浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用2
目录
1、数学归纳法---------------------------------------------------------- 3
1.1 归纳法定义-------------------------------------------------------- 3
1.2 数学归纳法体现的数学思想----------------------------------------- 4
1.2.1 从特殊到一般------------------------------------------------ 4
1.2.2 递推思想---------------------------------------------------- 4
2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧------------------------------------- 5
2.1 强调------------------------------------------------------------- 5
2.1.1 两条缺一不可------------------------------------------------ 5
2.2 技巧------------------------------------------------------------- 5
2.2.1 认真用好归纳假设-------------------------------------------- 5
2.2.2 学会从头看起------------------------------------------------ 6
2.2.3 在起点上下功夫---------------------------------------------- 7
2.2.4 正确选取起点和过渡------------------------------------------ 8
2.2.5 选取适当的归纳假设形式-------------------------------------- 9
3、数学归纳法在中学数学中的应用 ---------------------------------------- 9
3.1 证明有关自然数的等式--------------------------------------------- 9
3.2 证明有关自然数的不等式------------------------------------------ 11
3.3 证明不等式------------------------------------------------------ 11
3.4 在函数迭代中的应用---------------------------------------------- 12
3.5 在几何中的应用-------------------------------------------------- 14
3.6 在排列、组合中的应用-------------------------------------------- 16
3.7 在数列中的应用-------------------------------------------------- 16
3.8 有关整除的问题-------------------------------------------------- 17
浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用
魏福雄
西南大学数学与统计学院，重庆400715
摘要:数学知识发生过程就是归纳思想应用过程，解题中应用归纳思想,不仅能由此发现给定问题的解题规律，而且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题．本文先叙述了归纳的意义、类型，进而讨论以归纳法为主要工具，去探索和发现数学问题的解题途径．数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法，具有两种基本意义，首先数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它可以为我们提出猜想，为论证提供基础和依据．其次归纳是一种研究方法，归纳是一种又创造性的探索式思维方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用．数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两种基本形式——不完全归纳和完全归纳．本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法：利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题途径等．
关键词：数学归纳法；不完全归纳法；完全归纳法
The simple discussion about mathematical induction and using in high
school math
Wei Fuxiong
School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China
Abstract:
The occurrence process of mathematical knowledge is precisely the application process of inductive https://www.sodocs.net/doc/2018201482.html,ing inductive thinking in problem solving,not only can find a given law for this problem solving,but also can find new objective laws based on practise,put forward a new proposition.This article first describes the significance and type of induction,and then discuss induction as the main tool, to explore and discover mathematical problem solving approach.Mathematical induction, as summarized by the general as a special way of thinking, has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argument. Second, induction is a research method, induction is a creative exploration of another type of thinking, can develop intelligence, broaden thinking, leads to speculation, it plays an important role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical induction, in accordance with its general matter is completely divided into two basic forms - incomplete induction and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical induction to find and put forward mathematical suppose, using induction to find conclusions of the problems, using induction to find problem-solving approach.
Key words:Mathematical induction;incomplete induction ;complete induction
1、数学归纳法
1.1 归纳法定义
大家知道，数学中的许多命题都和正整数n有关，这里所说的n，往往是指任意的一个自然数，因此，这样的一个问题也就是一整数命题．在数学问题中，每一类问题都有一种专门的方法来解决．数学归纳法可以说是解决有关整数问题的一种工具．归纳法是从个别的论断归结出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法．归纳法的基础是观察与实践，它是人类认识自然、总结生活、生产经验、处理科学实验材料的一种十分重要而有普遍应用的思想方法．在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．流行于我国各地的农谚如“瑞雪兆丰年”、“霜下东风一日晴”等，就是农民根据多年的实践经验进行归纳的结果．物理学家、化学家的最基本的研究手段是实验和归纳．例如化学中的元素周期表，就是用归纳法发现真理的典型例证．再例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．这些归纳法却不能用完全归纳法．数学归纳法是一种特殊的论证方法，他使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个普遍规律做出论断．虽然说数学归纳法适用于有关整数的问题，但是它在很多数学问题中都有重大的作用，在中学数学中，很多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的效果．
数学归纳法证明问题的步骤是：证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：
(1) 证明当n取第一个值
n时结论正确；
(2) 假设当n＝k (k∈N*，k≥0n) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确．
ｎ开始的所有正整数n都正确．完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从
1.2 数学归纳法体现的数学思想
1.2.1 从特殊到一般
“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律，而在人类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科，都将受到这一规律的制约．数学当然也不例外，同样要被纳入这一规律的模式之中．
由于事物的特殊性中包括着普遍性，即所谓共性存在于个性之中，而相对于“一般”而言，特殊的事物往往显得简单、直观和具体，并为人们所熟知．另一方面，由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质，因而当我们在处理问题的时候，若能置待解决的问题于更为普遍的情形中，进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形的思考方式，不仅是可行的，而且是必要的．
正因为如此，实践和归纳成了数学家寻找真理和发现真理的主要手段．如勾股定理，多面体的面顶棱公式，前n个自然数的立方和公式，二项展开式和杨辉三角形等，无一不是观察、实验和归纳的结果．伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学，同样需要观察、实验”．无独有偶，大数学家高斯也曾说过，他的许多定理都是靠归纳法发现的，证明只是一个补行的手续．纵观古今，科学的发展史其实也是一部观察史、一部猜想史，更是一部论证史．数学的发展更是这样的．科学结论的得到大致包含以下几个阶段：观察、实践→推广→猜测一般性结论→论证结论．而数学归纳法恰恰是论证结论的最佳方法．这与数学大师所说的“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上论证这一规律的一般性，这是人们认识自然的客观法则之一”的观点大致相同．
1.2.2 递推思想
其中（1）是递推的基础，没有它归纳假设就失去了依据，递推就没有奠基．（2）是递推的根据，有了它无限次递推成为可能．所以数学归纳法的两个步骤缺一不可．数学归纳法证题的两个步骤虽然都是重要的但在证题时第一步较易第二步证明较难．解决的关键就是做从k到k＋1的转化工作, 而这种转化工作往往涉及到代数、三角、几何等知识, 有时还要用不同的方式进行．学生往往感到很困难, 绞尽脑汁都难以完成这一步．针对这个问题本文把中学数学教材及一些常见教学参考资料中用数学归纳法证明的各种问题进行整理分类并以若干比较典型、比较困难的问题作为示例, 探讨数学归纳法在中学数学中的应用．
2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧
2.1 强调
2.1.1 两条缺一不可
在这里，必须强调一下，在数学归纳法的步骤里，两条缺一不可．不要认为，一个命题在n＝1的时候，正确；在n＝2的时候，正确；在n＝3的时候也正确，就正确了．老实说，不要说当n＝3的时候正确还不算数，就算当n＝1000的时候正确，或者1万的时候正确，是不是对一切自然数都成立，还得证明了再说．不妨举两个例子：
例1 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当n ∈N时，
2 2n
＋１一定都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验证后得到的．因为当n
＝0，1，2，3，4时，它的值分别等于3，5，17，257，65537．这五个数都是素数．后
来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了
5
2
2＋１＝4 294 967 297＝
6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想到当n＝5这一结论便不成立．后来，有人还证明了当n＝6，7，8，9的时候，式子的值也都不是素数．由此可见，数学归纳法的第（2）步是至关重要的．
例2 所有的正整数都相等．
这个命题显然是荒谬的，但是当我们丢开“当n＝1的时候，这个命题是正确的”不管，那么可以用数学归纳法来“证明”它．这里，第k号命题是：“第k－1个正整数等于第k个正整数”，就是k－1＝k，两边都加上1，得到k＝k＋1．这就是说第k 个正整数等于第k＋1个正整数，这不就证明了所有的正整数都相等吗？错误就在于我们没有考虑当n＝1的情况．由此可见，验证初始值对数学归纳法证明问题时是非常重要的．
2.2 技巧
2.2.1 认真用好归纳假设
如果说在用数学归纳法证题时．归纳过渡是解题的关键，那么归纳假设就是过渡的基础，数学归纳法之所以显得有生命力，就是因为它避开了直接接触n的任意性，而把
证明过程变成为一个“连环套”，使得人们在验证当n＝
ｎ成立之后，要再在“n＝k 已成立”的假设基础上，证出“当n＝k＋1时，命题也成立”就行了．这就意味着只需要再往前迈出一步就够了，因而大大减少了论证中的不确定性，既然如此，运用归纳假设当然极为重要．我们甚至可以说，“如何千方百计地创造条件以利用归纳假设？”的问题，正是论证者们在此应多考虑的最中心的问题．
例3在一块平地上站有n个人．对每个人来说，他到其他人的距离均不相问．每人郁有一支水枪．当发出火灾信号时，每人都用水枪击中距他最近的人．证明，当n为奇数时，其中至少有一人身上是干的．
证: n＝1时，结论显然成立．设命题对“n＝2k一1成立，要证当n＝2k十1时命题也成立．设A与B两人之间的距离在所有的两人间的距离中为最小．撤消A，B两人，则由归纳假设知，在剩下的2k一1个人中间，至少有一人C的身上是干的．再把A,B 两人加进去，由于AC>AB，BC>AB,所以A，B两人都不会用水枪去击C，从而C身上仍然是干的．所以对一切奇数n命题都成立．
在这个问题中，先撤出两人是为了使用归纳假设(按照惯例，这叫做“退”)．但在退出之后，还应再进；因为我们的目标是解决k十1的情形．既然“退”是为“进”服务的，因此在“退”的时候就应当为“进”作好安排．我们之所以撤出A和B，而不撤出别人，就是为了能方便地将他们再加进去．
2.2.2 学会从头看起
为了实现归纳过渡，必须利用归纳假设．可是，为了归纳假设，有时需要各种技巧．那么，怎样才能知道该使用什么技巧呢？这里用得着数学大师华罗庚教授的话：“善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！”在数学归纳法中，最原始而不失重要性的地方，便是最开头的几步，通常也就是n＝1，2，3的情形．凡是有些经验的人都知道，像这些简单的情形讨论是最合算也是最可靠的．事实上，在很多问题中，如果真正把这些最开头的几步看透了，弄清楚了，想仔细了，那么解决整个问题的办法也就有了．
例4设正数数列｛a
ｎ｝满足关系式
2
n
a≤a
ｎ
－aｎ＋１，证明，对一切正整数n有
a ｎ＜
１
ｎ
．
证明：n＝1的情形显然，而当n＝2时，由于，
a ２≤a １－21a ＝１
４－1
2a ２１（－）＜12，
知断言也成立．假设当n ＝ｋ的时候，断言成立，即a ｋ＜１ｋ
．则当n ＝ｋ＋1的时候，有，a ｋ＋１≤a ｋ－2k a ＝１４－12a ２ｋ（－）≤１４－12２１（－）ｋ＝k ２k －１＜k ２k －１－１＝１k ＋１．知断言也成立．因此由数学归纳法原理知对一切正整数n ，都有n a ＜１ｎ
． 在上面的论证中，“n ＝2”并未在归纳过渡中发挥作用，因此按理说来是不用验证
这一步的．但是，它却启示了我们如何将（a １－2a １）改写成一种便于使用归纳假设
的形式，而这种启示对实行归纳过渡是非常重要的．
2.2.3 在起点上下功夫
起点情况的重要性并不仅仅表现在为归纳过渡提供启示，因而应当注意向起点情况
讨论．之所以强调向起点情况讨论，只是因为，一般来说起点情况多属具体验证，难度
通常不大，因此容易忽略对其后面的归纳过渡的启发意义．但是有时，我们也会遇到一
些问题，在归纳的第一步上就很难，需要非常认真的下一番功夫．这时，往往需要开阔
思路，寻找合理的切入点，有时还需用到一些其它的知识．
例5 证明，对一切自然数n ，都存在自然数x ｎ和y ｎ使得 x ２２ｎｎ＋y ＝1993ｎ
证明：当n ＝1时，取43x １
＝，12y １＝即可，此因 22431218491441993+=+=
假设当n ＝ｋ时，存在自然数k x 和y ｋ，使得2k x ＋2k y ＝1993ｋ
，
那么显然就有1993x ２ｋ（）＋21993y ｋ（）＝21993k +． 足见可取21993k k x x +＝，21993k k y y +＝，这就是说只要n ＝ｋ时断言成立，即可推得
n ＝k+2断言也成立．
但由于我们只证明了n ＝1时断言成立，因此结合“n ＝k ”?“n ＝k ＋2”，我们仅
证明了n 为奇数时断言成立．
为了得出n 为偶数时的结论， 我们还应证明n ＝2时断言成立．
注意到2243121993+= ，因此只要令 222121705x -＝43＝
， 2y ＝243121032??＝，那么就有22x ＋22y ＝2217051032+
＝()2
224312-＋2244312??
＝()222243121993+=
可见当n ＝2时断言也成立，于是结合“n ＝ｋ”?“n ＝ｋ＋2”，便知断言对一切
偶自然数n 也成立．
综合上述，知对一切自然数n 断言都成立．
这个例子告诉我们：为了便于归纳，可以不局限于“n ＝k ”?“n ＝k ＋1”（即一
步一跨），而可以因题制宜，采用大跨度跳跃，但此时应注意相应地增多起点，一般来
说，采用多大跨度，就应当设多少个起点．
2.2.4 正确选取起点和过渡
我们已经知道，在数学归纳法的基本形式之下，第一次通常是由验证n ＝0n 做起，
这叫做“起步”，0ｎ叫做“起点”，在通常情况下，起点一般只有一个，第二步则是由
“n ＝k ”跨到“n ＝k ＋1”，即每次跨一步．换句话说，通常是以“跨度”1前进，那么
这是不是说，这种安排起点和跨度的方式就一定是不能改变的呢？并不是的！人们完全
可以根据问题的需要，对起点和跨度作灵活和适当的安排，不过需要注意的是，绝对不
能造成逻辑上的漏洞．起点是非常重要的，对起点及起点附近的一些命题的考察，不仅
可以验证n ＝0ｎ时成立．而且能帮我们发现实行归纳过渡的方法．而选取起点方法很多，
需要视具体问题而定，在此就不论述了．
例6 任意n 条直线均能重合成一条直线．
这个命题是荒谬的，当n ＝2时就不能成立．但如果我们忽视了这一点，而采用如
下的“证明”，那么就有可能陷于荒谬而难于解脱：
当n ＝1时，命题显然成立．假设当n ＝k 时，命题已经成立．那么当n ＝k ＋1时，
可以先让其中k 条直线重合为一条直线，再让这条直线同剩下的一条重合为一条直线，
即知命题也可成立．所以任意n 条直线均能重合成一条直线．
这个“证明”中的逻辑上的漏洞，就在于在进行归纳过渡时，需要用到“可将任意
两条直线重合为一条直线”的论断，而这一论断却是未加证明，而且在事实上也是不能
加以证明的．由此可见，认真考察起点附近的命题，并验证其成立与否，是何等之重要！
但是，是不是在每一个问题的证明中，都需要首先验证起点附近的一连贯命题，并
不是的．究竟是否需要验证以及需要验证几个，完全取决于命题自身的特点，尤其是取
决于在进行归纳过渡时的需要．
2.2.5 选取适当的归纳假设形式
我们已经知道，在数学归纳法的基本形式中，归纳假设总是以“假设当n ＝k 时，
命题成立”的形式出现的．其实，这并不是归纳假设的唯一形式．在必要的时候，可以
将归纳假设中的“n ＝k ”改写为“n ≤k ”．事实上，在对很多问题的证明中，人们就是
这么做的，有些人还把采用这种假设形式的数学归纳法称作第二归纳法．第二数学归纳
法在很多问题的证明中为我们带来方便．由于第二数学归纳法在中学教材中并未提及，
高考也不作要求，只是在竞赛中有所要求，所以在此不举例子．若感兴趣，可参考《漫
话数学归纳法应用技巧》一书．
3、 数学归纳法在中学数学中的应用
3.1 证明有关自然数的等式
例7 证明前n 个自然数的和()1s n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝
()12n n +． 证明：1、()
11s ＝1＝()111+２，命题成立． 2、假设()1s n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝()12
n n +，则 ()
11s n +＝1＋2＋3＋…＋n ＋（n ＋1）
＝ ()12n n +＋（n ＋1）
＝()()12n n ++２
＝
()()[]111n n +++２．
命题证明完毕． 例8 证明前n 个自然数的平方和()2s n ＝21＋22＋…2n ＝()()121n n n ++６．
证明：1、()21s ＝２１＝()()
11121++６．
2、假设()2n s ＝()()
121n n n ++６，则
()21n s +＝()()
121n n n ++６＋()21n +
＝()()()111211n n n +++++????????
６，
命题证明完毕．
例9 证明：前n 个自然数的立方和()3s n ＝２
２
ｎ（ｎ＋１）４．
证明：1、()31s ＝31 ＝()
2
2111+４．
2、假设()3s n ＝２２
ｎ（ｎ＋１）４，则
()31s n +＝２２
ｎ（ｎ＋１）４＋()3
1n +
＝()
()22111n n ??
+++??
４，
命题证明完毕．
3.2 证明有关自然数的不等式
例10（贝奴利不等式）用数学归纳法证明：()1n +?
>1+n ?，这里?-1>且不等于0，n 是大于1的自然数．
证明：1、对于n ＝2，因2?>0，故不等式是正确的．
2、假设不等式对于n=k 是正确的，这里ｋ是某一个自然数，就是说，
()
1k +?>1+?ｋ，当n=k+1时，由归纳假设得，10+?>，从而有()()()1
111k k ++?>+?+?是正确的，这可由不等式两边各乘以()1+?得到，上不等式可改写()()12
11k k k ++?>1++?+?，将上面不等式右边舍去正项2k ?，就可知所求证不等式是正确的．
例11 设n 为大于1的自然数，求证：11n +＋12n +＋…＋1n n +124
3>． 证明：1、当n ＝2时，111222273+=>+1+214
．命题成立． 2、假设当n ＝ｋ时，命题成立，则当n ＝k+1时，
11n +＋12
n +＋...＋1n n + ＝111k ++＋112k ++＋ (111)
k k +++ ＝（11k +＋12k +＋…＋1k k +）＋（121k +＋122k +－11
k +） ＝（11k +＋12k +＋…＋1k k +）＋（121k +－122
k +） 由归纳假设知11k +＋12k +＋…＋1k k +1243>，而121k +－122
k +>0， 所以111k ++＋112k ++＋…111k k +++1243>， 此即说明当n ＝k ＋1时，命题也成立，因此对于任何大于1的自然数命题都成立．
3.3 证明不等式
例12 设a a a >>> １２ｎ０和b b b >>> １２ｎ０．（n>1）
求证：11221211n n n n n a b a b a b a b a b a b -+++>++
证明：1、当n ＝2时，因a １－a >２０，b １－b >２０，所以
()()1212a a b b -->０，即
11221221a b a b a b a b +>+，命题显然成立． 当n ＝3时，由(
)()13130a a b b -->．可知命题也成立． 2、假设当n=k 的时候命题成立，则当n=k+2时，
()()22k k a a b b ++--１１>０，即1122122k k k k a b a b a b a b +++++
>+，可以推出， 112211k k a b a b a b +++++
＝()()1122223311k k k k a b a b a b a b a b +++++++++
>
()()122121312k k k k k a b a b a b a b a b +++++++++ 故当n=k+2时，命题成立，于是对于任意大于1的自然数n ，原不等式成立．
3.4 在函数迭代中的应用
一些比较简单的函数，它的n 次迭代表达式，可以根据定义直接代入计算，归纳出
一般规律后，再用数学归纳法予以证明．所以，直接求法的本质，就是数学归纳法．其
中，关键是通过不完全归纳法，找出[]()n f
x 的一般表达式． 例13 ()f x qx =，求[]()n f x ．
解：由定义，()f x qx =． []()2f x =()[]f f x ()2q q x q x ==，
[]()3f x []()223f f x f q x q x ===????????
． 一般地，由不完全归纳可猜测，[]()n f x n
q x ． 事实上，因为假定上式成立，则有，
[]()[]()1n n f x f f x +=????
()n f q x =
()n q
q x = 1n q x += ．
所以，由数学归纳法知，[]()n f x =n q x 对所有的自然数n 都成立．
例14 ()2f x x =，求[]()n f x ．
解：由定义，
()2f x x =， []()2f
x ()[]()()22222f f x f x x x ====， []()3f x []()()23222f f x f x
x ==??=??，
一般地，可猜得，[]()n f x 2n x
=． 假定上式成立，则有 []()1n f x +[]()n f f x ??=?
?
()2n f
x = 12n x
+= ． 由数学归纳法知，[]()n f
x 2n x =对所有自然数n 都成立．
3.5 在几何中的应用
例15
Ａ、一条直线被它的n 个点分成几个部分？
解：用()1F n 表示所分部分的个数，显然有()1F n 1n =+．
Ｂ、一个平面被它上面的n 条直线分成多少个部分？（这里每两条直线相交，但每 三条直线没有交点，即n 条斜交直线）
解：1、一条直线将平面分成两个部分．
2、假设我们已经知道n 条斜交直线将平面分成()2F n 个部分，进而考虑，
n ＋1条斜交直线的情况．原先的n 条将平面划分成()2F n 个部分；第n ＋1条直线l ，
根据假设，与其余n 条直线相交于n 个不同的点，这些交点将直线l 划分为n ＋1个部
分（见Ａ）．则直线l 切割平面上原有的n ＋1个部分，因此在原有的基础上又增加了
()1F n ＝n ＋1个．所以，()21F n +＝()2F n ＋()1F n ＝()
2F n ＋n ＋1． 我们用数n －1，n －2，…，2，1代替等式中的n ，得到：
()2F n ＝()
21F n -＋n ， ()21F n -＝()22F n -＋n －1，
… … …
()23F ＝()
22F ＋3， ()22F ＝()21F ＋2．
将以上等式相加，因为()21F ＝2，我们有，
()2F n ＝()
21F ＋［n ＋（n －1）＋…＋2］ ＝1＋［n ＋（n －1）＋…＋2＋1］
＝1＋()12
n n + ＝2+ｎｎ+２
２．
Ｃ、空间被n 个平面（这些平面每三个相交于一点，但每四个没有交点，即n 各斜交平
面）划分成多少个部分？
解：1、一个平面将空间分成两个部分．
2、假设我们已经知道空间被n 个斜交平面划分成()
3F n 个部分，然后考虑
n ＋1个斜交平面的情形．原先的n 个平面将空间划分为()3F n 个部分，这n 个平 面与第n ＋1个平面π相交于n 条斜交线，因此将它划分为()2
F n ＝2+ｎｎ+２２个部分（见Ｂ）．因此，我们得到以下关系：
()31F n +＝()3F n ＋()2F n ＝()
3F n ＋２ｎ＋ｎ＋２２ 我们用n －1，n －2，…，2，1代替n ，有：
()
3F n ＝()31F n -＋()()211n n --++２２ ()31F n -＝()
32F n -＋()()222n n --++２２ … … …
()33F ＝()
32F ＋２２+２+２２ ()32F ＝()31F ＋２１＋１＋２２
将这些等式相加，得：
()3F n ＝()31F ＋12
［２（ｎ－１）＋２（ｎ－２）＋…＋２１］＋ 12［（n －1）＋（n －2）＋…＋1］＋[]122
?ｎ ＝2＋()()12112
n n --n ＋()1n n -４＋n －1 ＝
()
()216n n n +-+６．
3.6 在排列、组合中的应用
由于数学归纳法可以解决有关自然数的问题，而排列组合与自然数密切相关，所以，
在排列组合的许多结论，都可以用数学归纳法来证明．比如教材中出现的排列数公式、
组合数公式、自然数n 的阶乘公式，二项式定理等重要公式，都能用数学归纳法加以证
明．下面我们举一个简单的例子．
例16 证明：n 个元素的全排列的种数可以按下列公式求得：
n P ＝123???…!n n ?= （n 是自然数）．
证明：1、对于n ＝1，上式显然是正确的，1P 11!==．
2、假设对于n ＝k 时，它是正确的，即k P !k =．
当n=k+1时，假定我们已经组成了k 个元素的一切可能的全排列，它们的种数是k P 种，
在每一种k 个元素的全排列中，我们加入第k ＋1个元素，则第k ＋1个元素的放法有
k ＋1种，由分步计数原理，可得：k ＋1个元素的全排列数1k P +＝
k P ?()1k +!k =?()1k +()1!k =+．
从而，当n ＝ｋ＋1时上式也正确．因此，对一切自然数n 它都正确，命题证明完毕．
3.7 在数列中的应用
数列是中学数学的一个重要内容，其中等差数列、等比数列尤为重要，它与高中数
学中的很多知识都有联系，作为解决整数问题的数学归纳法，同样可以用来解决一些有
关数列的知识．如等差数列、等比数列的通项公式以及前n 项和公式的证明都需要用数
学归纳法，下面我们看几个例子．
例17 试证明：等比数列｛n a ｝的通项公式为n a ＝11n a q -．（其中1a 是数列的首项，
q 为公比）
证明：1、当n ＝1时，等式成立，因1a ＝01a q ＝1a ．
2、假设，对于n ＝k 它能成立：11k k a a q -=．
当n=k+1时，由等比数列的定义可得，
1q k k a a +=＝ｑ11k a q -＝1k
a q ． 从而，通项公式对一切自然数n 都成立．证明完毕．
例18 试证明：等差数列的前n 项和由下列公式表示：
n S ＝1na ＋()12
n n d -． 证明：1、当n ＝1时，公式是正确的，1S ＝1a ．
2、假设当n ＝ｋ时公式正确，即
k S ＝1ka ＋
()12k k d -，当n ＝k+1时， 1k S +＝k S ＋1k a +
＝1ka ＋()12k k d
-＋a １＋kd
＝()11k a +＋ ()12k k d
+ ．
因此，对一切自然数n 的值，前n 项和公式都是成立的．
3.8 有关整除的问题
例19 求证：对于整数n ≥0下面的式子能被133整除；
221112n n +++
证明：1、当n ＝0时，上式等于133，显然能被133整除．
2、假设当n ＝k 时，2211112k k +++能被133整除．
当n ＝k+1时，我们有，
()()()211
122121111
121112k k k k ++++++++=+＋
＝2211111
144k k +++12?? ＝221211111111213312k k k +++++???
＝
()21 221
11111213312
k k k+
++
++?
根据我们所作的假设，第一个加数能被133整除，第二个加数里面含有因数133，因此，他们的和，也就是原表达式在n＝k+1的时候也能被133整除．结论证明完毕．
由于整除问题在中学数学中不是常见题型，只有在竞赛中有所体现，所以我们不在列举其他例子，其实，这一类问题的解题模式都可参见上例．感兴趣的可以参考竞赛方面的书籍，在里面可以找到很多这方面的问题．
参考文献：
[1]史久一，朱梧槚著．化归与归纳·类比·猜想．大连理工大学出版社，2008.
[2]华罗庚著．数学归纳法．上海教育出版社，1964．
[3](苏联)索明斯基著．数学归纳法．中国青年出版社，1954.
[4]苏淳著．漫话数学归纳法．中国科学技术大学出版社，2001.
[5]L·J·格拉维娜,I·M·雅格咯姆著．莫斯科米尔出版社，1979.
[6]吴志翔著．证明不等式．河北人民出版社，1982.
[7]吴之季，严镇军，杜锡录等著．归纳·递归·迭代.人民教育出版社，1990.
[8](苏联)伊·亚·杰朴著.数学归纳法.人民教育出版社，1958.
致谢：
经过半年的忙碌和工作，本次毕业设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的．
在这里首先要感谢我的导师张天然老师．张老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从外出实习到查阅资料，题目的确定和修改，初稿中期检查，后期详细设计，最终定稿等整个过程中都给予了我悉心的指导．我的思路较为复杂烦琐，但是张老师仍然细心地纠正论文中的错误．除了敬佩张老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作．其次要感谢和我一起作毕业设计的同组同学，他们在本次设计中勤奋工作、克服困难的精神打动了我，也给了我设计好毕业论文的动力．如果没有他们的努力工作，此次论文设计的完成将变得非常困难．
最后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励．此次毕业论文设计才会顺利完成．
浅谈数学归纳法
浅谈数学归纳法 国良 井冈山大学数理学院邮编：343009 指导老师：艳华 [摘要]用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.数学归纳法经历无数数学的潜心研究与科学家们的利用，是数学归纳法得以发展和它为数学问题与科学问题的发现做出了极大的贡献。学好归纳法是科学问题研究的最基础的知识. [关键词]理论依据；数学归纳法；表现形式 1 数学归纳法的萌芽和发展过程 数学归纳法思想萌芽可以说长生于古希腊时代。欧几里德在证明素数有无穷多多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其中证明里隐含着：若有n个素数，就必然存在第n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个，这是一种是图用有限处理无限的做法，是人们通过过有限和无限的最初尝试。 欧几里德之后直到16世纪，在意大利数学家莫洛克斯的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它证明了1+2+3+…+（2n-1）=2n,对任何自然数n都成立。不过他并没有对这原则做出清晰的表述。 对数学归纳法首次作出明确而清晰阐述的是法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后来成为“帕斯卡三角形”的数表。他在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，最先准确而清晰的指出了证明过程且只需的两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理：
第一条引理 该命题对于第一底（即(n=1)成立，这是显然的。 第二条引理 如果该命题对任意底（对任意n ）成立，它必对其下一底（对n+1）也成立。 由此可得，该命题对所有n 值成立。 因此，在数学史上，认为帕斯卡是数学归纳法的创建人，因其所提出的两个引理从本质上讲就是数学归纳法的两个步骤，在他的著作《论算术三角形》中对此作了详尽的论述。 帕斯卡的思想论述十一例子来述归纳法的，而在他的时代还未建立表示一般自然数的符号。直至十七世纪，瑞士数学家J 。伯努利提出表示任意自然熟的符号之后，在他的《猜度术》一书中，才给出并使用了现代形式的数学归纳法。由此，数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。十九世纪，意大利数学家皮亚若建立自然数的公理体系时，提出归纳公理，为数学归纳法奠定了理论基础。即：对于正整数N +的子集M ，如果满足：①1∈M;②若a ∈M ，则a+1∈M ；则M=N +. 2 数学归纳法的表现形式 2.1 第一数学归纳法 原理1：设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果 （1）当00()n n n N +=∈时，()P n 成立； （2）假设0(,)n k k n k N +=≥∈时命题成立,由此推得n=k+1时，()P n 也成立； 那么，对一切正整数n 0n ≥,()P n 成立。 证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠?，于是由最小数原理，S 中有最小数a ,
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
浅谈数学归纳法在高考中的应用
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
数学归纳法及其应用举例1
数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法
前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。
高中数学《数学归纳法及其应用举例》教学设计附反思
课题：数学归纳法及其应用举例 【教学目标】 知识与技能： 1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质; 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)． 3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神； 2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神； 3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神； 4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】 数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学过程】 一、创设情境，启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等； 教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常
数学归纳法的应用习题
第2课时数学归纳法的应用双基达标(限时20分钟) 1．利用数学归纳法证明1 n＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n<1(n∈N *，且n≥2)时，第二步 由k到k＋1时不等式左端的变化是 ()． A．增加了 1 2k＋1 这一项 B．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项 C．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项，同时减少了 1 k这一项 D．以上都不对 解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n 的等差数列，当n＝k时，左端为1 k＋ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k；当n＝k＋1时， 左端为 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ，对比两式，可得结论． 答案 C 2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是 ()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确 B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确 C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确 D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*) 解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确． 答案 B 3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于
()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2 解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分． 答案 C 4．已知S n＝1 1·3＋ 1 3·5＋ 1 5·7＋…＋ 1 (2n－1)(2n＋1) ，则S1＝________，S2＝________， S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________. 解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n 2n＋1 . 答案1 3 2 5 3 7 4 9 n 2n＋1 5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除． 答案2x2k－y2k能被x＋y整除 6．用数学归纳法证明： 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 n2＜2－ 1 n(n≥2)． 证明：(1)当n＝2时，1＋1 22＝ 5 4＜2－ 1 2＝ 3 2，命题成立． (2)假设当n＝k时命题成立，即1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＜2－ 1 k，当n＝k＋1时， 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 k(k＋1) ＝2－ 1 k＋ 1 k－ 1 k＋1＝2－ 1 k＋1 ，命题成立． 由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立． 综合提高(限时25分钟)
浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用2
目录 1、数学归纳法---------------------------------------------------------- 3 1.1 归纳法定义-------------------------------------------------------- 3 1.2 数学归纳法体现的数学思想----------------------------------------- 4 1.2.1 从特殊到一般------------------------------------------------ 4 1.2.2 递推思想---------------------------------------------------- 4 2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧------------------------------------- 5 2.1 强调------------------------------------------------------------- 5 2.1.1 两条缺一不可------------------------------------------------ 5 2.2 技巧------------------------------------------------------------- 5 2.2.1 认真用好归纳假设-------------------------------------------- 5 2.2.2 学会从头看起------------------------------------------------ 6 2.2.3 在起点上下功夫---------------------------------------------- 7 2.2.4 正确选取起点和过渡------------------------------------------ 8 2.2.5 选取适当的归纳假设形式-------------------------------------- 9 3、数学归纳法在中学数学中的应用 ---------------------------------------- 9 3.1 证明有关自然数的等式--------------------------------------------- 9 3.2 证明有关自然数的不等式------------------------------------------ 11 3.3 证明不等式------------------------------------------------------ 11 3.4 在函数迭代中的应用---------------------------------------------- 12 3.5 在几何中的应用-------------------------------------------------- 14 3.6 在排列、组合中的应用-------------------------------------------- 16 3.7 在数列中的应用-------------------------------------------------- 16 3.8 有关整除的问题-------------------------------------------------- 17
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用 姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜 中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力． 关键词：数学归纳法；步骤;证明方法． Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application ． Key words ：Mathematical induction; Steps ; Proof. 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当1n =时，这个命题为正确的（奠基），②当n k =时，这个命题也为正确的．推出当+1n k =时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.首先
数学论文 浅谈数学归纳法的应用
浅谈数学归纳法的应用 数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。 一、用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。 例1、是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由. 证明：解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36. 下面用数学归纳法证明： （1）当n =1时，显然成立. （2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k --1－1）， 由于3k -1－1是2的倍数，故18（3k － 1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除. 由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36. 二、用数学归纳法证明恒等式问题 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 例2、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12 )1()1(32212222c bn an n n n n +++=+?++?+?对一切自然数n 成立？并证明你的结论． 解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得 ???? ?????++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11 ,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立： )10113(12)1()1(32212222+++= +?++?+?n n n n n n 令222)1(3221+?++?+?=n n S n 假设k n =时上式成立，即)10113(12 )1(2+++= k k k k S k 那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12 )1(++++++=k k k k k k
浅谈数学归纳法
浅谈数学归纳法 陈国良 井冈山大学数理学院江西吉安邮编：343009 指导老师：曹艳华 [摘要]用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.数学归纳法经历无数数学的潜心研究与科学家们的利用，是数学归纳法得以发展和它为数学问题与科学问题的发现做出了极大的贡献。学好归纳法是科学问题研究的最基础的知识. [关键词]理论依据；数学归纳法；表现形式 1 数学归纳法的萌芽和发展过程 数学归纳法思想萌芽可以说长生于古希腊时代。欧几里德在证明素数有无穷多多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其中证明里隐含着：若有n个素数，就必然存在第n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个，这是一种是图用有限处理无限的做法，是人们通过过有限和无限的最初尝试。 欧几里德之后直到16世纪，在意大利数学家莫洛克斯的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它证明了1+2+3+…+（2n-1）=2n,对任何自然数n都成立。不过他并没有对这原则做出清晰的表述。 对数学归纳法首次作出明确而清晰阐述的是法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后来成为“帕斯卡三角形”的数表。他在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，最先准确而清晰的指出了证明过程且只需的两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理： 第一条引理该命题对于第一底（即(n=1)成立，这是显然的。 第二条引理如果该命题对任意底（对任意n）成立，它必对其下一底（对n+1）也成立。 由此可得，该命题对所有n值成立。 因此，在数学史上，认为帕斯卡是数学归纳法的创建人，因其所提出的两个引理从本质上讲就是数学归纳法的两个步骤，在他的著作《论算术三角形》中对此作了详尽的论述。 帕斯卡的思想论述十一例子来陈述归纳法的，而在他的时代还未建立表示一般自然数的符号。直至十七世纪，瑞士数学家J。伯努利提出表示任意自然熟的符号之后，在他的《猜度术》一书中，才给出并使用了现代形式的数学归纳法。由此，
数学归纳法在离散数学中的应用
数学归纳法在离散数学中的应用 在由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法称为归纳法。而 数学归纳法则是用于证明与自然数n 有关的结论的归纳法：如果我们能够证明当n=1时结论是成立的，而且我们能用相同的方法由n=1命题成立证得n=2命题也成立；由n=2命题成立证得n=3成立；由n=3命题成立证得n=4成立…而且这个过程显然可以无穷进行下去。则我们就断言对于所有自然数n 命题都是成立的。数学归纳法的一般形式为，关键是归纳： 初始步）：先证n ＝1时，结论成立； 归纳步)：再证若假设对自然数n ＝k 结论成立（或者对所有小于等于n 的 自然数k 结论都成立），则对下一个自然数n ＝k+1结论也成立； 结论）： 根据初始步和归纳步的证明得出结论对所有自然数都成立。 当结论与多个自然数有关时这样一类题目的时候，要注意的一点就是对所要进行归纳的自然数的选择。 例1、对群
数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题论文
数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题 摘要 在处理数学问题时，经常涉及与任意自然数有关的一些命题，这些命题实质上是由无限个n取具体整数时得到的无限个命题组成的，我们往往不能逐一验证，这时，数学归纳法就是我们最常应用的一个有效的推理方法，为什么我们能够相信数学归纳法的证明呢？因为数学归纳法实质上是一种演绎推理法，华罗庚老先生是这样解释数学归纳法原理的：“我们采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，我们能够证明第1号命题是正确的；如果我们能够证明在第K 号命题正确的时候，第K+1号命题也是正确的，那么，这一批命题就全部正确.”其实，数学归纳法的正确性在我们学到的自然数的公理系统已经得到说明，他是与皮亚诺公理等价的一个本原性命题. 关键字数学归纳法常见方式及问题无限有限 数学归纳法（Mathematical Induction，通常简称为MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。是用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式（不等式）成立和数列通项公式成立。 数学归纳法一般分为以下几种常见的方式： （一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤 （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n）， （1）验证n=n0时P(n）成立； （2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （三）倒推归纳法（反向归纳法）： （1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立， （2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立， 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （四）螺旋式归纳法
数学归纳法的七种变式及其应用
数学归纳法的七种变式及其应用
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4是证明一个命题对于所有的自然数都是成立的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为：
数学归纳法及其应用 论文
自学考试本科毕业论文论文题目：数学归纳法及其运用 学校名称：桂林师范高等专科学校 专业名称：数学教育 准考证号： 030114300393 姓名：何东萍 指导教师：李政
目录 内容摘要 一、数学归纳法的由来 （一）数学归纳法的概念 （二）数学归纳法的命名 （三）归纳法的证明 二、数学归纳法的步骤 三、数学归纳法的几种形式 （一）第一数学归纳法 （二）第二数学归纳法 （三）倒推归纳法 （四）跳跃归纳法 （五）螺旋式归纳法 四、数学归纳法的应用 （一）数学归纳法在生物方面的应用（二）数学归纳法在初等数学方面的应用（三）数学归纳法在几何方面的应用 五、数学归纳法的变体 （一）从0以外的数字开始 （二）针对偶数与奇数 （三）递归归纳法 六、数学归纳法常见误区及注意 （一）易错例题 （二）数学归纳法需注意 文献参考
数学归纳法及其应用 班级:数学教育2班姓名:何东萍指导老师：李政 【内容摘要】本文讲述了数学归纳法的历史由来和理论原理，通过数学归纳法的基本形式的学习和理解，用相应实例进行解析说明数学归纳法在各方面的具体应用。最后总结了数学归纳法的常见误区和应用技巧，并对未来发展的场景作出了预测。在中学数学的过程中，有一种很常见并且很基本的数学方法——数学归纳法。对于数学归纳法，人们常常有这样的疑问:数学归纳法的原理是什么？数学归纳法的证明过程为什么要用这样的规定格式？数学归纳法的应用前景会如何？ 【关键词】数学归纳法；归纳法的分类；归纳法的应用； 一、数学归纳法的由来 在最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用递推关系证明出前n个奇数的总和是n^2，数学归纳法之谜便由此解开。 （一）数学归纳法的概念 数学归纳法有这么一个典型的例子：如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么第一张骨牌将倒下，其中某一个骨牌倒了，与其相邻的下一个骨牌也会倒，所以我们可以由此推断出所有的的骨牌都将要倒。也就能确定出这么一种递推关系，只要能够满足这两个条件就会导致所有骨牌全都倒下，用数学的方式可以简述为: （1）第一块骨牌倒下； （2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。这样，无论有多少骨牌,只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。 关于数学归纳法，新教材是这样描述的:“从特殊的事例推出一般原理的推
数学归纳法的七种变式及其应用..
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4 是证明一个命题对于所有的自然数都是成立 的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为： 设()p n 是一个含有正整数n 的命题(n a ≥，*a N ∈), 如果 1）当n =a 时,()p a 成立；
高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》说课稿
说课题目：数学归纳法及其应用举例（第一课时） （选自人教版高中数学选修2-2第二章第3节） 一、教材分析 1．内容的前后联系、地位和作用 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的 学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不 完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特 殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全 归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安 排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。也是历年高考中比较常考的证明方法. 它可以证明某些与正整数有关且具有递推性的数学 命题，也可以通过?有限?来解决某些?无限?问题. 2. 教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对 已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于 置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订 以下教学目标。 【知识目标】 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 【能力目标】 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密 的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新 能力。 【情感目标】 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困 难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜 欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 3．教学重点、难点 【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。 二、教法、学法分析 【教法的选择】
数学归纳法及应用举例说课稿
《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案 一、说教材 （一）教材分析 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。 （二）教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。 1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 2.能力目标 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。 3.情感目标 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 （三）教学重难点 根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点： 1.重点 （1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 2.难点