因为k ≠0，且x ≠0，所以函数值y 也不可能为0。讲解时可对照正比例函数y ＝kx （k ≠0），比较二者解析式的相同点和不同点。 （3）x k y =（k ≠0）还可以写成1-=kx y （k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）的形式 三、例题的意图分析 教材第46页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。 教材第47页的例1是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。 补充例1、例2都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例3是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。 四、课堂引入 1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？ 2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ 五、例习题分析 例1．见教材P47 分析：因为y 是x 的反比例函数，所以先设x k y = ，再把x ＝2和y ＝6代入上式求出常数k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。 例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3 x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-=

高中数学教案——函数 教材分析

第二章函数教材分析 本章为函数，分三个单元共10节，内容如下函数、函数的表示方法、函数的单调性，;反函数；指数、指数函数；对数、对数函数；函数的应用举例本章共需30课时，具体分配如下： 2.1函数约3课时 2.2 函数的表示方法约2时 2.3 函数单调性约2课时 2.4 反函数约3课时 2.5 指数约3课时 2.6 指数函数约3课时 2.7 对数约3课时 2.8 对数函数约3课时

2.9 函数的应用举例约4课时 实习作业约1课时 小结与复习约3课时 一、内容与要求 函数是数学的重要的基础概念之一进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程， 其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具 丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中 函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容数列可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n，an)都分布在直线y＝kx+b的图象上，等差数列的前n项和公式也可以看作关于n(n∈N)的二次函数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数 与函数内容有关 函数在中学教材中是分三个阶段安排的 步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的慨念和性质，理解函数的概念，并用描点法可以绘制相应函数图象本章以及第四章三角函数的内容是中学函数教学的第二阶段，也就是函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，从而使学生在第二阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数的应用意识，为今后学习打下良好的基础第二阶段的主要内容在本章教学中完成第三阶段的函数教学是在高中三年级数学的限定选修课中安排的，选修Ⅰ的内容有极限与导数，选修Ⅱ的内容有极限、导数、积分，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的基础知识 (一)内容安排 第一单元是函数，包括函数、函数的表示方法、函数的单调性、反函数等4节，是全章的基础 本章的函数是用初中代数中的“对应”来描述的函数概念，这两个函数

高中数学人教版必修一第二章-2.1.2指数函数及其性质教学设计

高中数学人教版必修一第二章第一节指数函数---指数函数及其 性质（第二课时）教学设计 一、教材分析 本节内容是高中数学人教版必修一第二章第一节指数函数的内容，共六课时，本节是指数函数图像及其性质的第二课时.在指数函数图像及其性质的第一课时中，通过图形、实例进行具体分析、观察、归纳，由具体到抽象，得出指数函数的图像和性质，并能进行最基本的应用.本节课，在第一节的基础上，学生继续学习函数图像和性质，并能进行简单的应用. 指数函数是函数中的一个重要基本初等函数，为后续知识——对数函数（指数函数的反函数）的学习做好了知识的准备.同时指数函数的图像和性质也是学习指数函数的重要内容.通过这部分知识的学习，使学生进一步深化对函数概念的理解与认识；通过这部分的学习，向学生渗透数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法，这些数学思想方法对于进一步探究对数函数、三角函数等函数的图像和性质有很强的引领作用. 二、学情分析 高一学生在初中阶段已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数，对于这些函数的图像和性质有了一定的认识，具备了初步的观察、发现、分析的能力，为指数函数的图像和性质的学习，有了一定的理论基础.但对底数a的变化如何影响其性质以及应用性质进行简单的应用，解决一些实际问题，对于学生来说还是有一些困难的.而且大部分学生不具备数形结合的思想，分类讨论的意识比较淡薄，在解决问题中经常出现解不全面的错误. 三、教学目标 1.理解指数函数的概念和意义，根据图像理解和掌握指数函数的性质. 2.会进行指数函数性质的简单应用. 3.通过对指数函数的图像和性质的探究与应用，渗透数形结合的思想方法. 4.通过应用指数函数图像和性质解决一些简单问题，领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力. 5.通过探究体会“数形结合”的思想；感受知识之间的关联性；体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程；体验研究函数的一般思维方法. 6.让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. 四、教学重点和难点 1.重点：指数函数的性质和图像. 2.难点：理解、掌握指数函数中底数a的变化对于函数值的影响.

人教版-数学-九年级下册-反比例函数的意义 教材分析

人教版-数学-九年级下册-打印版 反比例函数的意义教材分析 本小节教材主要讲述反比例函数的概念．反比例函数是本套教科书安排的最后一类函数，它是刻画现实世界中具有反比例变化规律的重要数学模型．它不仅具有丰富的性质，而且在实际中具有广泛的应用．前面我们学习了常量、变量，自变量、函数及函数值等概念，研究了正比例函数y=kx、一次函数y=kx+b和二次函数y=ax2+bx+c等具体的函数，对函数的概念、图象和性质有了一定的认识，掌握了研究函数的方法．而且在学习一次函数和二次函数时，我们都是通过大量实例归纳得到它们的解析式，给出概念，然后研究它们的图象和性质．对反比例函数的研究，我们也是遵循这种过程．学习反比函数的基础除上面讲到的函数的有关概念外，还有分式、反比例关系等内容．当从函数角度认识反比例关系时，这个反比例关系就成为反比例函数，因为它既是反比例关系，又符合函数的概念． 路程、速度与时间的关系是学生非常熟悉的．本节课从路程一定的前提下，列车运行的平均速度与运动时间关系出发，引出学习的内容——反比例函数． 本节首先在“思考”栏目中提出三个具有反比例关系的问题，让学生从变量角度分析它们之间的关系，明确它们都是刻画具有反比例关系的函数．引导学生分析函数解析式， 和，得出它们的共同特点：都可以写成（为常数，）的形式，抽象得出反比例函数的概念． 在引入反比例函数概念后，可向学生提问，或直接指出，也可看成的反比例函数，在反 比例函数的解析式（为常数，）中，变量和的地位是相同的．如果把y 看成自变量，那么x就是y的函数． 本节课的教学，要充分利用课本所给的三个思考问题，将反比例函数的概念和实际问题紧密的结合起来，帮助学生辨析反比例关系和反比例函数的区别与联系，充分理解反比例函数的产生过程，明确反比例函数的解析式的形式，以及对于自变量x的取值范围的限制． 本节课的教学重点是：理解反比例函数的概念．

函数概念与基本初等函数的教材分析

函数概念与基本初等函数的教材分析 我们生活的世界时刻都在发生变化，变化无处不在，这些变化着的现象都可以用数学有效地描述它们的变化规律。函数正式描述客观世界变化规律的重要数学模型，通过函数模型可以帮助我们解决许多实际问题。因此，学习函数知识对研究客观世界，掌握事物变化规律具有重要的意义。 函数是本章的核心概念，也是中学数学中的基本概念。高中阶段不仅把函数变成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的豫园刻画函数，函数的思想方法贯穿整个高中数学课程。 1.了解函数概念产生的背景，学习和掌握函数的概念和性质，能借助函数的知识表述、刻画事物的变化规律; 2.理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质; 3.理解对数函数的概念和意义，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质; 4.了解幂函数的概念和性质; 5.知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型; 6.了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简

单方程的近似解，了解函数模型及其意义; 7.本章内容培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流能力。 8.通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具; 9.体验数学的文化价值，使学生感受数学的美，培养学生利用运动变化的观点观察事物，进一步树立科学的人生观、价值观和辩证唯物主义世界观。 本章立足于现实生活，从具体问题入手，以问题为背景，按照“问题情境----数学活动----意义建构-------数学理论-------数学运用------回顾反思”的顺序结构，引导学生通过实验、观察、归纳、抽象、概括，数学地提出、分析和解决问题。在本章中，学生运用集合的观点理解函数的概念，研究函数的性质，最后利用函数的知识和思想解决相关问题，体会函数与方程的有机联系，通过函数知识的学习，使学生进一步感受数是探索自然现象、社会现象基本规律的工具和语言，学会用函数的思想、变化的观点分析问题、解决问题，达到培养学生的创新思维的目的。 本章涉及的数学思想方法可以分为两个层次：一是一般科学方法，如观察、实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等;二是数学中常用的数学思想方法，如函数、数形结合、