折叠问题解题探究

折叠问题解题探究

问题的提出：折叠即产生对称，是初中数学重要知识之一。也是近几年中考的命题热点，是高频

问题。而学生往往对折叠中隐含的不变量“不识庐山真面目”而忽视隐含的已知，致使解题陷入绝境，导致失分；或者问题复杂化，舍近取远，浪费时间。

问题1：如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，你能得到什么结论？

（学生口答）

此图中，若AB=8cm ，AD=10cm ，求EC 的长。

师：解决此问题依据是轴对称中确定不变量，采用方程思

想，运用勾股定理、相似基本策略解决问题。

比较简单的折叠问题，不变量及隐含条件还比较直观，

易寻找判断。

问题2：如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸

片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图②）；（2）以过点E 的直线为折痕纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图③）；（3）将纸片展平，求AFE 的度数.

师：不变量的确定，寻求隐含条件可以降低问题难度，找到解决问题的突破口。 解决问题的依据：轴对称

解决问题的策略：寻求不变量、勾股定理、相似、中垂线、平行线性质

例： 在一张长方形ABCD 纸片中， AB ＝20cm ． 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分

别求折痕的长．

(1) 如图1, 折痕为AE;

(2) 如图2, P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，折痕为AE; (3) 如图3, 若AD ＝25cm, 折痕为EF ．

(分析时一题多解，不同角度不同方法解题

)

图①

图②

图③

练习：

1． 如图①，将一组对边平行的纸条沿EF 折叠，点A 、B 分别落在A ’、B ’处，线段FB ’与AD 交于点M ．

(1)试判断△MEF 的形状，并证明你的结论；

(2)如图②，将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在C ’、D ’处，且使MD ’经过点F ，试判断四边形MNFE 的形状，并证明你的结论； (3)当∠BFE ＝_________度时，四边形MNFE 是菱形．

2.如图，矩形纸片ABCD 中，8cm AB =，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交

DC 于点F ，若25

cm 4AF =

，则AD 的长为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．7cm

3.把边长为4的正方形ABCD 的顶点C 折到AB 的中点M ，折痕EF 的长为 .

课后问题再探索：折折叠叠中找巧门 1.将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展

开，得到的图形是（ ）

2.如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的

点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形

ADA E '是菱形，则下列说法正确的是 （ ）

A ． DE 是△ABC 的中位线

B ． AA '是B

C 边上的中线 C ． AA '是BC 边上的高

D ． AA '是△ABC 的角平分线

A ．

B ．

C ．

D ． A B

C E

F

D 第2题图 A (第1题图②)

B

C E F

D A ’ B ’ A B

C

E F

D A ’ B ’ D ’

C ’

M M N

(第1题图①

)

F

D C

A M A

B

D

E

A '

3.将一张纸第一次翻折，折痕为AB （如图1），第二次翻折，折痕为PQ （如图2），第三次翻折使PA 与PQ 重合，折痕为PC （如图3），第四次翻折使PB 与PA 重合，折痕为PD （如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则CPD ∠的大小是（ ）

A ．120

B ．90

C ．60

D ．45

4.将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O （0，0），A （6，0），C （0，3）。动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）。

（1）用含t 的代数式表示OP ，OQ ；

（2）当t=1时，如图1，将△OPQ 沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；

（3）连结AC ，将O

P Q △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．

图1

（第4题图）

初中生物实验探究题的解题思路与技巧

浅谈初中生物实验探究题的解题思路与技巧 [摘要] :把握实验探究题的解题思路与技巧，首先要弄清实验的原理、实验中材料的使用、实验中的变量、现象及预测实验结果等。 [关键词]: 注重设计重视过程解题技巧 会考实验题的创新设计，正在由验证性实验向探究性实验的方向突破和发展，已然成为今后一段时间内实验命题的方向和热点。那么，如何才能答好生物实验设计题，取得优秀的分数呢？这就必须了解一份完整的实验方案的设计，掌握实验设计的基本思路和技巧，在生物实验能力测试中就能够做到有据可依，有法可循，总体考虑，综合分析，达到事半功倍，获得高分的效果。本文结合自己近几年的教学实践，谈谈生物实验设计题的基本解题思路与技巧。 1 什么是实验设计 所谓实验设计，就是要求学生设计实验原理，选择实验器材，安排实验步骤，设计数据处理的方法及分析实验的现象等。但在生物综合能力测试中由于受时间和卷面的限制，实验设计能力考查无法面面俱到，或者是考查实验步骤的设计、续写或修改，或者是实验现象的观察和分析，或者是实验数据的加工和实验结果的分析，或者是考查实验结果的预期与讨论，或者是实验装置的检验或改进等等。 2 实验设计的基本内容 设计一个较完整的实验方案一般应包括：①明确实验目的→②确定实验变量→③分析实验原理→④提出实验假设→⑤落实实验用品→⑥设计实验步骤→⑦ 预测实验结果→⑧得出实验结论 2.1实验设计的基本解题思路 2.1.1明确实验目的，分清实验类型 明确实验目的就是要弄清“做什么”的问题，即探究或者是验证什么生物学现象或原理。明确实验目的才能明确运用哪一原理进行实验设计，才能明白实验设计中哪一因素是实验变量。例如“设计实验验证呼吸时二氧化碳体积分数的变化”。此实验原理或实验思路与七年级上册教材“植物呼吸作用产生二氧化碳”的实验原理相同，因此采用教材中相似的实验设计思想：先准备两个盛有澄清石灰水的烧杯或锥形瓶，然后将含有二氧化碳的气体投入盛有澄清石灰水的烧杯或锥形瓶中。再如“口腔内的化学变化”，探讨的问题是温度与酶活性之间的关系，那么在实验设计中，“温度”这一因素应是实验变量。 实验设计一般有两种类型：验证性实验设计和探究性实验设计。验证性实验具有明确的结果，通过实验加以验证；而探究性实验的现象和结果是未知的或不确定的，应针对多种可能分别加以考虑和分析，得到相关的结论。如二005年湖南怀化“探究光照对菜豆发芽的影响”；2007年浙江湖州“唾液淀粉酶催化效率与时间关系”就属于探究性实验设计。 2.1.2找出两类变量，确定对照类型 一找出两类变量

图形折叠问题的探究

图形折叠问题的探究 已知矩形纸片ABCD，AB＝2，AD＝1将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合. （1）如果折痕FG分别与AD，AB交于点F，G（如图（1），）AF＝23.求DE的长. （2）如果折痕FG分别与CD，AB交于点F，G（如图（2），），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG 的长. （2012?南宁）如图，已知 矩形纸片ABCD，AD=2， AB=4．将纸片折叠，使顶点 A与边CD上的点E重合， 折痕FG分别与AB，CD交于 点G，F，AE与FG交于点O． （1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形； （2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点； （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长． 本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的

运用意识和策略等具有可再抽象性． 变式：已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合） （1）如图①，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一点F，将△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；（2）在（1）中，如图②，连接FC，取FC的中点H，连接GH、EH，请你探索线段GH 和线段EH的大小关系，并说明你的理由； （3）如图③，分别在AD、BC上取点F、C’，使得∠APF=∠BPC’，与（1）中的操作相类似，即将△PAF沿PF翻折得到△PFG，并将△CPB′沿CP′翻折得到△CPE′，连接CF′，取CF′的中点H，连接GH、EH，试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 例4.（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB >AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE 上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小． 如图,矩形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则EF的长为 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为cm．

中考专题一-折叠问题题型方法归纳

（第18题图）M A C B 折叠问题 折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 1、（2009年浙江省绍兴市）如图，D E ，分别为ABC △的AC ，BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 2、（2009湖北省荆门市）如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ） A ．40° B ．30° C ．20° D ．10° 3、（2009年日照市） 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ． 4、（2009年衢州）在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为 A ．9.5 B ．10.5 C ．11 D ．15.5 5、（2009泰安）如图，在Rt △ABC 中， ∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处， 若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为 ． 6、(2009年上海市)在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM （如图3所示）．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是 ． 7、(2009宁夏) 如图：在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，将ADC △沿AC 边所在的直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ． 求证：EC AB ∥． 8、（2009年清远）如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和 C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合） ，过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 9、（2009恩施市）如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ． （1）用x 表示ADE △的面积； （2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式； （3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式； （4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ A 图3 B M C B C N M A 第2题图 A ' B D A C E C B D

翻折图形题一(含答案)

翻折图形题一 一．填空题（共9小题） 1．（2003?昆明）已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE和AD相交于点O，写出一组相等的线段_____BE=BC____（不包括AB=CD和AD=BC）． 2．（2006?荆门）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ=____0.5_____． 3．有一张矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE 为折痕向右折叠，AE和BC交于点F，则CF的长为____2____． 4．（2004?荆州）如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM 沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为____1_____． 5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．则AB=____15_____． 6．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF=___25/4______．

7．如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在 AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE=____5根号3/3_____cm，∠DCE=___30°__． 8．（2008?莆田）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=_____60____度． 9．一张长方形的纸片如图示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为_20_． 二．选择题（共9小题） 10．如图，明明折叠一张长方形纸片，翻折AD，使点D落在BC边的点F处，量得AB=8cm，BC=10cm，则EC=（A） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8cm，D是BC上一点，AD=DB，DE⊥AB，垂足为E，CD等于（C）cm．

材料探究题解题思路教学设计

材料探究题解题思路教学设计 教学目标： 1、了解探究题的定义、考点、题型。 2、掌握材料探究题的解题方法，并灵活运用方法解答实际题目。 一、新课导入： 在我们的语文试卷中有一道语文综合性学习试题，它以多种多样的形式出现。根据我们平时的练习，请同学们给它概括一下有哪几种类型。 语言创作类：编拟广告、宣传语对联知识及创作赏析 活动参与类：活动策划、活动建议 图表转述类：表格分析、图画理解 材料整理类 : 材料整合与探究 今天我们就一起来探究材料探究题解题思路。 二、定义： 知己知彼，百战不殆。先让我们认识什么是材料探究题。 命题者给出一段或几段文字材料，通过对这些材料的阅读、分析，比较、研究，从而有所发现，然后用简洁明了的语言写出自己发现、探究的结果。（学生解题的过程，也就是研读材料、分析处理材料、归纳整合得出信息、作出判断、形成自己的观点的过程。） 三、考点： ①阅读相关材料，筛选出材料中的主要信息。 ②结合材料反映的社会现象，提炼观点，得出结论。 ③阅读几则材料，结合个人实际，写出自己的感想体会。 四、探究过程: 很多同学对这类试题有畏难心理，其实只要我们掌握了它的答题技巧规律，加以适当的训练，就一定能作好材料探究题。 材料探究题一般由两则或两则以上以上的材料组成，几则材料或者相近，或者相反，但实际上都是围绕一个话题去表述的。这种多项探究题，材料之间的关系大致存在两种情况：一种情况是几则材料都与同一内容有关，我们则探

究材料之间的共性或个性。另一种情况是几则材料间存在逻辑联系，我们则主要探究其因果关系。 探究（一） 请阅读下面的材料探究题。思考：你得到了怎样的探究结果? 材料一母虎抚养幼虎有三个过程。开始，它出去捕食回来，把最嫩的肉用爪子撕成碎片，喂给幼虎。后来，它捕食回来，自己把肉吃掉，剩下的骨头扔给幼虎啃。再后来，它捕食回来，自己把肉吃掉，把骨头扔掉，幼虎要吃，它就大吼一声，不让它吃。过几天，幼虎饿得实在受不了，就离开母亲，自己找食吃，且不再回来。 材料二舜发于畎亩之中，傅说举于版筑之间，胶鬲举于鱼盐之中，管夷吾举于士，孙叔敖举于海，百里奚举于市。（《生于忧患，死于安乐》） 材料三曾有这样的一幅漫画：父亲送儿子上大学，衣着时髦的儿子空着手，与别人谈笑风生，而父亲却肩扛手提，佝偻着身子帮儿子排队报名。漫画题为“如此爱心”。 材料一：母虎强迫幼虎自己觅食。(艰难环境中学会独立、学会生存.) 材料二：凡成功人士必先经历艰难困苦的磨练。(逆境出人才) 材料三:大学生对父亲为自己背行李熟视无睹。(过分关爱，使子女 冷漠懒惰。） 这三则材料都围绕同一个内容：环境（关爱）与成才（生存）的关系。 探究结果是：艰苦的环境与磨难，有利于孩子的成长与成才。

九年级数学图形折叠问题学案

图形折叠问题 专题导读 图形折叠问题，是一个非常好的题型，历年来深受中考数学出题者的青睐．近年来很多城市的中考都在积极探索有关图形折叠题目的思考与研究．在所有折叠图形的题目中，最受欢迎的还是矩形的折叠，因为这种图形的性质特别好，便于折叠，折叠时也产生了很多很好的性质，所以也便于出题人寻找出题的点．因此矩形折叠的题目最多，考的也最多．还有对正方形的折叠、菱形、平行四边形、三角形等，甚至现在连圆形也开始折叠．产生了很多不错的题目． 图形折叠问题只所以这么受追捧，是因为这些图形在折叠过程中，会产生很不错的性质，值得研究，出题人利用研究这些性质也可以进而考查学生的一些对知识的掌握程度，动手能力，采用运动变化的观点分析和解决问题的能力．鉴于此，我们有理由相信今后的中考数学试卷中还会产生很多有关图形折叠的问题． 中考要求 山东省中考考试说明要求掌握轴对称图形的性质． 学会在运动变化中寻求不变的图形性质． 培养学生运用运动变化的观点分析和解决问题． 专题集训 考向1矩形的折叠 典例1、(2019 山东省泰安市)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是． 对应训练 1. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是________． 2. (2019 山东省枣庄市)用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝度．

考向2正方形的折叠 典例2、(2019 山东省青岛市)如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE 上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm． 对应训练 3. (2019 天津市)如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE＝5，则GE的长为． 考向3三角形的折叠 典例3、(2019 山东省淄博市)如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF． 如图1，当 1 2 CD AC =时， 1 3 tan 4 α=；如图2，当 1 3 CD AC =时， 2 5 tan 12 α=； 如图3，当 1 4 CD AC =时， 3 7 tan 24 α=； ?? 依此类推，当 1 ( 1 CD AC n n = + 为正整数）时，tan n α=． 考向4平行四边形的折叠

初中数学中有关图形的折叠问题

专题复习图形的折叠问题 折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系． 类型1 三角形中的折叠问题 1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】 A ．150° B ．210° C ．105° D ．75° 2.已知，如图,Rt △ABC 中,∠C=90o,沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC,使C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A=________. 3．(2014·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE 的度数为________． 4.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________． 5.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________． A D B E C 6.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是 ． 7.如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠B ． 8.如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得 △ACB.若C(3/2，√3/2)，则该一次函数的解析式为________． 9.如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（ ） A.3/4 B.4/5 C.5/6 D.6/7 10.如图，将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′点处，且DE ∥BC ，下列结论：①∠AED ＝∠C ；②A 1D/DB=A 1E/EC ；③BC=2DE ；④ BD A E A C AD A E S S S ?'?''=+四形边。其中正确结论的个数是 个。 11.如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，BC=3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 .

初中化学探究一般解题方法

初中化学探究—一般解题方法 科学探究是人们获取科学知识的，认识世界的重要途径，它既是理念实施中的一种全新的学习方法，也是九年级化学学习的重要内容。科学探究活动能有效激发学生对化学学习的兴趣，能让学生学会从日常生活、工农业生产、科学研究中或从化学问题的实际情景中，发现有探究价值的问题。科学探究活动可有效的培养学生的实验能力、探究能力、创新能力。因而科学探究能力也就理所当然成为中考考查的重点和热点，但不少同学对于科学探究类试题，往往不知如何入手去解答。实际上该类问题一般来说是在同学们已有知识和经验的基础上设计的，只要基础扎实，掌握了科学探究的一般步骤（科学探究的一般步骤为提出问题→猜想与假设→制定计划→进行实验→收集证据→解释与结论→反思与评价→表达与交流），可以说并不难解，本文结合近几年典型探究类中考题，从科学探究的步骤出发，剖析该类试题解题的一般思路和方法，供参考。 一、要在已学知识和经验的基础上，敢于和大胆的做出合理的猜想和假设 实际上科学探究试题中的许多内容都是平时学习时已学过的，或生活中司空见惯的，关键问题是很多同学做题时联想不到，这就要求我们每一个同学在平时的学习和生活中要多问几个为什么，要注意从化学的视角去观察思考学习和生产

生活中的各种问题，并能根据自己已有的化学知识和经验对问题做出有意义的猜想和假设。 例1.甲同学在某食品包装袋内，发现有一个装有白色颗粒状固体A的小纸袋，上面写着“生石灰干燥剂，请勿食用”。甲同学随手将小纸袋拿出来放在空气中，经过一段时间后，发现纸袋内的白色颗粒粘在一起成为块状固体B。请你与甲同学一起对块状固体B进行探究。 二、根据试题的要求、结合已有的化学知识和生活经验，设计简单的化学探究性实验 设计探究性实验是综合考察学生能力的题目，对学生的要求很高。它不仅要求学生对物质的性质、检验和制备很熟悉，而且还要求实验方案简单易行，原料价格低廉，无污染等。对于该类问题同学们实际上只要根据题意搞清或确定实验的原理，然后紧紧抓住原理进行设计，难点也就化解了。例2．铁暴露在空气中会生锈。不知你注意了没有，将苹果切开不久，果肉上就会产生一层咖啡色的物质，也好象是生了“锈”一样。某化学活动小组对此进行了探究。 【提出问题】切开的苹果“生锈”与什么因素有关？ 【猜想与假设】 猜想①：可能与空气没有关系，只是果肉内的物质自身相互反应而“生锈”。 猜想②：可能是果肉中的物质与空气中的氧气作用而“生

初中数学专题;折叠问题

专题八折叠问题 学习要点与方法点拨： 出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题 折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等； 考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质-----折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 基本图形： 在矩形ABCD中，将△ABF沿BE折叠至△FBE,可得何结论？ （1）基本图形练习： 如图，将三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB上，折痕为AD，展开纸片；再次折叠，使得A 和D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,则△AEF是等腰三角形，对吗？ （2）折叠中角的考法与做法： 将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使得A落在BC边上的点F处，折痕为BE（图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE边上的点D’，折痕为EG（图2）,再展开纸片，求图（3）中角a的大小。

（3）折叠中边的考法与做法： 如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处， 折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是多少？ 模块精讲 例1.（2014?扬州）已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处． （1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长； （2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数； （3）如图2， ，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合）， 动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．

专题突破之《折叠问题的处理技巧》

《折叠问题的处理技巧》 考点动向 折叠问题在教材中有所体现，也是立体几何传统的典型问题，符合高考试题源于课本高于课本的基本命题理念，同时，折叠问题既可以考查空间想象能力，也考查学生的动手能力及比较等思维方式，因此，一直是备考与命题的重点． 方法范例 例１（2005·湖南）如图７－１，已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴1OO 折成直二面角． （Ⅰ）证明：1AC BO ⊥； （Ⅱ）求二面角1O AC O --的大小． A B O C O 1 D 解析 本题是立体几何中有证有求的典型问题，可以不借助向量解答，借助三垂线定理证明直线异面垂直，然后作二面角的平面角，并解之．也可以借助空间向量，转化为直线的方向向量及平面法向量的关系问题解答． 解法１ （I ）证明： 由题设知1OA OO ⊥，1OB OO ⊥．所以AOB ∠是所折成的直二面 角的平面角，即OA OB ⊥． 故可以O 为原点， 1,,OA OB OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图７－２，则相关 各点的坐标是 (3,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,1C ，1O ．从而(3,1AC =-，

1(0,BO =- ，130AC BO ?=-=．所以1AC BO ⊥． （II ）解：因为130BO OC ?=-=，所以1OC BO ⊥，由（I ）1AC BO ⊥，所以1BO ⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量．设),,(z y x n =是平面1O AC 的 一个法向量，由1030,0.0n AC x y y n O C ???=-+=?????=?=? ??? 取z =)3,0,1(=． 设二面角1O AC O --的大小为θ，由、1BO 的方向可知=<θ，1BO >， 所以 1113 cos cos ,4 ||||n BO n BO n BO θ=<>= = ．即二面角1O AC O --的大小是． 解法２（I ）证明： 由题设知1O A O O ⊥， 1OB OO ⊥，所以AOB ∠是所折成的直二面角的平面 角，即OA OB ⊥． 从而AO ⊥平面1OBCO ，OC 是AC 在面 1O B C O 内的 射影．因为 11tan OB OO B OO ∠= =，111tan 3 O C O OC OO ∠== ，所以13OO B π∠=，16O OC π∠=，从而1OC BO ⊥，由三垂线定理得1AC BO ⊥． （II ）解 由（I ）1OC BO ⊥，1AC BO ⊥，知1BO ⊥平面OAC ．设1OC O B E =， 过点E 作EF AC ⊥于F ，连结1O F （如图７－３），则EF 是1 O F 在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得1O F AC ⊥．所以1O FE ∠是二面角1O AC O -- 的平面角．由题设知 11 3,1OA OO OC ===，所 以 1O A =， AC == ，从而13 3 2111= ?= AC C O A O F O ， 又11sin 6 O E OO π == ，所以111sin O E O FE O F ∠==， 即二面角1O AC O --的大

2019-2020年中考语文材料探究题解题思路

2019-2020年中考语文材料探究题解题思路 【题型说明】 新的课程标准提出了“探究性学习”的要求，提出要考查学生“探究内容”的能力。在02、03年各地的中考中出现了大量的适应这一考查目标的试题，这些试题十分重视对学生探究、发现能力的考核，不仅考查学生阅读、分析、判断和研究问题、解决问题的能力，而且把解题的过程、考试的过程变成了研读资料、处理资料的过程。此外，发展学生思维多极性，从语文的视角发现和提出问题，并加以探索、研究解决，在探究中展示自己的睿智与条理。明白了出题者的这个出发点，对于我们准确把握出题者的意图，切准题目的脉搏，找到正确的思维路径是大有裨益的。 【例析指津】 做探究题，就是要求我们通过几则材料的阅读、分析，比较、研究，从而有所发现，然后写出自己发现、探究的结果。而发现、探究就是要让我们通过比较、分析，找到几则材料之间存在的关系。 材料之间大致存在两种情形： 一是几则材料间存在逻辑联系，主要是探究因果关系。 请看例题1： 阅读文章《藏羚羊跪拜》有关内容和下面两段资料，从中你有什么发现？写出你探究的结果。 （1）藏羚羊为我国特有的珍贵濒危动物，属国家一级保护动 物，主要栖息在西藏等高原地带。喜群居生活，性怯懦机警，常 出没在人迹罕至的地方。（《中学生知识画报》） （2）近几年来，武警官兵为保护可可西里生态环境打响了艰 苦的保卫战……如今，在可可西里的青藏公路沿线，藏羚羊、藏

野驴、野牦牛成群结队，不时向过路车辆鸣叫相迎，挥蹄致意。（《中国国防报》2002.5.28） 附原文：《藏羚羊跪拜》 ①这是听来的一个西藏故事。发生故事的年代距今有好些年了。可是，我每次乘车穿过藏北无人区时总会不由自主地要想起这个故事的主人公——那只将母爱浓缩于深深一跪的藏羚羊。 ②那时候，枪杀、乱逮野生动物是不受法律惩罚的。就是在今天，可可西里的枪声仍然带着罪恶的余音低回在自然保护区巡视卫士们的脚步难以到达的角落。当年举目可见的藏羚羊、野马、野驴、雪鸡、黄羊等，眼下已经成为凤毛麟角了。 ③当时，经常跑藏北的人总能看见一个肩披长发、留着浓密大胡子、脚穿长统藏靴的老猎人在青藏公路附近活动。那支磨蹭得油光闪亮的杈子枪斜挂在他的身上，身后的两头藏牦牛驮着沉甸甸的各种猎物。他无名无姓，云游四方，朝别藏北雪，夜宿江河源，饿时大火煮黄羊肉，渴时一碗冰雪水。猎获的那些皮张自然会卖来一笔钱，他除了自己消费一部分外，更多的用来救济路遇的朝圣者。那些磕长头去拉萨朝圣的藏家人心甘情愿地走

折叠问题解题探究

折叠问题解题探究 问题的提出：折叠即产生对称，是初中数学重要知识之一。也是近几年中考的命题热点，是高频 问题。而学生往往对折叠中隐含的不变量“不识庐山真面目”而忽视隐含的已知，致使解题陷入绝境，导致失分；或者问题复杂化，舍近取远，浪费时间。 问题1：如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，你能得到什么结论？ （学生口答） 此图中，若AB=8cm ，AD=10cm ，求EC 的长。 师：解决此问题依据是轴对称中确定不变量，采用方程思 想，运用勾股定理、相似基本策略解决问题。 比较简单的折叠问题，不变量及隐含条件还比较直观， 易寻找判断。 问题2：如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸 片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图②）；（2）以过点E 的直线为折痕纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图③）；（3）将纸片展平，求AFE 的度数. 师：不变量的确定，寻求隐含条件可以降低问题难度，找到解决问题的突破口。 解决问题的依据：轴对称 解决问题的策略：寻求不变量、勾股定理、相似、中垂线、平行线性质 例： 在一张长方形ABCD 纸片中， AB ＝20cm ． 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分 别求折痕的长． (1) 如图1, 折痕为AE; (2) 如图2, P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，折痕为AE; (3) 如图3, 若AD ＝25cm, 折痕为EF ． (分析时一题多解，不同角度不同方法解题 ) 图① 图② 图③

练习： 1． 如图①，将一组对边平行的纸条沿EF 折叠，点A 、B 分别落在A ’、B ’处，线段FB ’与AD 交于点M ． (1)试判断△MEF 的形状，并证明你的结论； (2)如图②，将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在C ’、D ’处，且使MD ’经过点F ，试判断四边形MNFE 的形状，并证明你的结论； (3)当∠BFE ＝_________度时，四边形MNFE 是菱形． 2.如图，矩形纸片ABCD 中，8cm AB =，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交 DC 于点F ，若25 cm 4AF = ，则AD 的长为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．7cm 3.把边长为4的正方形ABCD 的顶点C 折到AB 的中点M ，折痕EF 的长为 . 课后问题再探索：折折叠叠中找巧门 1.将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展 开，得到的图形是（ ） 2.如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的 点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形 ADA E '是菱形，则下列说法正确的是 （ ） A ． DE 是△ABC 的中位线 B ． AA '是B C 边上的中线 C ． AA '是BC 边上的高 D ． AA '是△ABC 的角平分线 A ． B ． C ． D ． A B C E F D 第2题图 A (第1题图②) B C E F D A ’ B ’ A B C E F D A ’ B ’ D ’ C ’ M M N (第1题图① ) F D C A M A B D E A '

探究性问题解题思路

·初中数学解答探究性问题的思路略谈探究性问题大致可以分为：一、条件探究型。二、结论探究型。 三、存在探究型。四、规律探究型。五、决策探究型。一般情况下，解答探究性问题要把握问题的结论特征，通过对相应的数学式子和图形进行细致的研究，根据其规律采用合情推理，猜想结论，理论验证等程序得出正确答案。下面就不同类型的探究性问题进行归纳总结，掌握各类型的解题方法思路，以便大家参考借鉴。 一、条件型探究问题 条件探究型是指仅仅给出给定的结论，要求探究此结论成立应具备的充分条件。 例1、如图，在ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，要使△AD F≌△CBE 还需要添加一个什么条件？（只需添加条件） 分析：由平行四边形性质可知A D＝BC，AD∥BC ∴∠ADF=∠BCE ∴当CE＝AF 时，依据SAS可判定△AD F≌△CBE；或当AE＝CF时，∵AE+EF=CF+EF 即AF＝CE，同样可证全等。或当∠ADF=∠CBE时，可用ASA判定全等；或∠DFA=∠CEB 时可用AAS判定全等；或当DF∥BE 时，则∠DFA=∠BEC,可用AAS证全等。 答案：AF＝CE或AE＝CF或∠ADF=∠CBE或∠DFA=∠BEC或DF ∥BE等等。 根据以上解析可知：解答条件探究性的一般方法和思路是：从结论出发，执果寻因，逆向推理，逐步探索结论成立的充分条件，或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析考查，同时添加的条件也可以是能够推出这个条件的其他条件。

二、结论探究性 结论探究性是指题中没给出明确的结论的问题。 例2：如图，AB＝AD，BC=CD，AC和BD相交于E，有这些条件可以得出若干结论，请你写出其中3个正确结论。（不再添字母和辅助线） ①②③ 分析：由AB=AD，BC=CD,AC=AC可得到△AD C≌△ABC从而可得∠DAE=∠BAE, ∠DCA=∠BCA等。由等腰三角形“三线合一“性质可知AC⊥BD,BE=DE,还可以证：△AD F≌△ABE,△CDE≌△CBE 因此本题答案：①AC⊥BD, ②BE=DE,③△AD C≌△ABC等等 根据对本题的解析可解答结论探究性题目一般思路是：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜想等。从而获得所求结论。解题方法：从条件出发，经过探究分析归纳；猜想得出结论，又可以作为条件来使用 三、存在探究性 存在探究性是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在，某个结论是否出现的问题。 例3：已知关于x的方程kx2-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根，①求k的取值范围②是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求k的值，若不存在说明理由。 本题的第②问是一个存在探究性的问题，它的解答过程如下：

(中考语文专题)材料探究题解题思路

1、阅读下列材料，写出你的发现。 有一个人去应聘工作，随手将走廊上的纸屑捡了起来，放进了垃圾桶，被路过的口试官看到了，他因此得到了这份工作。 一位青年在自行车店当学徒。有人送来一部坏的自行车，这位青年将车修好，还把车子擦拭得漂亮如新，其他的学徒笑他多此一举。车主将自行车领回去的第二天，这位青年被挖到他的公司上班。 2、阅读下列材料，写出你的发现。 一分钱在许多地方已经失去人们的尊重，全国每年估计有70亿的一分钱消失不见。1989年国会议员詹姆士提议立法，希望政府能在2000年以前停止发行一分钱。 1992年经济低迷到谷底时，财政部只铸造了91亿枚一分钱，1990年120亿枚，1991年99亿枚，1993年113亿枚，1997年经济好转，则有133亿枚。 四年前，加州一位小学教师，想向学生表现“100万个东西”的概念，发起捐一分钱的活动，四年时间终于募到100万个“一分钱”。银行反复数过1040遍，去年春天，这100万个一分钱，也就是1万元，利息达到868美元。目前校方还没有决定到底怎么使用这笔钱，不过最大的可能是设立奖学金。 3、按要求答题。 已知：①备考前夕：某学校初三（2）班晚10∶30下自习 ②班主任有令：每晚下自习后须自学一小时 求：考入重点高中 解：眼皮十分沉重 答：九年寒窗苦，苦海无边 这是一道特殊的数学题，你从中获取了哪些信息？（至少写出两条）另外，请给该学校提一条合理化的建议。 （1）信息①_______________________________________ ②_______________________________________ （2）建议：________________________________________ 4、对历史上的成吉思汗，有很多评价，阅读下面摘选的几则材料，结合毛泽东《沁园春·雪》，说说你从中有什么发现。 （1）电视连续剧《成吉思汗》主题曲：(男)长天飞沙，壮士血在狂号，(女)原野飞花，壮士怀抱冷傲。(男)一代天骄，千秋知我名号，(女)谈笑造时势，问谁领风骚。 （2）黑格尔在他的《历史哲学》中评价成吉思汗和蒙古帝国：“他们，出现于文明化了时代的野蛮人，在几年之内突然把罗马世界、波斯世界和中国世界变成了一堆废墟。” （3）普希金描述成吉思汗入侵时说：“蒙古人征服俄罗斯以后，除了肆无忌惮的攫取和破坏，既没有给予我们代数，也没有给予我们亚里斯多德。” 5、阅读下列材料，写出你的发现。 伊拉克战争以美军控制伊首都巴格达而告终。但战争初期，美军曾遇伊军顽强抵抗，一度在巴格达城外受阻，伊拉克总统萨达姆也摆出了一副要与美军在城内决一死战的架势。对此，各国媒体纷纷认为美军的“速胜论”遭到了挫败，有的媒体甚至干脆把巴格达称之为“萨达姆格勒”。（人名加上“格勒”是前苏联给城市命名的常用方式。）阅读下面两段材料，不涉及战争的性质，仅就媒体对战况的预测，说出“萨达姆格勒”的含义。（4分） 材料一：列宁格勒保卫战。苏德战争期间，希特勒北方集团军以优势兵力突破苏军抵抗后，侵入列宁格勒郊外和苏芬界河拉多湖一带。从1941年9月8日到1944年1月17日，列宁格勒被围困872天。德军参战兵力有4个集团军、一个装甲集团群和部分空军。苏联军民进行了艰苦卓绝的反围困斗争，终于挫败德军封锁，把德军从列宁格勒击退到220－280公里外。 材料二：斯大林格勒保卫战。这是前苏联卫国战争中的一次决定性战役。德国不甘心1942年初在莫斯科战役的失败，于1942年7月放弃全面进攻苏联的计划，主攻南线，以占领战略地位十分重要的斯大林格勒为主要目标。7 月17日，德军集中100多万优势兵力猛攻斯大林格勒，9月中旬攻入市内，苏联军民与德军展开了激烈的巷战。11月19日，苏军开始反攻。次年2月，德军第六集团军、第四集团军等全军覆灭，损失官兵近150万人。 6．左图是北京奥运会的会徽，它是从１９８５件全球应征的有效作品中脱颖而出，并在众多专家的帮助下进行了多次修改 而最终产生的。它的成功之处就在于“当世界另一端的人第一眼 看到它的时候，就会感觉到这是中国的，能传达出基于悠久历史 传统沉淀之上的现代感”。请你探究一下该会徽是如何传达出我国 悠久历史传统文化的。 7、阅读下面的材料，写出你的探究结果。 赤潮是水体中某些微小的浮游植物、原生动物或细菌，在一定的环境条件下突发性地增殖和聚集，引起一定范围内一段时间中水体变色现象。通常水体颜色因赤潮生物的数量、种类而呈红、黄、绿和褐色等。 赤潮虽然自古就有，但随着工农业生产的迅速发展，水体污染日益加重，赤潮也日趋严重。赤潮不仅给海洋环境、海洋渔业和海水养殖业造成严重危害，而且对人类健康甚至生命都有影响。 2002年我国海域多次发现赤潮，具体情况如下图：

常见几何图形的折叠问题

常见几何图形的折叠问题 图形的折叠是图形变换的一种，折叠型问题的立意新颖，变化巧妙，是近几年中考中的热点问题，主要考察学生的探究能力，空间想象能力，抽象思维能力及逻辑推理能力。体现的是教材中的轴对称问题，在解决这类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等思想、相似思想、勾股定理、代换思想等，是培养学生识图用图能力，灵活运用数学知识解决问题能力的一条非常有效的途径。 折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质。 折纸中所蕴含着的丰富数学知识备受中考命题者的青睐，设计了许多别具创意的折叠问题，现采撷其中较有代表性的试题，予以例析． 一、三角形中的折叠 例1 如图1，直角三角形纸片ABC ，∠C=90o，AC=6，BC=8，折叠△ABC 的一角，使点B 与A 点重合，展开得折痕DE ，求BD 的长． 功能分析：此题主要运用勾股定理解决折叠问题，往往融方程与几何图形于一体，具有较强的综合性。 解法研究: 由折叠可知，△ADE ≌△BDE ．所以 AD=BD ．于是，在Rt △ACD 中，由勾股定理建立方程，求出AD 的长即可． 设BD=x ，则AD=x ，CD=8－x ．在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AC 2+CD 2= AD 2，所以62+(8－x)2= x 2，解得x= 425．所以BD 的长为4 25． 二、特殊四边形中的折叠 1. 矩形中的折叠 例2 如图2，将矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在1C 处，B 1C 交AD 于E ，AD =8,AB =4,求△BED 的面积. 功能分析：由折叠后的图形与原图形全等，从而可知△BCD ≌△B 1C D , 则易得BE =DE ..在Rt △ABE 中，用勾股定理先算出BE 的长，再在Rt △BEF 中， 用勾股定理求出EF 的长，即可求出△BDE 的面积. 折叠问题常结合全等三角形和等腰三角形来解决． 矩形的折叠常与直角三角形有关，选择一个直角三角形，运用勾股定理来解是常用的方法． 解法研究：在矩形ABCD 中，AD ∥BC , ∴∠2=∠3. 当矩形ABCD 沿着直线BD 折叠后，△B 1C D 与△BCD 关于直线BD 对称， ∴∠1=∠2, ∴∠3=∠1, ∴BE =ED . 图2