4 欧拉定理
§4 欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用
欧拉定理及费马定理是数论中非常重要的两个定理，它们在数论中的应用非常广泛。本节应用简化剩余系的理论，推出欧拉定理，再由欧拉定理，推出费马定理。最后还要把欧拉定理应用于循环小数。
定理1（欧拉定理） 设()1,,1m a m >=，则
()()1mod .m a m ?≡
证 设()12,,
,m r r r ?是模m 的一个简化剩余系，
因(),1a m =，故()12,,
,m ar ar ar ?也是模m 的一个简化剩余系. 于是，
()()
()()()()()()()()()()1212
12
12
mod ,
mod ,
1mod .
m
m m m m m ar ar ar r r
r m a r r r r r r m a m ??????≡≡≡
推论（费马定理）若p 是质数，则对任意整数a ，总有
()mod .p a a p ≡
证 因p 为质数，故(),1a p =或.p a 若(),1,a p =则由()1p p ?=-及欧拉定理得 ()()1
1mod ,mod .p p a
p a a p -≡≡
若p a ，则显然有()mod .p
a a p ≡
以上两个定理对数论的应用是非常多的。下面仅说明欧拉定理对无限循环小数的应用。 任何一个有理数都可以表示为
a
b
，这里,a b 都为整数，且0a >。由带余除法，存在整数(),0q r r b ≤<使得b aq r =+，故
,0 1.a bq r r r b b b b b
+==+≤< 故以下只讨论开区间()0,1中的分数与小数互化。 若对无限小数12
0.,n a a a （i a 是0,1,
,9中的一个数码，1,2,,i =并且从任何一
位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有
n n t a a +=，则该无限小数可以写为
1212120.s s s s t s s s t
a a a a a a a a a ++++++
定义 若对无限小数120.,n a a a （i a 是0,1,
,9中的一个数码，1,2,,i =并且从
任何一位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有n n t a a +=，则称这一无限小数为循环小数，并把该无限小数简写为 12
0.s a a a 1s a +.s t a +
对于循环小数来说，满足上述性质的,s t 不唯一。如对于循环小数
0.3214139139139，可取4,3s t ==，则该循环小数可简写为0.3214139，也可以取
5,6s t ==，则该循环小数可以简写为0.32141391391，等等。如t 是最小的，则称
12,,
,s s s t a a a +++为循环节，而把t 称为循环节的长度；若最小的0s =，则称该循环小
数为纯循环小数，否则称为混循环小数。
如循环小数0.3214139139139
最小的3t =，其循环节是1,3,9。最小的4s =，故
该循环小数是混循环小数。又如循环小数0.139087713908771390877最小的0s =，故
该循环小数是纯循环小数。
定理2 有理数
()()0,,1a
a b a b b
<<=可以表示为纯循环小数的充分必要条件是(),10 1.b =
证 （ⅰ）若()()0,,1a
a b a b b
<<=可以表示为纯循环小数，设 0.a
b
=12a a ,t a
则
1212101010t
t t t a
a a a b
--=++++0.12
a a t a ,0.a
q q b
=+>
故
(),101.101
t t a q a bq b =-=- 但(),1a b =，故
()()()()101,101mod ,10,10,1, 1.t t t b b b b b -≡===
注：也可根据101t b -及反证法证明(),10 1.b =
（ⅱ）若(),101b =，则由欧拉定理，()
()10
1mod .b b ?≡令(),t b ?=则t 为正整数，且
10 1.t b -从而存在正整数q '使得
101,10.t t bq a bq a a ''-==+
令q q a '=，则
()
1110,01011010101101,110,.
1010t t t t t t t t t a a b a qb a q b b b b a a a q a q b b b b -??=+<=-<≤=-<- ???=+=+? 由带余除法，
11211232211110+,010,10,010,10,010,10,010,
t t t t t t t t q q a a q q a a q q a a q q a a -----=≤<=+≤<=+≤<=+≤
< 则
1212110101010.t t t t t t q q a a a a ---=+++
++
易知q 为正整数，故12,,
,t q q q 都为非负整数。若1t q ≥，则10t q ≥，这与101t q <-矛
盾。故121210,101010,t t t t t q q a a a a ---==++
++从而
1210..10t t a
a
a a a b
b
=+
? 反复应用上式，即得 0.a
b
=12a a .t a
定理 3 若
a b
是有理数，其中()()1110,,1,25,,101,1,a b a b b b b b αβ
<<===>其中,αβ都为非负整数，但不全为零，则a
b
可以表示为循环小数，其中不循环的位数是
()max ,.μαβ=
证 我们只证明βα≥的情形，至于βα≥的情形，可类似证明。若βα≥，则.μβ=故
1
21010.a a a b b b βαμ
β-==
因()1,1,,a b b b =故()1, 1.a b =又()1,101,b =故()()
11,21,,2
1.b b βα
-==故1b 不整除2a βα-。由带余除法，存在整数1,M a 使得
11112,0.a b M a a b βα-=+<<
因此
11
10.a a
M b b μ
=+ 易知()()()
11111010,,2,2, 1.M a b a Mb b a b μμαμα
--≤<=-==由定理2，可以把
1
1
a b 表示为循环小数：
1
1
0.a b =1c .t c
设()1
11009M m m m μμμ-=+
+≤≤则
10.a
m m b
μ=1c .t c
下证不循环的位数不能小于μ。假设
a
b
还可以表示为 1
0.v
a
m m b
''=()1,,s
c c v μ''< 则由定理2，
1
1
110100.,v
v
s
a a a c c
b b b '??
''-==??'
??
其中()1
,10 1.b '=令1110,v
a a a
b b ?
?''=+???
?
则 110.
v ab a b ''=
上式右边可被55βμ
=整除，而左边a 及1b '都与5互质，故510,55.v v μμ这与v μ>矛盾。
习题
1. 如果今天是星期一，问从今天起再过10
1010天是星期几？ 解 由欧拉定理得
()6101m o d 7.
≡ 下求1010被6除所得的余数。
()()()10
5
10551024223224mod 6.≡-=≡-=-=≡-≡
故101064q =+，其中q 是一个正整数。 于是
()()10
106464442210101010103924mod 7.q
q +==?≡≡=≡=
因此，如果今天是星期一，那么从今天起再过10
1010天是星期五。 2. 求()28
56
1237134+被111除的余数。
解一 因()1237150mod111≡故
()5656282814147733123715025005833643411564646211646746343461016mod111.
≡=≡=≡=≡=?≡?=?≡?≡
()()()28
28
56281414
7
7
3
3
12371
3416345025005833643434115634461564211610770mod111.+≡+==≡≡≡≡?=?≡?≡?=
解二 用模幂算法
模幂算法的一个例子：求185被33除所得的余数。解法如下。因
1829,9241,422,221,1201
=?=?+=?=?=?+ 故
()()()()()()()()()()2
1012
2
12
2
422
2
941
2
1
2
18
92
5555mod33,
55
525mod33,
552531mod33,
555315489520mod33,55204mod33.
=?≡==≡=≡≡=?≡?=≡=≡≡ 因
56228,28214,1427,7231,3211,1201,
=?=?=?=?+=?+=?+
故
()()()()()()()()()()()()2
1012
3
1122
73122
14
72
2
28142
2
56
282
12371123711237150mod111,
123711237112371505014mod111,
123711237112371145032mod111,
1237112371
3225mod111,
12371123712570mod111,12371123717016mod111.
=?≡=?≡?≡=?≡?≡=≡≡=≡≡=≡≡
于是
()()()28
28
56
2812371
34163450mod111.+≡+=
又因
()()()()()()()()()()2
1012
31122
73122
14
72
2
28
142
50505050mod111,
505050505014mod111,
505050145032mod111,5050
3225mod111,50502570mod111,
=?≡=?≡?≡=?≡?≡=≡≡=≡≡
故
()()28
56
123713470mod111.+≡
3. （ⅰ）证明下列事实但不许用定里1的推论：若p 是质数，12,,,a h h h 是整
数，则 ()(
)1212+m o d .
p
p p p
a a
h h h h h h p ++
+≡++
（ⅱ）由（ⅰ）证明定理1的推论，然后再由定理1推论证明定理1.
证明 （ⅰ）对a 数学归纳法。当1a =时，结论显然成立。假设结论对()11a a ->成立，下面由此证明结论对a 也成立。
由二项式定理及归纳假设得，
()()()()()()()1
1212112122112112112112121+mod .
p
p p a a a a
p p p
a a a a a p
p p p p a a a p h h h h h h h h h h p p h h h h h h h h h p h h h h h h h p --------??+++≡++
+++++ ?????
??++++++++++ ? ?-????
≡++
++≡++
（ⅱ）若a 为正整数，则在（ⅰ）中令121a h h h ===，得、
()m o d .
p a a p ≡ 若a 为负整数，令1a a =-，这里1a 为正整数，则 ()11mod .p p a a a a p =-≡-= 又因
()00mod ,p p ≡
故对任意整数a ，总有
()m o d .p a a p ≡ 这就证明了费马定理。
下面用数学归纳法证明，若(),1a p =，则对任意正整数α,总有 ()1
1m o d .
p
p a p α
αα--≡ 由费马定理得()mod p a a p ≡，但(),1a p =，故()11mod .p a p -≡故当1α=时结论正确。假设结论对()11αα->成立，下面根据归纳假设证明，命题对α也成立。
由归纳假设得
(
)()
()
()
()1
12
12
12
121
11
11
1111mod .1p
p
p p p p p p p p p p p p a
a
a
a p a p ααααααααααα
---------------??=-+=-+-+
???
??-+≡ ??
?
故结论对α也成立。
下面证明欧拉定理，即证明：设()1,,1m a m >=，则
()()1mod .m a m ?≡
设m 的标准分解式为12
12
k k m p p p αα
α=，则
()()()()
1
1
2
2
111
1122.k
k a k
k m p p p p p
p ααααα
?---=---
故
()
()()()(
)
()()
(
)(
)()
1
1
221
1
1
1
1222
2
1
1
1112
2
1
11
1
22221
1
1mod .
a k
k a k
k k
k k
k a k k k k p p p p p p p p p p m p p p p p p a
a
a p α
α
αα
ααα
ααα
ααα?α----------------==≡=
同理，
()()()()
221mod ,
,1mod .k m m k a p a p ??αα≡≡
故
()(
)
()()12
121mod ,1mod .k m m k a p p p a m ??ααα≡≡
4. 证明：有理数(),0,,1a
a b a b b
<<=表成纯循环小数的充分与必要条件是有一
正整数t 使得同余式
()101m o d t
b ≡ （1）
成立，并且使得上式成立的最小正整数t 就是循环节的长度。
证 必要性 设 10.,
t a
a a b
= 则
()()121211************,101101010.
t
t t t t t t t t t a a a a a a b b a b a a a a ------=+++++-=++++ 故()101.t b a -但(),1a b =，故()101
,101m od .t t
b b -≡故有一正整数t 使得（1）式
成立。
反之，设有一正整数t 使得（1）成立，则存在正整数q '使得
101,10.t t bq a bq a a ''-==+
令q q a '=，则
()
1110,01011010101101,110,.
1010t t t t t t t t t a a b a qb a q b b b b a a a q a q b b b b -??=+<=-<≤=-<- ???=+=+? 由带余除法，
11211232211110+,010,10,010,10,010,10,010,
t t t t t t t t q q a a q q a a q q a a q q a a -----=≤<=+≤<=+≤<=+≤
< 则
1212110101010.t t t t t t q q a a a a ---=+++
++
易知q 为正整数，故12,,
,t q q q 都为非负整数。若1t q ≥，则10t q ≥，这与101t q <-矛
盾。故121210,101010,t t t t t q q a a a a ---==++
++从而
1210..10t t
a
a
a a a b
b
=+
? 反复应用上式，即得
0.a
b
=12a a .t a
由此即知，
a
b
可以表为纯循环小数。 下证使（1）式成立的最小正整数t 就是循环节的长度。假定
a
b
又可以表为 ()10.,,v a
a a v t b
=<
则
()()121211************,101101010.
v
v v v v v v v v v a a a a a a b b a b a a a a ------=+++++-=++++ 故()101.v b a -但(),1a b =，故()101,101mod .v v b b -≡这与t 是使（1）成立的最小正整数矛盾。故使（1）式成立的最小正整数t 就是循环节的长度。
补充作业：设,p q 是两个不同的质数，N pq =，而 ,e d 满足
()()1mod ed N ?≡
的一对正整数，则对任意整数x ，总有 ()m o d .
ed x x N ≡ 证 因,p q 是两个不同的质数，故,p q 互质。又N pq =，故要证明对任意整数
x ，总有
()m o d .ed x x N ≡ 只需证明对任意整数x ，总有
()()m o d ,m o d
.e d e d x x p x x q ≡≡且
因正整数,e d 满足()()1mod ed N ?≡，而()()()11N p q ?=--，故存在非负整数k 使得()()111.ed k p q -=--对任意整数x ，若,p x 则显然有()mod ed x x p ≡。若(),1x p =，则由费马定理，得()11mod .p x p -≡从而可得
()()()()()1111mod ,1mod ,mod .k p q ed ed x p x p x x p ---≡≡≡
因此，对任意整数x ，总有()mod ed x x p ≡。同理，对任意正整数x 总有
()mod ed x x q ≡。于是，对任意正整数x ，总有()mod .ed x x N ≡
注 以上命题即为著名的RSA 体制所需的主要数学知识。该命题还可推广为：设,p q 是两个不同的质数，N pq =，m 是1,1p q --的任意一个正的公倍数，而 ,e d 满足
()1mod ed m ≡
的任意一对正整数，则对任意整数x ，总有 ()m o d .ed x x N ≡
欧拉定理及其应用(注解版)~~YT
欧拉定理及其应用 欧拉函数phi(m)表示小于等于|m|的自然数中，和m互质的数的个数。 phi(m)=mΠ(1-1/p)//《算法导论》第531页 p|m 证明：若m为一素数p，则phi(m)=p-1。 若m为合数，存在p，使m=pd。 1、若p整除d，对任意a，(a, d) = 1，//注意a属于[1,d)那么(a + d, d) = 1， (a + d, p) = 1， 所以(a + d, m) = 1，所以(a + kd, m) = 1，k = 0, 1, 2, ... , p - 1， 所以phi(m) = p phi(d)。//则有任意和d互质的数加上kd继续互质，所以共有p*phi(d)个 2、若p不能整除d，那么(p, d) = 1，在小于|m|的自然数里，和d互质的有p phi(d)个， 其中phi(d)个是p的倍数，所以phi(m) = (p - 1) phi(d)。//显然，除d、2d、3d……pd能整除外，其余都不能整除 由数学归纳法得到结论。 欧拉定理：如果(a, m) = 1，那么a ^ phi(m) = 1 (mod m)。//可以参考《算法导论》 证明：设R(m) = {r[1], r[2], ... , r[phi(m)]}为和m互质的数的等价类的集合。 那么有(ar[i], m) = 1，ar[i] = ar[j]当且仅当i = j。 所以aR(m) = {ar[i]} = R(m)，a ^ phi(m) Πr[i] = Πar[i] = Πr[i] (mod m)，a ^ phi(m) = 1 (mod m)。 欧拉定理的一个重要意义就是计算a ^ b mod m的时候，若b是一个很大的数时，可以化成a ^ (b mod phi(m)) mod m来计算，明显地，b mod phi(m)是一个比较小的数。 当(a, m)≠1时，设对m分解质因数得到m = Πpi ^ ri，d = (a, m)，m = m1 * m2， 其中m1 = Πpi ^ri，那么(m1, m2) = 1，(a, m2) = 1， pi|d 所以a ^ phi(m2) = 1 (mod m2)。 由欧拉函数的计算公式可以得知phi(m2)|phi(m)，所以a ^ phi(m) = 1 (mod m2)。对任意i，pi|d，都有phi(m) >= log m >= ri，所以m1|d ^ phi(m)，m1|a ^ phi(m)。由于(m1, m2) = 1，所以存在整数r，0 < r < m，r = 1 (mod m2)，r = 0 (mod m1)， 有a ^ phi(m) = r (mod m)。 显然，a ^ 2phi(m) = 1 (mod m2)，a ^ 2phi(m) = 0 (mod m1)，
4 欧拉定理
§4 欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用 欧拉定理及费马定理是数论中非常重要的两个定理，它们在数论中的应用非常广泛。本节应用简化剩余系的理论，推出欧拉定理，再由欧拉定理，推出费马定理。最后还要把欧拉定理应用于循环小数。 定理1（欧拉定理） 设()1,,1m a m >=，则 ()()1mod .m a m ?≡ 证 设()12,, ,m r r r ?是模m 的一个简化剩余系， 因(),1a m =，故()12,, ,m ar ar ar ?也是模m 的一个简化剩余系. 于是， ()() ()()()()()()()()()()1212 12 12 mod , mod , 1mod . m m m m m m ar ar ar r r r m a r r r r r r m a m ??????≡≡≡ 推论（费马定理）若p 是质数，则对任意整数a ，总有 ()mod .p a a p ≡ 证 因p 为质数，故(),1a p =或.p a 若(),1,a p =则由()1p p ?=-及欧拉定理得 ()()1 1mod ,mod .p p a p a a p -≡≡ 若p a ，则显然有()mod .p a a p ≡ 以上两个定理对数论的应用是非常多的。下面仅说明欧拉定理对无限循环小数的应用。 任何一个有理数都可以表示为 a b ，这里,a b 都为整数，且0a >。由带余除法，存在整数(),0q r r b ≤<使得b aq r =+，故 ,0 1.a bq r r r b b b b b +==+≤< 故以下只讨论开区间()0,1中的分数与小数互化。 若对无限小数12 0.,n a a a （i a 是0,1, ,9中的一个数码，1,2,,i =并且从任何一 位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有 n n t a a +=，则该无限小数可以写为
欧拉公式的应用
欧拉公式的应用 绪论 本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便． 关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数
目录 绪论......................................错误！未定义书签。目录......................................错误！未定义书签。 一、绪论 (1) 二、欧拉公式的证明、特点、作用 (1) 三、欧拉公式在三角函数中的应用 (4) (一) 倍角和半角的三角变换 (4) (二) 积化和差与差化积的三角变换 (4) (三) 求三角表达式的值 (5) (四) 证明三角恒等式 (6) (五) 解三角方程 (7) (六) 利用公式求三角级数的和 (7) (七) 探求一些复杂的三角关系式 (8) (八) 解决一些方程根的问题 (9) (九) 欧拉公式大降幂 (10) 结束语 (15)
一、绪论 欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、cos sin i e i θθθ=+、欧拉积分等多种形式、立体几何、工程方面等方面．由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“cos sin i e i θθθ=+”以及这种形式在数学中的应用． 二 、欧拉公式的证明、特点、作用 1748年，欧拉在其著作中陈述出公式cos sin i e i θθθ=+，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用． 欧拉公式cos sin i e i θθθ =+它的证明有各种不同的证明方法，好多《复变 函数》教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的．下面我们介绍一种新的证明方法：极限法． 证明 令()1n f z i n θ?? =+ ??? (),R n N θ∈∈． 首先证明 ()lim cos sin n f z i θθ→∞ =+． 因为 arg 1n i narctg n n θθ?? ?? += ? ????? ， 所以 2 2 211cos sin n n i i narctg i narctg n n n n θθθθ????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????． 从而2 2 2lim 1lim 1cos sin n n n n i narctg i narctg n n n n θθθθ→∞→∞????????? ?+=++ ? ? ? ???????? ?????．
《欧拉公式及其应用》
华北水利水电大学 题目《欧拉公式及其应用》 课程名称：高等数学（2） 专业班级：电子信息工程2012154 成员组成： 联系方式： 2013年5月31 日
摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=， 举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。 关键词：欧拉公式，证明，应用 英文题目"Euler formula and its application" Abstract: The different methods of several in the complex domain that Euler's formula, illustrates several kinds of application of Euler's formula in mathematics, to solve the problem through the summary of many ways to look at problems of the mind, through the solution of several kinds of problems that the reader more understood the importance of Euler in learning many aspects of the theory and the mathematical formula in the. Key words: Euler formula Prove application
欧拉定理
在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2，即V-E+F=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。欧拉定理指出:如果产品市场和要素市场.都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。如上所述，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。在完全竞争的条件下，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。定理内容在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)相关。 费马小定理: a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 证明这个定理非常简单，由于p是质数，所以有φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。推论:对于任意正整数a，有a^p ≡ a (mod p)，因为a能被p整除时结论显然成立。
折叠应用 首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4(详情见[欧拉函数])。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 (mod 5)。与定理结果相符。 这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。
欧拉公式的证明方法和应用
欧拉公式 θθθ sin cos i e i +=的证明方法和应用 摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。 关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说 在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有1-=e i π ，即01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述 在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。 幂级数展开式的证明法 引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=， 复指数定义法 用复指数定义)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+，证明欧拉公θθθ sin cos i e i += 类比法求导法 通过实函数的性质来对复函数进行求导运算(附件①)，通过构造 x i x x f e ix sin cos )(+= ，0)(='x f 用lagrange 微分中值定理推论[3]，从而证明1)(=x f , 使得x i x e ix sin cos += 分离变量积分法 假设x i x z sin cos +=，求导得 iz dx dz =，通过分离变量得,idx z dz =，然后两边取积分
欧拉定理
欧拉定理 在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理(Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。 生平简介 莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler ，1707年4月15日~1783年9月18日)，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导.欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究!有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的
欧拉定理
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等，至今沿用。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月地问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F 之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。
数论定理编辑 内容 在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则: 证明 将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数） 我们考虑这么一些数： m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n) 1）这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) （这里假定mS更大一些），就有： mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质，a与n的最大公因子是1，而xS-xR 关于欧拉定理问题及其应用 摘要：从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。 关键词：欧拉定理，数学思想方法，应用。 在初等数论中，关于欧拉定理问题的理解、应用以及体现出的数学思想方法是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题的提出和总结的不够，尤其对它所体现的数学思想方法。为了加深对欧拉定理的有关理解，本文从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。 一、欧拉定理和其推论的证明 （一）欧拉定理的证明及其体现的数学思想方法 1.定理(Euler):设n是大于1的整数，（a,n）=1,则a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 证明：首先证明下面这个命题： 对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)个n的素数，且两两互素，即n 的一个化简剩余系，（或称简系，或称缩系)， 考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。 所以，很明显，S=Zn 既然这样， （a*x1 ×a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) = （x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n) 考虑上面等式左边和右边 左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 右边等于x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n) 欧拉公式的证明方法和 应用 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 欧拉公式 θ θθ sin cos i e i +=的证明方法和应用 摘要：在复数域内用几种不同的方法证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=，举例说明欧拉公式在数学中的几类应用，通过总结多种方法看问题的思想来解决问题，通过几种不同种类的问题的解决方案让读者更加明白欧拉公式在学习中的多方面思想和数学中的重要性。 关键词：欧拉公式、微分中值定理、证明、应用、三角函数 1.欧拉公式意义简说 在我们所学过的指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，在复数域中却可以相互转换，被θθθ sin cos i e i +=这简单的关系联系在一起，这个一直盘踞在许多研究家心里的欧拉公式，有着很多很多的疑问，特别是当πθ=时，有 1-=e i π ，即01=+e i π ，这个等式将数学中的最富有特色的五个数0、1、i 、e 、 π联系在一起，0，1是实数中特殊的数字，i 是一个很重要的虚数单位，e 是无 理数它取自瑞士数学家欧拉（Euler,1707-1783）的英文开头[5]，π是圆周率在公园前就被定义为“周长与直径的比”。它们在数学中各自都有发展的方面。因此e i π +1=0公式充分揭示了数学的统一性、简洁性和奇异性。了解这些内容对于学习高等数学，对于我们在研究较深的数学问题上有很大帮助。 2.欧拉公式的证明简述 在这里，我把几种证明欧拉公式的方法总结在一起，对学者学习欧拉公式提供多方面的题材，并作出知识的一种综合理解。 幂级数展开式的证明法 引用三角函数和指数函数“幂级数展开式”证明欧拉公式θθθ sin cos i e i +=， 学院 学术论文 关于欧拉定理问题及其应用 Euler theorem about application and application 姓名 所在学院 专业班级 学号 指导教师 日期 关于欧拉定理问题及其应用 摘要：从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。 关键词：欧拉定理，数学思想方法，应用。 Abstract: from the proof of the theorem of related euler, euler theorem proving mathematical way of thinking, which reflected on the basis of the application. Keywords: Euler Set Daniel, number and fixed thoughts, should use to party. 在初等数论中，关于欧拉定理问题的理解、应用以及体现出的数学思想方法是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题的提出和总结的不够，尤其对它所体现的数学思想方法。为了加深对欧拉定理的有关理解，本文从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。 一、欧拉定理的证明及其体现的数学思想方法 （一）定理［1］(Euler)[]1 : 设n是大于1的整数，（a,n）=1,则 a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 证明1： 首先证明下面这个命题： 对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)个n的素数，且两两互素，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn 1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此 任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。 所以，很明显，S=Zn 既然这样，那么 （a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) = （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 考虑上面等式左边和右边 左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质 根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 证明2.[]2：证明：设集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系（若整数A1,A2,...,Am模 n分别对应0,1,2,...,n-1中所有m个与n互素的自然数,则称集合{A1,A2,...,Am}为模n 的一个缩系）数论论文-关于欧拉定理问题及其应用
欧拉公式的证明方法和应用
关于欧拉定理问题及其应用