最短路问题(整理版)
最短路问题(short-path problem)
若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径）
1、Dijkstra算法：
用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度
代码：
procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstra
begin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongint
for i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里
visit[v0]:=true;//已经连接v0结点
for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里；
begin
min:=maxlongint;//初始化min
for j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小
begin min:=d[j];k:=j;end;
visit[k]:=true;//连接进去
for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值，
if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k];
end;
writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。
思考：在实现步骤时，效率较低需要O(n)，使总复杂度达到O(n^2)。对此可以考虑用堆这种数据结构进行优化，使此步骤复杂度降为O(log(n))(总复杂度降为O(n log(n))。
实现：1. 将与源点相连的点加入堆（小根堆），并调整堆。
2. 选出堆顶元素u（即代价最小的元素），从堆中删除，并对堆进行调整。
3. 处理与u相邻（即下一个）未被访问过的，满足三角不等式的顶点
1):若该点在堆里，更新距离，并调整该元素在堆中的位置。
2):若该点不在堆里，加入堆，更新堆。
4. 若取到的u为终点，结束算法；否则重复步骤2、3。
**优化代码：(DIJKSTRA+HEAP)
program SSSP;{single source shortest path}
{假设一个图的最大节点数为1000，所有运算在integer范围内}
{程序目标：给定有向图的邻接表，求出节点1到节点n的最短路径长度}
const maxn=1000;{最大节点数}
var
n:integer;{节点个数}
list:array[1..maxn,1..maxn] of integer;{邻接矩阵，表示边的长度}
count:integer;{堆内元素个数计数器}
heap:array[1..maxn] of integer;{heap[i]表示堆内的第i的元素的节点编号} pos:array[1..maxn] of integer;{表示编号为i的元素在堆内的位置}
key:array[1..maxn] of integer;{表示节点1到节点i的最短距离}
exist:array[1..maxn] of boolean;{表示节点i是否存在于堆中}
i,j,now:integer;
procedure swap(var i,j:integer);{交换整数i和j}//省略
procedure heapify(p:integer);{向下调整堆的过程}
var best:integer;
begin
best:=p;//下面两个if是分别判断根和左、右孩子最短距离的大小
if (p*2<=count) and (key[heap[p*2]] if (p*2+1<=count) and (key[heap[p*2+1]] begin swap(pos[heap[p]],pos[heap[best]]);//互换节点heap[p]、heap[best]在堆的位置swap(heap[p],heap[best]);//互换堆中元素p、best heapify(best);//继续调整互换后的元素best end; end; procedure modify(id,new_key:integer); {判断new_key与key[id]大小，并修改key[id]大小} var p:integer; begin if (new_key begin//修改 key[id]:=new_key;//更新最短距离 p:=pos[id];//结点id在堆中的位置 while (p>1) and (key[heap[p]] begin swap(pos[heap[p]],pos[heap[p div 2]]); swap(heap[p],heap[p div 2]); p:=p div 2;//更上一层 end; end; end; procedure extract（抽出）(var id,dis:integer); {读取堆中最小元素的节点编号和节点1到该节点的距离} begin id:=heap[1];//堆顶 dis:=key[id]; dec(count);//出堆 if (count>0) then//堆里还有元素 begin swap(pos[heap[1]],pos[heap[count+1]]);// 堆顶的元素和第count+1个元素换位置swap(heap[1],heap[count+1]);//把堆顶的元素扔到count后面去， heapify(1);//此时堆顶不一定是最小的~扔到下面去，把最小的搞上来。 end; end; begin readln(n); init；//读入邻接矩阵，没有连线的为maxint；省略 for i:=1 to n do{初始化} begin exist[i]:=true;//所有元素入堆 pos[i]:=i; heap[i]:=i; key[i]:=maxint; end; count:=n; key[1]:=0; {dijkstra算法的主要操作} while (count>0) do begin extract(i,now); exist[i]:=false; if now=maxint then break;//无路可走了，over for j:=1 to n do if (exist[j]) then modify(j,now+list[i,j]); end; {输出} if key[n]=maxint then writeln('Not Connected!'){节点1和节点n不连通} else writeln(key[n]);{连通} end. SPFA+(前向星、循环队列、邻接表、链表） 2、SPFA算法（Shortest Path Faster Algorithm）： spfa算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的. 简介：给定的图存在负权边时，dijkstra等便无用武之地，spfa算法便派上用场了。若有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在，用数组d记录每个结点的最短路径估计值，用邻接表来存储图G。采取方法是动态逼近法：设立一个队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，且用到达u点当前的最短路径估计值d[u]对点u所指向的结点v进行松弛操作，若v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾（已在队列里就不用放到队尾）。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。若某点入队的次数超过n次，则存在负环，spfa无法处理这样的图。 定理: 只要最短路径存在，spfa算法必定能求出最小值。 证明：松弛操作原理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中称三角不等式。每次将点放入队尾，都是经松弛操作达到的。所谓对i,j进行松弛，即if (d[j]>d[i]+w[i,j]）then d[j]:=d[i]+w[i,j]，每次优化都可能将某个点v的最短路径估计值d[v]变小，d数组将会越来越小。由于图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，到最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。 时间复杂度：O(ke)， k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。* 实现方法：建立一个队列，初始时队列里只有起始点，用d数组记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空 求路径方案：若这幅图是地图的模型，除了算出最短路径 长度，还要知道路径方案。设path数组，path[i]表示从起点 到i的最短路径中，结点i之前一个结点的编号，我们只需在 结点u对结点v进行松弛时，标记下path[v]=u即可。 spfa算法采用邻接表来存储图，方法是动态优化逼近法。 算法中用队列queue用来保存待优化的结点，优化时从队首取 出一个点w，并且用w点的当前路径d[w]去调整相连各点的路 径值d[j]，若有调整，即d[j]的值改小，就将j点放入queue队列以待进一步优化。重复执行，直至队空。此时d数组便保存了从起点到各点的最短路径值。实例：设有向图g={v，e}，e={ 算法执行时各步的queue队的值和d数组的值由下表所示。 分析：源点v0到v1、v2、v3、v4的最短路径分别为2、5、9、9，结果显然是正确的。spfa 在形式上和宽度优先搜索非常类似，不同的是宽度优先搜索中一个点出了队就不可能重新入队，但是spfa中一个点可能在出队之后再次被一个点改进而入队，再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。 标准spfa代码：(以求结点t到结点s的最短路为例，稍加修改即为单源最短路) const maxp=10000; {最大结点数} var p,c,s,t:longint; {p结点数;c边数;s起点;t终点} a,b:array[1..maxp,0..maxp] of longint; {a[x,y]:x,y之间边的权;b[x,c]:与x相连的第c个边的另一个结点y} d:array[1..maxp] of integer; {队列} v:array[1..maxp] of boolean; {是否在队的标记} dist:array[1..maxp] of longint; {到起点的最短路} head,tail:longint; {队首/队尾指针} procedure init; var i,x,y,z:longint; begin read(p,c); for i := 1 to c do begin readln(x,y,z); {x,y:一条边的两个结点;z:这条边的权值} inc(b[x,0]); b[x,b[x,0]]:=y; a[x,y]:=z; {b[x,0]：以x为一个结点的边的条数} inc(b[y,0]); b[y,b[y,0]]:=x; a[y,x]:=z; end; readln(s,t); {读入起点与终点} end; procedure spfa(s:longint); {spfa} var i,j,now,sum:longint; begin fillchar(d,sizeof(d),0); fillchar(v,sizeof(v),false); for j:=1 to p do dist[j]:=maxlongint; dist[s]:=0; v[s]:=true; d[1]:=s;{队列的初始状态,s为起点} head:=1; tail:=1; while head<=tail do {队列不空} begin now:=d[head]; {取队首元素} for i:=1 to b[now,0] do if dist[b[now,i]]>dist[now]+a[now,b[now,i]] then begin dist[b[now,i]]:=dist[now]+a[now,b[now,i]]; {修改最短路} if not v[b[now,i]] then {扩展结点入队} begin inc(tail);d[tail]:=b[now,i]; v[b[now,i]]:=true; end; end; v[now]:=false; {释放结点，此节点有可能下次用来松弛其它节点} inc(head); {出队} end; writeln(dist[t]); end; begin init; spfa(s); end. **SPFA+前向星优化 前向星：星形（star）表示法的思想与邻接表表示法有一定的相似之处。对每个节点，也是记录从该节点出发的所有弧，但它不是采用单向链表而是采用一个单一的数组表示，而是在该数组中首先存放从节点1出发的所有弧，然后接着存放从节点2出发的所有孤，依此类推，最后存放从节点n出发的所有孤。对每条弧，要依次存放其起点、终点、权的数值等有关信息。这实际上相当于对所有弧给出了一个顺序和编号，只是从同一节点出发的弧的顺序可以任意排列。此外，为了能够快速检索从每个节点出发的所有弧，我们一般还用一个数 组记录每个节点出发的弧的起始地址（即弧的编号）。在这种表示法中，可以快速检索从每个节点出发的所有弧，这种星形表示法称为前向星形（forward star）表示法。 例弧（1,2），（l,3），（2,4），（3,2），（4,3），（4,5），（5,3）和（5,4）上的权分别为8、9、6、4、0、3、6、7。此时该网络图可以用前向星形表示法表示如下：节点对应的出弧的起始地址编号数组（记为point）和记录弧信息的数组： 在数组point中，其元素个数比图的节点数多1（即n+1），且一定有point[0]=1，point[n+1]=m+1。对于节点i，其对应的出弧存放在弧信息数组的位置区间为[point[i],point[i+1]-1]，如果point[i]=point[i+1]，则节点i没有出弧。在前向星形表示法中，弧被编号后有序存放，并增加一个数组（point）记录每个节点出发的弧的起始编号。当点数多或两点间有多条弧时，一般的数据结构不能用时才考虑用前向星， 前向星的缺点:不能用起点直接终点定位,如果程序必须要定位的话,我们也不能示弱,最好不要用朴素的方法定位，这样很花时间的，用二分的思想进行查找 前向星的用途：最常用的是来优化spfa，最基本的前向星优化的spfa(有向图)代码：type rec=record x,y,v:longint; end; var a:array[1..1000] of rec; vis:array[1..2000] of boolean; //是否在队列里 q,d,f:array[1..2001] of longint; n,m,i,s,t,k,head,tail:longint; //s、t分别为起、终点 procedure qsort(l,r:longint); //按起点排序 procedure spfa(s:longint); begin fillchar(vis,sizeof(vis),false); for i:=1 to n do d[i]:=maxlongint; //初始化 d[s]:=0;//记录s到其他点的最短路径值 head:=0; tail:=1; q[1]:=s; vis[s]:=true;//s起点入队 repeat inc(head); k:=q[head]; for i:=f[k] to f[k+1]-1 do //枚举起点为结点q[head]的所有边 if d[k]+a[i].v begin d[a[i].y]:=d[k]+a[i].v; if not vis[a[i].y] then begin inc(tail); q[tail]:=a[i].y; vis[a[i].y]:=true; end; end; vis[k]:=false; until head=tail; end; begin readln(n,m); for i:=1 to m do readln(a[i].x,a[i].y,a[i].v); //初始化前向星 qsort(1,m); for i:=1 to m do if f[a[i].x]=0 then f[a[i].x]:=i; f[n+1]:=m+1; for i:=n downto 1 do if f[i]=0 then f[i]:=f[i+1]; readln(s,t); spfa(s); writeln(d[t]); end. spfa+前向星例题： 1、Vijos的P1082丛林探险便可以用前向星+SPFA快速解决 2、sweet butter 香甜的黄油 描述：农夫john发现做出全威斯康辛州最甜的黄油的方法：糖。把糖放在一片牧场上，他知道n（1<=n<=500）只奶牛会过来舔它，这样就能做出能卖好价钱的超甜黄油。当然，他将付出额外的费用在奶牛上。农夫john很狡猾。像以前的巴甫洛夫，他知道他可以训练这些奶牛，让它们在听到铃声时去一个特定的牧场。他打算将糖放在那里然后下午发出铃声，以至他可以在晚上挤奶。农夫john知道每只奶牛都在各自喜欢的牧场（一个牧场不一定只有一头牛）。给出各头牛在的牧场和牧场间的路线，找出使所有牛到达的路程和最短的牧场（他将把糖放在那） input format :(file butter.in) 第一行: 三个数：奶牛数n，牧场数p（2<=p<=800），牧场间道路数c(1<=c<=1450) 第二行到第n+1行: 1到n头奶牛所在的牧场号 第n+2行到第n+c+1行：每行有三个数：相连的牧场a、b，两牧场间距离d（1<=d<=255），当然,连接是双向的 output format :(file butter.out) 一行输出奶牛必须行走的最小的距离和 sample input 3 4 5 2 3 4 1 2 1 1 3 5 2 3 7 2 4 3 3 4 5 3、Aim Netbar(netbar.pas/c/cpp) 【问题背景】 绵阳中学以人数众多而闻名。三个年级共有10000 多人，学生多了附近的网吧也多。Mzoiers 都热衷于Dota，可学校的机子配置相当差(评测服务器除外)，根本不能玩Dota，那就只有去网吧。星期天到星期五都是晚上10：20才下晚自习，几乎没时间玩。然而星期六下午放假是绝好的时间，但是学校人多啊，一放学去网吧的人就开始狂奔，竞争之激烈，抢到机子的难度非常之大。往往在我们到达网吧之前都坐满了。学校到网吧的路是错综复杂的，以致于到一个自己想去的网吧都有非常多的路线可以选择，而路线的长度又不相同，这样就决定了要花费的时间，因此想要尽快到达，选择一条最佳的线路是很有必要的。 【问题描述】 为了简化问题，我们把学校与周边的网吧看做图中的顶点，学校与网吧，网吧与网吧之间的路线看做边，每个边都有一个权，表示我们走完这条路的时间，由于放学人流量大，如果反向走会有危险，因此这是一个有向图。我的的学校在 S点，想要去的网吧在 T点。你的任务就是选择一条最佳路线，使得从学校到网吧的时间最短，你只需输出最短到达时间。【输入文件】 netbar.in 中共有M+2 行数据 第一行两个整数 N，M，表示点数和边数。然后M行每行3 个正整数(u，v，t)，表示有一条可由u 到v耗时为 t的边。最后一行两个正整数S、T。 【输出文件】 netbar.out 中，只有一行，一个整数表示最短时间。如果 S、T之间不存在通路则输 出“No Solution!”(双引号不输出，“!”为西文标点)。 【输入样例】 44 1 23 2 4 10 1 35 3 45 14 【输出样例】 10 【数据规模】 对于30％的数据保证有 1 对于全部的数据保证有 1 最短路算法及其应用 广东北江中学余远铭【摘要】 最短路问题是图论中的核心问题之一，它是许多更深层算法的基础。同时，该问题有着大量的生产实际的背景。不少问题从表面上看与最短路问题没有什么关系，却也可以归结为最短路问题。本文较详尽地介绍了相关的基本概念、常用算法及其适用范围，并对其应用做出了举例说明，侧重于模型的建立、思考和证明的过程，最后作出总结。 【关键字】 最短路 【目录】 一、基本概念 (2) 1．1 定义 (2) 1．2简单变体 (2) 1．3负权边 (3) 1．4重要性质及松弛技术 (4) 二、常用算法 (5) 2．1 Dijkstra算法 (5) 2．2 Bellman-Ford算法 (7) 2．3 SPFA算法 (8) 三、应用举例 (10) 3．1 例题1——货币兑换 (10) 3．2 例题2——双调路径 (11) 3．3 例题3——Layout (13) 3．4 例题4——网络提速 (15) 四、总结 (18) 【正文】 一、基本概念 1．1 定义 乘汽车旅行的人总希望找出到目的地尽可能短的行程。如果有一张地图并 在地图上标出了每对十字路口之间的距离，如何找出这一最短行程？ 一种可能的方法是枚举出所有路径，并计算出每条路径的长度，然后选择最短的一条。然而我们很容易看到，即使不考虑含回路的路径，依然存在数以百万计的行车路线，而其中绝大多数是没必要考虑的。 下面我们将阐明如何有效地解决这类问题。在最短路问题中，给出的是一 有向加权图G=(V ,E)，在其上定义的加权函数W:E →R 为从边到实型权值的映射。路径P=(v 0, v 1,……, v k )的权是指其组成边的所有权值之和： 11()(,)k i i i w p w v v -==∑ 定义u 到v 间最短路径的权为 {}{}min ():)w p u v u v v δυ→(,=∞ 如果存在由到的通路 如果不存在 从结点u 到结点v 的最短路径定义为权())w p v δυ=(,的任何路径。 在乘车旅行的例子中，我们可以把公路地图模型化为一个图：结点表示路口，边表示连接两个路口的公路，边权表示公路的长度。我们的目标是从起点出发找一条到达目的地的最短路径。 边的权常被解释为一种度量方法，而不仅仅是距离。它们常常被用来表示 时间、金钱、罚款、损失或任何其他沿路径线性积累的数量形式。 1．2简单变体 单目标最短路径问题： 找出从每一结点v 到某指定结点u 的一条最短路 径。把图中的每条边反向，我们就可以把这一问题转化为单源最短路径问题。 单对结点间的最短路径问题：对于某给定结点u 和v ，找出从u 到v 的一 条最短路径。如果我们解决了源结点为u 的单源问题，则这一问题也就获得了解决。对于该问题的最坏情况，从渐进意义上看，目前还未发现比最好的单源算法更快的方法。 每对结点间的最短路径问题：对于每对结点u 和v ，找出从u 到v 的最短 路径。我们可以用单源算法对每个结点作为源点运行一次就可以解决问题。 0-1背包动态规划解决问题 一、问题描述： 有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？ 二、总体思路： 根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。 原理： 动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。 过程： a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i个物品选或不选），V i表示第i个物品的价值，W i表示第i个物品的体积（重量）； b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)； c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn 金华双龙洞旅游路线中最短路问题 摘要： 金华双龙洞景点分布较多，通过对其旅游路线的设置，转化为图论内容中的最短路情景进行讨论，建立模型，并通过搜索资料，利用几种方法解决路线最小的问题。 关键字： 数学建模最短路问题 lingo Dijkstra法 flod算法 一、研究背景： 在旅游过程中，我们常常感觉到自己一天下来走了很多路，回到宾 馆脚痛的不行。但其实我们可以利用运筹学的知识，通过建立数学 模型，转化为图论的内容。从而较为合理的制定出选择的路线（即 最短路问题）。 因而这次的小论文，我主要探究一下几个问题： 1.从景点进口到出口的最短路程。（最短路问题） 2.从景点到出口的最长路线。 3.建立的模型是否满足能回到起点（古典图论问题） 二、研究内容： 根据从互联网中搜索的资料，金华双龙洞的主要景点：景区进口双 龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙祖宫五个，其余为小景点 （若要加入，同样可以按照以下问题的研究方法进行讨论）现在忽 略。 问题总假设：分别设置双龙洞，冰壶洞，朝真洞，桃源洞，黄大仙 祖宫五个景点为A,B,C,D,E五点，根据现实及假设，可以得到如图 所示的路线图： 再利用用Dijkstra算法求解无负权网络的最短路。同时也可以利用此法算出最长路程。 问题一的解决：以A为景点出口，E为出口。 故A点标号为P（a）=0 给其余所有的T标号T（i）=+∞ 考虑与A相邻的两个顶点BC，两个顶点为T标号，故修改这两个点的标号为：T(b)=min[T(b),P(a)+l12]=min[+∞,0+3]=3 T(c)=min[T(c),P(a)+l13]=min[+∞,0+2]=2 比较所有T标号，T(c)最小，所以令P(c)=2 再考察（C,B）(C,D)(C,E)的端点：同理可得 T(b)=6 T(d)=6.8 T(e)=10.2(显然已经到终点但还需要看看其余路线长短) 故又令P（b）=6.综合分析只有一条线路即A→C→B→D→E 此时总路程为2+4+3+8.4=16.4>10.2 所以，最短路程为A→C→E。即当游客不想再看双龙洞时或者因为脚伤等因素需以最小路程离开时，可以路线A→C→E离开景区。 特殊情况的处理：游客一定要去B景点则在一开始就应该先选择 B，而非C。才能使路线最短。因此，对于特殊问题，我们应当具体 问题，具体分析。 运筹学论文 ——旅游路线最短问题摘要： 随着社会的发展，人民的生活水平的提高，旅游逐渐成为一种时尚， 越来越多的人喜欢旅游。而如何才能最经济的旅游也成为人民考虑的一项 重要环节，是选择旅游时间最短，旅游花费最少还是旅游路线最短等问题 随之出现，如何决策成为一道难题。然而，如果运用运筹学方法来解决这 一系列的问题，那么这些问题就能迎刃而解。本文以旅游路线最短问题为 列，给出问题的解法，确定最短路线，实现优化问题。 关键词：最短路 0-1规划约束条件 提出问题: 从重庆乘飞机到北京、杭州、桂林、哈尔滨、昆明五个城市做旅游，每个城市去且仅去一次，再回到重庆，问如何安排旅游线路，使总旅程最短。 各城市之间的航线距离如下表： 重庆北京杭州桂林哈尔滨昆明 重庆0 1640 1500 662 2650 649 北京1640 0 1200 1887 1010 2266 杭州1500 1200 0 1230 2091 2089 桂林662 1887 1230 0 2822 859 哈尔滨2650 1010 2091 2822 0 3494 昆明649 2266 2089 859 3494 0 问题分析： 1．这是一个求路线最短的问题，题目给出了两两城市之间的距离，而在最短路线中,这些城市有的两个城市是直接相连接的（即紧接着先 后到达的关系），有些城市之间就可能没有这种关系，所以给出的两 两城市距离中有些在最后的最短路线距离计算中使用到了，有些则 没有用。这是一个0-1规划的问题，也是一个线性规划的问题。 2．由于每个城市去且仅去一次，最终肯定是形成一个圈的结构，这就 导致了这六个城市其中有的两个城市是直接相连的，另外也有两个 城市是不连接的。这就可以考虑设0-1变量，如果两个城市紧接着 去旅游的则为1，否则为0。就如同下图 实线代表两个城市相连为1, 虚线代表没有相连为0 3．因为每个城市只去一次，所以其中任何一个城市的必有且仅有一条进入路线和一条出去的路线。 LINGO解法： 为了方便解题，给上面六个城市进行编号，如下表（因为重庆是起点， 将其标为1） 假设：设变量x11。如果x11=1,则表示城市i与城市j直接相连（即先后紧接到达关系），否则若x11=0，则表示城市i与城市j不相连。 特别说明：xij和xji是同一变量，都表示表示城市i与城市j是否有相连的关系。这里取其中xij (i 初二最短路径问题归纳 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 最短路径问题专题学习【基本问题】 m n 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小． 【问题10】 作法 图形 原理 在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大． 作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为 P ． 三角形任意两边之 差小于第三边．PB PA -≤ AB ＇． PB PA -最大值＝ AB ＇． 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23．6 C ．3 D 6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当 AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32+ D ．4 3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小 时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ） l A B D E A B C A D E P B C D A M A B M N 第2题 第3题 第4 A ．120 ° B ．130° C ．110° D ．140° 4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4 2 ，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ， M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ． 5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重 合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ． 6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分 别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________． 7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为 B (36，0)． OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值 是______． 8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最 小值为 ， 此时 C 、D 两点的坐标分别为 ． 9．已知A （1，1）、B （4，2）． y x B O A y x B A O 第6题 第 图论及其应用 学时：40 学分：2 课程属性：专业选修课开课单位：理学院 先修课程：高等代数后续课程：无 一、课程的性质 《图论及其应用》是数学与应用数学专业的专业选修课程。 二、教学目的 通过教学，使学生掌握图论及其算法的基本理论和基本技巧，初步掌握图论及其算法的基本应用手段、基本算法设计及编程，并能用所学理论解决一些应用问题。 三、教学内容 1.图的基本概念 2.图的连通性 3.树的基本性质及其应用 4.Euler Graphs and Hamilton Graphs with Applications 5.平面图性质 6.匹配，求最大匹配算法及应用 7.图的染色及应用 8.极图理论 四、学时分配 章课程内容学时 1 图的基本概念 4 2 图的连通性 6 3 树的基本性质及其应用 6 4 Euler Graphs and Hamilton Graphs with Applications 4 5 平面图性质 6 6 匹配，求最大匹配算法及应用 6 7 图的染色及应用 4 8 极图理论 4 合计40 五、教学方式 本课程采用多媒体课堂讲授，结合实际范例深入浅出讲解讨论。 六、考核方式 本课程考核采用平时与期末考核相结合的办法，特别注重平时的考核，作业采用简单练习、论文等形式，期末考试采用简单考题或论文形式。 七、教材及教学参考书 参考教材： [1] J.A.Bondy and U.S.R.Murty. Graph Theory with Applications, The Macmillan Press LTD,1976. [2] 蒋长浩．图论与网络流．北京：中国林业出版社，2000． 参考书目： [1] Bela Bollobas．Modern Graph Theory（现代图论，影印版）．北京：科学出版社，2001． [2] 殷剑宏、吴开亚．图论及其算法．合肥：中国科学技术大学出版社，2003． [3] 谢金星、邢文训．网络优化．北京：清华大学出版社．2000． [4] 程理民、吴江、张玉林．运筹学模型与方法教程．北京：清华大学出版社，2000． [5] 三味工作室．SPSS V10.0 for Windows 实用基础教程．北京：北京希望电子出版社2001． [６] 孙魁明、张海彤．Mathematica工具软件大全．北京：中国铁道出版社，1994． [７] 楼顺天、于卫、闫华梁．MATLAB程序设计语言．西安：西安电子科技大学出版社，1997．八、教学基本内容及要求 第一章图的基本概念 1．教学基本要求 掌握的图的基本概念、特殊图概念，了解最短路问题。 2．教学具体内容 图的基本概念，路和圈，最短路问题。 动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。 比如01背包问题。 因为背包最大容量M未知。所以，我们的程序要从1到M一个一个的试。比如，开始任选N件物品的一个。看对应M的背包，能不能放进去，如果能放进去，并且还有多的空间，则，多出来的空间里能放N-1物品中的最大价值。怎么能保证总选择是最大价值呢？看下表。 测试数据： 10,3 3,4 4,5 5,6 c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值. 这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为 4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是4.所以。 总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.) 从以上最大价值的构造过程中可以看出。 f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.这回清楚了吗? 下面是实际程序: #include 一、选择题（共17小题） 1、（2011?广安）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（） A、B、5cm C、D、7cm 2、（2009?乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（） A、B、2 C、3 D、3 3、（2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（） A、5 B、25 C、10+5 D、35 4、（2005?山西）如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是（） A、40cm B、20cm C、20cm D、10cm 5、（2005?贵阳）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（） A、6cm B、12cm C、13cm D、16cm 6、（2004?淄博）如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（） A、（3+2）cm B、cm C、cm D、cm 7、（2004?梅州）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（） A、 a B、（1+）a C、3a D、a 8、（2004?济宁）如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是（） 01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。 01背包的状态转换方程f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] } f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为j 的背包中，可以取得的最大价值。 Pi表示第i件物品的价值。 决策：为了背包中物品总价值最大化，第i件物品应该放入背包中吗？ 题目描述： 有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最 首先要明确这张表是从右到左,至底向上生成的。 为了叙述方便，用e10单元格表示e行10列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为10的背包，那么这个背包的最大价值是6，因为e物品的重量是4，背包装的了，把e装进去后价值为6。然后是e9单元格表示背包承重9，只有物品e, e装进去后，背包价值为6，接着是e8, e7单元格，一直到e3单元格表示背包承重3，但物品e承重4，装不了，所以e3=0, 对于d10单元格，表示只有物品e，d时,承重为10的背包,所能装入的最大价值，是10，因为物品e,d这个背包都能装进去。对于承重为9的背包，d9=10,是怎么得出的呢？ 根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值， 一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是e9的值6，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi； 在这里， f[i-1,j]表示我有一个承重为9的背包，当只有物品e可选时，这个背包能装入的最大价值 f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为4的背包（等于当前背包承重减去物品d的重量），当只有物品e可选时，这个背包能装入的最大价值 f[i-1,j-Wi]就是指单元格e4值为6，Pi指的是d物品的价值，即4 由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 6 + 4 = 10 大于f[i-1,j] = 6，所以物品d应该放入承重为9的背包，所以d9=10. 最短路问题及应用 摘要:主要介绍最短路的两种算法，迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法以及这两种算法在实际问题中的应用和比较。 关键词：最短路获克斯特拉(Dijkstra)，弗罗伊德(Floyd)算法 1.引言 图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源非常广泛，最早起源于一些数 学游戏的难题研究，如欧拉所解决的哥尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏难题，如迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走路线问题等。这些古老的难题，当时吸引了很多学者的注意。在这些问题研究的基础上又继续提出了著名的四色猜想 和汉米尔顿（环游世界）数学难题。 1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学 等各个领域的问题时，发挥出越来越大的作用在实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、军事等领域中许多问题的有力工具之一。 最短路问题是图论理论的一个经典问题。寻找最短路径就是在指定网络中两结点 间找一条距离最小的路。最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。 最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础，最短路径算法是计算机科学 与地理信息科学等领域的研究热点，很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。 2.最短路算法 2.1 最短路的定义 对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了，其中对赋权图()0 w≥的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra在1959年首次提出的，该ij 算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G中一特定点到其它各顶点的最短 最短路径问题 1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点面 爬到点B处，则它爬行的最短路径是 _______________ 。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2假设一只蚂蚁在点A处, 它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是____________________ 。 2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 *李庄 张村. ②如图，直线L同侧有两点A B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3, 两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB勺和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+P啲最小值。.B A■ _____________________ L ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km张村与李庄的水平距离为3Km则所用水管最短长度为。 A沿木块侧 A B 是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4假设一只蚂 蚁在点A D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是2、 现要在如图所示的圆柱体侧面 A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度 忽略不计），圆柱体高为6cm 底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值 为 。 3、 如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从 A 点爬到点B 处吃到 食物，知圆柱体的高为5 cm ,底面圆的周长为24cm 则蚂蚁爬行的最短路径 为 。 5、 在菱形ABCD 中 AB=2 / BAD=60，点E 是AB 的中点，P 是对角线 AC 上 的一个动点，贝S PE+PB 勺最小值为 ___________ 。 6、 如图，在△ ABC 中, AC= BC= 2,Z ACB= 90°, D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边 上一动点，则EO ED 的最小值为 ____________ 。 7、 AB 是OO 的直径，AB=2 OC 是O O 的半径，OCL AB,点 D 在 AC 上，AD 二 2CD 点P 是半径OC 上的一个动点，贝S AP+PD 勺最小值为 __________ 。 &如图，点P 关于OA OB 的对称点分别为 C D,连接CD 交OA 于M 交OB 于N 若CD= 18cm 则厶PMN 勺周长为 ___________ 。 9、已知，如图DE >^ ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于 E ,且 AC= 5, BC= 8,则厶 AEC 的周长为 __________ 。 10、已知，如图，在△ ABC 中, AB 最短路问题(short-path problem) 若网络中的每条边都有一个权值值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点与结束点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。最短路问题，我们通常归属为三类：单源最短路径问题（确定起点或确定终点的最短路径问题）、确定起点终点的最短路径问题（两节点之间的最短路径） 1、Dijkstra算法： 用邻接矩阵a表示带权有向图，d为从v0出发到图上其余各顶点可能达到的最短路径长度值，以v0为起点做一次dijkstra，便可以求出从结点v0到其他结点的最短路径长度 代码： procedure dijkstra（v0：longint）；//v0为起点做一次dijkstra begin//a数组是邻接矩阵，a[i,j]表示i到j的距离，无边就为maxlongint for i:=1 to n do d[i]:=a[v0,i];//初始化d数组（用于记录从v0到结点i的最短路径）， fillchar(visit,sizeof(visit),false);//每个结点都未被连接到路径里 visit[v0]:=true;//已经连接v0结点 for i:=1 to n-1 do//剩下n-1个节点未加入路径里； begin min:=maxlongint;//初始化min for j:=1 to n do//找从v0开始到目前为止，哪个结点作为下一个连接起点（*可优化） if (not visit[j]) and (min>d[j]) then//结点k要未被连接进去且最小 begin min:=d[j];k:=j;end; visit[k]:=true;//连接进去 for j:=1 to n do//刷新数组d，通过k来更新到达未连接进去的节点最小值， if (not visit[j]) and (d[j]>d[k]+a[k,j]) then d[j]:=a[k,j]+d[k]; end; writeln(d[n]);//结点v0到结点n的最短路。 思考：在实现步骤时，效率较低需要O(n)，使总复杂度达到O(n^2)。对此可以考虑用堆这种数据结构进行优化，使此步骤复杂度降为O(log(n))(总复杂度降为O(n log(n))。 实现：1. 将与源点相连的点加入堆（小根堆），并调整堆。 2. 选出堆顶元素u（即代价最小的元素），从堆中删除，并对堆进行调整。 3. 处理与u相邻（即下一个）未被访问过的，满足三角不等式的顶点 1):若该点在堆里，更新距离，并调整该元素在堆中的位置。 2):若该点不在堆里，加入堆，更新堆。 4. 若取到的u为终点，结束算法；否则重复步骤2、3。 **优化代码：(DIJKSTRA+HEAP) program SSSP;{single source shortest path} {假设一个图的最大节点数为1000，所有运算在integer范围内} {程序目标：给定有向图的邻接表，求出节点1到节点n的最短路径长度} const maxn=1000;{最大节点数} var n:integer;{节点个数} list:array[1..maxn,1..maxn] of integer;{邻接矩阵，表示边的长度} 动态规划法、回溯法解0-1背包问题 2012级计科庞佳奇 一、问题描述与分析 1.动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会 有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。 不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。 多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，故有“动态”的含义，称这种解决多阶段决策最优化问题的方法为动态规划方法。任何思想方法都有一定的局限性，超出了特定条件，它就失去了作用。同样，动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。1.最优化原理（最优子结构性质）最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。2.无后效性将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称为无后效性。3.子问题的重叠性动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余，这是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其它的算法。 01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为W1，W2……Wn，与之相对应的价值为P1,P2……Pn。求出获得最大价值的方案。 2.回溯法（探索与回溯法）是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目 标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。 在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。 最短路径问题 摘要 在图论当中，任意两点间的最短路径问题，运用Dijkstra 算法，Flord 算法，匈牙利算法等都可以就解决这类相关问题,本文主要就是运用图论相关知识，来分析问题的。 在问题一中，需要为货车司机选择一条从地点1到地点11的最短时间问题，其实际归结为求一个两点间最短路径问题，运用运筹学中的网络模型相关知识，建立了一个一个0-1线性模型，并最终求的其结果，最短时间为21，货车司机的运输路线为1891011v v v v v →→→→。 运用Floyd 算法解决问题二，并且运用Matlab 软件编程，Floyd 算法与Matlab 软件编程所得出的结果一致，最后得出了一个最短航程表，及任意两点间的最短航程图。 本文的最大亮点在于将问题二进行更深一步的拓展，从问题实际出发，从公司的差旅费用最小出发，利用Mtlab 软件编程的出了公司到个城市间差旅费用最小图，从而更能为公司节省成本。 任意城市间差旅费用最小 其次是本文结果的准确性，问题一运用Lingo 软件编程，和WinQSB 软件，所得出结果都是一致的，问题二更是运用Floyd 算法，Matlab 软件编程，WinQSB 软件，大大地保证了结果的准确性，并且十分恰当地运用WinQSB 软件将作图功能，把每一提的最短路径都清晰的描绘出来，更加直观地将结果展现出来。 关键字：Matlab Lingo WinQSB Floyd 算法 0-1规划 一、 问题重述 问题一需要解决的问题是在一个城市交通网络中（图一），如何从地点1找到一条时间最短路径通往地点11，在这个城市交通网络中，有单向道，也有双向道，即如何处理一个有向图与无向图结合的图论问题，并且是一个两点间的最短路径问题： 图（一） 问题二阐述的是某公司员工往来于六个城市间，给出了这六个城市间的直达航班票价（表二），需要为这家公司提供出这六个城市间任意两点间的最小航班费用表 05040251050015202515010204020100102525201005510 2525550∞ ?? ??∞???? ∞∞?????? ∞?? ∞?? 表（二） 二、问题分析 0/1背包问题动态规划详解及C++代码 1. 问题描述 给定一个载重量为C的背包 有n个物品 其重量为wi 价值为vi 1<=i<=n 要求:把物品装入背包 并使包内物品价值最大2. 问题分析 在0/1背包问题中 物体或者被装入背包 或者不被装入背包 只有两种选择。循环变量i j意义 前i个物品能够装入载重量为j的背包中 数组c意义 c[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值 若w[i]>j 第i个物品不装入背包 否则 若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>c[i-1][j] 则记录当前最大价值 替换为第i个物品装入背包后的价值 其c++代码如下 #include 两个计数原理的应用 一、选择题 1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为【答案】B （A）24 （B）18 （C）12 （D）9 【解析】 试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G ?=，故处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318 选B. 【考点】计数原理、组合 【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的． 2．如图，一只蚂蚁从点出发沿着水平面的线条爬行到点，再由点沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点，则它可以爬行的不同的最短路径有（ B ）条 A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 【解析】试题分析：蚂蚁从到需要走五段路，其中三纵二竖，共有条路径，从到共有条路径，根据分步计数乘法原理可知，蚂蚁从到可以爬行的不同的最短路径有条，故选B. 考点：分步计数乘法原理. 二、解答题 3．某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往H. (1)列出此人从小区A到H的所有最短路径(自A至H依次用所经过的小区的字母表示)； (2)求他经过市中心O的概率． 【答案】(1)见解析（2）2 3 【解析】 解：(1)此人从小区A前往H的所有最短路径为： 0/1 背包问题动态规划详解及C代码 动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。 问题描述： 给定N中物品和一个背包。物品i的重量是W i,其价值位V i，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？ 在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i 装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。 问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数: (1) V(i,0)=V(0,j)=0 (2) V(i,j)=V(i-1,j) j 13.4课题学习最短路径问题 知识点： 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3．利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． 同步练习： 1.如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． 2.如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短， B A l 3..在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 4. 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 5. 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？ 参考答案： 1. 2.这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点． 为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′，B ′C ′，证明AC ＋CB ＜AC ′＋C ′B .如下： 证明：由作图可知，点B 和B ′关于直线l 对称， 所以直线l 是线段BB ′的垂直平分线． 因为点C 与C ′在直线l 上， 所以BC ＝B ′C ，BC ′＝B ′C ′. 在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋B ′C ＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋BC ＜AC ′＋C ′B . 3. 解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′； (2)连接AB ′交直线l 于点M . (3)则点M 即为所求的点． 4.解：(1)如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ， 则P 到A ，B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于12 AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求． (2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短． 5.解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．最短路算法[1]
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