概率论与数理统计试卷及答案(1)

模拟试题一

一、

填空题（每空3分，共45分）

1、已知P(A) = , P(B) = , P(B|A ) = , 则P(A|B ) = P( A ∪B) =

2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为1

9

，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A

不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；

3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；

4、已知随机变量X 的密度函数为：,0

()1/4,

020,2

x Ae x x x x ??

=≤

, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；

5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；

6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；

7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，

~(3)Y t =

；

8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,

,n X X X 为其样本，1

1n

i i X X n ==∑为样本均值，

则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,,

,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置

信度为95%的置信区间： ；

二、

计算题（35分）

1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：

1,

02()2

0,

x x x ??≤≤?=???其它

求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为

1/4,||,02,(,)0,

y x x x y ?<<

?其他

1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ??； 2） 问X 与Y 是否独立是否相关 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?； 3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：

1,

0(),

000

x

e x x x θ?θθ

-?≥?=>??

X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。

1） 求参数θ的极大似然估计量?θ；

2）

验证估计量?θ是否是参数θ的无偏估计量。

三、

应用题（20分）

1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大

2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过‰，假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：

‰，‰，‰，‰，‰

能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=) 附表：

模拟试题二

一、填空题(45分，每空3分)

1．设()0.5,(|)0.6,()0.1,P A P B A P AB === 则()P B = ()P AB = 2．设,,A B C 三事件相互独立，且()()()P A P B P C ==，若37

()64

P A B C ??=

，则()P A = 。

3．设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用X 表示取出的3件产品中的次品件数，则X 的分布律为 。 4．设连续型随机变量X 的分布函数为 ()arctan(),

F x A B x x R =+∈

则(,)A B = ，X 的密度函数()x ?= 。 5．设随机变量~[2,2]X U -，则随机变量1

12

Y X =+的密度函数()Y y ?= 6．设,X Y 的分布律分别为

X -1 0 1 Y 0 1 P 1/4 1/2 1/4 P 1/2 1/2

且{0}0P X Y +==，则(,)X Y 的联合分布律为 。和{1}P X Y +==

7．设(,)~(0,25;0,36;0.4)X Y N ，则cov(,)X Y = ，1

(31)2

D X Y -+= 。

8．设1234(,,,)X X X X 是总体(0,4)N 的样本，则当a = ，b = 时，统计量

221234(2)(34)X a X X b X X =-+-服从自由度为2的2χ分布。

9．设12(,,

,)n X X X 是总体2

(,)N a σ的样本，则当常数k = 时，2

21

?()n

i i k X X σ

==-∑是参数2σ的无偏估计量。

10．设由来自总体2~(,0.9)X N a 容量为9的样本，得样本均值x =5，则参数a 的置信度为的置

信区间为 。

二、计算题(27分)

1．(15分)设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为

1

(),

02,02(,)8

0,

x y x y x y ??+≤≤≤≤?=???其它

（1） 求X Y 与的边缘密度函数(),()X Y x y ??； （2） 判断X Y 与是否独立为什么 （3） 求Z X Y =+的密度函数()Z z ?。 2．(12分)设总体X 的密度函数为

(),()0,

x e x x x θθ

?θ

--?≥=?

是未知参数，12(,,

,)n X X X 为总体X 的样本，求

（1）参数θ的矩估计量1?θ； （2）θ的极大似然估计量2?θ。 三、应用题与证明题(28分)

1．(12分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有3

件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后， （1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；

（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2

件次品的概率。

2．(8分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36位考生的成绩，算得平均成绩66.5x =分，标准差15s =分，问在显著性水平0.05α=下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，并给出检验过程。

3．(8分)设0()1P A <<，证明：A B 与相互独立?(|)(|)P B A P B A =。 附表：

0.950.9750.950.951.65, 1.96,(35) 1.6896,(36) 1.6883,u u t t ==== 0.9750.975(35) 2.0301,(36) 2.0281,t t ==

模拟试题三

一、填空题（每题3分，共42分）

1．设()0.3,()0.8,P A P A B =?= 若A B 与互斥，则()P B = ；

A B 与独立，则()P B = ；若A B ?，则()P AB = 。

2．在电路中电压超过额定值的概率为1p ，在电压超过额定值的情况下，仪器烧坏的概率为2p ，则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为 ；

3．设随机变量X 的密度为34,01()0,

x x x ??<<=??其它，则使{}{}P X a P X a >=<成立的常数

a = ；{0.5 1.5}P X <<= ；

4．如果(,)X Y 的联合分布律为

Y 1 2 3 X

1 1/6 1/9 1/18

2 1/

3 α β

则,αβ应满足的条件是 01,01,1/3αβαβ≤≤≤≤+= ，若X Y 与独立，α= ，

β= ，(31)E X Y +-= 。

5．设~(,)X B n p ，且 2.4, 1.44,EX DX == 则n = ，p = 。 6．设2~(,)X N a σ，则3

2

X Y -=

服从的分布为 。 7．测量铝的比重16次，得 2.705,0.029x s ==， 设测量结果服从正态分布2(,)N a σ，参数2,a σ未知，则铝的比重a 的置信度为95%的置信区间为 。 二、（12分）设连续型随机变量X 的密度为：

,0

()0,

0x ce x x x ?-?>=?≤?

（1）求常数c ； （2）求分布函数()F x ； （3）求21Y X =+的密度()Y y ?

三、（15分）设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度为

,01,0(,)0,c x y x

x y ?<<<

其它

（1）求常数c ； （2）求X Y 与的边缘密度(),()X Y x y ??； （3）问X Y 与是否独立为什么

（4）求Z X Y =+的密度()Z z ?； （5）求(23)D X Y -。

（2） 参数θ的极大似然估计量2?θ；

五、（10分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。

六、（10分）测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布2(,)N a σ，得到的10个测定值给出0.452,0.037x s ==，试问可否认为水份含量的方差20.04σ=（0.05α=）

22220.9750.9750.950.95(10)20.483,(9)19.023,(10)18.307,(9)16.919,χχχχ====

模拟试题四

四、（11分）设总体X 的密度为

(1),01()0,

x x x θθ??+<<=??其它

其中1θ>-是未知参数，1(,

,)n X X 是来自总体X 的一个样本，求

（1） 参数θ的矩估计量1?θ； 附表：

2222

0.050.0250.050.05(10) 3.94,(10) 3.247,(9) 3.325,(9) 2.7,χχχχ====

一、填空题（每题3分，共42分）

1、 设A 、B 为随机事件，()0.8P B =，()0.2P B A -=，则A 与B 中至少有一个不发生的概率为 ；当A B 与独立时，则(())P B A B ?=

2、 椐以往资料表明，一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律：()孩子得病P =

，()孩子得病母亲得病P =，()孩子得病母亲及父亲得病P =，那么一个三口之家患这种传染病的概率为 。

3、设离散型随机变量X 的分布律为：,...)2,1,0(!

3)(===k k a k X P k

，则

a =_______=≤)1(X P 。

4、若连续型随机变量X 的分布函数为??

??

???>≤<-+-≤=3,

133,

3arcsin 3,

0)(x x x B A x x F

则常数=A ，=B ，密度函数=)(x ?

5、已知连续型随机变量X 的密度函数

为2

218

(),x

x f x e

x -+-=-∞<<+∞，则

=-)14(X E ， =2EX 。()=<-21X P 。

6、设X ～]3,1[U ， Y ～)2(P ，且X 与Y 独立， 则

)3(--Y X D )= 。

7、设随机变量Y X ,相互独立，同服从参数为分布)0(>λλ的指数分布，令

Y X V Y X U -=+=2,2的相关系数。则=),(V U COV , =V U ,ρ 。

（注：6915.0)5.0(,8143.0)1(=Φ=Φ） 二、计算题（34分）

1、 （18分）设连续型随机变量)(Y X ，的密度函数为

,01,01

(,)0,

x y x y x y ????

??+≤≤≤≤=其他

（1）求边缘密度函数)(),(y x Y X ??； （2）判断X 与Y 的独立性； （3）计算cov(,)X Y ；

（3）求),max(Y X Z =的密度函数)(z Z ?

2、（16分）设随机变量X 与Y 相互独立，且同分布于)10)(,1(<

，若为奇数

。

（1）求Z 的分布律；

（2）求)(Z X ，的联合分布律；

（3）问p 取何值时X 与Z 独立为什么

三、应用题（24分）

1、 （12分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是。若一周5个工作日内无故障则可获10万元；若仅有1天故障则仍可获利5万元；若仅有两天发生故障可获利0万元；若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。

2、 （12分）将A 、B 、C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其它一字母的概率都为。今将字母AAAA ，BBBB ，CCCC 之一输入信道，输入AAAA ，BBBB ，

CCCC 的概率分别为，

，。已知输出为ABCA ，问输入的是AAAA 的概率是多少（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。 答 案（模拟试题一）

四、 填空题（每空3分，共45分）

1、 ， ；

2、 2/3 ；

3、14212661112C C ?，6126

6!12C ；

4、 1/2, F (x )= 1,

021,0224

1,

2x

e x x

x x ?≤??

?+<≤??>???， {0.51}P X -<<= 0.53142e --；

5、p = 1/3 ， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 1 2

P 8/27 16/27 3/27；

6、D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；

7、当k

~(3)Y t =；

8、θ的矩估计量为：2X 。 9、 [，]

；

五、

计算题（35分）

1、解 1） 9{|21|2}{0.5 1.5}16

P X P X -<=-<<=

2）

(0()0,01,0440,

X X Y y y y y ???+>=≤?

?≤≤?=???其它

3）45

(21)212133E X EX -=-=?-=

2、解：1）1

,02,02()(,)4

20,0,

x X x x dy x x x x y dy ??+∞

--∞??<<<

?===?????

?

??其它

其它

2||

11

,||2

(2||),

||24()(,)40,

0,

y Y dx y y y y x y dx ??+∞

-∞??<-

?????其它其它 2）显然，(,)()()X Y x y x y ???≠，所以X 与Y 不独立。

又因为EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X 与Y 不相关。

3）

22()(,)1

1,04,044280,0,Z z z x z x dx

z dx z z ??+∞

-∞

=-??<<-<

?

??其它

其它

3、解1）1

1211

1

(,,

,,)n

i

i

i x x n

n n

i L x x x e

e

θ

θ

θθ

θ

=-

-=∑==

∏

12ln (,,,,)ln n nx

L x x x n θθθ

=--

令

2ln 0d L n nx

d θθθ

=-+= 解出：?X θ= 2）?E EX EX θ

θ=== ?θ

θ∴是的无偏估计量。 六、 应用题（20分）

1解：设事件A1，A2，A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B 表示“迟到”，

已知概率{|},1,2,3,4i P B A i =分别等于1/4，1/3，1/2，0 则4

1{)()(|)i i i P B P A P B A ===

∑23

120

111()(|)9(|)()23P A P B A P A B P B =

=，222()(|)8

(|)()23P A P B A P A B P B ==

333()(|)6(|)()23P A P B A P A B P B =

=，444()(|)

(|)0()

P A P B A P A B P B =

=

由概率判断他乘火车的可能性最大。

2． 解：0:0.5H a ≤（‰），1:0.5H a >

拒绝域为：00.95(4)}x t χ=> 计算0.5184,0.018x s ==

0.952.2857(4)x t t =

=>， 所以，拒绝0H ，说明有害物质含量超过了规定。 附表：

答 案（模拟试题二）

一、填空题(45分，每空3分)

1．()0.4,

()0.4P B P AB == 2．1()4

P A =

3． X 0 1 2 P 6/11 9/22 1/22

4．11

(,)(,)2A B π

=， 21(),(1)x x R x ?π=

∈+

5．1

,

[0,2]()2

0,

[0,2]

Y y y y ??∈?=????

6．

3

{1}4

P X Y +==

7．1

cov(,)12,(31)1982X Y D X Y =-+=

8．11,20

100

a b =

=

；

9．1

1

k n =

-； 10. (4.412, 5.588) 二、计算题(27分)

1．（1）1

1

(1),

[0,2](1),

[0,2](),

()4

4

0,

[0,2]

0,

[0,2]

X Y x x y y x y x y ????+∈+∈??==????????

（2）不独立

（3）2

1,0281

()(4),

2480,Z z z z z z z ??≤≤???=-≤≤?????

其它

2．（1）计算()

1x EX xe dx θθ

θ+∞

--=

=+?

根据矩估计思想，1x EX θ==+

解出：1

?1X θ=-； （2）似然函数 ())

11,,(,

,,)0,0,i n x nx n i i i n e x e

x L x x θθθθθ---+=?≥?≥??==??

????

∏其它其它 显然，用取对数、求导、解方程的步骤无法得到θ的极大似然估计。用分析的方法。因为(1)x θ≤，所以(1)x

e e θ≤，即11(1)(,

,,)(,,,)n n L x x L x x x θ≤

所以，当2(1)1?min(,,)n X X X θ==时，使得似然函数达最大。极大似然估计为2?θ。

三、1．解：（1）设i A 表示“第一次从甲箱中任取3件，其中恰有i 件次品”，（i=0,1,2,3） 设B 表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件；

321123111

33333331233131311

66666661

()()(|)04n

i i i C C C C C C C C C P B P A P B A C C C C C C C ===?+?+?+?=∑

（2）22()

(|)0.6()

P A B P A B P B =

= 2． 解： 0:70H a =（‰），1:70H a ≠

拒绝域为：00.97570

{|

|36(35)}x t s

χ-=> … 根据条件66.5x =，15s =，计算并比较

0.97570

36 1.4(35) 2.0301x t s

-=<= 所以，接受0H ，可以认为平均成绩为70分。

3．(8分)证明：因为(|)(|)P B A P B A = ? ()()()()P AB P A P AB P A =

()[1()][()()]()P AB P A P B P AB P A ?-=- ()()()P AB P B P A ?=

? A B 与相互独立

答 案（模拟试题三）

一、填空题（每题3分，共42分）

1． ； 2/7 ； 。 2． 1p 2p ；

3{0.5 1.5}P X <<= 15/16； 4． 01,01,1/3αβαβ≤≤≤≤+=， α= 2/9 ，β= 1/9 ， 17/3 。

5． n = 6 ，p = 。 6．2

3(,)24

a N σ-。 7． , 。

二、解：（1）0

()11x

x dx ce

dx c ?+∞

+∞

--∞

=?

==??

（2）0

0,

0()()1,0

x

x t x

x F x t dt e dt e x ?---∞≤??

==?=->???? （3）Y 的分布函数1

(){21}{}2

Y y F y P X y P X -=+<=<

11

2

20

,

11,

10,

1

0,

1y y x e dx y e y y y ----??

??>->==??

??≤≤???

1

21,

1()2

0,1

y Y e y y y ?--?>?∴=??≤?

三、解：（1）1

00

1(,)2

x

c

x y dxdy cdydx ?+∞

+∞

-∞

-∞

===

?

?

?

?

， 2c ∴= （2）022,01

()(,)0,

x X dy x x x x y dy ??+∞

-∞

?=<

122(1),01

()(,)0,

y Y dy y y y x y dx ??+∞-∞

?=-<

（3）X Y 与不独立；

（4）/2

1

/2

2,01()(,)22,120,

z z X Y z dy z z z x z x dx dy z z ??+∞+-∞?=<

??

???其它

（5）11

22

300

2

1

2,

23

2

EX x dx EX x dx ====

?? 11220011

2(1),2(1)36EY y y dy EY y y dx =-==-=??

22121111

(),()23186318DX DY =-==-=

10012,4x EXY xydydx ==?? 1211

cov(,)43336

X Y EXY EX EY ∴=-?=-?=

7

(23)492cov(2,3)18

D X Y DX DY X Y ∴-=+-=

四、解：（1）101

(1),2

EX x x dx θθθθ+=+=+?

令EX x =，即1

2

x θθ+=+

解得1

21?1X X

θ-=-。 （2）1

1

()(,)(1)(),01,1,2,...,n

n

n

i i i i i L x x x i n θθ?θθ====+<<=∏∏

1

ln ()ln(1)ln n

i i L n x θθθ==++∑，1ln ()ln 01n

i i L n

x θθθ=?=+=?+∑

解得2

1

?1ln n

i

i n

X

θ==--∑

五、解：设1A ={某机床为车床}，19

()15

P A =

； 2A ={某机床为钻床}，21()5P A =

； 3A ={某机床为磨床}，32

()15P A =；

4A ={某机床为刨床}，41

()15P A =；

B ={需要修理}，11(|)7P B A =，22(|)7P B A =，33(|)7P B A =，41

(|)7

P B A =

则4

1

22

()()(|)105

i i i P B P A P B A ===

∑ 111()(|)9

(|)()22

P A P B A P A B P B =

=。

六、解：2201:0.04,:0.04H H σσ=≠

拒绝域为：22/21/222

(1)(1){

(1)}{(1)}n S

n S

n n ααχχσσ---<->-或

计算得

220

(1)(91)0.0370.27380.04

n s

σ--?==，查表得2

0.025

(9) 2.70.2738χ=> 样本值落入拒绝域内，因此拒绝0H 。 22220.9750.9750.950.95(10)20.483,(9)19.023,(10)18.307,(9)16.919,χχχχ====

答 案（模拟试题四）

一、填空题（每题3分，共42分）

1、 ； 。

2、 。

附表：

22220.050.0250.050.05(10) 3.94,(10) 3.247,(9) 3.325,(9) 2.7,χχχχ====

3、3e -， 34e -。

4、1/2，1/π， ??

???

<<--=其他

,03

3,91)(2

x x

x π?。

5、3， 5 ， 。

6、 。

7、23/λ, =V U ,ρ 3/5 。 二、1、解 （18分）

（1） ???≤≤+==其他,01

0,2/1)()(x x x x Y X ??

（2） 不独立。

（3） ???≤≤=其他

,01

0,3)(2z z z Z ?

2、解 （1）求Z 的分布律；

pq Y X P Y X P Z P 2)0,1()1,0()0(===+==== 22)1,1()0,0()1(q p Y X P Y X P Z P +===+==== （2）)(Z X ，的联合分布律：

（3）当 5.0=p 时，X 与Z 独立。 三、应用题（24分）

1、解：设X 表示一周5个工作日机器发生故障的天数，则X ～)2.0,5(B ，分布律为： 5,...,1,0,8.02.0)(55===-k C k X P k k k

设Y （万元）表示一周5个工作日的利润，根据题意，Y 的分布律

????

???=≥≥-===========057

.0)3(,3,2205.0)2(,2,0410.0)1(,1,5328.0)0(,0,10)(X P X X P X X P X X P X X f Y

则216.5=EY （万元）。

2、解：设321,,A A A 分别表示输入AAAA ，BBBB ，CCCC 的事件，B ~

表示输出为ABCA 的随

机事件。由贝叶斯公式得：∑==31

111)

~

()()~

()()~

(i i i A B P A P A B P A P B A P

1.0)(,4.0)(,5.0)(321===A P A P A P 0064.08.01.01.08.0)~

(1=???=A B P

0008.01.01.08.01.0)~(2=???=A B P 0008.01.08.01.01.0)~

(3=???=A B P

10.50.00648

()0.50.00640.00080.40.00080.19

P A B ?=

=?+?+?

概率论与数理统计期末试卷+答案

一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?，

第一章 概率论与数理统计1

概 率 论 第一章 随机事件与概率 例1 设B A ,为随机事件，已知() 4.0,6.0)(, 5.0)(===A B P B p A P ，求 1) )(B A P + 2) )(B A P 3) ()B A P 4) )(B A P - 5) )(B A P + 例2 6个不同的球，投入编号为1到7的7个空盒中，求下列事件的概率：1) 1号到6号盒中各有一个球 2) 恰有6个盒中各有1个球 3) 1号盒内有2个球 例3 袋中有两个5分的，三个贰分的，五个1分的钱币。任取其中5个，求钱额总数超过壹角的概率。 例4 验收一批共有60件的可靠配件，按验收规则，随机抽验3件，只要3件中有一件不合格就拒收整批产品，假设，检验时，不合格品被误判为合格品的概率为0.03 ，而合格品被判为不合格品的概率为0.01，如果在60件产品中有3件不合格品，问这批产品被接收的概率是多少？ 例5 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有2件残品，且含0，1和2件残品的箱各占80%，15%和5%。现随意抽取一箱，从中随意检验4只，若未发现残品则通过验收，否则逐一检验并更换。试求：1）一次通过验收的概率 2）通过验收的箱中确无残品的概率。 例6 一个医生已知某疾病的自然痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定10人中至少有4人治好，则认为这种药有效，反之，则无效，求：1）虽然新药有效，且把痊愈的概率提高到35%，但经过验收被否定的概率；2）新药完全无效，但经过试验被认为有效的概率。 例7 设B A ,是两个事件，0)(,0)(21>=>=P B P P A P ，且121>+P P ，证明：1 211)(P P A B P --≥ 例8 已知161)()(,0)(,41)()()(==== ==BC P AB P AB P C P B P A P ，求C B A ,,全不发生的概率。 例9 在长度为a 的线段内任取两点，将其分成三段，求它们能构成三角形的概率。 例10 设有三门炮同时对某目标射击，命中的概率分别为0.2，0.3，0.5，目标命中一发被击毁的概率是0.2，命中两发被击毁的概率为0.6，命中三发被击毁的概率为0.9，求三门炮在一次射击中击毁目标的概率。 例11 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品而不能出厂。现该厂生产了) 2n(n ≥

华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题

华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、

A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件 表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对 于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概 率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查 到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别 取和0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：

概率论与数理统计答案,祝东进

习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件:

概率论与数理统计答案精选

习 题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大 号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】 故所求分布律为 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出 的次品个数，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函数并作图； (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 故X 的分布律为 （2） 当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0 当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)= 22 35 当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3. 故X 的分布律为 分布函数 4.（1） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=! k a k λ， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，

试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7) (1) ()(0,0)(1,1)(2,2)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+ 331212 33 (0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++ (2) ()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+ =0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松近似 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 1 3 p = 所以 4451210(4)C ()33243 P X === . 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3） (2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3） 10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时 间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000

福州大学概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社

福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -.

概率论与数理统计1_8课后习题答案

第一章 思 考 题 1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？ 2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个 能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？ ３．圆周率ΛΛ1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把 它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表: 67 5844625664686762609876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗? 答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等， 或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？ ５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不 相容事件又有何区别和联系？ ６．条件概率是否是概率？为什么？ 习 题 1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次 答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反 （2）将两枚骰子抛掷一次 答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω== （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出 答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时， 样本空间由坐标平面第一象限内一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥ 2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： ;A (2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A (3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB (4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A Y Y (5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A Y Y

考研概率论与数理统计题库-题目

概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P