海淀区2017高三第一学期期末数学(理)试卷
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海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（理科）
学校 班级 姓名 成绩
2017．1
本试卷共 4 液，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 抛物线 y 2 = 2x 的焦点到准线的距离为（
）
A ． 1 2
B ．1
C ． 2
D ． 3
?1 π ? ? 3π ? 2. 在极坐标系中，点
， ? 与点 1， ? 的距离为（ ） ? 4 ? ? 4 ?
A ．1
B ．
C ．
D ． 3. 右侧程序图所示的算法来自于《九章算术》．若输入 a 的值为16 ， b 的值为24 ，则执行该程序框图
输出的结果为（ ）
A ． 6
B ． 7
C ． 8
D ． 9
4．已知向量a ，b 满足a + 2b = 0 ，(a + b ) ? a = 2 ，则a ? b = （ ）
A. - 1
2
B.
1 2
x 2 2
C. -2
D. 2
5．已知直线l 经过双曲线 - y 4
= 1的一个焦点且与其一他渐近线平行，则直线l 的方程可以是（
）
A ． y = - 1 x + 5
B ． y = 1
x - 2 2 2
C. y = 2x -
3
2
?x - y ≤
0 D. y = -2x + 6．设 x ，y 满足?
x + y - 2 ≥ 0 ，则( x + 1)2 + y 2 的最小值为（
）
?x ≤ 2 5
5
3
A ．1
B ． 9
2
C. 5 D ．
9
7．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6 条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条
鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂．成．红．色．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数 为 （ ） A ．14
B ．16
C ．18
D ． 20
8 ． 如图， 已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1 ， E ，F 分别是棱 AD ，B 1C 1 上的动点， 设
AE = x ，B 1F = y ．若棱 DD 1 与平面 BEF 有公共点，则 x + y 的取值范围是（
）
? 1 3 ?
? 3 ?
A ． [0 ，1]
B ． ? ， ?
C ． [1，2] D. ? ，2?
? 2 2 ?
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．已知复数 z 满足(1+ i ) z = 2 ，则 z = ?．
? 2 ?
10．在?
x 2 + ?
1 ?6
? 的展开式中，常数项为
．（用数字作答）
?
11. 若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为
．
12. 已知圆C : x 2 - 2x + y 2
= 0 ，则圆心坐标为
；若直线l 过点(-1，0) 且与圆C 相切，则直线l 的方程为 ．
13．已知函数 y = 2sin (ω x + ? )?
ω > 0 ，? < π ? ．
2 ? ? ?
①若 f (0) = 1，则? = ?；
②若?x ∈ R ，使 f (x + 2) - f (x ) = 4 成立，则ω 的最小值是
．
14. 已知函数 f ( x ) = e - x + cos πx ，给出下列命题：
x
① f ( x ) 的最大值为2 ；
② f ( x ) 在(-10 ，10)内的零点之和为0 ； ③ f ( x ) 的任何一个极大值都大于1 ．
其中，所有正确命题的序号是 ．
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分）
在△ABC 中， c = 2a ，B = 120? ，且△ABC 面积为 3
．
2
（I ） 求b 的值；
（II ） 求 tan A 的值．
16．（本小题满分 13 分）
诚信是立身之本，道德之基．某校学生创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，
并用“ 周实际回收水费
”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一周期，下表
周投入成本
．．．．
为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：
第一周 第二周 第三周 第四周
第一个周期 95% 98% 92% 88% 第二个周期 94% 94% 83% 80% 第三个周期
85%
92%
95%
96%
（I ） 计算表中十二周“水站诚信度”的平均数 x ；
（I I ） 分别从上表每个周期的 4 个数据中随机抽取1 个数据，设随机变量 X 表示取出的3 个数据中
“水站诚信度”超过91% 的数据的个数，求随时变量 X 的分布列和期望；
（I I I ） 已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．
17．（本小题满分 14 分）
如图 1，在梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ，∠ABC = 90?，AB = 2DC = 2BC = 4 ，O 是边 AB 的中点．将
三角形 AOD 绕边OD 所在直线旋转到 A 1OD 位置，使得∠A 1OB = 120? ，如图 2，设m 为平面 A 1DC 与平面 A 1OB 的交线．
图 1
图 2
（I ） 判断直线 DC 与直线m 的位置关系并证明；
+ 2
（I I ） 若在直线m 上的点G 满足OG ⊥ A 1D ，求出 A 1G 的长；
（I I I ）
求直线 A 1 D 与平面 A 1 BD 所成角的正弦值．
18．（本小题满分 13 分）、
已知 A (0，2)，B (3，1)是椭圆G : x 2 2 = 1(a > b > 0) 上的两点． a b
（I ） 求椭圆G 的离心率；
（II ） 已知直线l 过点 B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点 A ），若以 BC 为直径的圆经过点 A ，
求直线l 的方程． 19．（本小题满分 14 分）
已知函数 f ( x ) = ln x - a
- 1．
x
（I ） 若曲线 y = f (x )存在斜率为-1 的切线，求实数a 的取值范围； （I I ） 求 f ( x ) 的单调区间； （I I I ）
设函数 g ( x ) =
x + a ，求证：当-1 < a < 0 时， g (x ) 在(1，+ ∞) 上存在极小值．
ln x
20．（本小题满分 13 分）
对于无穷数列{a n }，{b n } ，若b k = max {a 1 ，a 2 ， ，a k } - min {a 1 ，a 2 ， ，a k }(k =1，2，
3， )
则称{b n } 是{a n } 的“ 收缩数列”． 其中， max {a 1 ，a 2 ， a k }，min {a 1 ，a 2 ， ，a k } 分别表示
a 1 ，a 2 ， ，a k 中的最大数和最小数．
已知{a n } 为无穷数列，其前n 项和为 S n ，数列{b n } 是{a n } 的“收缩数列”．
（I ） 若 a n = 2n + 1，求{b n } 的前n 项和； （I ）
证明： {b n } 的“收缩数列”仍是{b n } ；
（I ）
若 S 1 + S 2 + + S n = n (n + 1)
a 1 + n (n -1)
b n (n = 1，2 ，3，
) ，求所有满足该条件
2 2
y 2