数学建模商人过河__论文

组长：王鹏道110714

组员：任利伟110713、孙祎110706

小组成员负责情况：

王鹏道：选择论文题目、设计论文版面字体、分配成员任务、总结任利伟：一、问题提出、关键、分析。二、模型假设、三、模型建立孙祎：四、模型求解、五、模型的检验、拓展及延伸

2014年11月24日

摘要

为了求解3个商人和3个随从的过河问题，用数学分析方法，建立数学模型，并且加以求解，展示动态规划思想的应用步骤。最后利用计算机蝙程进行求解，获得过河问题的完整求解过程；有效地求解类似多步决策问题的作用。

关键词：多步决策计算机求解状态转移律图解法

一、 问题的提出

随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货，但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?

二、 问题的关键

解决的关键集中在商人和随从的数量上，以及小船的容量上，该问题就是考虑过河步骤的安排和数量上。各个步骤对应的状态及决策的表示法也是关键。

三、 问题的分析

在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。由于船上人数限制，这需要多步决策过程，必须考虑每一步船上的人员。动态规划法正是求解多步决策的有效方法。它要求把解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题。直到可以直接求出其解的子问题为止。分解成所有子问题按层次关系构成一棵子问题树．树根是原问题。原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。

四、 模型假设

记第k 次过河前A 岸的商人数为X K ，

随从数为Y K k=1，2，?

X K ,Y K =0，1，2，3，将二维向量S K =(X K ，Y K )定义为状态．把满足安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合。记作S 。则

S={(X K ,Y K )|(X K =0,Y K =0,1,2,3),(X K =3,Y K =0,1,2,3),(X K =Y K =1)(X K =Y K =2)} 记第k 次过河船上的商人数为U K

随从数为V K

将二维向量D K =(U K ,V K )定义为决策．由小船的容量可知允许决策集合（记作D)为

D={(U K ,V K )|U K +V K =l,2}={(O,1);(O,2);(1,O);(1,1);(2,O)}

五、 模型建立：

动态规划法正是求解多步决策的有效方法。它要求把解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题。直到可以直接求出其解的子问题为止。分解成所有子问题按层次关系构成一棵子问题树．树根是原问题。原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。

用动态规划法分析三名商人的过河问题。可得如下的递归树：

（注解：当K为奇数时，船在B岸；当K为偶数时，船在A岸。）

通过分析该递归树，知道求解关键在于正确地写出基本的状态转移关系式和恰当的边界条件。

因为k为奇数时，船是从A岸驶向B岸，k为偶数时。船是由B岸驶回A岸。所以

状态S

K 随决策D

K

变化的规律是

S

K+1

=S

K

+(-1)K D

K

，k=l，2，?，

称之为状态转移律，这样，制定过河方案就归结为如下的多步决策问题：每一步，船由A岸驶向B岸或B岸驶回A岸，都要对船上的人员(商人U

K

，随从

V K 各几人)作出决策，在保证安全的前提下即两岸的商人数X

K

都不比随从数Y

K

少，

用有限步使人员全部过河．用状态(变量)S

K 表示某一岸的人员状况，决策(变量)D

K

表示船上的人员状况，可以找出状态S

K 随决策D

K

变化的规律．这样安全过河问题

就转化为：

求决策D

K ∈D(k=1,2，……，n)，使得状态S

K

∈S，按照状态转移律，由初始

状态S

1=(3，3)，经有限步n到达状态S

K+1

=(O,O)。

S

K+1

=S

K

+(-1)K D

K

，k=l,2，3，其中D

K

∈D={(U

K

,V

K

)|U

K

+V

K

=l，2}，{其中S

K

∈

(X

K

,Y

K

)|(X

K

=0，Y

K

=1，2，3)；(X

K

=3，Y

K

=0,1,2,3);(X

K

=Y

K

=1,2)},S

n+1

=(0,0) 这就是三个商人的过河问题模型。

六、模型求解：

a)穷举法：先建立编程的基本过程，然后考虑模型，再编写程序

b)然后就可以得出结果了

主程序流程图

c) 图解法：状态s=(x,y) 16个格点 允许状态 10个●点

允许决策 移动1或2格; k 奇,左下移;右下移

总共需要11步

七、模型的检验

用2名商人和2名随从的过河问题的解决思路，检验3名商人和3名随从的过河问题。

八、 模型的拓展和延伸

通过三名商人和三名随从的过河问题的解决方案，可以进一步计算四名商人和四名随从的过河问题，通过计算机编程可以设计m 名商人和n 名随从的过河问题。这需要用多步决策

n +11

九、总结

这是通过数学分析的方法解决实用问题，经过问题提出、问题假设、问题分析、模型建立、模型求解、模型检验的过程，解决商人过河问题。然后扩展延伸到n个商人的问题。

学习数学建模以来，重新认识了学习数学的乐趣，也重新认识了数学，本以为数学是单调的，枯燥的，学习了之后，发现数学是普遍存在我们生活之中的。解决现实中的问题，很多都需要数学。沉浸在数学的世界里，发现学习是有趣的；相比于机械的认识各个组织器官，建立一个数学模型解决问题是十分有趣的。

参考文献：

（1）傅清祥．《数据结构与算法》．王晓东．北京：电子工业出版社 1998．（2）姜启瑟．《数学建模》(第二版)．北京：高等教育出版社，2000．

（3）运筹学教材编写组．《运筹学》(修订版)．北京：清华大学出版社。2001．

数学建模优秀论文设计模版

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则 的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

题目（黑体不加粗三号居中） 摘要（黑体不加粗四号居中） （摘要正文小4号，写法如下） （第1段）首先简要叙述所给问题的意义和要求，并分别分析每个小问题的特点（以下以三个问题为例）。根据这些特点对问题 1 用······的方法解决；对问题 2 用······的方法解决；对问题3 用······的方法解决。 （第2段）对于问题1，用······数学中的······首先建立了······ 模型I。在对······模型改进的基础上建立了······模型II。对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为······，然后借助于······数学算法和······软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充,并从中随机抽取了3 组数据（每组8 个采样）对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。（方法、软件、结果都必须清晰描述，可以独立成段，不建议使用表格） （第3段）对于问题2用······ （第4段）对于问题3用······ 如果题目单问题，则至少要给出2种模型，分别给出模型的名称、思想、软 件、结果、亮点详细说明。并且一定要在摘要对两个或两个以上模型进行比较， 优势较大的放后面，这两个（模型）一定要有具体结果。 （第5段）如果在……条件下，模型可以进行适当修改，这种条件的改变可能来自你的一种猜想或建议。要注意合理性。此推广模型可以不深入研究，也可以没有具体结果。 关键词：本文使用到的模型名称、方法名称、特别是亮点一定要在关键字里出现，5~7个较合适。 注：字数700-1000 之间；摘要中必须将具体方法、结果写出来；摘要写满几乎 一页，不要超过一页。摘要是重中之重，必须严格执行！。 页码：1（底居中）

数学建模比赛论文格式要求

比赛论文格式要求： 1、论文用白色A4纸打印，上下左右各留出2.5厘米的页边距。 2、论文第一页为泉州师范学院大学生数学建模竞赛承诺书，具体内容和格式见附件1，参赛队必须在竞赛承诺书上签名。 3、论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。 4、论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 5、论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 6、论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。图形应绘制在文中相应的位置，比例适当。 7、提醒大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（最好在300字以内，注意篇幅不能超过一页）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 8、引用别人的成果或其他公开的资料 (包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出：（1）参考书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地，出版社，出版年。 （2）参考期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号，起止页码，出版年。 （3）参考网上查到的资料的表达方式： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 比赛流程： 参赛队伍利用2013.5.11到2013.5.13三天的时间利用所学的知识解决实际问题，由老师根据参赛队伍提交的论文，根据评奖标准评选出一等奖、二等奖、三等奖，评出的优秀队伍将送去参加全国性的比赛。注意：比赛规则与赛场纪律： 1、每个参赛队队员不得超过三名，参赛队队员应是具有泉州师范学院正式学籍的本、专科生，参赛队允许参赛队员跨年级跨专业跨学院组成，三人之间分工明确、协作完成。比赛期间参赛队不得任意换人，若有参赛队队员因特殊原因退出，则缺人比赛。 2、教师可以从事赛前辅导及有关组织工作，但在比赛期间不得以任何形式对参赛队员进行指导或参与讨论。 3、比赛以相对集中的形式进行，比赛期间，参赛队队员可以利

商人过河问题数学建模修订稿

商人过河问题数学建模 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-

作业1、2： 商人过河 一、问题重述 问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。乘船渡河的方案由商人决定。商人们怎样才能安全过河? 问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。 二、问题分析 问题可以看做一个多步决策过程。每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。 三．问题假设 1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。 2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。 3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。 4. 随从会听从商人的调度。 四、模型构成 x(k)~第k次渡河前此岸的商人数 x(k),y(k)=0,1,2,3,4; y(k)~第k次渡河前此岸的随从数 k=1,2,…..

s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态 S~允许状态集合 S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3} u(k)~第k 次渡船上的商人数 u(k), v(k)=0,1,2; v(k)~ 第k 次渡船上的随从数 k=1,2….. d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合 D={u,vu+v=1,2,u,v=0,1,2} 状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律 求d(k) D(k=1,2,….n),使s(k) S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0） 数学模型： k+1k S =S +k k D （-1） （1） '4k k x x += （2） '4k k y y += （3） k.k x y ≥ （4） ''k k x y ≥ （5）

全国大学生数学建模竞赛论文模板

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填 写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的 话）： 所属学校（请填写完整的全 名）： 参赛队员 (打印并签名) ： 1. 2.

3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。

摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。 一、问题的重述 数学建模竞赛要求解决给定的问题，所以一般应以“问题的重述”开始。 此部分的目的是要吸引读者读下去，所以文字不可冗长，内容选择不要过于分散、琐碎，措辞要精练。 这部分的内容是将原问题进行整理，将已知和问题明确化即可。 注意： 在写这部分的内容时，绝对不可照抄原题！

数学建模论文格式官方要求

二、论文格式规范 (一)“论文首页”编写 竞赛论文首页为“编号页”，只包含队号、队员姓名、学校名信息，第二页起为摘要页和正文页。参赛队有关信息不得出现于首页以外的任何一页，包括摘要页，否则视为违规。 (二)“论文摘要页”编写 竞赛使用“统一摘要面”。为了保证评审质量，提请参赛研究生注意摘要一定要将论文创新点、主要想法、做法、结果、分析结论表达清楚，如果一页纸不够，摘要可以写成两页。

(三)“论文文本”要求————“全国研究生数学建模竞赛论文 格式规范” ●每个参赛队可以从A、B、C、D、E题中任选一题完成论文。（赛题类型以 比赛下载为准） ●论文用白色A4版面；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距;从左侧装订。 ●论文题目和摘要写在论文封面上，封面页的下一页开始论文正文。 ●论文从编号页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从 “1 ”开始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字 一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距。程序执行文件，和源程序一起附在电子版论文中以备检查。 ●请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），请认真 书写（注意篇幅一般不超过两页，且无需译成英文）。全国评阅时对摘要和论文都会审阅。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上甚至在“博客”上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 全国研究生数学建模竞赛评审委员会 2011年9月20日修订

数学建模题型

1、问题描述（问题与假设） 随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货.乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河? 假设：1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。 2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。 3.船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。 4. 随从会听从商人的调度。 2、问题模型与求解（公式、图、表、算法或代码等） 模型的建立： x(k)~第k 次渡河前此岸的商人数 x(k),y(k)=0,1,2,3,4; y(k)~第k 次渡河前此岸的随从数 k=1,2,….. s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态 S~允许状态集合 u(k)~第k 次渡船上的商人数 u(k), v(k)=0,1,2; v(k)~ 第k 次渡船上的随从数 k=1,2….. d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合 D={u,v u+v=1,2,u,v=0,1,2} 状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律 求d(k)∈D(k=1,2,….n),使s(k) ∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k) 由（4,4）到达（0,0） 数学模型： 模型分析： 由（2）（3）（5）可得 Yk Xk -≥-44 化简得 Yk k ≤X 关键代码：

clear clc n=3;m=3;h=2; m0=0;n0=0; tic LS=0; LD=0; for i=0:n for j=0:m if i>=j&n-i>=m-j|i==n|i==0 LS=LS+1; S(LS,:)=[i j]; end if i+j>0&i+j<=h&(i>=j|i==0) LD=LD+1; D(LD,:)=[i j]; end end end N=15; Q1=inf*ones(2*N,2*N); Q2=inf*ones(2*N,2*N); t=1; le=1; q=[m n]; f0=0; while f0~=1&t

全国大学生数学建模竞赛论文格式规范.doc

全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 （全国大学生数学建模竞赛组委会，2019年修订稿） 为了保证竞赛的公平、公正性，便于竞赛活动的标准化管理，根据评阅工作的实际需要，竞赛要求参赛队分别提交纸质版和电子版论文，特制定本规范。 一、纸质版论文格式规范 第一条，论文用白色A4纸打印(单面、双面均可)；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 第二条，论文第一页为承诺书，第二页为编号专用页，具体内容见本规范第3、4页。 第三条，论文第三页为摘要专用页（含标题和关键词，但不需要翻译成英文），从此页开始编写页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。摘要专用页必须单独一页，且篇幅不能超过一页。 第四条，从第四页开始是论文正文（不要目录，尽量控制在20页以内）；正文之后是论文附录（页数不限）。 第五条，论文附录至少应包括参赛论文的所有源程序代码，如实际使用的软件名称、命令和编写的全部可运行的源程序（含EXCEL、SPSS等软件的交互命令）；通常还应包括自主查阅使用的数据等资料。赛题中提供的数据不要放在附录。如果缺少必要的源程序或程序不能运行（或者运行结果与正文不符），可能会被取消评奖资格。论文附录必须打印装订在论文纸质版中。如果确实没有源程序，也应在论文附录中明确说明“本论文没有源程序”。 第六条，论文正文和附录不能有任何可能显示答题人身份和所在学校及赛区的信息。 第七条，引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上资料)必须按照科技论文写作的规范格式列出参考文献，并在正文引用处予以标注。 第八条，本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求，可由赛区自行决定。在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求。 二、电子版论文格式规范 第九条，参赛队应按照《全国大学生数学建模竞赛报名和参赛须知》的要求提交以

基于商人过河游戏的数学建模-最新教育文档

基于商人过河游戏的数学建模 1提出问题 文献[1]给出一个智力游戏：“三名商人各带一个随从渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。商人怎样才能安全渡河呢？”此类智力问题当然可以通过一番思考，拼凑出一个可行的方案来。文献[1]中通过图解法给出了解答，但是当商人数与随从数发生变化，船能容纳的人数不是二人时，图解法就会变得繁复而难以解决问题。 因此，将上述游戏改为n名商人各带一个随从过河，船每次至多运p个人，至少要有一个人划船，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。 但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。商人怎样才能安全渡河的问题。 除此之外，考虑了随着船载人数的增多，以及商人与仆人的对数增多到多少时，会影响商人的安全渡河的问题。 2问题分析 由于这个虚拟的游戏已经理想化了，所以不必再作假设。我们希望能找出这类问题的规律性，建立数学模型，并通过计算机编程进行求解。安全渡河游戏可以看做是一个多步决策过程，分步优化，船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶回此岸的每一步，都要对船上的商人和随从做出决策，在保证商人安全的前提下，在无限步内使全部人员过河。用状态表示某一岸的人员状况，决策表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态的允许范围内，确定每一步的决策，最后获取一个全局最优方案的决策方案，达到渡河的目标。 除此以外，我们还要找出，随着船载人数的增加，商人与仆人对数达到多少时，会影响到商人不能安全过河。这里要对船载人数进行限制，因为船载人数过多时，此智力游戏会变得相当繁复，就会失去作为游戏的本来意义。 3模型构成

全国大学生数学建模竞赛论文格式规范

全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 ●本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。（全国 评奖时，每个组别一、二等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配；但全国一等奖名额的一半将平均分配给本组别的每道题，另一半按每道题参赛队比例分配。） ●论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。 ●论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和 格式见本规范第三页。 ●论文题目、摘要和关键词写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文，不要目录。 ●论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开 始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四 号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距。打印文字内容时，应尽量避免彩色打印（必要的彩色图形、图表除外）。 ●提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文 评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。 全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在20页以内，附录页数不限）。 ●在论文纸质版附录中，应给出参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算 机源程序（若有的话）。同时，所有源程序文件必须放入论文电子版中备查。论文及程序电子版压缩在一个文件中，一般不要超过20MB，且应与纸质版同时提交。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： ●[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 ●参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： ●[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 ●参考文献中网上资源的表述方式为： ●[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第 一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。 ●本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。

商人过河问题数学建模

作业1、2： 商人过河 一、问题重述 问题一：4个商人带着4个随从过河，过河的工具只有一艘小船，只能同时载两个人过河，包括划船的人。随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货。乘船渡河的方案由商人决定。商人们怎样才能安全过河? 问题二：假如小船可以容3人，请问最多可以有几名商人各带一名随从安全过河。 二、问题分析 问题可以看做一个多步决策过程。每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人员在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量表示船上的人员情况，可以找出状态随决策变化的规律。问题就转换为在状态的允许变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。 三．问题假设 1. 过河途中不会出现不可抗力的自然因素。 2. 当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。 3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。 4. 随从会听从商人的调度。 四、模型构成 x(k)~第k次渡河前此岸的商人数x(k),y(k)=0,1,2,3,4; y(k)~第k次渡河前此岸的随从数k=1,2,….. s(k)=[ x(k), y(k)]~过程的状态S~允许状态集合 S={(x,y) x=0,y=0,1,2,3,4; x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3} u(k)~第k次渡船上的商人数u(k), v(k)=0,1,2; v(k)~ 第k次渡船上的随从数k=1,2…..

d(k)=( u(k), v(k))~过程的决策 D~允许决策集合 D={u,v |u+v=1,2,u,v=0,1,2} 状态因决策而改变s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)~状态转移律 求d(k) ∈D(k=1,2,….n),使s(k) ∈S 并按转移律s(k+1)=s(k)+(-1)^k*d(k)由（4,4）到达（0,0） 数学模型： k+1k S =S +k k D （-1） （1） '4k k x x += （2） '4k k y y += （3） k.k x y ≥ （4） ''k k x y ≥ （5） 模型分析： 由（2）（3）（5）可得 44k k x y -≥- 化简得 k k x y ≤

数学建模作业——实验1

数学建模作业——实验1 学院：软件学院 姓名： 学号： 班级：软件工程2015级 GCT班 邮箱： 电话： 日期：2016年5月10日

基本实验 1.椅子放平问题 依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证明；如果不能，请举出相应的例子。 答：能放平，证明如下： 如上图，以椅子的中心点建立坐标，O为原点，A、B、C、D为椅子四脚的初始位置，通过旋转椅子到A’、B’、C’、D’，旋转的角度为α，记A、B两脚，C、D两脚距离地面的距离为f(α)和g(α)，由于椅子的四脚在任何位置至少有3脚着地，且f(α)、g(α)是α的连续函数，则f(α)和g(α)至少有一个的值为0，即f(α)g(α)=0，f(α)≥ 0，g(α)≥0，若f(0)＞0，g(0)=0，

则一定存在α’∈（0，π），使得 f(α’)=g(α’)=0 令α=π（即椅子旋转180°,AB 边与CD 边互换），则 f(π)=0，g(π)＞0 定义h(α)=f(α)-g(α)，得到 h(0)=f(0)-g(0)＞0 h(π)=f(π)-g(π)＜0 根据连续函数的零点定理，则存在α’∈（0，π），使得 h(α’)=f(α’)-g(α’)=0 结合条件f(α’)g(α’)=0,从而得到 f(α’)=g(α’)=0，即四脚着地，椅子放平。 2. 过河问题 依照1.2.2节中的“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米，试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量的少。 答：用i =1,2,3,4分别代表人，猫，鸡，米。1=i x 在此岸，0=i x 在对岸，()4321,,,x x x x s =此岸状态，()43211,1,1,1x x x x D ----=对岸状态。安全状态集合为 :

数学建模竞赛论文模板

数码相机定位模型（题目） 摘要 此处为摘要正文 一定要写好。主要写三个方面： 1. 解决什么问题（一句话） 2. 采取什么方法（引起阅卷老师的注意，不能太粗，也不能太细） 3. 得到什么结果（简明扼要、生动、公式要简单、必要时可采用小图表） 关键词：差分近似，误差补偿算法，Simpson积分公式3-5关键词即可

目录 1.问题重述..........................................................................................................................错误！未定义书签。 2.模型假设..........................................................................................................................错误！未定义书签。 3.符号说明..........................................................................................................................错误！未定义书签。…………………………… 说明：目录页可以没有，如果内容比较多，可以有目录页

一问题重述 二问题分析 三模型假定 四问题分析 五模型建立与求解

六模型检验 七模型评价 八模型推广结合社会实际问题

九参考文献 [1] 吕显瑞等,数学建模竞赛辅导教材,长春：吉林大学出版社,2002。 [2] 刘来福,曾文艺,数学模型与数学建模北京：北京师范大学出版社，1997。 [3] 陈如栋,于延荣,数学模型与数学建模，北京：国防工业出版社,2006。 [4] 姜启源,谢金星,叶俊,数学模型（第三版），北京：高等教育出版社,2003。 [5] 梁炼，数学建模。华东理工大学大学出版社 2005.3。 [6] 周义仓，赫孝良，西安交通大学出版社，1998.8。 [7] 邓俊辉译,计算几何-算法与应用（第二版）北京：清华大学出版社，2005.9。 [8] 刘卫国，MATLAB程序设计教程，北京：中国水电水利出版社,2005。 [9] 熊慧,论人口预测对上海市未来十年人口总数的预测,人口研究,28(1):88-90,2003。 [10] 2003年国民经济和社会发展统计公报，https://www.sodocs.net/doc/2f11767742.html,。2008年9月20日。

数学建模 商人过河

数学建模课程作业 论文题目： 对商人过河问题的研究 指导教师：黄光辉 小组成员：黄志宇（20156260）车辆工程04班 牛凯春（20151927）电气工程05班 文逸楚（20150382）工商管理02

班

一、问题重述 3名商人带3名随从乘一条小船过河，小船每次只能承载至多两人。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢？ 二、问题分析 本题针对商人们能否安全过河问题，需要选择一种合理的过河方案。对该问题可视为一个多步决策模型，通过对每一次过河的方案的筛选优化，最终得到商人们全部安全过到河对岸的最优决策方案。对于每一次的过河过程都看成一个随机决策状态量，商人们能够安全到达彼岸或此岸我们可以看成目标决策允许的状态量，通过对允许的状态量的层层筛选，从而得到过河的目标。 三、模型假设 1.过河途中不会出现不可抗力的自然因素。 2.当随从人数大于商人数时，随从们不会改变杀人的计划。 3．船的质量很好，在多次满载的情况下也能正常运作。 4.随从会听从商人的调度，所有人都到达河对岸。 四、符号说明 第k次渡河前此岸的商人数 第k次渡河前此岸的随从数 过程的状态向量 允许状态集合 第k次渡船上的商人数 第k次渡船上的随从数 决策向量 允许决策集合

x y 3322110s 1s n +1d 1d 11五、模型建立 本题为多步决策模型，每一次过河都是状态量的转移过程。 用二维向量表示过程的状态，其中分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中则允许状态集合: = 又将二维向量定义为决策，则允许的决策合集为: 因为k 为奇数时船从此岸驶向彼岸，k 为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态随决策的变化规律是 该式称为状态转移律。 求决策，使,并按照转移律，由经过有限步n 到达状态 六、模型求解 本模型使用MATLAB 软件编程，通过穷举法获得决策方案如下(完整matlab 程序详见附录): 初始状态： 可用图片表示为：X0= 3 3状态为: S = 3 13 23 03 11 12 20 20 30 10 20 0决策为: D = 02

华南师范大学数学建模竞赛论文格式规范

华南师范大学数学建模竞赛论文格式规范 ●参赛队从A、B题中任选一题，在组委会公布的比赛时间内完成一篇论 文。 ●论文（答卷）用白色A4纸单面打印，上下左右各留出至少2.5厘米的 页边距。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第三页。 ●论文第二页为编号专用页，用于评阅前后对论文进行编号，具体内容和 格式见本规范第四页。 ●论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。 ●论文（从论文题目和摘要那一页开始，直到附录结束）每一页的顶部都 需要有参赛队的参赛报名号以及页码。我们建议在每页上使用页眉，例如： 参赛报名号 # 321 第 1 页 共 20 页 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他 汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ●摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅 中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，不应该包含图表，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规 定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●必须以附录的形式提供论文中所用到的程序的全部源代码。计算结果和 相关的图表如果篇幅过长，也可以放入附录。 ●参赛队按组委会的规定提交的论文电子版，必须与打印版一致。承诺书 和编号专用页为第一个Word文件，以“承诺书”加参赛报名号为文件名，例如： 承诺书

数学建模商人过河__论文

组长：王鹏道110714 组员：任利伟110713、孙祎110706 小组成员负责情况： 王鹏道：选择论文题目、设计论文版面字体、分配成员任务、总结任利伟：一、问题提出、关键、分析。二、模型假设、三、模型建立孙祎：四、模型求解、五、模型的检验、拓展及延伸 2014年11月24日 摘要 为了求解3个商人和3个随从的过河问题，用数学分析方法，建立数学模型，并且加以求解，展示动态规划思想的应用步骤。最后利用计算机蝙程进行求解，获得过河问题的完整求解过程；有效地求解类似多步决策问题的作用。 关键词：多步决策计算机求解状态转移律图解法

一、 问题的提出 随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货，但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河? 二、 问题的关键 解决的关键集中在商人和随从的数量上，以及小船的容量上，该问题就是考虑过河步骤的安排和数量上。各个步骤对应的状态及决策的表示法也是关键。 三、 问题的分析 在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河。由于船上人数限制，这需要多步决策过程，必须考虑每一步船上的人员。动态规划法正是求解多步决策的有效方法。它要求把解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题。直到可以直接求出其解的子问题为止。分解成所有子问题按层次关系构成一棵子问题树．树根是原问题。原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。 四、 模型假设 记第k 次过河前A 岸的商人数为X K ， 随从数为Y K k=1，2，? X K ,Y K =0，1，2，3，将二维向量S K =(X K ，Y K )定义为状态．把满足安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合。记作S 。则 S={(X K ,Y K )|(X K =0,Y K =0,1,2,3),(X K =3,Y K =0,1,2,3),(X K =Y K =1)(X K =Y K =2)} 记第k 次过河船上的商人数为U K 随从数为V K 将二维向量D K =(U K ,V K )定义为决策．由小船的容量可知允许决策集合（记作D)为 D={(U K ,V K )|U K +V K =l,2}={(O,1);(O,2);(1,O);(1,1);(2,O)} 五、 模型建立： 动态规划法正是求解多步决策的有效方法。它要求把解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题。直到可以直接求出其解的子问题为止。分解成所有子问题按层次关系构成一棵子问题树．树根是原问题。原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。

数学建模与数学实验课后习题答案

P59 4.学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各宿舍的委员数。 解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。i 表示各个宿舍（分别取A,B,C ），i p 表示i 宿舍现有住宿人数，i n 表示i 宿舍分配到的委员席位。 首先，我们先按比例分配委员席位。 A 宿舍为:A n = 365.21002 10237=? B 宿舍为:B n =323.31002 10333=? C 宿舍为:C n =311.4100210432=? 现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。 5.93613 22372 =?=A Q 7.92404 33332 =?=B Q 2.93315 44322 =?=C Q 经比较可得，最后一席位应分给A 宿舍。 所以，总的席位分配应为：A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。

商人们怎样安全过河

由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。 解：用最多乘两人的船，无法安全过河。所以需要改乘最多三人乘坐的船。 如图所示，图中实线表示为从开始的岸边到河对岸，虚线表示从河对岸回来。商人只需要按照图中的步骤走，即可安全渡河。总共需要9步。

P60 液体在水平等直径的管内流动，设两点的压强差ΔP 与下列变量有关：管径d,ρ,v,l,μ,管壁粗糙度Δ，试求ΔP 的表达式 解：物理量之间的关系写为为()?=?,,,,,μρ?l v d p 。 各个物理量的量纲分别为 []32-=?MT L p ，[]L d =，[]M L 3-=ρ，[]1-=LT v ，[]L l =，[]11--=MT L μ，Δ是一个无量纲量。 ???? ??????-----=?0310100011110010021113173A 其中0=Ay 解得 ()T y 00012111---=， ()T y 00101102--=， ()T y 01003103--=， ()T y 10000004= 所以 l v d 2111---=ρπ，μρπ112--=v ，p v ?=--313ρπ，?=4π 因为()0,,,,,,=??p l v d f μρ与()0,,,4321=ππππF 是等价的，所以ΔP 的表达式为： ()213,ππψρv p =?

数学建模竞赛论文格式规范和规则

东北大学数学建模竞赛论文格式规范和规则 参赛队从A、B题中任选一题。 １.论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。２.论文的第一页为封面页（本文档最后一页），根据中心安排的参赛编号填写参赛编号和选择题目，保留你选择的题目前的√号即可。 ３.论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。 ４.论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 ５.论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ６.论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ７.提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ８.引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。解答过程中使用的数据不得引用文献类型（１）（２）（３）（４）中出现的数据，引用数据必须表明出处。 各类文献的表述格式如下（其它类型文献不得引用）： （1）专著格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 书名[M]. 出版地：出版社，年代：页码. （2）期刊论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 论文名称[J]. 期刊名称，年度，卷（期）：起止页码. （3）会议论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 论文名称[C]//会议名称，会议举办地，年度，起止页码. （4）学位论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 学位论文名称[D]. 发表地：学位授予单位，年度：页码. （5）电子文献格式： 序号. 作者. 电子文献题名(电子文献及载体类型标识). 电子文献的出处或可获得地址,发表或更新日期/引用日期。只考虑两种电子文献： ［DB/OL］—联机网上数据库(database online) ［EB/OL］—网上电子公告(electronic bulletin board online) 样例： [1]Peitgen H O, Jurgens H, Saupe D. Chaos and fractals[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1992:202-213. [2]Zhao Shi, Wang Yi-ding, Wang Yun-hong. Extracting hand vein patterns from low-quality images: a new biometric technique using low-cost devices[C]// Fourth International Conference on Image and Graphics. Sichuan, 2007:667-671.

商人过河matlab程序以及解析

数学建模作业 班级：数学131 姓名：丁延辉 学号：13190122 （二）商人过河Matlab代码 三个商人三个随从 z=zeros(30,3); %z为由(a,b,c)的列向量组成的3行30列数组，初始化为0矩阵，a,b,c代表此刻此岸的商人，仆人数量以及船的运行状态，c=1表示即将向彼岸运行 m=zeros(1,20); %m为一维行向量，初始化为1矩阵，用于在后面的程序中判断第k次选择的乘船方案 d=[0,1,1;0,2,1;1,0,1;1,1,1;2,0,1]; %共有5种可以选择的乘船方案，最后面一列全为1，即用于在后面表示使得z(k,3)的取值保持随着k的奇偶性保持着0-1变换. z(1,:)=[3,3,1]; %初始状态为[3,3,1] k=1; m(k)=1; %第一次默认的乘船方案为决策1——d(1) flag=1; %用于在后面判断是否成功找到方案 answer=0; %用于在后面判断是否找到

答案 while k>0 %保持k>0 if m(k)>5 flag=0; break; end p=0; z(k+1,:)=z(k,:)+(-1)^k*d(m(k),:); %每一次的运算规则都是z(k+1)=z(k)-(-1)^k*d(m(k),:),d(m(k),:)表示决策方案 a=z(k+1,1); %将当前情况的矩阵数值复制给a商人,b仆人 b=z(k+1,2); c=z(k+1,3); if (a==3&&(b==0||b==1||b==2||b==3))||(a==1&&b==1)||(a==2&&b==2 )||(a==0&&(b==0||b==1||b==2||b==3)) %判断(a,b)是否符合限定情况 for j=1:k %判断是否此岸a,b,c与之前有重复，如果是，结束此次循环，重新选择乘船方案 if a==z(j,1)&&b==z(j,2)&&c==z(j,3) if m(k)~=5 %决策方案只有5种，所以m(k)<=5，

商人安全过河问题

讨论资金积累、国民收入与人口增长的关系 班级：2009级数学与应用数学 黄全（组长）: P092314746 邱亚彪: P091712712 谢志成:P091712679 央金:P091715381 罗国庭:P091712739

讨论资金积累、国民收入与人口增长的关系 摘要 如何保证人口增长对国民收入影响的正效应和国民平均收入持续性增长，一直是全国人民所共同关注的问题。本文对资金积累、国民收入和人口增长三者之间的关系进行讨论，通过导数结合三者之间存在的基本规律，建立相应的微分方程，利用微分方程法给出方程，由matlab解得资金积累、国民收入与人口增长的关系。通过掌握该关系，确定资金积累的增长率大于人口增长率时国民收入才会增长，从而更好地调整人口出身率、控制人口的数量和人口质量，保证我国人口增长与国民收入增长之间的适当的比例关系，使得国民平均持续性增长，促进社会经济的迅速发展，提高人民的生活质量，为整个社会的长远战略需求做贡献。 关键字：资金积累状态转移律图解法微分方程决策

一、 问题重述 讨论资金积累、国民收入与人口增长的关系 （1）若国民平均收入x 与按人口平均资金积累y 成正比，说明仅当总资金积累 的相对增长率k 大于人口的相对增长率r 时，国民平均收入才是增长的. （2）作出k(x)和r(x)的示意图，说明二曲线交点是平衡点，讨论它的稳定性。 （3）分析人口激增会引起什么后果 二、符号说明 1x : t 时刻总资金累积量，2x ：t 时刻人口数量， 3x ：国民平均收入量 ，k ：总资金的相对增长率 r ：人口的相对增长率 三 、模型的假设 在一定时期后,增长的人口数量为:：22x rx '=； 总资金的增长量为：11x kx '= ； 四、问题的分析 在社会主义发展的初级阶段，国民收入是指一定时期（通常为1年）内，物质生产部门劳动者新创造的价值,它是物质资料生产进一步发展和人口再生产条件改善的物质基础。在其他条件已定的情况下,国民收入总量愈多,人均消费基金和积累基金也越多，从而有利于人们生活的改善和技术装备水平的提高，也有利于人口数量的控制和人口质量的提高。人口增长从 3个方面影响国民收入的增减： ① 人口或劳动者数量的多少； ② 每个劳动者技术装备水平的高低； ③ 劳动者节省消耗和管理才能的大小。 国民收入又分为资金的累积和消费，累积资金=国民收入错误！未找到引用源。消费资金，而消费资金=基本消费资金错误！未找到引用源。人口发展速度。因此， 为增加人均国民收入，增强一国的经济实力和提高人民生活水平，要在大力发展经济、增加生产的基础上合理地调节人口增长。