反三角函数与简单三角方程
1、反三角函数:
概念：把正弦函数y =sinx , X _一，一时的反函数，成为反正弦函数，记作y = arcsinx.
IL 2 2
y = Sin X（X二R）,不存在反函数
含义：arcsinx表示一个角：?；角? _一，一；sin〉=x.
1 2 2J
反余弦、反正切函数同理，性质如下表.
其中：（1 ）?符号arcsi nx可以理解为［—二，丄］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［—丄，丄］上的一个实
2 2 2 2
数；同样符号arccosx可以理解为［0, ∏］上的一个角（弧度），也可以理解为区间［0, ∏］上的一个实数；
(2) ?y= arcsinx 等价于Siny= x, y∈[ —, — ], y= arccosx 等价于cosy = x, x∈[0, ∏],这两个等价关
2 2
系是解反三角函数问题的主要依据；
(3) ?恒等式sin(arcsinX)= x, X∈[ —1, 1] , cos(arccosx) = x, x∈[—1, 1],
arcsin(sinx) = x, x∈[ —— , — ], arccos(cosx) = x, X∈[0, ∏]的运用的条件; 2 2
(4) ? 恒等式arcsinx + arccosx= — , arctanx+ arccotx= —的应用。2 2
方程
方程的解集
Sin X = a
a ∣ = 1 {χ I x = 2k 兀 + arcs in a, k 壬 Z }
a <1
{χ ∣x = k 兀 +(_1 arcsina, k Z> COSX= a
a ∣ = 1
{χ | x = 2k 兀 + arccosa, k z }
a <1
{χ I x = 2k 兀 ± arccosa, k z } tan x = a {x| x = k 兀 + arcta na ,k 乏 Z } cot x = a
{χ∣x = k 兀 +arccota,k 乏 Z}
(1).含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有 解，求出三角方程的解集；
(2).解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简 单的三角方程的解； (3)
.要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用； 女口：若 sin 〉=Sin :,贝U Sin =
Q (T )k :;若 cos 〉= cos ：,则〉=2k 二二卩
若 tan : = tan ：,贝V a = k .■-；若 CotI=Cot ：,贝y a = k 二■ L
； (4) .会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。
【例题精讲】
A. y = a r c s Xn X E 【-1,
1 】
B. y = -arcsinx , X 1-1, 11
C. y"+arcsXnχw[-1, 1】
D. y =二-arcsinx , X ∣-1, 11
分析与解:
X
, ,需把角X 转化至主值区间
IL 2
2
π
π
X ,又 sin(二 -X)=Sinx = y
2
2
由反正弦函数定义，得 H -x=arcsiny ■ X -二- arcsiyι又由已知得 -1三y 二1
例1.函数y = Sin X , 「
兀
X _2，
.所求反函数为 y -二- arcsinx , 1-1, 1 ]
例 4.函数 y = arccos(cosx), X -
3
SinX 二 1,
2
而y =arccosu 在丨-1, 1上为减函数
√3 -
二 a r c c o?s—^arCCOSarCCd)S
2 即O^y ,故选（B ）
6
π
-
2
Ifr
O
二
2
X ,
解析式可化简为y = arccos （cosκ） =S
-X ,
X 0
, 2 -π 1 X
√2，0
f
X , X - I o ,
显然其图象应为（A ）
-X ,
例5.函数y
=arccos(sin x)，X (
23）
的值域为（
C.-，
B.0,
D.-，
Iι6
分析与解:
欲求函数值域, 需先求 U=Sin X , X (
3
三）的值域。 3
JI
-—:：X 3 √3
即- —：：1
2
分析与解:
例6.使arcsinx . arccosx 成立的X 的取值范围是（
此时 arcsinx ? arccosx 不成立，故 X 0
例 7.右 0 ：：: ：
?：：:—, 2 arcsin cos(? - )
arccos ∣
si n( ■: :)1 = π A.- 2 分析与解: π π C. 2、； D. 2-;- 2 2 π B.- 2 这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应的反三角函数的值域内。 ar csi ?os 』心 M = a rcs i pi n) = -arcs in ((S) n ar ccdss n* +α) ]= ar cco&i n)=兀 - arc co S((S) n π ^∣
π
π
-二-a r c c ocso s 』-：)-二-(
- )~ 二,
π
π
-原式=（-〉厂（2 * ） = 2 ,故选（A ）
A. 0,
√21
B.
,l l
C. -1,
DΛ-1, 0
分析与解：
该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进行转化，又因为求 X 数式中分离出来，为此只需对 arcsinx ，arccosx 同时取某一三角函数即可, 的取值范围，故需把 不妨选用正弦函数。
X 从反三角函
若x^0 ,贝U arcsin X lf
，0 ,而 arccosx , 」 12
又 arcsXn arccαs .sin( arcx?insin( arcx)oS
即 X 1-x 2
解不等式,得 |x| 2
若X ? 0,贝U arcsinx ■
π "I ( π
,arccosx 乏 0, 2 . 2
、r
而y = Sinx 在区间| 0 ,
(
2
)
3
的角，若设〉=arcsin(--),则易得 Sin J
5
3 3
,原题即是求Sin2＞的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类 5
是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。
解：(1)设 arcsin( -3)=〉，则 Sin
- 3
5
■ . 2
,二 CoSa=S?1 _ sin G
3
4
.s i ∣2 匚-2s i n cos ： = 2 ( ) ( ) 口 5 5 25
、 1
(2) 设 arccos ,贝U CoS 二
3
例 9.知函数 f (x) = arccos(x 2 -x) 2arcs in -3
⑵ tan 1arccos1
.5 12 3丿
例8.求值：(I)Sin Γ兀 二上 ,
上
-2
2 问题的关键
24 .Sin = J-CoS
2 Ot
I
J 1 -cos ：
3
Ct
tg
2 SinG 2(2
.2
"1 1 即 tg arccos
(1)求函数的定义域、值域和单调区间;
解不等式:
f (X) ：： f (2x 1)
解: (1 )由 -仁 x 2-x 汨得一
2
< x<
1.5
X 2 _x=(x_：)2 十[_4,1]
2 4 4
? f (x)的定义域为[^ 5 v 5
］,值域为［0,二- 2
arccos 1]
4
又’％ ［
宁1］
时,
g(x) =x 2 - X 单调递减，y =arccosx 单调递减，从而f (x)递增
??? f (x)的单调递增区间是
1 1 + J5] 1 -?.√5 1
^1 [' ,'],同理f (x)的单调递减区间是[「
2 2
2
2
分析：arcsin(-3)表示
5
24
25 即 Si n ∣2ar
csi