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第四章第4课时知能演练轻松闯关

1．下列命题正确的是( )

①(－i)2＝－1；②i 3＝－i ；③若a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；④若z ∈C ，则z 2＞0. A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②④ 答案：A

2．(教材习题改编)复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D

3．(2010·高考湖南卷)复数2

1－i

等于( )

A ．1＋i

B ．1－i

C ．－1＋i

D ．－1－i 答案：A

4．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z z

＝( )

A ．i

B ．－i

C ．±1

D ．±i 解析：选D.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，

∴????? 2a ＝4a 2＋b 2＝8??????

a ＝2

b ＝±2，z ＝2±2i ，∴z z ＝±i.

5．已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数x ，y 分别为( )

A ．x ＝－1，y ＝1

B ．x ＝－1，y ＝2

C ．x ＝1，y ＝1

D ．x ＝1，y ＝2 解析：选D.由(x ＋i)(1－i)＝y 得(x ＋1)－(x －1)i ＝y .

由复数相等有????? x ＋1＝y x －1＝0，解得????

x ＝1y ＝2，故选D.

6．(a －i)2

＝2i ，则实数a ＝________. 答案：－1

1．(2010·高考陕西卷)复数z ＝i

1＋i

在复平面上对应的点位于( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：选A.i 1＋i ＝i 2

(1－i)＝i 2＋12，则对应点的坐标为(12，1

2)，在第一象限．

2．(2010·高考北京卷)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )

A ．4＋8i

B ．8＋2i

C ．2＋4i

D ．4＋i 解析：选C.A (6,5)，B (－2,3)，∴C (2,4)， ∴C 对应的复数为2＋4i.

3．若复数2－b i

1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )

A. 2

B.2

C ．－23

D ．2

解析：选C.2－b i 1＋2i

＝(2－b i )(1－2i )

＝(2－2b )－(b ＋4)i 5

，

∵实部与虚部互为相反数，∴2－2b ＝b ＋4，即b ＝－2

4．若复数z 满足方程z 2＋2＝0.则z 3

＝( ) A ．±2 2 B ．－2 2 C ．－22i D ．±22i 解析：选D.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＋2＝0?a 2－b 2＋2＋2ab i ＝0.

由复数相等的充要条件知a ＝0，b ＝±2. ∴z ＝±2i.∴z 3＝±22i.

5．已知z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝________. 解析：∵z ·z 0＝3z ＋z 0，且z 0＝3＋2i ，

∴3z ＋2i·z ＝3z ＋3＋2i ，即z ＝3＋2i 2i ＝1＋32i ＝1－3

答案：1－3

6．已知复数z 1＝4＋2i ，z 2＝k ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数k ＝________. 解析：z 2＝k －i ，

z 1·z 2＝(4＋2i)(k －i)＝(4k ＋2)＋(2k －4)i ，又z 1·z 2是实数，则2k －4＝0，即k ＝2. 答案：2 7．计算．

(1)(－1＋i )(2＋i )i 3

；

(2)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2

. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i

－i

＝－1－3i.

(2)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2

＋－1＋i 2

＝－1.

1．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i

(n ∈Z )，则集合{f (n )}中元素的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．无数个

解析：选C.f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i

)n ＝i n

＋(－i)n ，f (0)＝2，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)

＝2，f (5)＝0，….∴集合中共有3个元素．

2．已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且m (1＋i)＝1＋n i ，则(m ＋n i m －n i

)2013

等于________．

解析：由m (1＋i)＝1＋n i ，得m ＝n ＝1， ∴(m ＋n i m －n i )2013＝(1＋i 1－i )2013＝i 2013＝i. 答案：i 3．(2010·高考江苏卷)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．解析：∵z (2－3i)＝6＋4i ，

∴z ＝6＋4i 2－3i ＝(6＋4i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝26i 13＝2i ，∴|z |＝2.

答案：2

4．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cot B －tan A )＋i(tan B －cot A )对应点位于复平面的第________象限.

解析：由于0π

，

∴π2>A >π

－B >0， ∴tan A >cot B ，cot A

5．已知复数z 的共轭复数是z ，且满足z ·z ＋2i z ＝9＋2i.求z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ·z ＋2i z ＝9＋2i ，

∴(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ，即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i ，

∴?

????

a 2＋