(完整版)浅谈数学归纳法在高考中的应用
1、数学归纳法的理论基础
数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。
1.1数学归纳法的发展历史
自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。
安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。
伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明
22
333
(1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。
接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。
到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++=
其中1231,2k a k =+++??????=?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。
17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
现的帕斯卡三角形。数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。
帕斯卡、毛罗利科、伊本穆思依姆等都很自觉地使用归纳推理，传承运用数学归纳法，但一直没有明确的名称，而是英国数学家德摩根在其命名上迈出了重要的一步，他曾在1838年伦敦出版的《小百科全书》中，建议将“归纳法（数学）”改为“逐次归纳法”，有意思的是在后来的一次无意中他无意中使用了“数学归纳法”这便成为了最早的名称。之后，英国数学家托德亨特的《代数》（1866年出版）中也采用了“数学归纳法”这一名称，从此这一名称在英国传播开了。
1.2数学归纳法的逻辑基础
数学家皮亚诺提出了算术公理系统，用其中的归纳公理奠定数学归纳法的逻辑基础。
归纳公理：由自然数组成的集合为N ，1N ∈,若N 中任意自然数的后继也属于N ，则N 包含了全部自然数。
2、数学归纳法的步骤及其类型
2.1 第一数学归纳法
设()p n 是关于自然数n 的命题,如果()p n 满足:
(1) (1)p 成立；
(2) 假设当n k =时,命题()p k 成立；
可以推出(1)p k +也成立，则命题()p n 对一切自然数n 都成立。
证明:设M 是由满足命题()p n 的自然数组成的集合
即M 是自然数集N 的子集,由于(1)p 成立
1M ∴∈,又由(2)知k M ∈ 1k M +∈
即k 的后继'k M ∈，由皮亚诺公理的归纳公理5得M N =
因此对于一切自然数n ，()p n 都成立。
第一数学归纳法的应用
例1 用数学归纳法证明22333(1)124n n n n N ++++??????+=∈
证明: （1）当1n =时，左边=1=右边命题成立
（2）假设n k =时命题成立，即
22
333
(k 1)124k k +++??????+= 那么当1n k =+时，223333(k 1)12(1)(1)4k k k +++??????++=++
22
(1)(k 2)4
k ++= 即当1n k =+时命题也成立，所以原命题成立。
2.2 第二数学归纳法
假设()p n 是关于自然数n 的命题,如果()p n 满足:
(1) (1)p 成立；
(2)假设()p n 对于所有满足a k <的自然数a 成立，则()p k 也成立；
那么,命题()p n 对一切自然数n 都成立。
证明:设{n |()M p n =∈成立，n N},又设A N M =-(差集)
假设A 不空,由自然数的最小数原理, A 有最小数0a
由条件(1)知1M ∈,故01a ≠
因此01,21a M -∈L L ,又由条件(2)知01a M -∈,必有0a M ∈
这与0a A ∈矛盾,所以A 为空集
从而M N =,则命题()p n 对一切自然数n 都成立。
第二数学归纳法是第一数学归纳法的加强，在高考数学中不做要求，但是了解此方法很大程度上可以开拓一个学生的思维，体会其中的思想奥妙，在一定程度上可以激发学生学习数学的兴趣，促使学生去创新，与此同时可以发现数学的美。
2.3 数学归纳法其他类型
（1）跳跃数学归纳法
①当时，成立，
l n ,,3,2,1Λ=)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ
②假设时成立，由此推得时，也成立，
那么，根据①②对一切正整数时，成立．
（2）反向数学归纳法
设是一个与正整数有关的命题，如果
a) 对无限多个正整数成立；
b) 假设时，命题成立，则当时命题也成立，那
么根据①②对一切正整数时，成立．
（3）跷跷板数学归纳法
针对两个与自然数有关命题,n n A B
a) 证明1A 成立；
b) 假设k A 成立，递推证明k B 成立，即k A 成立推出k B 成立；
又假设k B 成立，由此递推证明出1k A +也成立，即k B 成立推出1k A +。于是，对于任意自然数，结论,n n A B 都成立
3、结合高考试题体现数学归纳法
3.1 高考中数学归纳法题型的分析
在高考数学中，运用数学归纳法的证明一般不单独命题，考查常常渗透到数列综合题中，既考查推理论证能力，又考查探究思维能力。近年江西高考压轴题的数列不等式，常常会用到数学归纳法，且常与放缩法有关。其他省的高考题趋势也差不多，数学归纳法在高考中出现的几种题型主要是与数列、不等式、整除相结合考察，难度不是很大，但能体现出解题的效率大大增加，化复杂为容易、抽象为具体，是一个非常值得考察的知识点。
3.2 数学归纳法在代数中的应用
在高考中数学归纳法知识的考察往往是结合代数一起进行的，而代数方面主要体现在数列、整除、不等式方面，但是在几何方面也是一个命题点，这样在一定程度上考察了学生的创新能力与想象能力，符合现代数学的教学目标。下面就这两大方面进行分析阐述。
3.2.1数学归纳法在数列中的应用
高考数学中结合数列来体现数学归纳法是非常常见的题，有些数列的通项不k n =)(k P l k n +=)(n P 1≥n )(n P )(n P )(n P n k n =)(k P 1-=k n )1(-k P 1≥n )(n P
好求，我们可以先对前面几项发现规律，进而进行猜想，继而用数学归纳法进行证明，这不失一种很好解决问题的方法。在生活上可以将此精髓应用，可以达到很好的效果。
例2 [2014·重庆卷] 设11a =，1(n N )n a b ++=∈
(1)若1b =，求2a ，3a 及数列{}n a 的通项公式．
(2)若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有n N +∈成立？证明你的结论．
解：(1) 22a = 31a =
变下形式有11a = 21a = 31a =
根据这个规律进行猜想有1n a =
下面用数学归纳法证明以上结论：
证明：1、（1）当1n =时，结论显然成立．
（2）假设n k =时命题成立 即1k a =
则1111k a +===
当1n k =+时命题也成立
所以1n a n N +=∈
2、设()1f x =则1()n n a f a +=
令()c f c = 即1c =解得14
c = 下面用数学归纳法证明命题2211n n a c a +<<<
（1）当1n =时，2(1)0a f == 3(0)1a f ==
23114
a a <<<结论成立 （2）假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<
易知(x)f 在(－∞，1]上为减函数，从而
212()(1)(1)k c f c f a f a +=>+>=
即2221k c a a +>>>
再由(x)f 在(－∞，1]上为减函数，得
2223()(2)()1k c f c f a f a a +=<+<=<
故231k c a +<<因此2(1)2(1)11k k a c a +++<<<
当1n k =+时命题也成立 综上，存在14
c =
使221n n a c a +<<对所有n N +∈成立
3.2.2数学归纳法在不等式中的应用
用数学归纳法证明不等式可以有效提高解题效率，解题过程得到优化甚至可以使避免一些具体问题或简化。直接使用数学归纳法进行不等式的证明时，在归纳和过渡往往存在一定的困难，如果能灵活地使用不等式的传递性和可加性，在恰当的时候使用过渡不等式和假设不等式与目标不等式的特征关系，通过放缩常数和强化命题等技巧,可以顺利完成归纳和过渡。同时，在利用它来解决不等式问题时首先要细心地观察，然后大胆地进行联想，发现一些内在的联系从而为解决问题提供了方法和途径。
例3 [2014·安徽卷] 设实数0c >，整数1p >，n N +∈。
(1)证明：当1x >-且0x ≠时，(1)1p x px +>+ ；
(2)数列{}n a 满足11p a c >，111p n n n p c a a a p p -+-=+，证明：11p n n a a c +>>。 证明：(1)用数学归纳法证明如下
① 当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+原不等式成立．
② 假设(2,)p k k k N +=≥∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立．
当1p k =+时，1(1)(1)(1)(1)(1)k k x x x x kx ++=++>++
21(1)1(1)k x kx k x =+++>++ 所以当1p k =+时，原不等式也成立。
综合①②可得，当1x >-，0x ≠时，对一切整数1p >，不等式(1)1p x px +>+均成立。
(2)先用数学归纳法证明1
p n a c >
①当1n =时，由题设知11p a c >成立；
②假设(2,)n k k k N +=≥∈时，不等式1p k a c >成立。 由111p n n n p c a a a p p
-+-=+易知0n a >，n N +∈ 当1n k =+时， 1111(1)p k k p k k
a p c c a a p p p a -+-=+=+- 由10p k a c >>得111(1)0p k
c p p a -<-<-< 由(1)中的结论得111()1(1)1(1)p p k p p p k k k k a c c c p a p a p a a +??=+->+-=????
因此1p k a c +>，即11p k a c +>，
所以当1n k =+时，不等式1p n a c >也成立。
综合①②可得，对一切正整数n ，不等式1p n a c >均成立。 再由111(1)n p n n a c a p a +=+-可得11n n
a a +<， 即1n n a a +< 综上所述，11p n n a a c +>>，n N +∈
点评：此高考题是用数学归纳法来证明著名不等式贝努利不等式，在一定程度上有回归到课本上的节奏，这题出现在高考试题上不仅是考察数学归纳法的知识，更重要的体现数学归纳法的功效，可以激发学生的创新思维，给学生想象空间，减少学生在探究未知知识时的畏惧心理。
在利用数学归纳法证明不等式，有些时候需要对命题的加强进而去证明，这样就可以把一个无从下手的题目进行处理，证得加强后的命题，因此原命题也成立。此方法在简答过程是由一定难度的，在学生成绩水平中具有区分度，但是很有必要让学生训练掌握，下面分析一个此类型的典高考题，体会下其中的思想、奥妙所在。
例4 [2008·辽宁卷]在数列{}n a ，
{b }n 中，112,4a b ==且1,,n n n a b a +等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列n N +∈
1) 求234,,a a a 及234,,b b b 由此猜测{}n a {b }n 的通项公式，并证明你的结论；
2) 证明：11221115 (12)
n n a b a b a b +++<+++ 证明：1）略，直接写出几项进行归纳猜想进而用数学归纳法进行证明。
2）分析：由于此问右边的式子与无关，不能直接用数学归纳法证明，因
此可以加强结论之后再用数学归纳法证明。
当1n =时，11115612
a b =<+不等式显然成立 现用数学归纳法来证明112211151......,21222n n
n a b a b a b n +++<-≥++++ a ）当2n ≥时，有1）知(1)(21)n n a b n n +=++，命题成立
b ）假设当n k =时命题成立，那么当1n k =+时 由归纳假设有112211111511......1222(2)(23)k k a b a b a b k k k +++++<-+++++++ 51151511222(2)(22)122(2)122(1)2
k k k k k <-+=-=-++++++ 所以当1n k =+时命题也成立
故得证。
3.2.3数学归纳法在整除中的应用
数学归纳法与整除性问题相结合，在一定程度上考察了一个学生的思维转换的能力，同时可以体现出学生对数学归纳法的理解与掌握程度。在最近几年里，各省未出此类题型，但是很有命题的趋势，并且有时候技巧性很强，所以值得去研究学习。
例5 求证7121n n +-能被9整除（n 为正整数）
证明：令()7121n g n n =+-
（1） 当1n =时，(1)712118g =+-=能被9整除，所以命题成立
（2） 假设n k =时命题成立，即()7121k g k k =+-能被9整除
那么当1n k =+时，1(1)712(1)1k g k k ++=++-
7(7121)9(82)k k k =+--+
由假设知7(7121)k k +-能被9整除，而9(82)k +也能被9整除
所以(1)g k +能被9整除
因此当1n k =+时命题也成立，所以原命题正确，得证。
说明：此类题型很多考生不能很好的配凑出假设结论出来，那么就要加一项减一项进行处理，对于整除本身是个抽象的问题就感觉困难，如果能找出此题的突破口，此类题就是比较好处理的。但是往往同学们很难把握到，针对这个问题，我们寻求另一种论证方法：“作差”，即求(1)()g k g k +-的差，其优点是方法统一，容易显露问题的核心，便于寻求推证的途经，读者可以将这两种方法进行比较。 另证：令()7121n g n n =+-
(1)当1n =时，(1)712118g =+-=能被9整除，所以命题成立
(2)假设n k =时命题成立，即()7121k g k k =+-能被9整除
那么当1n k =+时，1(1)712(1)1k g k k ++=++-
则
1(1)g(k)(712(1)1)(7121)k k g k k k ++-=++--+- 6(72)18(21)k m =+=+
其中m 为整数
所以当1n k =+时命题也成立
所以原命题正确
3.3数学归纳法在几何中的应用
高考中用数学归纳法证明几何问题至今高考题中还没出现，但是思维是活跃的，可以激发学生的空间想象潜力，在将来知识爆炸的时代，选择优秀的人才，用数学归纳法证明几何问题将会是很好的选择，下面探究用数学归纳法证明几何问题的典型试题。
例6 平面内有n 条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，求证它们：
（1） 共有1()(1)2
f n n n =-个交点； （2） 互相分割成2()
g n n =条线段；
（3） 把平面分割成1()(1)12
h n n n =++个部分
[分析] 本题利用几何法证明比较困难，因与n 自然数有关，可考虑数学归纳法，结合图形，只要明确增加一条直线后发生的变化即可进行证明。
[证明] （1）当1n =时(1)0,(1)1,(1)2f g h ===与图形性质相同，命题成立。
(2) 假设1(2)n k k =-≥时，命题成立，则当n k =时，考查1n k =-及 增加一条直线l ，这一条直线与原来的1k -条直线的关系是它们都相交，各有一个交点。所以(k)(1)1f f k k =-+-又因为增加的一条直线l 被原来的1k -条直线分割成k 段（即增加的1k -个点把l 分成k 段）而l 又把原来的1k -条直线每条多分出一段（即增加的1k -个交点把各交点所在的线段一分为二），共增加了1k k +-条线段。所以(k)(1)1(1)21g g k k k g k k =-++-=-+-
又因为l 被分割成k 段，每段把该段所在的部分平面分成两部分，总共多出k 个部分平面。所以(k)(1)h h k k =-+，由假设易知1()(1)2f k k k =
-，2(k)g k =，1(k)k(k 1)12
h =++故n k =时命题成立 由（1）（2）知，对任何n N +∈命题都成立。
[点评] 利用数学归纳法证明几何问题要语言叙述准确清楚，一定要讲清从n k =到1n k =+时，新增加量是多少，也就是变化的状态。一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法，即在原来k 的基础上，再增加1个，进而证明。也可以从1k +个中分减1个来，剩下的k 个利用假设。
4、数学归纳法的教学研究
4.1 对数学归纳法的教学建议
数学归纳法的知识点对于第一次接触的高中生来讲是一个很难理解的抽象问题，在一定程度上会阻碍他们理解该知识点，因此合理的教学在一定程度上会帮助学生克服面临的困难，与此同时可以帮助学生更好把握数学归纳法的题目，夺得更高的分数。下面提出几点教学的建议，此建议是根据《普通高中课程标准试验教科书数学选修2-2》数学归纳法知识排版选题提出的。
(1) 对数学归纳法原理的理解是这一节的难点，一定要特别注意
对数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的特别方法，其实它更应该反映的是一种递推的数学思想，先存在一个使结论成立的最小正整数0n ，这是递推的基础，在这个基础上，假设当0(,)n k k n k N +=≥∈时，命题成立，根据这个假
设，如能推出当n=k+1时命题也成立，那么久可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。这是递推的一句。有了这个一句，加上递推的基础，就可以说明对所有0n n ≥的正整数n ，命题都成立。
(2) 通过教学要让学生认识到数学归纳法的两个步骤缺一不可。
数学归纳法的两个步骤缺一不可，教学中要向学生强调这一点。如果命题只证到0n n =成立，就断定对一切正整数n 都成立，即不做第二步证明，这就是不完整归纳，不足以证明命题的正确性。但没有第一步，也是不正确的。有些命题，如果只作第二步，完全可以做通，但事实上它们是不成立的。如
1123(1)12
n n +++++L +n=。 若n=k 时,1123k(k 1)12
+++++L +k= 则可推得n=k+1时，11123(1)k(k 1)1(1)(1)(2)122
k k k k ++++++++=+++L +k+=，然而n=1时命题成立显然不成立。这个例子说明，数学归纳法的两个步骤是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，另一个是递推的依据（延续关系），二者缺一不可，教学中可以通过反例来让学生体会这一点。
(3) 教学中应引导学生特别注意根据题意找准初始值
（不是每个问题的初始值都是1）
教材所给例子中虽然第一步中的起始值都是从n=1开始的，但其实n 从几开始要依据题目而论，只不过从n=1开始的题目比较普遍，难度也不太大，这一点教师可以依据学生情况做一补充。另外，在第一步骤中，只需证明n 取第一个值时命题成立就可以了，无需继续验证其他有限个值，因为一旦有了“第一个”的基础，再有第二部递推的依据，即保证了n 取第2个，第3个……值时命题的正确性。
4.2 数学归纳法解题技巧
（1）起点前移：有些时候验证1比较困难，可以用验证成立代替验证，当然其他的点也可以向前移动，只要符合前移的起点对结论成立并且容易验证，为了简化问题，有意向前移动起点。
（2）起点增多：有些命题在证明向这一步时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．
（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，可以改变跨度来实现，但是这样操作就会使起点增多。
（4）选择恰当的假设方式：归纳假设不是一定要用“假设时命题成立”，0=n 1=n k n =1+=k n k n =
我们可以根据题目的意思选取第一类、第二类、跳跃、反向数学归纳法的假设形式，灵活巧妙的处理。
（5）变换命题：有些时候我们需要利用一个辅助命题来帮助完成证明，也有的时候可以改成等价命题或则将证明的结论加强。这样才可以使用数学归纳法证明。
参考文献
[1] 孙宏安.帕斯卡与数学归纳法[J].数学通报,1997(9)：28-30.
[2]罗增儒.关于数学归纳法的逻辑基础[J].数学教学,2004(8)：17-18.
[3] 冯进.数学归纳法的发展历程[J].常热理工学院学报，2008(8)：21-25.
[4] Rabinovitch L.RabbiLevi ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction [J].Archive for History of Exact Sciences,1970(6): 237-248.
[5] 史久一，朱梧槚著．化归与归纳·类比·猜想．大连理工大学出版社，2008：16-20.
[6]朱华伟.高中数学新课程标准中的归纳法[J].数学通讯,2005(13）：26-30.
[7] 黄光谷、黄川、蔡晓英、李杨.吉米多维奇数学分析习题集选解[M]. 出版社地址：华中科技大学出版社,2006:25-26.
[8] 2011年IMO中国国家集训队教练组编.2011走向IMO[M].上海：华东师范大学出版社，2011：30-31.
致谢
本论文是在导师刘育兴副教授悉心指导下完成的，导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不禁使我树立了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还是我明白了许多待人接物与为人处事的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢!