函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结

1、函数的定义域是指自变量“x”的取值集合。

2、在同一对应法则作用下，括号整体的取值围相同。

一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x和g(x)受同一个对应法则的作用，从而围相同。因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a≤g(x)≤b的x的取值围。

一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x

和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a≤x≤b 时，g(x)的取值围。

定义域是X的取值围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的围相同。

()的定义域

求

的定义域

已知

练习)

2(

],

9,3[

log

:31

3

-

x

f

x

f

():f(x),f[g(x)]

题型一已知的定义域求的定义域

()

():f g x,f(x)

??

??

题型二已知的定义域求的定义域

()[]

():f g x,f h(x)

??

??

题型三已知的定义域求的定义域

()

[]()[])x(h f

x

f

x

g

f→

→

一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠

二、值域是函数y=f(x)中y 的取值围。

常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法

（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

三、典例解析 1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域：

① 21)(-=

x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x

x x f -++=21

1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2

1

-x 无意义，

而2≠x 时，分式21

-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .

②∵3x+2<0，即x<-32

时，根式23+x 无意义，

而023≥+x ，即3

2

-≥x 时，根式23+x 才有意义，

∴这个函数的定义域是{x |3

2

-≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x

-21

同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ??

?≠-≥+0201x x ???≠-≥2

1

x x

例2 求下列函数的定义域：

①14)(2

--=

x x f ②214

3)(2-+--=x x x x f

③=

)(x f x

11111++

④x

x x x f -+=

0)1()(

⑤3

7

3132+++-=

x x y

解：①要使函数有意义，必须：142

≥-x 即： 33≤≤-x

∴函数14)(2--=

x x f 的定义域为： [3,3-

]

②要使函数有意义，必须：??

?≠-≠-≤≥????≠-+≥--131

40

210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--

③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠?

??

?

?

?

?

??x

x x 2

110-≠-≠≠?????x x x

∴函数的定义域为：}2

1

,1,0|{--≠∈x R x x 且

④要使函数有意义，必须： ??

?≠-≠+0

01x x x ???<-≠?01

x x

∴定义域为：{}011|<<--

⑤要使函数有意义，必须： ???≠+≥+-073032x x ??

???-≠∈?37x R x 即 x<37-

或 x>37- ∴定义域为：}3

7

|{-≠x x 例3 若函数a

ax ax y 1

2+

-=

的定义域是R ，数a 的取值围 解：∵定义域是R,∴恒成立，

01

2

≥+

-a

ax ax

∴??

???≤2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[

1，1]，求函数)41

(+=x f y )4

1(-?x f 的定义域

解：要使函数有意义，必须：

4343454

34345

14111411≤≤-??????≤

≤-≤≤-??????≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )4

1(-?x f 的定义域为：?

?????≤≤-

4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

分析：法则f 要求自变量在[－1，1]取值，则法则作用在2x －1上必也要求2x －1在 [－1，1]取

值，即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x －1)中2x －1与f(x)中的x 位置相同，围也应一样，∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值围就是复合函数的定义域。

（注意：f(x)中的x 与f(2x －1)中的x 不是同一个x ，即它们意义不同。） 解：∵f(x)的定义域为[－1，1]， ∴－1≤2x －1≤1，解之0≤x ≤1， ∴f(2x －1)的定义域为[0，1]。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2

)的定义域。

答案：－1≤x 2≤1? x 2≤1?－1≤x ≤1

练习：设)(x f 的定义域是[3，2]，求函数)2(-x f 的定义域

解：要使函数有意义，必须：223≤-≤-x 得： 221+≤≤-x

∵ x ≥0 ∴ 220+≤≤

x 2460+≤≤x

∴ 函数)2(-x f 的定域义为：{}

2460|+≤≤x x

例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

因为2x －1是R 上的单调递增函数，因此由2x －1， x ∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。

已知f(3x －1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。[2,2

5

-）

（提示：定义域是自变量x 的取值围） 练习：

已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域

若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是

（ ）

Ａ．[]1,1-

Ｂ???

??

?-

21,21

Ｃ．??

????1,2

1

Ｄ．10,2

??????

已知函数()11x

f x x

+=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =????的定义域为Ｂ，则

（ ）

Ａ．A

B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =

2、求值域问题

利用常见函数的值域来求（直接法）

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=

k x

k

y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，

当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a

b a

c y y 4)4(|2

-≤

}. 例1 求下列函数的值域

① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②）（3x 1x

32

)(≤≤-=x f ③ x

x y 1

+

=（记住图像） 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，

∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②略

③ 当x>0，∴x x y 1

+

==2)1(2+-

x

x 2≥， 当x<0时，)1

(x x y -+--==－2)1(2---

-x

x -≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x

x y 1

+

=的图像为： 二次函数在区间上的值域(最值)：

例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①142+-=x x y ； ②；]4,3[,142∈+-=x x x y ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；

解：∵3)2(1422--=+-=x x x y ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R ，

∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵顶点横坐标2?[3,4]，

当x=3时，y= -2；x=4时，y=1；

∴在[3,4]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2? [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上，min y =-2，m ax y =1；值域为[-2，1].

④∵顶点横坐标2∈ [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,

∴在[0,1]上，min y =-3，m ax y =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,

⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a b

x 2-=时，其最小值a b ac y 4)4(2

min -=； ②当a<0时，则当a b

x 2-

=时，其最大值a

b a

c y 4)4(2max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时， 再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.

②若0x ?[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

练习：1、求函数y =3+√(2－3x)的值域

解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

∴函数的值域为 [)+∞,3 .

2、求函数[]5,0,522

∈+-=x x x y 的值域

解： 对称轴 []5,01∈=x

[]

20,420,54

,1max min 值域为时时∴====∴y x y x

例3 求函数y=4x －√1-3x(x ≤1/3)的值域。 解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x ≤1/3),易知它们在定义域为增函数，从而y=f(x)+g(x)=

4x －√1-3x

在定义域为x ≤1/3上也为增函数，而且y ≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此， 所求的函数值域为｛y|y ≤4/3｝。

小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其

函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。 练习：求函数y=3+√4-x 的值域。(答案：｛y|y ≥3｝) 法二：换元法(下题讲)

例4 求函数x x y -+=12 的值域

解：（换元法）设t x =-1，则)0(122

≥++-=t t t y

[)(]

2,21,01max ∞-∴==∴+∞∈=值域为，

时当且开口向下，对称轴y t t

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种

解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。（答案：｛y|y ≤－3/4｝ 例5 （选）求函数x x y -+-=

53 的值域

解：（平方法）函数定义域为：[]5,3∈x

[][][]

[]

2

,24,21,0158,5,315

82)5()3(2

222原函数值域为得由∴∈∴∈-+-∈-+-+-+-=y x x x x x x x y

例6 （选不要求）求函数21x x y -+=的值域

解：（三角换元法） 11≤≤-x

∴设[]πθθ,0cos ∈=x