专题 轨迹问题(教师版)

专题： 圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题

一． 小试牛刀：

1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =- ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。

故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥

2.已知圆O 的方程为222=+y x ，圆O '的方程为010822=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为

析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =

3. 已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨

迹方程为

析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：

0000

22

22x c x x x c y y y y -?=?=+????

?=??=?? 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上 ∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为22

2

2(2)41x c y a b

++= 4、已知4),0,2(),0,2(=+-PN PM N M ，则动点P 的轨迹方程为

析:满足条件的点在线段MN 上，故轨迹方程是0(22)y x =-≤≤

5、经过抛物线px y 22

=焦点的弦的中点的轨迹方程为 析：设过焦点的弦AB 所在的直线方程为()2

p

y k x =-

代入抛物线方程消去y 的 2

2

2

2222()2(2)024

p k p k x px k x p k x -

=?-++= 设1122(,),(,)A x y B x y AB 的中点为(,)M x y

则 []2

122

1212

(2)

22()22x x p k x k y y k p

y x x p k ?++==???+?==+-=??

消去参数k 得 2

()2

p y p x =- 这就是所求轨迹方程。

6、与圆042

2=-+x y x 外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为

析：若与圆042

2

=-+x y x 外切，又与y 轴相切的圆在y 轴的左侧，

则所求轨迹方程为0(0)y x =<

若与圆042

2

=-+x y x 外切，又与y 轴相切的圆在y 轴的右侧

则动圆圆心到定圆圆心地距离减去定圆半径2等于动圆圆心到y 轴的距离， 故所求轨迹方程为28.y x =

7、已知椭圆13

42

2=+y x 的焦点为21,F F ，A 是椭圆上任意一点，过点1F 向∠21AF F 的外角平分线作垂线于D ，则点D 的轨迹方程为 ，点P 的轨迹方程为 ， 解：设D F 1的延长线交直线A F 2于P ，

),(),,(11y x P y x D 由椭圆的定义知：

a AF AF PF 2212=+==8

∴8)1(2

121=+-y x ①

又???=+=???

???

=-=y y x x y y x x 212221111

1 代入①得 )0(222≠=+y y x 即为点D 的轨迹方程。

8.已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐

标系，可求得动点P 的轨迹方程为72

812

2y x +=1(y ≠0) 解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线

交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，

故 PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC |=|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |， 故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，

以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为72

812

2y x +=1(y ≠0) 9.已知两点M （-2,0），N （2,0），点P 满足0=?+?MN MP MN ,动点P 的轨迹方程为

解:设(,)P x y

则：4,(4,0),(2,).MN MP MN NP x y ====-

又0=?+?MN MP

MN 4(2)0x ∴-= 化简得所求轨迹方程为：2

8y x =-

10. 设P 为双曲线-4

2x y 2

＝1上一动点，

O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 。 解析：（1）答案：x 2－4y 2＝1设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）∴2

,200y

y x x ==

∴2x ＝x 0，2y ＝y 0 ∴4

42

x －4y 2＝1?x 2－4y 2＝1 点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。

二． 庖丁解牛：

（1）已知曲线类型：待定系数法（先定位再定量） （2）未知曲线类型： 直接法：几何条件→代数方程

定义法：定性（圆，椭圆，双曲线，抛物线等）→定量（求参数）

代入法（相关点法）：Q(待求) →P （已知），用Q 的坐标表示P 的坐标，代入P 的轨迹方程。 参数法：将动点的坐标x,y 用同一个参数表示，再消去参数（关键在于选择合适的参数） 三．例题选讲：

1. 已知抛物线2

1:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22

222:1(0)y x C a b a b

+=>>的上、下焦点及左、右顶点

均在圆22:1O x y +=上.(1)求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；

(2)过点F 的直线交抛物线1C 于A 、B 两不同点,交y 轴于点N ，已知12,,NA AF NB BF λλ==

12:λλ+求证为定值；

(3)过点1

(,0)3

S -的动直线l 交椭圆C 于Q P 、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l

如何转动，以Q P 、为直径的圆恒过点T ? 若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．

20.解：（1）抛物线1C ：2

4y x =、椭圆2C ：12

2

2

=+y x ．．．．．．．．．．．．3分 （2）设直线AB 的方程为11(1,(,)y k x A x y =-），22(,)B x y ，则(0,)N k -.

联立方程组24,

(1),

y x y k x ?=?=-? 消去y 得:2222(24)0k x k x k -++=，

216160k ?=+>， 故2122

12

24

,1.k x x k x x ?++=

????=? 由1NA AF λ= ，2NB BF λ=

得，111222(1),(1)x x x x λλ-=-=

整理得，121212,11x x x x λλ==--， 1212

121212

()211()x x x x x x x x λλ+-+==--++ ．

．．．．7分 (3)若直线l 与x 轴重合，则以Q P 、为直径的圆是x 2+y 2

=1, 若直线l 垂直于x 轴，则以Q P 、为直径的圆是

22116().39

x y ++=．由2222

1,116(),39x y x y ?+=?

?++=??

解得1,0.x y =??=?即两圆相切于点(1，０)． 因此所求的点T 如果存在，只能是(1，0)．

事实上，点T (1，０)就是所求的点．证明如下：

当直线l 垂直于x 轴时，以Q P 、为直径的圆过点T(1，0)． 若直线l 不垂直于x 轴，可设直线l ：1

()3

y k x =+，与椭圆联立得

222221

(2)2039

k x k x k +++-=．

记点11(,)P x y ,22(,)Q x y ，又因为TP =(x 1-1, y 1), TQ

=(x 2-1, y 2), TP TQ =21212121211(1)(1)(1)(1)()()33

x x y y x x k x x --+=--+++

222121211

(1)(1)()1039

k x x k x x k =++-+++=

所以TP TQ ⊥，即以Q P 、为直径的圆恒过点T (1，0) ．．．．．．14分

2.长为1(0)m m +>的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点M 是线段AB 上一点，且

AM mMB =uuu r uuu r ．

(1)求点M 的轨迹Γ的方程，并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；

（2）设过点Q(1

2 ,0)且斜率不为0的直线交轨迹Γ于C ，D 两点.设点P 在x 轴上，且恒满足||||

PQC PQD S PC S PD = ，试求点P 的坐标.

2.解：（1）设A 、B 、M 的坐标分别为(x 0，0)、(0，y 0)、(x ，y )，则x 20＋y 20＝(m ＋1)2， ①1分

由→AM ＝m →

MB ，得(x －x 0，y )＝m (－x ，y 0－y )，∴?????

x －x 0＝－mx ，y ＝m (y 0－y )．∴???

x 0

＝(m ＋1)x ，

y 0＝m ＋1

m y ．

②

将②代入①，得(m ＋1)2x 2

＋(m ＋1m )2y 2＝(m ＋1)2，化简即得点M 的轨迹Γ的方程为x 2

＋y 2m

2＝1（m ＞0）

当0＜m ＜1时，轨迹Γ是焦点在x 轴上的椭圆； 当m ＝1时，轨迹Γ是以原点为圆心，半径为1的圆；

当m ＞1时，轨迹Γ是焦点在y 轴上的椭圆．

（2）依题意，设直线CD 的方程为x ＝ty ＋1

2

，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，

由?

??

x ＝ty ＋1

2，

x 2

＋y 2m

2＝1．

得(m 2t 2＋1)y 2＋m 2ty －3

4m 2＝0， △＝m 4t 2＋3m 2(m 2t 2＋1)＞0，则 y 1＋y 2＝－m 2t m 2t 2＋1，y 1y 2＝－3m 2

4(m 2t 2＋1)． ③ 设定点P (a ，0)，若||

||

PQC

PQD S PC S PD =

，则 1

||||sin ||2,sin sin 1

||||||sin 2

PQ PC CPQ

PC CPQ DPQ PD PQ PD DPQ ∠=∴∠=∠∠

即直线PC 、PD 的倾斜角互补， ∴k PC ＋k PD ＝0，

即y 1x 1－a ＋y 2x 2－a ＝0，∵x 1＝ty 1＋12，x 2＝ty 2＋12，∴y 1ty 1＋12－a ＋y 2ty 2＋12

－a

＝0，

化简，得4ty 1y 2＋(1－2a )( y 1＋y 2)＝0． ④ 将③代入④，得3m 2

t m 2t 2＋1+m 2

t (1－2a )

m 2t 2＋1

＝0，

即2m 2t (2－a )＝0，∵m ＞0，∴t (2－a )＝0，∵上式对?t ∈R 都成立，∴a ＝2． 故定点P 的坐标为(2，0).

3、设椭圆方程为14

2

2

=+

y x ，过点M （0,1）的直线l 交椭圆于A 、B ，点P 满足)(21+=,点)2

1

,21(N ，当直线l 绕点M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程； （2）NP 的最大、最小值。

解：（1）设直线l 的方程为1+=kx y 代入椭圆方程得

032)4(22=-++kx x k

设),(),,(2211y x B y x A 则 2

2142k

k

x x +-=

+ 2422)(2

2

2121++-=++=+∴k

k x x k y y 设动点P 的坐标为),(y x ，由)(2

1

+=可得

??

???+=

+=+-=+=22122144242k y y y k k x x x 消去参数k 即得所求轨迹方程为：0422=-+y y x 当斜率k 不存在时，点P 的坐标为（0,0）显然在轨迹上，

故动点P 的轨迹方程为042

2=-+y y x 。 （2）P 点的轨迹方程可以化为1)2

1(4162

2

=-+y x

所以可设点P 的坐标为)sin 2

1

21,cos 4

1

(αα+ 则 21cos 41cos 163)sin 21()21cos 41(2222

+--=+-=ααααPN

12

7

)32(cos 1632++-=α

所以 当32cos -=α时 6

21

max =PN 当1cos =α时 41min =PN

4.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为12

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线

0x y -=相切，直线:4l x my =+与椭圆C 相交于A 、B 两不同点.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）求OA OB ?

的取值范围；

（Ⅲ）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点.

21．（Ⅰ）由题意知12c e a ==，∴222222

14c a b e a a -===

，即2

243a b =

又b ==22

43a b ==， 故椭圆的方程为22143y x +=……………3分 （Ⅱ）解：由22:4

14

3l x my x y =+??

?+=??得：22(34)24360m y my +++= …………………………4分

2220(24)436(34)04m m m ?>?-?+>?>由

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1212222436

,3434

m y y y y m m +=-=

++………………6分 ∴()22

121212122212100116(1)41643434

m OA OB x x y y m y y m y y m m -+?=+=++++==-+

++ ……8分 ∵24m >∴2

3416m +>， ∴13(4)4

OA OB ?∈- ，

∴OA OB ? 的取值范围是13

(4)4-，．………………………………………………… 10分

（Ⅲ）证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E (x 2，－y 2)

直线AE 的方程为：1

2

1112

()y y y y x x x x +-=--， 令y = 0得：22121212

36242424()

343412434

m

m my y y y m m x m y y m -?

+?

++++=

=

=-++

∴直线AE 与x 轴交于定点(1，0)． …………………………………………………… 13分

5.一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子

D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l

总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，

2MD DN = ，且||||1DN ON ==

，

所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22

0022

0()1,

1.x t y x y ?-+=??+=?? 即0022,

2.t x x t y y -=-??

=-?

且0(2)0.t t x -=

由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，

于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22

001x y +=，可得221164

x y +=，

即所求的曲线C 的方程为22

1.164

x y +=

（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有1

4482

OPQ S ?=??=.

（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2

l y kx m k =+≠±，

由2

2

,416,

y kx m x y =+??

+=? 消去

y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.

因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，

所以2222

644(14)(416)0k m k m ?=-+-=，即2

2

164m k =+. ①

又由,20,y kx m x y =+??

-=?

可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m

Q k k -++.

由原点O 到直线PQ

的距离为d =

|||P Q PQ x x =-，可得

22

111222||||||||222121214OPQ

P Q m m m S PQ d m x x m k k k ?=?=-=?+=-+-. ② 将①代入②得，22

2241281441

OPQ

k m S k k ?+==--. 当2

1

4k >时，2224128()8(1)84141

OPQ k S k k ?+==+>--；

当2

104k ≤<时，222

412

8()8(1)1414OPQ k S k k

?+==-+--. 因2104k ≤<

，则2

0141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k

?=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号.

所以当0k =时，OPQ S ?的最小值为8.

综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.

第21题解答图