不等式、分式
1. 已知关于x 的方程x 2+(2m-3)x+m 2=0的两个不相等的实数根 α、β满足
111=+βα求m 的值
(m=-3 )
2. 已知⊙O 的半径OA=2，弦AB 、AC
X 2-（22+23）x+46=0的两个根，则∠BAC 3. 已知一元二次方程x 2
-4x+k=0有两个不相等的实数根 (1) 求k 的取值范围;
(2) 如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x+k=0
与x 2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m 的值.
（1）由题意知△=16-4k>0，∴k<4
（2）由（1）知k 的最大整数值为3，这时原方程为x 2-x+3=0,解得：x 1=1,x 2=-3;
4. 已知关于x 的方程 x 2
=(3-m)x+42
m =0 有两个不相等的实数根，
那么m 的最大整数值是5. 若t 是一元二次方程ax +bx+c=0(a ≠0)的根，则判别式△＝b 2__4ac 和完全平方式
M=(2at+b)2的关系是△=M
6. 先化简，再求值：a -2，其中2=a
分
7. 已知关于x 的一元二次方程0)32(22=+-+m x m x 的两个不相等的实数根α、β满足11
1
=+βα，求m 的值。
m=－3，舍去m=1
8. ）＋（）－（＋－ab
b a ]a b a b b a a [2÷ b
9. 解方程11
-x 1-1-x 22= 1x ,2-x 21==（增根）
10. 不等式组??
?-+2804＜＞x x 的解集是 。－4 12. 先化简再求值。 1 3)1111(2+÷--+x x x x ，其中x=2。 13. .若a>0，且-2a 14. 求值 30 cos 60cot 45tan 60sin 45cos 30tan + 15. 设a b ，是方程220160x x +-=的两个实数根，则2 2a a b ++的值为 16. 关于x 的一元二次方程2 210x mx m -+-=的两个实数根分别是 12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是 13 17. 已知x 1、x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则 21x x +12 x x 的值为 设方程071012=-+-k x x 的一个根的3倍少7为另一个根，求k 的值。 18. 已知x 是一元二次方程x 2－2x ＋1＝0的根，求代数式 x －3 3x 2－6x ÷? ???x ＋2－ 5 x －2 的值． 19. 计算：20121)1(60tan 2)2 1(27----+-ο 20. 先化简22444()2x x x x x x -+÷-- ，然后从x <<个合适的整数作为x 的值代入求值。 21.解不等式3(1)2(9)34140.50.2x x x x -<+??-+?-≤-?? 22. 若关于x 、y 的二元一次方程组533x y m x y m -=-?? +=+? 中，x 的值为负数，y 的值为正数，求m 的取值范围. －2＜m ＜0.5 2.3分式不等式的解法 上海市虹口高级中学 韩玺 一、 教学内容分析 简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容 .对一 个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法 这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握 二、 教学目标设计 1、 掌握简单的分式不等式的解法 ? 2、 体会化归、等价转换的数学思想方法 . 三、 教学重点及难点 重点简单的分式不等式的解法? 难点不等式的同解变形? 四、 教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入 某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶 梯上楼（楼 梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的 2倍，他俩 同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几 倍? 设楼梯的长度为S ,甲的速度为V ,自动扶梯的运行速度为 V 0. S ,乙上楼所需时间为 V V o 整理的丄 - V 2V 0 +V 由于此处速度为正值，因此上式可化为2V 0 V 2V ,即V ? 2V 0 .所以, 甲的速度应大于自动扶梯运行速度的 2倍. 2、分式不等式的解法 X +1 例1解不等式： ?2. 3x —2 于是甲上楼所需时间为 由题意，得 V o 』：0 3x -2 (X —1 >0 = (3x —2Xx —1)vO ,可以简化上述解法? 3x 一2 ：： 0 a a 另解：（利用两数的商与积同号（ O= ab ?0, O= ab ：：：0 ）化 b b 为一元二次不等式） 2 ^2 = 3x -2 X -1 ：：： 0 X <1 ,所以，原不等式的解集为',1 3 13 J 由例1我们可以得到分式不等式的求解通法： （1） 不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零 （2） 利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解 一般地，分式不等式分为两类： f （X ） （1） 0（ : ： 0）二 f X g X 0 （ ：： 0）； g X f （x ）" VC j f （χ）g （χp °（兰 °） （2） 0 （匕 0） ? g X g X =0 U 2= 1-2 0 = 3x —2 3x —2 3x -2 x-1 3x -2 ： ： 解：（化分式不等式为 次不等式组） 丄丄2 3x —2 3X —2 一2 2 3x -2 亠。 3x -2 X -1 :： 0 3x -2 0 或 x —1 0 3x-2 ：： 0 X : 1 2 或 X - 3 X 1 2 X 一 3 Ig I 或X 不 存在? 所以，原不等式的解集为 31 -， 即解集为 2,i x-10 课 题：分式不等式 高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解； 分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等 式的解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4 ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……； ②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1 放缩法的常见技巧 （1）舍掉（或加进）一些项（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。（6）构造等比数列进行放缩。（7）构造裂项条件进行放缩。（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。 使用放缩法的注意事项 （1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。 （3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。 先介绍工具 柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积） 均值不等式 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 绝对值三角不等式 定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时， 等号成立． 常用放缩思想 这几个务必牢记 不常见不常用的不等式 这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了下面就是常用思路了，主要就是裂项部分 二项平方和 f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0 1.分式不等式中的典范，典范中的典范，放缩、裂项、去等，步步精彩 解析： 步步经典，用笔化化就能明白思想，换元或许更直观，即令 t=1/（x+2） 第一步意义--开不了方的，开方，并且可取等号 第二步意义--开不了方的，开方，裂项，并且可取等号 个人认为这俩个放缩，很犀利，没见过，看似难实则简单， 看似简单实则难 2.构造+三角形★★★★ 平面内三点A、B、C，连接三点，令AB=c，AC=b，BC=a，求 解析： 构造，主要就是构造，b/c就是很明显的提示。 三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 构造★★★★ 一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值） 利用绝对值的定义：（零点分段法） 利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 分解因式； 3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取 的根打实心点，不能去的打空心）； 4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)； 一元二次不等式解法步骤： 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 首先考虑分解因式；不易分解则判断?，当0?≥时解方程（利用求根公式） 3） 画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 3 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?； 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -< 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表： 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b 2a 没有实数根 ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞ 0)的解集 {x |x ＞x 2或x ＜x 1} ? ?? ???x |x ≠－b 2a R ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞ 0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ? ? 2．简单分式不等式的解法： 0)()(0) ()(>??>x g x f x g x f ； () 0()f x g x ≤?________________ 1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2) 2．不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． A.????－12，1 B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D .????－∞，－12∪(1，＋∞) 3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )． A.? ??? ??x |x ≠－13 B.? ??? ??－13 C.? ?? ? ??x |－13≤x ≤13 D ．R 4．若不等式ax 2 ＋bx －2＜0的解集为? ?? ???x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )． A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26 5．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 例题选讲： 例2：求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 例3：已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 分式 摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一，本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与 证明分式不等式，从而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。 关键词：分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法 二．利用基本不等式法 均 值 不 等 式 即 ： 利用不等式 ∑ =n i y i x m i n 11 ≥∑=∑=n i y i n n i x i n m 1 11)1(∑=-∑=n i i m m y x n n i i 1 2 1 1)(（2,1,,=∈+i R y x i i ）证明一 类难度较大的分式不等式是很简捷的。 例2.若1,2)(i R =∈+ a i 且N m s n i i a ∈=∑=,1 ，则有∑+=-n i m a a i i 1 ) (1)(s n n s m n +≥ 证明:(1)当m=1时， ∵n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-=，s n a n i i 2 1 1 ≥∑=-，所以有：)1 1 (a a i n i i +∑=-=∑∑==-+n i i n i i a a 1 1 1 ≧s n 2 +s=n(n s s n +) (2)当m=2时, )1 1 (a a i n i i +∑=-≧ n m 2 1 -n i i n i m a a ∑+=-1 )(1≧n )( n s s n m + 综上，由（1）（2）知原不等式成立。 排序不等式即，适用于对称不等式 例3.设a,b,c 是正实数，求证： 23 ≥+++++b a c a c b c b a 证明：不妨设a ≧c b ≥则b a a c c b +≥+≥+1 11 由排序不等式得： ≥+++++b a c a c b c b a b a a a c c c b b +++++ (1) ≥+++++b a c a c b c b a b a b a c a c b c +++++ (2) 由（1）+(2)得 2（ b a c a c b c b a +++++）3≥，所以2 3≥+++++b a c a c b c b a 利用倒数不等式即:若a i >0,则n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-= 例4．设βα,都是锐角，求证：且βα,取什么值时成立？ 证明：1cos sin 2 2=+βα，不等式左边拆项得： ββαcos sin sin cos 2 2 2 2 1 1 + = β αβααsni 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 1 1 1 + + 又由于1sin sin cos sin cos 2 2222=++βαβαα 由倒数不等式有: ) (sin sin cos sin cos 2 2 2 2 2 βαβαα++)1 1 1 ( 2 2 2 2 2 sin cos sin cos β αβααsni + + ≥9 所以原不等式成立 当且仅当βαβααsin sin cos sin cos 2 2222==即2tan ,1tan ==αβ时等 分式不等式的解法 一．学习目标： 1．会解简单的分式不等式。 二．学习过程 （一）基础自测 1．解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)－x 2＋7x >6 (3)()()015<+-x x . （二）尝试学习 2.解下列不等式 （1）121 >+-x x （2）2x ＋11－x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x ＋5(x －1)2≥2 （三）巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是（ ） .A }2131|{>- 1．不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4．不等式1x x -≥2的解集为（ ） .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5．解下列不等式 （1）2x ＋11－x <0 （2）x ＋12x －3≤1 四．作业 解不等式：（1） 0324≤+-x x （2）321≥-+x x 分式不等式放缩裂项证明 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些项（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩(例如均值不等式）。（4）应用函数的单调性进行放缩（5）根据题目条件进行放缩。（6）构造等比数列进行放缩。（7）构造裂项条件进行放缩。（8）利用函数切线、割线逼近进行放缩。 使用放缩法的注意事项 （1）放缩的方向要一致。（2）放与缩要适度。 （3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。 先介绍工具 柯西不等式（可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积） 均值不等式 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 绝对值三角不等式 定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|? 推论1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|? 此性质可推广为|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推论2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|? 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成 立． 常用放缩思想 这几个务必牢记 不常见不常用的不等式 这几个一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了 下面就是常用思路了，主要就是裂项部分 二项平方和 f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0 （一）分式不等式： 型如： 0)()(>x x f ?或0) () ( 练一练：解关于x 的不等式 051)1(>--x x 3532 )2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式： 23 2 ≥+-x x 解： 023 2 ≥-+-x x 03) 3(22≥++--x x x 即， 038 ≥+--x x 03 8 ≤++x x （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正） 等价变形为：? ? ?≠+≤++030 )3)(8(x x x ∴原不等式的解集为[)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23 28 2<+++x x x 方法一：322 ++x x 恒大于0，利用不等式的基本性质 方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式：1≥x a 解：移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即，0≤-x a x 等价转化为，?? ?≠≤-0 )(x a x x 当a>0时，原不等式的解集为],0(a 当a<0时，原不等式的解集为)0,[a 当a=0时，原不等式的解集为φ 分式不等式的证明与方法 摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一，本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与 证明分式不等式，从而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。 关键词：分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法 二．利用基本不等式法 均 值 不 等 式 即 ： 利用不等式 ∑ =n i y i x m i n 11 ≥∑=∑=n i y i n n i x i n m 1 11)1(? ∑=-∑=n i i m m y x n n i i 1 2 1 1)(（2,1,,=∈+i R y x i i ）证明一 类难度较大的分式不等式是很简捷的。 例2.若1,2)(i R =∈+ a i 且N m s n i i a ∈=∑=,1，则有∑+=-n i m a a i i 1 )(1)(s n n s m n +≥ 证明:(1)当m=1时， ∵n a a n i i n i i 2 1 1 1 ≥∑∑=-=，s n a n i i 2 1 1 ≥∑=-，所以有：)1 1 (a a i n i i +∑=-=∑∑==-+n i i n i i a a 1 1 1 ≧s n 2 +s=n(n s s n +) (2)当m=2时, )1 1 (a a i n i i +∑=-≧ n m 2 1 -n i i n i m a a ∑+=-1 )(1≧n )( n s s n m + 综上，由（1）（2）知原不等式成立。 排序不等式即，适用于对称不等式 例3.设a,b,c 是正实数，求证： 23 ≥+++++b a c a c b c b a 证明：不妨设a ≧c b ≥则b a a c c b +≥ +≥+1 11 由排序不等式得： ≥+++++b a c a c b c b a b a a a c c c b b +++++ (1) ≥+++++b a c a c b c b a b a b a c a c b c +++++ (2) 由（1）+(2)得 2（ b a c a c b c b a +++++）3≥，所以2 3≥+++++b a c a c b c b a 利用倒数不等式即:若a i >0,则n a a n i i n i i 2 1 11 ≥∑∑=-= 例4．设βα,都是锐角，求证：且βα,取什么值时成立？ 证明：1cos sin 2 2 =+βα，不等式左边拆项得： ββαcos sin sin cos 2 2 2 2 1 1 + = β αβααsni 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 1 1 1 + + 又由于1sin sin cos sin cos 2 2 2 2 2 =++βαβαα 由倒数不等式有: ) (sin sin cos sin cos 2 2 2 2 2 βαβαα++)1 1 1 ( 2 2 2 2 2 sin cos sin cos β αβααsni + + ≥9 所以原不等式成立 当且仅当βαβααsin sin cos sin cos 2 2222==即2tan ,1tan ==αβ时等 不等式分式与分式方程 【考纲说明】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【趣味】 【知识梳理】 一．不等式部分 考点一、不等式的相关概念 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种：“≠”、“＞” 、“＜” 、“≥”、“≤”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式 求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式. 要点诠释： 不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 考点二、不等式的性质 性质1： 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2： 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或a c ＞ b c ）． 性质3： 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或a c ＜ b c ）． 高三数学 序号004 高三 年级 班 教师 方雄飞 学生 分式不等式及简单的绝对值不等式的解法 学习目标 1、知识与技能：会求简单的分式不等式、简单的含绝对值不等式以及简单的高次不等式。 2、过程与方法： 通过知识点与实例巩固复习，体会数形结合及转化的思想在解题中的应用 3、情感态度与价值观：培养认真参与、积极交流的主体意识和乐于思考、踏实肯学的精神。 学习重点：绝对不等式与分式不等式的方法与步骤； 难点：注意数形结合和等价转化的思想在解题中的应用 教学过程 一、知识归纳 1、分式不等式的解法 思路是：“分式不等式??→?转化整式不等式”； 主要方法有：分类讨论、转化为整式 即: ?>0)()(x g x f ?≥0)() (x g x f 同理： ?<0)()(x g x f ?≤0) () (x g x f 2、简单的含绝对值不等式 思路是：“去掉绝对值符号”； 方法：平方法、定义法（讨论法）、几何意义法（等价变形） 即：a x a x a a x -<>?>>或)0(； a x a a a x <<-?><)0( 推广：?>≠>-)0,0(c a c b ax c b ax c b ax -<->-或 ?>≠<-)0,0(c a c b ax 3、简单的高次不等式的解法：标根法 思路：（1）、把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是0的形式； （2）、各因式中x 的系数全部变为1，约去偶次因式； （3）、把各个根从小到大依次排好标出，从右上方向左下方“穿针引线”； （4）、严格检查因式的根（特别是约去的偶次因式的根）是否在解集内； 二、例题讲解 题型1 分式不等式的解法 例1、解不等式：（1）、1213≥--x x （2）、05 46 52 2>--++x x x x ； 方法点拨1：解分式不等式的步骤：（1）先化为标准型，即 )0(0) () (<>或x g x f ； （2）转化为整式不等式； （3）解不等式时应注意“系数符号、不等号的方向以及考虑分母不为零” 练习1、解不等式：（1）、021≤-x （2）、021 2>--x x （3）21≤+x x （4）、22 06 x x x x +<+- 题型2 绝对值不等式的解法 例2、解不等式：（1）392≥-x ； （2）125x x -++< 练习2、解不等式：（1）、12≤+x （2）、311<+ 2.3分式不等式的解法 上海市虹口高级中学 韩玺 一、教学内容分析 简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握. 二、教学目标设计 1、掌握简单的分式不等式的解法. 2、体会化归、等价转换的数学思想方法. 三、教学重点及难点 重点 简单的分式不等式的解法. 难点 不等式的同解变形. 四、教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入 某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍. 设楼梯的长度为s ，甲的速度为v ，自动扶梯的运行速度为0v . 于是甲上楼所需时间为 s v ，乙上楼所需时间为02 s v v + . 由题意，得 2 s s v v v < +. 整理的 0122v v v <+. 由于此处速度为正值，因此上式可化为022v v v +<，即02v v >.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍. 2、分式不等式的解法 例1 解不等式： 1 232 x x +>-. 解：（化分式不等式为一元一次不等式组） 1232x x +>-?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?10320x x -?或10320x x ->??-??或12 3x x >?? ??或 10 320 x x ->?? -?>，00a ab b -?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?()()3210x x --（0<）?()()0f x g x >（0<） ； （2） ()()0f x g x ≥（0≤）?()()()()000 f x g x g x ≥≤??? ≠??. 《分式不等式与简单高次不等式的解法》导学案 内容： 课时： 1 年级：高二 学习目标 1.掌握分式不等式向整式不等式（或不等式组）的转化方法； 2.会将高次不等式转化为一次、二次不等式求解； 3.能熟练运用“穿针引线”法求高次不等式的解。 自主预习（课前） （Ⅰ）走进教材预习完成，分小组课堂展示预习成果！（5分钟） 1.将分式不等式等价转化为整式不等式 ① 0) ()(>x g x f ?_______或________ ，② 0)()( 二次不等式、分式不等式的解法（二） 示标——知识归纳 1、不等式的结构 ()???????????--????????????指数、对数不等式等 超越不等式绝对值不等式无理不等式分式不等式高次一次、二次、整式不等式有理不等式代数不等式不等式 2、这些不等式解法的化归思路主要是： ???? ?????化去绝对值超越化为代数无理化为有理分式化为整式高次化为低次)5()4()3()2()1(最后化为???二次不等式一次不等式组 施标——应用举例 例1 解关于x 的不等式： （1）).(03222R a a ax x ∈>--（2）).0(0)1(22≠<++-a a x a ax 解（1）.,30322122a x a x a ax x -===--有二根 当0=a 时，021==x x ，解集为);,0()0,(+∞-∞ 当0a 时，,21x x > 解集为).,3(),(+∞--∞a a （2）0)1(22=++-a x a ax 有二根 .1,21a x a x = = 当0>a 时，原不等式化为,0)1)((<--a x a x 当1=a 时，解集为φ； 当10<a 时，解集为).,1(a a 当0--a x a x 当1-=a 时，解集为);,1()1,(+∞---∞ 当1-a 与0<--a a x a x ， )0(0)1)((<>--a a x a x 。它们的解集迥然不同。 教学目标 （1）能熟练运用不等式的基本性质来解不等式； （2）在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上，掌握分式不等式、高次不等式的解法； （3）能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式（组）来解； （4）通过解不等式，要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想； （5）通过解各种类型的不等式，培养学生的观察、比较及概括能力，培养学生的勇于探索、敢于创新的精神，培养学生的学习兴趣． 教学建议 一、知识结构 本节内容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上，进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则，将这些不等式等价转化为一次不等式（组）或二次不等式的求解，具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式为： ; ; ; 二、重点、难点分析 本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处,但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的,由于不等式的解集一般都是无限集,如果产生了增根却是无法检验加以排除的,所以解不等式的过程一定要保证同解,所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式 的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式,当为一元一次 式时,可直接解这个不等式组,但当为一元二次式时,就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式,分别求解在求交集. 三、教学建议 (1)在学习新课之前一定要复习旧知识,包括一元二次不等式的解法,简单的绝对 值不等式的解法,简单的分式不等式的解法,不等式的性质,实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生,这一环节不可忽视. (2)在研究不等式的解法之前,应先复习解不等式 组的基本思路以及不等式的解法,然后提出如何求不等式 的解集,启发学生运用换元思想将替换成,从而转化一元二次不等式组的求解. (3)在教学中一定让学生充分讨论,明确不等式组“”中 的两个不等式的解集间的交并关系，“”两个不等式的解集间的交并关系. (4)建议表述解不等式的过程中运用符号“”. (5)建议在研究分式不等式的解法之前,先研究简单高次不等式(一端为0,另一端是若干个一次因式乘积形式的整式)的解法.可由学生讨论不同解法,师生共同比较诸法的优劣,最后落实到区间法. (6)分式不等式与高次不等式的等价原因, 可以认为 是不等式两端同乘以正数,不等号不改变方向所得;也可以认为是 与符号相同所得. (7)分式不等式求解时不能盲目地去分母，但当分母恒为正数(如分母是 )时，应将其去掉，从而使不等式化简. 【知识点梳理】 一、可解的一元高次不等式的标准形式 (x x1)( x x2 )L ( x x n ) 0(0) （1）左边是关于 x 的一次因式的积； （2）右边是 0； （3）各因式最高次项系数为正。 二、一元高次不等式的解法 数轴标根法： 1、将高次不等式变形为标准形式； 2、求根x1, x2,L , x n，画数轴，标出根；使等号成立的根, 标为实点 , 等号不成立的根 要标虚点 . 3、从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“奇穿偶回” 数轴上方曲线对应区域使“ >”成立 , 下方曲线对应区域使“ <”成立 . 二、分式不等式 方法 1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。 方法 2：在分母不为0 的前提下，两边同乘以分母的平方。 通过例 1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）： （1）f x 0 f x g x 0 f x f x g x 0 （ 2） x x 0 g x g g 解题方法：数轴标根法。 解题步骤：（ 1）首项系数化为“正” ；（ 2）移项通分，不等号右侧化为“ 0”；（ 3）因式分解，化为几个一次因式积的形式；（ 4）数轴标根。 x a1 x a2 x a m 0 或0 ，再用数轴标根法归纳：分式不等式主要是转化为 x b n x b1 x b2 求解。 【典型例题】 例 1、解不等式 (1)2x 3-x 2-15x ＞0； (2)(x+4)(x+5)2(2-x)4＜0． 例 2、解下列不等式： ⑴ (x+1)(x-1)(x-2)(x-3)>0 ；⑵ (x+2)(x 2+x+1)>0 ； ⑶ (x+2) 2(x+1)<0 ；（4） (x+2) 2(x+1) 0； 2 2 （5） (x -1)(x -5x-6)> 0 例 3、解不等式： x2 3x 2 x 2 7x 0 12 例 4、解不等式：x 2 9x 11 7 x2 2x 1 昌宁二中高二年级数学有效课堂教学学案 编写人：李永兴 授课时间：2014年10月14日（第九周） 课题：分式不等式的解法 一．学习目标： 1．会解简单的分式不等式。 二．学习过程 （一）基础自测 1．解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)－x 2＋7x >6 (3)()()015<+-x x . （二）尝试学习 1．分式不等式的同解变形法则： (1)f (x ) g (x )＞0?________；f (x ) g (x )<0?________。 (2)f (x )g (x )≤0?________；f (x ) g (x )≥0?________。 (3)f (x ) g (x )≥a ?________；f (x ) g (x )≤a ?________。 2.解下列不等式 （1）（2008年北京高考）121 >+-x x （2）2x ＋11－x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4)（2008年山东高考） x ＋5(x －1)2≥2 （三）巩固练习题 1.（2012重庆文）不等式 021<+-x x 的解集是 2.不等式01 312>+-x x 的解集是（ ） .A }2131|{>-分式不等式教案
高考数学 高次分式不等式解法
分式不等式放缩、裂项、证明
分式不等式的解法
一元二次不等式及分式不等式的解法
分式不等式的证明与方法
分式不等式的解法基础测试题回顾.doc
分式不等式放缩裂项证明
专题二、分式不等式的解法
分式不等式的证明与方法
初中不等式分式与分式方程
004分式不等式及简单的绝对值不等式的解法
分式不等式教案
分式不等式与简单高次不等式的解法
二次不等式、分式不等式的解法
分式不等式
(完整word版)分式不等式与一元高次不等式的解法训练.doc
分式不等式的解法