宁夏银川一中2017届高三上学期第一次月考数学(文)试卷

银川一中2017届高三年级第一次月考

数 学 试 卷（文）

命题人：

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．若复数22(3)(56)i m m m m -+-+（R m ∈）是纯虚数，则m 的值为 A ．0 B ．2 C ．0或3 D ．2或3 2．设U =R ，A ={x |x 2-3x -4＞0},B ={x |x 2-4＜0},则=B A C U )(

A ．{x |x ≤-1,或x ≥2}

B ．{x |-1≤x ＜2}

C ．{x |-1≤x ≤4}

D ．{x |x ≤4} 3．已知α是第三象限角，3

4

tan =α,则αcos = A ．

54 B ．53 C ．53- D ．5

4- 4．已知命题:p 对任意x R ∈，总有20x

>；:"1"q x >是"2"x >的充分不必要条件，则

下列命题为真命题的是

A ．q p ?∧ .

B p q ?∧? .

C p q ?∧ D.q p ∧ 5．曲线2

x

y x =

-在点（1，-1）处的切线方程为 A ．y =x -3 B ．y =-2x +1 C ．y =2x -4 D ．y =-2x -3 6．函数x x

x f 2log 1

)(+-

=的一个零点落在下列哪个区间 A ．)1,0( B ．)2,1( C ．)3,2( D ．)4,3(

7．已知函数2

(1)y f x =-定义域是??，则y =f （2x +1）的定义域

A ．[]05

2， B ．]7,4[- C ．]4,4[- D ． ]2

3,1[- 8．将函数)3

2cos(3π

+

=x y 的图像向右平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于原点

对称,则m 的最小值是 A ．

4π B ．3π C ．56

π D ．125π

9．函数)2(log )(ax x f a -=在[]3,0上为增函数，则a 的取值范围是

A ．??

? ??1,3

2

B ．（0，1）

C ．??

? ??

32,0 D ．[)+∞,3

10．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为

A B C D 11．设f （x ）是奇函数，且在（0，＋∞）内是增加的，又f （－3）＝0，

则x·f （x ）＜0的解集是

A ．{x ｜－3＜x ＜0，或x ＞3}

B ．{x ｜x ＜－3，或0＜x ＜3}

C ．{x ｜－3＜x ＜0，或0＜x ＜3}

D ．{x ｜x ＜－3，或x ＞3}

12．已知函数()y f x =的定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，'()()

xf x f x <-

（其中'()f x 是()f x 的导函数），若a =，(lg3)(lg3)b f =，

2211

(log )(log )44

c f =，则

A ．c a b >>

B ．c b a >>

C ．a b c >>

D ．a c b >>

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．将函数）（3

2sin

2π

+=x y 的图像向右平移

4

1

个周期后，所得图像对应的函数为___________________.

14．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若f （x －2）＞ｆ（3），则x 的取值范围是

__________.

15．已知直线y =e x +1与曲线)ln(a x y +=相切，则a 的值为 ．

16．已知函数f (x )＝2,0ln ,0

x e x x x ?-≤?>?（其中e 为自然对数的底数），则函数y =f (f (x ))的零点等

于 .

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）

已知函数()sin()1f x A x ω?=++（0,0A ω>>，2

2

π

π

?-

≤≤

）的图像关于直线x

＝π

3对称，最大值为3，且图像上相邻两个最高点的距离为π。 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的解析式； （3）若7

(

)2

3

5

f θ

π

+

=

,求sin θ． 18.（本小题满分12分）

设()4sin(2)3

f x x

π

=-（1）求()f x 在[0,

2

π

上的最大值和最小值；

（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移

23

π

个单位，得到函数()y g x =的图象，求g(x)的单调减区间。 19．（本小题满分12分）

已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x > 时，()23

x f x x

=-. （1）求()f x 的解析式；

（2）若对任意的t R ∈，不等式2

2

(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.

20．（本小题满分12分）

已知函数2

(),()ln a f x x g x x x x

=+=+，其中1a ≥。 （1）若x =2是函数f (x )的极值点，求()()()h x f x g x =+在（1，h (1)）处的切线方程；

（2）若对任意的[]12,1,x x e ∈（e 为自然对数的底数）都有12()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围。 21

．（本小题满分12分）

(1)当a =1时,求函数f (x )在[1,e ]上的最小值和最大值; (2)当a ≤0时,讨论函数f (x )的单调性;

(3)是否存在实数a,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1

≠x 2,.若存

在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答

时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为 割线，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一 点，且DE 2=EF ·EC .

（1）求证：∠P =∠EDF ； （2）求证：CE ·EB =EF ·EP ．

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程。

在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:C cos ()sin x y θ

θθ

=??

=?为参数，

以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线

:(2sin )6l cos ρθθ-=．

（1）将曲线1C 上的所有点的横坐标、2倍后得到曲线2C 试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；

（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值． 24．（本小题满分10）不等式选讲

已知函数()||21().f x x a x a R =++-∈ （1）当1a =时，求不等式2)(≥x f 的解集；

（2）若x x f 2)(≤的解集包含1,12??

????

，求a 的取值范围.

2017届银川一中高三第一次月考数学(文科）答案

一．A BCAB ， BDDCD ， CA

二．13．）（62sin

2π

-=x y 14。()1,5- 15。e

3

16。e 17．（12分）

解：（1）∵图像上相邻两个最高点的距离为π。∴?(x )的最小正周期T ＝π.……4分 (2)∵最大值为3， ∴A+1=3，∴A=2. 由（1）∴?(x )的最小正周期T ＝π. ∴2ω=. 又因为f (x )的图像关于直线x ＝π

3

对称，

所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，k ∈Z, 则φ＝k π－π

6.

又2

2

π

π

?-

≤≤

，所以φ＝－π

6.

∴函数f(x)的解析式为()2sin(2) 1.6

f x x π

=-+ …………8分

（3）∵7

(

)2sin[2()]12sin()12cos 12323625

f θ

πθπππθθ+=+-+=++=+=,

∴1cos 5θ=

, ∴sin 5

θ===±

…………12分

18. （12分）解：（I ）()f x 的最大值是 …………6分 （2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到

4sin()3

y x π

=-+.

再把得到的图象向左平移23π个单位，得到4sin()3

y x π

=++.

∴()4sin()3

g x x π

=++ …………9分

由3222

3

2k x k π

π

πππ+

≤+

≤+

?722.66

k x k ππππ+≤≤+ ∴g(x)的单调减区间是7[2,2]().6

6

k k k Z π

π

ππ++

∈ …………12分 19.（12分）

解：（1） 定义域为R 的函数()f x 是奇函数 ()00f ∴=.

当0x <时，0x -> ()23

x f x x -∴-=--

又 函数()f x 是奇函数 ()()f x f x ∴-=- ()23

x f x x -∴=+ …………………………………………5分

综上所述 ()()()()

2

030

0203

x x f x x x x x

x -=?->??

=???+

（2）0)0(6

1

)1(=>=

-f f ,()

f x 为R 的单调函数 ∴()

f x 在R 上单调递减.

由22

(2)(2)0f t t f t k -+-<得22(2)(2)f t t f t k -<--

()f x 是奇函数 22(2)(2)f t t f k t ∴-<-

又 ()f x 是减函数 ∴2222t t k t ->- 即2320t t k -->对任意t R ∈恒成立

4120k ∴?=+< 得1

3

k <-即为所求。 ……………………12分

20．（12分）（1）解：∵2

2()1a f x x

'=-, ∵x=2是函数f(x)的极值点，

∴()20f '=， 即2

14

a -．又a≥1, ∴a=2

∴4()()()2ln h x f x g x x x x =+=++, ∴241()2h x x x

'=-+, ∴241

(1)2111

k h '==-

+=-, 又h(1)=6 ∴所求的切线方程是 y-1=-(x-6),即 y=-x+7. …………6分

（2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ????≥()max g x ????． ……5分

当x ∈［1，e ］时，()1

10g x x

'=+

>． ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．

∴()()max

1g x g e e ==+????

．

∵()()()222

1x a x a a f x x x

+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ① 当1≤a ≤e 时，

若1≤x ＜a ，则()()()2

0x a x a f x x +-'=

<，

若a ＜x ≤e ，则()()()2

0x a x a f x x +-'=

>．

∴函数()2

a f x x x

=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．

∴()()min 2f x f a a ==????. 由2a ≥1e +，得a ≥

12

e +， 又1≤a ≤e ，∴1

2e +≤a ≤e ． …………9分

②.当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()2

0x a x a f x x +-'=

<，

∴函数()2

a f x x x

=+在[]1e ，上是减函数．

∴()()2min

a f x f e e e ==+????.由2

a e e

+≥1e +，得a

又a e >，∴a e >． 综上所述，a 的取值范围为1,2e +??

+∞????． …………12分 21．（本小题满分12分）

解：（1）当a=1

[1,]x e ∈

∴当(1,2)x ∈时，()0,f x '? 当(2,)x e ∈时，()0.f x '?

∴f(x)在（1,2）上是减函数，在（2，e ）上是增函数。

∴当x=2时，f(x)取得最小值，其最小值为f(2)=-2ln2. …………2分

又1

(1)2f =-, 2() 2.2

e f e e =

--

2

2123

()(1)20222

e e e

f e f e ---=--+=?, ∴()(1)f e f ?

∴max 1

()(1)2

f x f ==-

. …………4分 (Ⅱ) f(x)的定义域为(0,)+∞，

2(2)2(2)()

()2a x a x a x x a f x x a x x x

+---+'=-+-==。

(1) 当20a -?≤时，

f(x)在（0，-a ）上是增函数，在（-a,2）上是减函数，在(2,)+∞上是增函数。

（2）当a=-2时，在(0,)+∞上是增函数。

（3）2a ?-时， 则f(x)在（0，2）上是增函数，在（2，-a ）上是减函数， 在(,)a -+∞上是增函数。 ………8分

(Ⅲ) 假设存在实数a, 对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,

不妨设120x x ??,

2211()()f x ax f x ax -?-.

令

只要g(x)在(0,+∞)为增函数22222(1)12()2a x x a x a

g x x x x x

-----'=--== 要使()0g x '≥在(0,+∞)恒成立，只需-1-2a≥0，1

2

a ≤-. 故存在1(,]2

a ∈-∞-满足题意。………12分 22．（本小题满分10分）证明（1）∵DE 2=EF·EC ， ∴DE : CE=EF : ED ． ∵∠DEF 是公共角，

∴ΔDEF ∽ΔCED ． ∴∠EDF=∠C ． ∵CD ∥AP ， ∴∠C=∠ P ． ∴∠P=∠EDF ．…………5分

（2）∵∠P=∠EDF ， ∠DEF=∠PEA ，

∴ΔDEF ∽ΔPEA ．∴DE : PE=EF : EA ．即EF·EP=DE·EA ．

∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE·EA=CE·EB ．∴CE·EB=EF·EP ．…………10分

23．（10分）解（Ⅰ） 由题意知，直线l 的直角坐标方程为：260x y --=，………2分

∵曲线2C

的直角坐标方程为：22()12y

+=，

∴曲线2C

的参数方程为：()2sin x y θθθ

?=?

?=??为参数．…………5分

（Ⅱ） 设点P

的坐标,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：

0d ==

，………………7分 ∴当sin （600－θ）=-1时，点P （1,23

-

）

，此时max d ==…………10分 24．（本小题满分10分）解：（1）当1a =时，不等式2)(≥x f 可化为|212||1|≥-++x x ①当12x ≥

时，不等式为23≥x ，解得23x ≥，故2

3

x ≥； ②当1

12

x -≤<

时，不等式为22≥-x ，解得0x ≤，故10x -≤≤； ③当1x <-时，不等式为23≥-x ，解得2

3

x ≤-

，故1x <-； 综上原不等式的解集为20,3x x x ??

≤≥

????

或 。 …………………………5分 （2）因为x x f 2)(≤的解集包含??

?

??

?1,2

1，不等式可化为1||≤+a x ，解得11a x a --≤≤-+，

由已知得11211

a a ?

--≤

???-+≥?，………………………9分

解得302a -≤≤ 。 所以a 的取值范围是3,02??

-????

.…………………10分