电路原理下册
第一章网络图论
图论是数学领域的一个重要分支，是研究自然科学、工程技术、经济管理以及社会问题的一个重要工具。网络图论是图论在网络理论中的应用。现代大型复杂网络的分析计算，都是借助于电子计算机进行的，要将网络结构的信息送入计算机就需要借用网络图论的知识。
本章主要介绍网络图论的基本知识。这是学习本书第二章和第三章的基础。
§1-1 网络的图
意见：（1）“网络的图”是否可简称为“网络图”，更为简明
（2）树枝、连枝全书没统一：有的地方树枝用细实线，连枝虚线，而有的地方树枝用粗实线，连枝用细实线
在电路原理（上册）中介绍特勒根定理时，曾对网络的图作了粗浅介绍，下面将进行系统讨论。
对于任何一个由集中参数元件组成的网络N，如果暂时撇开元件的性质，只考虑元件之间的联接情况，可将网络中的每一个元件(即支路)用一条线段代替(线段长、短、曲、直不论)，并仍称之为支路；将每一个元件的端点或若干个元件相联接的点(即节点)用一个圆点表示，并仍称之为节点。如此得到的一个点、线的集合，称为网络N的图，或线形图，用符号G代表。
图1-1-1（a）表示一个无源网络N1和它的图G1。
(a)连通图(b)非连通图
图1-1-1 网络及网络的图
对于网络中的独立源和受控源，除了可以单独作为一条支路处理外，也可采用下述方法处理：将电压源(含受控电压源)连同串联的无源元件作为网络的一条复合支路，在图G中用一条支路表示；将电流源(含受控电流源)连同并联的无源元件作为网络的一条复合支路，在图G中也用一条支路表示。网络中由无源元件与电压源串联，再与电流源并联的部分也可作为一条复合支路，在图G中用一条支路表示。图1-1-1（b）所示网络N2的图G2就是按这种方法处理的。本章对于独立源和受控源均采用上述复合支路处理法。
根据网络的图的定义和绘制原则，网络的图只表明网络中各支路的联接情况，而不涉及元件的性质。因此，可以说网络的图只是用以表示网络的几何结构(或拓扑结构)的图形。此外，网络的图中的支路和节点与相应网络中的支路和节点是一一对应的。
应当指出，网络中的互感表示耦合电感元件之间的磁耦合关系，从属于元件的性质，而不从属于网络的几何性质，因此，在网络图中不予表现。
在网络分析中，一般都要规定网络各支路电流、电压的参考方向。在网络的图中也可规定各支路的参考方向。标明各支路参考方向的图称为有向图。图1-1-1（b）中的G2就是有向图。为了分析方便起见，有向图中每一支路的参考方向均与网络中相应支路参考方向一致。
图1-1-2 图及其子图与补图
如果图G a中的每一个节点和支路都是图G中的节点和支路，即图G a 是图G的一部分，则G a叫做G的子图(subgraph)。图1-1-2中的G a、G b、G c都是G的子图。如果图G的子图G a和G b包含了G的所有支路和节点，
而且G a和G b又没有公共的支路，则G a和G b互为补图（complement subgraph）。图1-1-2中，G a是G b的补图，G b也是G a的补图。
由m条不同的支路和m+1个不同的节点依次联接成的一条通路称为路径(path)。如图1-1-2的G中，支路1、3、6构成一条路径，节点③和节点④是此路径的始端节点和终端节点，节点①和节点②为中间节点，此路径包括的支路数m=3，节点数m+1=4。
如果路径的始端节点和终端节点重合，这样的路径称为回路。在图
1-1-2的G中，支路1、2、3构成一个回路，支路1、4、5也构成一个回路。
在图G中，如果任意两节点之间至少有一条路径存在，则此图称为连通图(connected graph)，否则就称为非连通图(disconnected graph)。图1-1-1中的G1是连通图，G2是非连通图。本书主要讨论连通图。
练习题
1-1-1 绘出题1-1-1图所示电路的有向图。
(a) (b)
(c) (d)
题1-1-1图
（必要性？）
§1-2 树和树余·树支和连支
任一连通图G中符合下列三个条件的子图叫做G的树(tree)，用T表示。
(1) 该子图是一个连通图；
(2) 该子图中包含了连通图G的全部节点；
(3) 该子图中不包含任何回路。
例如图1-2-1（b）、（c）、（d）所示的子图T1、T2、T3，都是图1-2-1（a）的连通图G的树。但图1-2-1（e）、（f）、（g）所示的子图则不是G的树，因为图1-2-1（e）是不连通的，图1-2-1（f）没有包含G的全部节点，图1-2-1（g）含有回路。
连通图中与树互补的子图叫做树余(cotree)。与图1-2-1（b）、（d）的树T1、T3对应的树余分别表示在图1-2-2（a）、（b）中。由此可知：树余可以含有回路，可以不包含G的全部节点，可以是不连通的。
树中的支路叫做树支(tree branch)，树余中的支路叫做连支(link)。对树T1[图1-2-1（b）]而言，图1-2-1（a）所示连通图G中的支路1、2、3、4、5为树支，支路6、7、8、9为连支。
(a) (b)
(c)(d)
(e) (f)
(g)
图1-2-1 说明树的图
根据树的定义可知：
(1) 树中任意两个节点之间只可能有一条路径。如若不然，势必构成回路，而与树的定义不符。
既然树中任意两节点之间只有一条路径，那么，割断任一树支，必使树的全部节点被分割为相互分离的两组，而每一组节点仍然是连通的。
(a)图1-2-1（b）的树余(b)图1-2-1（d）的树余
图1-2-2 图1-2-1 中树T1和T3的树余
图1-2-3 说明基本回路的图
(2) 在树中任意两节点之间增加一条连支，则此连支必定与该两节点间的树支路径构成回路。这种只包含一条连支的回路叫做基本回路(fundamental loop)。由每一连支决定的基本回路是唯一的。否则树中必有回路，从而违反树的定义。例如在图1-2-1（b）中增加连支6，(见图1-2-3，图中实线为树支，虚线为连支)，则连支6与树支1、3、4构成一个基本回路。显然，连支6决不会再与另外的树支构成第二个基本回路。又如连支7也只能与树支4、5构成一个基本回路。
任一连通图G中可以选出许多种不同的树。但树一经选定之后，图G 的所有支路中，哪些是树支，哪些是连支，就完全确定了。一棵树中的树支，对另一棵树则可能是连支。
练习题
1-2-1 题1-2-1图为某网络的图，试判断下列各支路集
中，哪些支路集可以构成一棵树，哪些支路集为对应于某一
棵树的树余，并绘出该树的图。
(1) 支路b5, b1, b6, b13, b8, b11, b7；
(2) 支路b2, b4, b6, b11, b12, b13；
(3) 支路b2, b3, b7, b5, b9, b12, b13；
(4) 支路b2, b4, b5, b7, b8, b9, b13。
§1-3 割集
任一连通图G中，符合下列两个条件的支路集叫做图G的割集(cut set)，用符号C k (a、b、…)表示(括号内a，b
，…表示属于该支路集的支路
题1-2-1图
编号)：
(1) 该支路集中的所有支路被移去(但所有节点予以保留)后，原连通图留下的图形将是两个彼此分离而又各自连通的子图①；
(2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余的所有支路移去后，原连通图留下的图形仍然是连通的。
条件(2)表明，割集是满足条件(1)的为数最少的支路的集合。
在图1-3-1所示的连通图中，支路集合C1 (3, 6, 8)和C2 (4, 5, 6, 8)都是割集。它们都满足以上两个条件。但支路集合[3, 6, 5, 8, 7]和[3, 6, 2, 8]则不是割集。因为把支路集[3, 6, 5, 8, 7]移去后，原连通图被分离为三个(而不是两个)不连通的子图，这与作为割集的条件(1)不符；把支路集合[3, 6, 2, 8]中的支路2保留下来，而只移去其余三条支路，留下的图形仍被分离为两个非连通的子图，这与作为割集的条件(2)不符。
对于具有s个分离部分的非连通图，符合下列条件的支路集叫做割集：
(1) 该支路集中的所有支路被移去(但所有节点予以保留)后，原非连通图留下的图形将具有s+1个分离部分；
(2) 该支路集中，当保留任一支路，而将其余的所有支路移去后，原非连通图留下的图形仍然只具有s个分离部分。
图1-3-1 说明割集的图图1-3-2 说明基本割集的图
在图1-3-2所示连通图中，实线表示树支，虚线表示连支。根据树的定义，每一树支必定可以和若干连支一道构成一个割集。例如树支1与连支6、9构成割集C1(1,6,9)，其它树支与相应连支构成的割集分别为
C2(2,8,9)，C3(3,6,8)，C4(4,6,7)，C5(5,7,8)。这种只包含一条树支的割集叫做基本割集(fundamental cut set)。不难看出，每一树支只能与其所属各基本回路中的连支一道构成一个基本割集，而不可能与其它连支构成基本割集。因此，由每一树支决定的基本割集是唯一的。
最后必须指出，对任一较复杂的连通图G，可以选出很多个回路和割集。但树一经选定，连通图中的基本回路和基本割集就完全确定了。下节
①这种子图也可以是一个孤立节点。
将证明，对任一连通图，其基本割集数和基本回路数是完全确定的，而与树的选择无关。
练习题
1-3-1 在题1-3-1图所示某网络的图中，指出下列支路集中哪些是割集，哪些不是割集：
(1) b 4, b 5, b 8, b 9； (2) b 4, b 6, b 7, b 1； (3) b 4, b 6, b 7, b 8, b 1； (4) b 4, b 3, b 9；
(5) b 1, b 6, b 3, b 9。
§1-4 图的基本回路数和基本割集数
一个节点数为n t =n +1、支路数为b 的连通图G ，无论如何选树，恒具有n 个基本割集和b -n 个基本回路。现证明如下。
设想将连通图G 的b 条支路全部去掉，但原有的n t 个节点全部保留。为了形成G 的一棵树，先用一条支路连接其中的两个节点；以后每增加一条支路，便可多连通一个节点。依此类推，把n t =n +1个节点全部连通以构成一棵树时，显然至少需要n 条支路。若支路数多于n ，则必形成回路，而不成其为树。例如图1-4-1中，n t =6，按上述方法，把6个节点全部连通，需要n =6-1=5条支路(一种连通方式如图中实线所示)。若在任意两个节点，譬如节点4和节点5之间再增加一条支路x ，则支路3、4、x 将形成一个回路。因此，无论按照什么方式，把图中全部节点连通，而又不形成回路，至少需要而且只需要n =n t -1条支路。如此形成的G 的子图，正是一棵树。故含有n t =n +1个节点的连通图的树支数恒等于n 。由此可见，树是连通全部节点所需要的为数最少的支路的集合。或者说，树是用最少的支路把全部节点连通起来所形成的一个子图。
因为每一树支必定可以和若干连支一道组成一个基本割集，所以，具有n t =n +1个节点的图G ，恒具有n 个基本割集。
图G 中除去了树的部分，剩下的就是树余。因此，树余中的连支数等于全部支路数b 减去树支数n 。由于每一连支必定可以和若干树支一道组成一个基本回路，所以，具有n t =n +1个节点、b 条支路的图G ，恒具有(b -n
)
题 1-3-1 图
个基本回路。
对于具有n t 个节点、b 条支路、s 个分离部分的非连通图，在每一分离部分中选一树，则总树支数(即基本割集数)为n t -s ，总连支数(即基本回路数)为b -(n t -s )=b -n t +s 。例如对于图1-1-1（b ）中的非连通图，s =2, n t =6，b =7，基本割集数为6-2=4，基本回路数l =7-6+2=3。
凡是能在一个平面上绘出，而又不致有两条支路在一个非节点处交叉的图，称为平面图(planar graph)。一个平面图的网孔数m 等于图的基本回路数l ，即
n b n b l m t -=--==)1(
现证明如下。
先设想一个单孔网络，如图1-4-2的实线网孔1。显然，无论该网孔是由多少支路联成，节点数恒等于支路数(图中b =n t =3)，因而b -n t +1=1，即等于网孔数。
从这个网孔的任一节点出发，经过网孔外部任意个串联起来的支路，最后仍回到原网孔的一个节点上，如图1-4-2虚线所示，这样就构成一个新的网孔2。从图中可以看出，在新网孔中，增加的节点数?n t 恒比增加的支路数?b 少1(图中?b =5，?n t =4)。因此在增加了一个网孔之后，总支路数为b +?b ，总节点数为n t +?n t ，而
2
1101
)()(1)()(=++=+?-?+-=+?+-?+t t t t n b n b n n b b
仍与总网孔数相等。依此类推，任意平面网络的网孔数
1+-=t n b m l =(基本回路数)
证毕。
练习题
1-4-1 求题1-3-1图所示图的基本回路数l 和网孔数m 。
图1-4-1 树支数等于节点数减1的证明
图1-4-2 证明m =b -n t +1=l
§1-5 关联矩阵
对于任何一个具有n t =n +1个节点、b 条支路的网络有向图，各节点与各支路的关联可用一个节点-支路关联矩阵(node-to-branch incidence matrix)A a 来表述。A a 的每一行对应于一个节点，每一列对应于一条支路，它的每一个元素a ik 定义如下：
(1) 若节点
与支路b k
无关联，则a
ik =0；
(2) 与支路b k 有关联，且支路b k 的(称为正向关联)，则a ik =1；
(3) 与支路b k 有关联，且支路b k 的(称为反向关联)。则a ik = -1。
(a) (b) 图1-5-1 具有4个节点、5条支路的网络及其有向图
以图1-5-1（a ）所示网络的有向图[图1-5-1（b ）]为例，其节点-支路关联矩阵为
54321 b b b b b
?????
?
??????-----=10101110000111000011④③②①a A
从A a 的每一行中可以看出对应节点所关联的支路和关联形式(正向关联或反向关联)。例如对于上例中A a 的第2行，有
a a a a a 21252223240
1
1===-==
说明与节点②相关联的支路是b 2、b 3、b 4，并且b 2的参考方向是指向节点②的，b 3和b 4的参考方向是离开节点②的。从A a 的每一列中可以看出对应支路所关联的节点和关联形式。例如对于上例中A a 的第三列，有a 13 = a 33 = 0, a 23 = 1, a 43 = -1，说明支路b 3是联接在节点②与④之间，且其参考方向是由节点②指向节点④。
显然，A a 是一个n t ?b 矩阵。
由于每一支路只能联接在两个节点上，且其参考方向必定是指向其中的一个节点，而离开另一个节点。因此，A a 中的每一列只能有两个非零元，并且一个非零元为1，另一个非零元为-1，即A a 中每列元素之和为零。这说明A a 的秩(rank)小于行数n t 。
可以证明①
，任一具有n t 个节点、b 条支路的有向图的矩阵A a 的秩恒为n =n t -1，这说明矩阵A a 中只有n 行是线性无关的。如果在有向图中任意选择一个节点作为参考节点，并且只对n =n t -1个非参考节点建立节点-支路关联矩阵，则此矩阵即是从矩阵A a 中删去与参考节点相对应的一行的结果，称之为缩减的节点-支路关联矩阵(reduced node-to-branch incidence matrix)，简称关联矩阵，用符号A 表示。显然，关联矩阵A 是一个n ?b 矩阵，其秩等于行数n ，其各行是线性无关的。图1-5-1以节点④为参考节点的关联矩阵为
????
?
?????--=110000111000011A (1-5-1)
一个有向图中参考节点的选择是任意的，参考节点选择得不同，关联矩阵A 也不同。但一个有向图的矩阵A a 则是完全确定的。反之，给定一个矩阵A a ，也可以确定一个有向图。根据有向图的关联矩阵A ，很容易求出矩阵A a ，这只需在A 中增加对应于参考节点的一行，并且此行的各元素应使得增加该行后，矩阵每列元素之和为零。
练习题
1-5-1 作出题1-5-1图所示网络的有向图并写出关联矩阵A 。
§1-6 基本割集矩阵
①
可参考江泽佳主编的《电路原理》（第二版）下册94页至95页。
题 1-5-1 图
如前所述，在一个有向图中，基本割集就是单树支割集。通常以树支的参考方向作为该树支所属基本割集的参考方向。以图1-6-1所示有向图为例，图中粗线表示树支，细线表示连支，包含树支b 2的基本割集为C 2。显然，如果把属于C 2的一组支路b 2、b 4、b 5、b 6全部移去，该连通图则被分离为两个分离部分。为便于判断C 2的参考方向，可以把其中的一个分离部分看作一个广义节点。例如把分离出来的节点①、④和支路b 1组成的连通子图看作一个广义节点。树支b 2的参考方向系由此
广义节点向外，故C 2的参考方向也是由此广义节点向外。又如树支b 1的参考方向是离开节点④的，故b 1所属的基本割集C 1的参考方向也是离开节点④的。当然，若树支的参考方向是指向广义节点的，则该树支所属基本割集的参考方向也指向该广义节点。
在一个有向图中，对应于一棵树的各基本割集与各支路的关联情况，可用一个基本割集矩阵(fundamental cutset matrix)Q 来表述。矩阵Q 的每一行对应于一个基本割集，每一列对应于一条支路，它的每一个元素q ik 定义如下：
(1) 若基本割集C i 与支路b k 无关联，则q ik =0；
(2) 若基本割集C i 与支路b k 有关联，且支路b k 的参考方向与基本割集C i 的参考方向一致，则q ik =1；
(3) 若基本割集C i 与支路b k 有关联，且支路b k 的参考方向与基本割集C i 的参考方向相反，则q ik =-1。
此外，为了使写出的基本割集矩阵更有规律，将各支路按先树支后连支的次序编号，并且每个基本割集的编号与相应树支的编号相同。 图1-6-1的基本割集矩阵为
b b b b b b C C C 123456
123100010001101111011Q =--????????
?
?
????
(1-6-1) 基本割集矩阵Q 是n ?b 矩阵(n 为基本割集数，b 为支路数)，它可以分为两个并列的子阵：位于左边的一个子阵是基本割集与树支的关联子阵。
图1-6-1 说明基本割集矩阵的图
因为每一树支只属于一个基本割集，并且树支的编号与基本割集的编号相
同，故此子阵是一个n阶单位阵，用I n表示。位于右边的一个子阵是基本
割集与连支的关联子阵，用F表示，通常称为基本子阵(fundamental submatrix)，这是一个n?(b-n)矩阵。于是，矩阵Q又可记为
Q
I
]
=(1-6-2)
[F
n
从矩阵Q的每一行可以看出与该行对应的一个基本割集所包含的支路
以及该基本割集与其所包含的各支路的参考方向是否一致。从矩阵Q的每
一列则可看出与该列对应的一个支路所关联的基本割集以及该支路与其所
关联的各基本割集的参考方向是否一致。
由于矩阵Q含有一个n阶的单位阵，故矩阵Q的秩等于行数n。这说
明矩阵Q的各行是线性无关的。
练习题
1-6-1 对题1-5-1图所示电路任意选择一棵树，写出基本割集矩阵Q。
§1-7 基本回路矩阵
如前所述，在一个有向图中，基本回路就是单连支回路，通常以连支
的参考方向作为该连支所属的基本回路的参考方向。对应于一棵树的各基
本回路与各支路的关联情况，可用一个基本回路
矩阵(fundamental loop matrix)B来表述。矩阵B
的每一行对应于一个基本回路，每一列对应于一
条支路，它的每一个元素b ik定义如下：
(1) 若基本回路i与支路b k无关联，则b ik=0;
(2) 若基本回路i与支路b k有关联，且支路
b k的参考方向与基本回路i的参考方向一致，则
图1-7-1 说明基本回路矩阵的图
b ik=1;
(3) 若基本回路i与支路b k有关联, 且支路b k的参考方向与基本回路i
的参考方向相反, 则b ik=-1。
此外，为了使写出的基本回路矩阵更有规律，将各支路按先树支后连
支的次序编号，并使矩阵B中各基本回路的编号1、2、3、…分别与连支
从小到大的编号相对应。
把图1-6-1重画于图1-7-1中，在图示参考方向下，有
??
??
?
?????-----=1001110101100010113216
54321B b b b b b b (1-7-1) 基本回路矩阵B 是一个(b -n )?b 矩阵[(b -n )为基本回路数，b 为支路数，n 为树支数]，它可以分为两个并列的子阵：位于左边的一个子阵是基本回路与树支的关联子阵，用E 表示。这是一个(b -n )?n 矩阵。位于右边的一个子阵是基本回路与连支的关联子阵。因为每一连支只属于一个基本回路，并且矩阵B 中各基本回路的排列次序与相应各连支的排列次序相同，故该子阵是一个l =b -n 阶单位阵，用I l 表示。于是，矩阵B 又可记为
][l I E B = (1-7-2)
从矩阵B 的每一行可以看出与该行对应的一个基本回路所包含的支路以及该基本回路与其所包含的各支路的参考方向是否一致。从矩阵B 的每一列则可看出与该列对应的一个支路所关联的基本回路以及该支路与其所关联的基本回路的参考方向是否一致。
由于矩阵B 具有一个(b -n )阶的单位阵，故矩阵B 的秩等于行数(b -n )。这说明矩阵B 的各行是线性无关的。 练习题
1-7-1 对题1-5-1图所示网络，任选一棵树，写出基本回路矩阵B 。
§1-8 矩阵Q 与矩阵B 之间的关系
我们知道，对任一网络都可作出它的有向图。在一个有向图中，任意选择一个参考节点后，可以写出关联矩阵A ；任意选择一棵树后，可以写出基本割集矩阵Q 和基本回路矩阵B 。A 、Q 、B 三个矩阵是从不同角度表述同一网络的联接性质的，它们之间自然存在一定的关系。本节只讨论矩阵Q 与矩阵B 之间的关系。
以图1-7-1(即图1-6-1)所示有向图为例。式(1-7-1)与式(1-6-1)分别是以b 1、b 2、b 3为树支的矩阵B 和矩阵Q ，用Q 左乘B 的转置矩阵B T 可得
b b b b b b C C C T 123456
123100101010111001011QB =--??????
?
??
?1
23
1011110111000100011
23456
-----????????????????????b b b b b b
=????
??????=??????????-++-+--++-+-+-=000000000)1(11)1(01)1()1(11)1(1)1(01
)1(0 (1-8-1)
即有 =T QB 0 (1-8-2) 或
=T BQ 0
对任一有向图(例如图1-7-1)，根据基本割集与基本回路的定义可概括出下述规律：
(1) 就任一连支(例如b 6)所属的基本回路[l 3(b 6，b 1，b 2，b 3)]中的各树支(b 1, b 2, b 3)而言，其所属的各基本割集[(C 1(b 1, b 4, b 6)，C 2(b 2, b 4, b 5, b 6)，C 3(b 3, b 5, b 6)]中，必然均含有该连支(b 6)；就任一树支(例如b 1)所属的基本割集[C 1(b 1, b 4, b 6)]中的各连支(b 4, b 6)而言，其所属的各基本回路[l 1(b 4, b 1, b 2)，l 3(b 6, b 1, b 2, b 3)]中，必然均含有该树支(b 1)。
(2) 若任一树支(例如b 1)所属基本割集[C 1(b 1, b 4, b 6)]中的某连支(例如b 6)的参考方向与该基本割集(C 1)的参考方向一致，则在此连支(b 6)所属的基本回路[l 3(b 6, b 1, b 2, b 3)]中，该树支(b 1)的参考方向与该回路(l 3)的参考方向必定相反；反之，该树支的参考方向与所属基本割集某连支的基本回路参考方向必定相同。 例如b 3所属基本割集C 3(b 3、b 5、b 6)，某连支b 6的参考方向与该基本割集C 3的参考方向相反，则连支b 6所属的基本回路l 3(b 6, b 1, b 2, b 3)中，该树支b 3的参考方向与该回路l 3的参考方向相同。
由式(1-8-1)可以看出，只有当某一树支和某一连支(例如b 1和b 4)同时属于某一基本割集和某一基本回路(例如C 1和l 1)时，遵照上述两条规律，QB T 乘积矩阵的相应元素中才会出现(-1)+1[或1+(-1)]项，否则为0。故式(1-8-2)具有普遍意义。即对任一有向图，只要矩阵B 与矩阵Q 中各支路的排列次序相同，式(1-8-2)都是成立的。
将式(1-6-2)与式(1-7-2)代入式(1-8-2)，则有 ==][ ][][ ][l
T
n T
l n I E F I I E F I 0
或
=+F E T 0
由此可得 F E =-T (1-8-3) 或
E F =-T
当已知][l I E B =即已知E 时，可求得
][][T E I F I Q n n -==
当已知][F I Q n =，即已知F 时，可求得
][][l T l I F I E B -==
例如图1-6-1的矩阵Q 为
][110100111010101001 3216
5
4
3
2
1F I Q n C C C b b b b b b =??
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F E 故
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?????-----=100111010110001011 6
54321B b b b b b b 这就是图1-6-1的基本回路矩阵，其中第1、2、3行分别对应于连支b 4、b 5、b 6所属的基本回路。此矩阵与式(1-7-1)相同。 练习题
1-8-1 对题1-8-1图所示有向图，任选一种树，写出矩阵B 与Q ，并验证式(1-8-2)
题1-8-1图
§1-9 对偶图
对偶图的概念只适用于平面图。
设有一个连通的平面图G，具有n+1个节点、b条支路、l(=b–n)个网孔（见§1–4）。如果还有另一个连通的平面图G?满足下列条件，则称图G 与图G?互为对偶图（dual graph）：
(1) G的网孔（包括外网孔①，总共是l+1个）与G?的节点一一对应，G?的网孔（包括外网孔）也与G的节点一一对应；
(2) G的支路与G?的支路一一对应，而且G中任意两个网孔(包括外网孔)之间的公共支路对应于G?中两相应节点间的支路；反之亦然。
由此两条件可知，G的对偶图G?具有b条支路，l+1个节点、n+1个网孔(包括外网孔)。
下面以图1-9-1（a）所示图G为例，说明如何根据已知图G求其对偶图G?的方法(G?的节点和支路用符号“^”加冠表示)。
根据条件（1），在G的每一个网孔内作一个节点，表示G?中与该网孔对应的节点，与G的外网孔对应的节点4?设置在G的外网孔的外面，如图1-9-1（b）所示。
①在一个平面图中，由外围支路构成的回路称为外网孔(outer mesh)。
(a) 图G (b) 对偶图的作法
(c) G的对偶图G?
图1-9-1 对偶图的作法示例
根据条件（2），对于G中任意两相邻网孔的公共支路，用一条穿过该支路的虚线将此两网孔所对应的G?中的两节点联接起来，此虚线即为G?中对应于G的上述两网孔公共支路的一个支路，如图1-9-1（b）所示。
图1-9-1（b）中的节点、、、以及联接它们的虚线所构成的图就是图G的对偶图G?。为了清楚起见，把G?重画于图1-9-1（c）中。
由图1-9-1（a）、（c）可以看出：G中每一网孔(包括外网孔)所关联的支路与G?中对应节点所关联的支路是一一对应的。例如G中网孔1所关联的支路为a、b、c，G?中对应于节点所关联的支路a?、b?、c?；G中外网孔所关联的支路为a、b、d、f，G?中对应于节点所关联的支路a?、b?、d?、f?。换句话说，对偶图的网孔与节点一一对应，它们与支路的关联关系也是彼此对应的。
如果图G是一个有向图[见图1-9-2（a）]，也可作出它的对偶有向图G?。为此，可先按前述方法作出G的对偶无向图[见图1-9-2（b）]，再按下述规则确定G?中各支路的参考方向：把G的每一条支路看成一个矢量(不考虑其长短曲直，而只注视其参考方向)，将此矢量按顺时针方向旋转90°，即得G?中各对应支路的参考方向。图1-9-2（c）为有向图G的对偶有向图G?。
(a)有向图G (b) 对偶图的作法
(c) 对偶图G
?
（图（c）e?方向错误）
图1-9-2 求有向图的对偶图示例
一个平面图中各网孔与各支路的关联情况，可用一个网孔矩阵（mesh matrix）M来表述。M的定义与基本回路矩阵B的定义相似，其差别在于B的每一行对应于一个基本回路，而M的每一行对应于一个网孔。（网孔方向的取向？）例如图1-9-2(c)所示对偶有向图G?，当其各网孔按顺时针取向时的网孔矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
-
-
-
-
=
1
1
1
1
1
1
1
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1
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
M
f
e
d
c
b
a
(1-9-1)
（校：上式矩阵元素错误，应为M25=-1）
如果在有向图G中任选一个参考节点，并使其对应于对偶有向图G?的外网孔(G的参考节点所关联的支路与G?的外网孔所关联的支路一一对应)，则G的关联矩阵A等于当G?中各网孔按顺时针取向时的网孔矩阵M?。而G?的关联矩阵A?则等于G中各网孔按逆时针取向时的网孔矩阵M。
例如在图1-9-2(a)中，选择G的节点④为参考节点，与此节点相关联的支路a、b、e的对应支路a?、b?、e?[见图1-9-2(b)、(c)]构成对偶图G?的外网孔。为了保证G的参考节点所关联的支路与G?的外网孔所关联的支路一一对应，在作对偶图G?时，其节点
G的节点④(见
图1-9-2b )，以使G 的节点④在由虚线构成的图形之外[见图1-9-2(b)]。
图1-9-2(a)所示有向图G 的关联矩阵为
??
??
?
?????----=100110111000001101③②① A f
e
d
c
b
a
(1-9-2) （校：上式矩阵元素错误，应为A 25=-1）
显然，式(1-9-1)与式(1-9-2)中的两矩阵是相等的，即M
A ?=。 读者可自行验证，图1-9-2中G
?的关联矩阵A ?等于G 各网孔按逆时针取向时的网孔矩阵M 。
习 题
1-1 绘出题1-1图所示各电路的有向图，并求出支路数b ，节点数n t 和基本回路数l 。
(a) (b)
题 1-1 图
1-2 对题1-2图所示有向图，任意选出两棵不同的树，并对每棵树列出各基本割集的支路集和各基本回路的支路集。
1-3 绘出题1-3图所示网络的有向图，并写出其关联矩阵A (以节点⑤为参考节点)。
题1-2图 题1-3图
1-4 绘出对应于下列节点-支路关联矩阵A a 的有向图：
????
?
????
???-----=1110010001010100011
1)1(a A
????
????????????-------=10010001110000001110101001100000011
)2(a A
()3110000001011000000100010000110110000010101001100A a =--------????????????
???
?????
1-5 题1-5(a)、(b)图表示同一有向图的两棵不同的树，图中粗线为树支。试在该图上表示出各基本回路和基本割集，并写出基本回路矩阵B 和基本割集矩阵Q 。
（粗线不明显）
1-6 应用题1-5写出的矩阵B 和矩阵Q 验证公式QB T =0。
1-7 对于某一有向图中的一棵指定的树，其基本割集矩阵为
题 1-5 图
电路原理实验指导书(2019)
电路原理实验指导书(2019) 电路基础实验指导书 天津工业大学机电学院 2019. 1 目录 实验一电路元件伏安特性的测 绘 ........................................................................... ............................ 1 实验二叠加原理的验 证 ........................................................................... .............................................. 4 实验三戴维南定理有源二端网络 等效参数的测 定 (6) 实验四 R、L、C串联谐振电路的研 究 ........................................................................... ................. 10 实验五RC一阶电路的响应测 试 ........................................................................... . (13) 实验一电路元件伏安特性的测绘 一、实验目的 1. 学会识别常用电路元件的方法。 2. 掌握线性电阻、非线性电阻元件伏安特性的逐点测试法。 3. 掌握实验装置上直流电工仪表和设备的使用方法。二、原理说明 任何一个二端元件的特性可用该元件上的端电压U与通过该元件的电流I之间的函数 关系I＝f(U)来表示，即用I-U平面上的一条曲线来表征，这条曲线称为该元件的伏安特 性曲线。 1. 线性电阻器的伏安特性曲线是一条通过坐标原点的直线，如图1-1中a曲线所示，该直线的斜率等于该电阻器的电阻值。 2. 一般的白炽灯在工作时灯丝处于高温状态，其灯丝电阻随着温度的升高而增大， 通过白炽灯的电流越大，其温度越高，阻值也越大，一般灯泡的“冷电阻”与“热电阻” 的阻值可相差几倍至十几倍，所以它的伏安特性如图1-1中b曲线所示。
《电路原理》作业及答案
第一章“电路模型和电路定律”练习题 1-1说明题1-1图（a）、（b）中：（1）u、i的参考方向是否关联？（2）ui乘积表示什么功率？ （3）如果在图（a）中u>0、i<0；图（b）中u>0、i>0，元件实际发出还是吸收功率？ i u- + 元件 i u- + 元件 （a）（b） 题1-1图 1-4 在指定的电压u和电流i的参考方向下，写出题1-4图所示各元件的u和i的约束方程（即VCR）。 i u- + 10kΩi u- + 10Ωi u- + 10V - + （a）（b）（c） i u- + 5V + -i u- + 10mA i u- + 10mA （d）（e）（f） 题1-4图 1-5 试求题1-5图中各电路中电压源、电流源及电阻的功率（须说明是吸收还是发出）。
15V + - 5Ω 2A 15V +-5Ω 2A 15V + - 5Ω2A （a ） （b ） （c ） 题1-5图 1-16 电路如题1-16图所示，试求每个元件发出或吸收的功率。 0.5A 2U +- 2ΩU + - I 2Ω1 2V + - 2I 1 1Ω （a ） （b ） 题1-16图 A I 2
1-20 试求题1-20图所示电路中控制量u 1及电压u 。 ++2V - u 1 - +- u u 1 + - 题1-20图
第二章“电阻电路的等效变换”练习题 2-1电路如题2-1图所示，已知u S=100V，R1=2kΩ，R2=8kΩ。试求以下3种情况下的电压 u 2 和电流 i2、i3：（1）R3=8kΩ；（2）R3=∞（R3处开路）；（3）R3=0（R3处短路）。 u S + - R 2 R 3 R 1 i 2 i 3 u 2 + - 题2-1图
电路原理复习资料
《电路原理》复习资料 一、填空题 1、 图1-1所示电路中，I 1 = 4 A ，I 2 = -1 A 。 2、 图1-2所示电路， U 1 = 4 V ，U 2 = -10 V 。 3、 图1-3所示电路，开关闭合前电路处于稳态，()+0u = -4 V ， + 0d d t u C = -20000V/s 。 4、 图1-4（a ）所示电路，其端口的戴维南等效电路图1-4（b ）所示，其中u OC = 8 V ， R eq = 2 Ω。 5、图1所示电路中理想电流源的功率为 -60W 图1-1 6Ω 图 1-3 μF 1' 1Ω 图1-4 (a) (b) ' U 1图1-2
6、图2所示电路中电流I 为 －1.5A 。 7、图3所示电路中电流U 为 115V 。 二、单选题（每小题2分，共24分） 1、设电路元件的电压和电流分别为u 和i ，则( B ). （A ）i 的参考方向应与u 的参考方向一致 （B ）u 和i 的参考方向可独立地任意指定 （C ）乘积“u i ”一定是指元件吸收的功率 （D ）乘积“u i ”一定是指元件发出的功率 2、如图2.1所示，在指定的电压u 和电流i 的正方向下，电感电压u 和电流i 的约束方程为(A ). （A ）0.002di dt - （B ）0.002di dt （C ）0.02di dt - （D ）0.02di dt 图2.1 题2图 3、电路分析中所讨论的电路一般均指( A ). （A ）由理想电路元件构成的抽象电路 （B ）由实际电路元件构成的抽象电路 （C ）由理想电路元件构成的实际电路 （D ）由实际电路元件构成的实际电路 4、图2.2所示电路中100V 电压源提供的功率为100W ，则电压U 为( C ). （A ）40V （B ）60V （C ）20V （D ） -60V 图2.2 题4图 图2.3 题5图 5、图2.3所示电路中I 的表达式正确的是（ A ）. （A ）S U I I R =- （B ）S U I I R =+ （C ）U I R =- （D ）S U I I R =-- 6、下面说法正确的是（ A ）. （A ）叠加原理只适用于线性电路 （B ）叠加原理只适用于非线性电路 （C ）叠加原理适用于线性和非线性电路 （D ）欧姆定律适用于非线性电路 7、图2.4所示电路中电流比 A B I I 为（ B ）.
电路学习心得
电分学习心得 通过近一学期的电分学习，不仅使我掌握电路分析的基本原理，还从中感悟到许多的学习心得，下面我就谈一下这一学期学电分的心得体会。首先，对于电分的学习，获取知识是必然的，但是在此过程中，，我们的科学思维能力，分析计算能力，实验研究能力和科学归纳能力也有了很大的提高，为我们接下学习像模电等其他电路之类的学科奠定了坚实的基础。电分刚开始学的时候或许有些生疏，因此会感觉有点困难，但当我们掌握其中的一定理并理解透彻之后，就发现其实电分还是十分简单的，它具有很强的规律性，而且在分析和做题上都上都有比较明确的步骤指导，只要我们能按老师课上所讲的那样去做，基本上所有的题都可迎刃而解。电分方法也固定唯一的，一个题并不一定只有一种分析方法，有时这种方法不会，我们可以采取其他方法。这样大大降低我们解题的难度。 然后就是关于我我们所学具体内容的问题，第一到第四章，主要讲了电路分析的基本方法，以及电路等效原理等，而后面的知识主要是建立在这四章的内容上的，可以说，学好前面这四章的内容是我们学习电路基础的关键所在。在这些基础的内容中又有很多是很容易被忽略的。所以，在学习过程中，我们认真对待这一部分内容，争取学的细致，学的透彻，避免存在知识上的漏洞或盲区。第七、八章，主要介绍了电容和电感两种电器元件及其一点动态电路的分析方法，包括零输入、零状态及完全响应，含有电容和电感的动态电路第一次接触感觉用微分方程去解挺复杂，但当我掌握三要素法就会发现，一切问题都变的那么简单，所以一阶动态电路对于我们来说都是小菜一碟了。还有十章以后内容，主要是和正弦电路有关的了，当我们采用相量分析方法的时候就避免了微分方程带给我们的种种不便，以前直流电路中所适用的定律完全拿过来直接用，只不过是在这里是变成了相量形式。但是有一点是特别重要的，就是在复数运算过程中一定保证正确性，否则，因为计算而导致最后结果出错那可真就是前功尽弃了。所以，对于复数计算有问题的同学在这方便可要多多注意咯。再谈一下对于老师讲课的一些感想：钟建老师的讲课方法我十分喜欢，讲课思路十分清晰，而且效率也特别高，虽然有些内容要求我们自学，但那些都是相对比较简单的，对于特别重要的知识点，钟建老师总是讲的特别透彻，再加上课上一些习题的训练，一堂课下来，基本上所有的知识点都可理解。我现在对电分知识的掌握，钟建老师是功不可没的。 最后关于课余时间电分学习的一些感想：学习电路，光上课听老师讲课那还不够的，大学的学习都是自主学习，没有老师的强迫，所以必须自己主动去学习，首先每次上完课后的练习，我觉得很有必要，因为每次上完课时都感觉听的很懂，看看书呢，也貌似都能理解，可是一到做题目就愣住了，要么是公式没有记住，要么是知识点不知道如何筛选，所以练习很重要，第二点，应该要反复回顾已经学过的内容，只有反复记忆的东西才能更深入，不然曾经学过的东西等到要用就全都忘记了，不懂得应该多问老师，不要得问题积累的解决不了才想到去问老师，那时候成效也就不见的有多大了。
电路原理练习题二及答案
精选考试题类文档，希望能帮助到您! 一、选择题 1、设电路元件的电压和电流分别为u 和i ，则( ). （A ）i 的参考方向应与u 的参考方向一致 （B ）u 和i 的参考方向可独立地任意指定 （C ）乘积“u i ”一定是指元件吸收的功率 （D ）乘积“u i ”一定是指元件发出的功率 2、如图1.1所示，在指定的电压u 和电流i 的正方向下，电感电压u 和电流i 的约束方程为( ). （A ）dt di 002 .0- （B ）dt di 002.0 （C ）dt di 02.0- （D ）dt di 02.0 图1.1 题2图 3、电路分析中所讨论的电路一般均指( ). （A ）由理想电路元件构成的抽象电路 （B ）由实际电路元件构成的抽象电路 （C ）由理想电路元件构成的实际电路 （D ）由实际电路元件构成的实际电路 4、图1.2所示电路中100V 电压源提供的功率为100W ，则电压U 为( ). （A ）40V （B ）60V （C ）20V （D ）-60V
图1.2 题4 图 图1.3 题5图 5、图1.3所示电路中I 的表达式正确的是（ ）. （A ）R U I I S - = （B ）R U I I S += （C ）R U I -= （D ）R U I I S --= 6、下面说法正确的是（ ）. （A ）叠加原理只适用于线性电路 （B ）叠加原理只适用于非线性电路 （C ）叠加原理适用于线性和非线性电路 （D ）欧姆定律适用于非线性电路 7、图1.4所示电路中电流比B A I I 为（ ）. （A ） B A R R （B ）A B R R （ C ）B A R R - （ D ）A B R R - 图1.4 题7图 8、与理想电流源串联的支路中电阻R （ ）. （A ）对该支路电流有影响 （B ）对该支路电压没有影响 （C ）对该支路电流没有影响 （D ）对该支路电流及电压均有影响 9、图1.5所示电路中N 为有源线性电阻网络，其ab 端口开路电压为30V ，当把安培表接在ab 端口时，测得电流为3A ，则若把10Ω的电阻接在ab 端口时，ab 端电压为：（ ）. （A ）–15V （B ）30V （C ）–30V （D ）15V N I a b 图1.5 题9图 10、一阶电路的全响应等于( ). （A ）稳态分量加零输入响应 （B ）稳态分量加瞬态分量 （C ）稳态分量加零状态响应 （D ）瞬态分量加零输入响应 11、动态电路换路时，如果在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间有：（ ）. （A ）()()+-=00C C i i （B ）()()+-=00L L u u
电路原理期末复习提纲
第一部分直流电阻电路一、电压电流的参考方向、功率 U 图1 关联参考方向图2 非关联参考方向 在电压、电流采用关联参考方向下，二端元件或二端网络吸收的功率为P=UI； 在电流、电压采用非关联参考方向时，二端元件或二端网络吸收的功率为P=-UI。 例1计算图3中各元件的功率，并指出该元件是提供能量还是消耗能量。 u u= -u=10 (a) 图3 解：(a)图中，电压、电流为关联参考方向，故元件A吸收的功率为 p=ui=10×(-1)= -10W<0 A发出功率10W，提供能量 (b)图中，电压、电流为关联参考方向，故元件B吸收的功率为 p=ui=(-10)×(-1)=10W >0 B吸收功率10W，消耗能量 (c)图中，电压、电流为非关联参考方向，故元件C吸收的功率为 p=-ui= -10×2= -20W <0 C发出功率20W，提供能量 例2 试求下图电路中电压源、电流源及电阻的功率（须说明是吸收还是发出）。 其它例子参考教材第一章作业1-5，1-7，1-8 二、KCL、KVL KCL：对电路中任一节点，在任一瞬时，流入或者流出该节点的所有支路电流的代数和恒为零，即Σi =0； KVL：对电路中的任一回路，在任一瞬时，沿着任一方向(顺时针或逆时针)绕行一周，该回路中所有支路电压的代数和恒为零。即Σu=0。 例3如图4中，已知U1=3V，U2=4V，U3=5V，试求U4及U5。 解：对网孔1，设回路绕行方向为顺时针，有 -U1+U2-U5=0 得U5=U2-U1=4-3=1V 对网孔2，设回路绕行方向为顺时针，有 U5+U3-U4=0 得U4=U5+U3=1+5=6V 三、理想电路元件 理想电压源，理想电流源，电阻元件，电容元件，电感元件，线性受控源 掌握这些基本元件的VCR 关系，对储能元件，会计算储能元件的能量。 图4
2019年电路原理知识点总结
2019年电路原理知识点总结 通过对知识与方法的归纳总结，使知识整体化、有序化、条理化、系统化、结构化、网络化、形象化。使之便于理解，便于记忆，便于应用。下面就是整理的电路原理知识点总结，一起来看一下吧。 1.定义：把电源、用电器、开关、导线连接起来组成的电流的路径，电路知识点总结。 2.各部分元件的作用：(1)电源：提供电能的装置;(2)用电器：工作的设备;(3)开关：控制用电器或用来接通或断开电路;(4)导线：连接作用，形成让电荷移动的通路 二、电路的状态：通路、开路、短路 1.定义：(1)通路：处处接通的电路;(2)开路：断开的电路;(3)短路：将导线直接连接在用电器或电源两端的电路。 2.正确理解通路、开路和短路 三、电路的基本连接方式：串联电路、并联电路 四、电路图(统一符号、横平竖直、简洁美观)
五、电工材料：导体、绝缘体 1.导体 (1)定义：容易导电的物体;(2)导体导电的原因：导体中有自由移动的电荷; 2.绝缘体 (1)定义：不容易导电的物体;(2)原因：缺少自由移动的电荷 六、电流的形成 1.电流是电荷定向移动形成的; 2.形成电流的电荷有：正电荷、负电荷。酸碱盐的水溶液中是正负离子，金属导体中是自由电子。 七.电流的方向 1.规定：正电荷定向移动的方向为电流的方向;
2.电流的方向跟负电荷定向移动的方向相反; 3.在电源外部，电流的方向是从电源的正极流向负极。 八、电流的效应：热效应、化学效应、磁效应 九、电流的大小：i=q/t 十、电流的测量 1.单位及其换算：主单位安(a)，常用单位毫安(ma)、微安(μ a) 2.测量工具及其使用方法：(1)电流表;(2)量程;(3)读数方法(4)电流表的使 用规则，工作总结《电路知识点总结》。 十一、电流的规律： (1)串联电路：i=i1+i2;
《电路原理》作业
第一讲作业 （电路和电路模型，电流和电压的参考方向，电功率和能量） 1. 如图1所示：U ＝ V ，U 1＝ V 。 2. 图1—4所示的电路中，已知电压 1245U U U V ===，求 3 U 和 CA U 3. 图示一个3A 的理想电流源与不同的外电路相接，求3A 电流源三种情况 第二讲作业 （电路元件，电阻元件，电压源和电流源 ） I 。 2. 求图示各电路的电压U 。
3. 图示各电路，求： (1) 图(a)中电流源S I 产生功率S P 。 (2) 图(b)中电流源S U 产生功率S P 第三讲作业 （受控电源，电路基本定律（VAR 、 K CL 、K VL ）） 1. 图示某电路的部分电路，各已知的电流及元件值已标出在图中，求I 、s U 、R 。 2. 图示电路中的电流I = ( )。 3. 图示含受控源电路，求： (1) 图(a)中电压u 。 (2) 图(b)中2Ω电阻上消耗的功率R P 。
第四讲作业 （电路的等效变换，电阻的串联和并联，电阻的Y形联结和△形连结的等效变换） 1.图示电路中的acb支路用图支路替代，而不会影响电路其他部分 的电流和电压。 2.电路如图，电阻单位为Ω，则R ab=_________。
3. 求图示各电路中的电流I 。 第五讲作业 （电压源和电流源的串联和并联，实际电源的两种模型及其等效变换，输入电阻） 1. 求图示电路中的电流I 和电压U ab 。 2. 用等效变换求图示电路中的电流I 。 .
3. 求图示各电路ab 端的等效电阻ab R 。 第三章作业 3-1、某电路有n 结点，b 支路，其树枝数为 ，连枝数为 ，基本回路数为 ；独立的KCL 方程有 个，独立的KVL 方程有 个，独立的KCL 和KVL 方程数为 。 3-2、电路的图如图，以2、3、4为树枝，请写出其基本回路组。 3-3、电路如图，用支路电流法列方程。 3-4、电路见图，用网孔分析法求I 。
电路原理交流实验箱实验指导书
一、概述 交流电路实验箱是根据“电工基础”“电路原理”“电路分析”等课程所开发设计的强电类典型实验项目而设计的。版面设有Y型和△型变化法的三相灯组负载，日光灯实验组件，单相铁心变压器，电流互感器，R L C元件组，三相四线输入接线端子，三相电流插座，三相双掷开关及各种带绝缘护套的连接插头线，数字交流电压表、数字交流电流表、智能型多功能数字功率、功率因数表等。设计合理紧凑，操作方便。 二、技术性能指标 1、工作电源：三相四线AC380V±10％50Hz ＜180V A 2、使用环境条件：温度-10℃-40℃ 湿度＜80％ 3、实验箱外型尺寸：520mm×390mm×180mm 4、数字交流电压表： 三位半LED数码管显示，测量范围AC0～450V，精度0.5级。 5、数字交流电流表： 三位半LED数码管显示，测量范围AC0～2A，精度0.5级。 6、智能数字功率、功率因数表： 可测试：视在功率、有功功率、无功功率、电流、电压、频率、功率因数，精度0.5级。 6.1产品的主要性能特点： 本仪表可应用于交流功率或直流功率的测量与控制。 6.2、五位LED数码管显示，前四位显示测量参数，从0.01～99.99W到1～9999KW，六档量程自动转换，最小分辨力为0.01W（10mW），末位数码管显示测量参数的单号符号。 6.3、视在功率、有功功率、无功功率、电流、电压、频率、功率因数等参数通过按钮可轮换显示。 6.4、仪表具有上、下限报警控制功能，内置继电器及蜂鸣器；用户可根据需要自行选择设置视在功率、电流、电压报警。
三、操作方法及说明 1、将该仪器三相电源插头插入三相电源插座。插入前，要先检查电源应是三相四线380V。接入后面板上三相电源接线端子带电，方可引出使用。使用时要从保险管右边“U、V、W、N”引出。 2、打开仪表部分船形开关，仪表带电工作，方可使用，电压、电流表使用时正确接入即可；功率、功率因数使用说明如下。 仪表的面板上设有5个LED指示灯、3个设定控制按狃（分别为K4、K1、K2、K3）、1个蜂鸣器自锁开关K4。 High 指示灯亮：表示上限报警控制信号输出状态。 Low 指示灯亮：表示下限报警控制信号输出状态。 有功指示灯亮：表示仪表显示读数以KW（千瓦）为单位。 无功指示灯亮：表示仪表显示读数为无功功率。 K1键为在设定状态下为功能设定键及确认键。 K2键在设定状态下为左右移位键（←→）；在测量状态为视在功率、有功功率、无功功率显示功能选择键。 K3在设定状态下为数字设定键和功能转换键（↑↓）；在测量状态下为功率、电压、电流、频率、功率因数显示功能选择键。 显示部分： 末位数码管为被测参数符号指示管，“P”表示功率，“H”表示频率，“C”表示功率因数，“A”表示电流，“V”表示电压。 1、在功率测量状态下，如果功率值超过9999W，仪表的●KW指示灯亮，此时仪表显示读数以KW（千瓦）为单位。
2020上“电路原理”作业(四大题共16小题)
一、简答题（8 小题） 1、在进行电路分析时，为何要指定电压或电流的参考方向何谓关联参考方向何谓非关联参考方向在图1-1中，电压和电流的参考方向为关联参考方向还是非关联参考方向在这种参考方向体系下，ui 乘积表示吸收还是发出功率如果u >0、i <0，则元件实际发出还是吸收功率 i u -+ 元件 图1-1 、 2、分别说明图1-2、1-3所示的电路模型是理想电压源还是理想电流源分别简述理想电压源和理想电流源的特点，并分别写出理想电压源和理想电流源的VCR （即u 和i 的约束方程）。 i u -+ 10V - + i u - + 10mA 图1-2 图1-3 3、何谓RLC 并联电路的谐振在发生谐振时，其阻抗、电流、无功功率各有何特点并写出其品质因数Q 的表达式。 》 答:1、端口上的电压与输入电流同相时的工作状态称为谐振，由于发生在并联电路中， 所以称为并联电路的谐振。 2、并联谐振电路总阻抗最大，因而电路总电流变得最小，但对每一支路而言，其电流都可能比总电流大得多，因此电流谐振又称电流谐振。并联谐振不会产生危及设备安全的谐振过电压，但每一支路会产生过电流。
3、并联电阻除以谐振时的感抗(或容抗)等于品质因数Q。 4、何谓RLC串联电路的谐振在发生谐振时，其阻抗、电压、无功功率各有何特点并写出其品质因数Q的表达式。 答:1、由于串联电路中的感抗和容抗有相互抵消作用，这时端口上的电压与电流相同，工程上将电路的这种工作状态称为谐振，由于是在RLC串联电路中发生的，故称为串联谐振。 2、串联谐振：电路呈纯电阻性，端电压和总电流相同，此时阻抗最小，电流电大，在电感和电容上可能产生比电源电压大很多倍的高电压，国此串联谐振也称不电压谐振。 3、谐振时的感抗(或容抗)除以串联电阻等于品质因数Q。 ） 5、什么是三相对称负载图1-4中三相电源 a U 、 b U 、 c U 对称， L C X X R= =，则是否构 成三相对称电路为什么并说明其线电流 a I 、 b I 、 c I 是否对称。 I b I a I c U b U c + + + － － － a b c L C a R 图1-4 6、什么是三相对称负载图1-5中三相电源 a U 、 b U 、 c U 对称，则是否构成三相对称电路为 什么并说明其线电流 a I 、 b I 、 c I 是否对称。 [ b I a I c I b U c U + + + － － － a b c Z Z a U Z 图1-5
华南理工大学网络教育学院期末考试电路原理模拟试题(和答案)
华南理工大学网络教育学院期末考试 《电路原理》模 拟 试 题 注意事项： 1.本试卷共四大题，满分100分，考试时间120分钟，闭卷； 2.考前请将密封线各项信息填写清楚； 3.所有答案请直接做在试卷上，做在草稿纸上无效； 4.考试结束，试卷、草稿纸一并交回。 一、单项选择题（每小题2分，共70分） 1、电路和及其对应的欧姆定律表达式分别如图1-1、图1- 2、图1-3所示，其中表达式正确的是（ b ）。 （a ）图1-1 （b ）图1-2 （c ）图1-3 图 1图 2 图 3图1-1 图1-2 图1-3 2、在图1-4所示电路中，已知U ＝4V ，电流I =－2A ，则电阻值R 为（ b ）。 （a ）-2Ω （b ）2Ω （c ）-8Ω 3、在图1-5所示电路中， U S ，I S 均为正值，其工作状态是（ b ）。 （a ）电压源发出功率 （b ）电流源发出功率 （c ）电压源和电流源都不发出功率 4、图1-6所示电路中的等效电阻R AB 为（ b ）。 （a ）4Ω （b ）5Ω （c ）6Ω R U I S 图1-6 5、在计算非线性电阻电路的电压和电流时，叠加定理（ a ）。 （a ）不可以用 （b ）可以用 （c ）有条件地使用 6、理想运放工作于线性区时，以下描述正确的是（ c ）。 （a ）只具有虚短路性质 （b ）只具有虚断路性质 （c ）同时具有虚短路和虚断路性质 7、用△–Y 等效变换法，求图1-7中A 、B 端的等效电阻R AB 为（ b ）。 （a ）6Ω （b ）7Ω （c ）9Ω 8、图1-8所示电路中，每个电阻R 均为8Ω，则等效电阻R AB 为（ a ）。 （a ）3Ω （b ）4Ω （c ）6Ω
电路原理实验 实验4-7.
实验4-7 电阻,电感,电容元件阻抗特性的测定 一、实验目的 1. 熟悉交流阻抗的测量方法,验证电阻,感抗,容抗与频率之间的关系,测定R ~ f（电阻-频率），X L ~ f（感抗-频率）和X C ~ f（容抗-频率）特性曲线及电路元件参数对响应的影响。 2.加深理解R，L，C元件端电压与电流的相位关系，学会测量阻抗角的方法。 二、电路图（按照个人数据表填写下图的元件值） 图4-7-1 RLC阻抗频率特性的仿真电路 图4-7-2 R阻抗频率特性的实测电路
三、仿真测量R 、L 、C 元件阻抗频率特性 1. 按照个人数据表填写下表左边的元件值，取样电阻为r=100Ω，测量时用万用表（毫伏表），将测量的U R 、U L 、U C 有效值填入表4-7-1。 2. 计算公式 3R i r 1051U U I -?-= 电阻测量电路中有：R r I I = R R I U R =∴ 32L 2i r 1051 U U I -?-= 电感测量电路中有：L r I I = L L L I U X =∴ 32 C 2i r 1051 U U I -?-= 电容测量电路中有：C r I I = C C C I U X =∴ 3. 从表4-7-1中任选1个频点，将电阻、电容和电感的仿真图分别插入到报告中指定位置。 图4-7-3 频点为5kHz 时电阻上U R 的电压 图4-7-4 频点为5kHz 时电感上U L 的电压
表4-7-1 R、L、C元件阻抗频率特性的测定输入电压U P-P=4V（有效值U i=2.83V） 4. 用Excels将仿真数据生成R、L、C阻抗频率特性图
电路原理课程题库(有详细答案)
《电路原理》课程题库 一、填空题 1、RLC串联电路发生谐振时，电路中的（电流）将达到其最大值。 2、正弦量的三要素分别是振幅、角频率和（初相位） 3、角频率ω与频率ｆ的关系式是ω=（2πｆ）。 4、电感元件是一种储能元件，可将输入的电能转化为（磁场）能量储存起来。 5、RLC串联谐振电路中，已知总电压U=10V，电流I=5A，容抗X C =3Ω，则感抗X L =（3Ω），电阻R=（2Ω）。 6、在线性电路中，元件的（功率）不能用迭加原理计算。 7、表示正弦量的复数称（相量）。 8、电路中a、b两点的电位分别为V a=-2V、V b=5V，则a、b两点间的电压U ab=（-7V），其电压方向为（a指向b）。 ) 9、对只有两个节点的电路求解，用（节点电压法）最为简便。 10、RLC串联电路发生谐振的条件是：（感抗=容抗）。 11、（受控源）是用来反映电路中某处的电压或电流能控制另一处电压或电流的现象。 12、某段磁路的（磁场强度）和磁路长度的乘积称为该段磁路的磁压。 13、正弦交流电的表示方法通常有解析法、曲线法、矢量法和（符号）法四种。 14、一段导线电阻为R，如果将它从中间对折，并为一段新的导线，则新电阻值为（R/4）Ω。
15、由运算放大器组成的积分器电路，在性能上象是（低通滤波器）。 16、集成运算放大器属于（模拟)集成电路，其实质是一个高增益的多级直流放大器。 17、为了提高电源的利用率，感性负载电路中应并联适当的（无功)补偿设备，以提高功率因数。 18、RLC串联电路发生谐振时，若电容两端电压为100V，电阻两端电压为10V，则电感两端电压为（100V)，品质因数Q为（10)。 ' 19、部分电路欧姆定律的表达式是（I=U/R)。 20、高压系统发生短路后，可以认为短路电流的相位比电压（滞 后)90°。 21、电路通常有(通路)、(断路)和(短路)三种状态。 22、运算放大器的(输入失调)电压和(输入失调)电流随(温度)改变而发生的漂移叫温度漂移。 23、对称三相交流电路的总功率等于单相功率的(3)倍。 24、当电源内阻为R0时，负载R1获得最大输出功率的条件是(R1=R0)。 25、场效应管是电压控制器件，其输入阻抗(很高)。 26、在电感电阻串联的交流电路中电压(超前)电流一个角。 27、正弦交流电的“三要素”分别为最大值、频率和(初相位)。 28、有三个电容器的电容量分别是C1、C2和C3，已知C1> C2> C3，将它们并联在适当的电源上，则它们所带电荷量的大小关系是(Q1>Q2>Q)。 ;
电路原理期末考试题27720
电路原理—2 一、单项选择题（每小题2分，共40分）从每小题的四个备选答案中，选出 一个正确答案，并将正确答案的号码填入题干的括号内。 1.图示电路中电流 s i等于（） 1) 1.5 A 2) -1.5A 3) 3A 4) -3A 2.图示电路中电流I等于（） 1)2A 2)-2A 3)3A 4)-3A 3.图示直流稳态电路中电压U等于（） 1)12V 2)-12V 3)10V S i Ω 2 A i1 = 16 Ω 6Ω 2 Ω 2 V 12 Ω 3 Ω 2
4) -10V 4. 图示电路中电压U 等于（ ） 1) 2V 2) -2V 3) 6V 4) -6V 5. 图示电路中5V 电压源发出的功率P 等于（ ） 1) 15W 2) -15W 3) 30W 4) -30W 6. 图示电路中负载电阻L R 获得的最大功率为（ ） 1) 2W 2) 4W 3) 8W 4) 16W V 6A 3+- V 55.0 2L
7. 图示单口网络的输入电阻等于（ ） 1) 3Ω 2) 4Ω 3) 6Ω 4) 12Ω 8. 图示单口网络的等效电阻ab R 等于（ ） 1) 2Ω 2) 3Ω 3) 4Ω 4) 6Ω 9. 图示电路中开关闭合后电容的稳态电压()∞c u 等于（ ） 1) -2V 2) 2V 3) -5V 4) 8V S 2.0 S a b Ω 3Ω :a b
10. 图示电路的开关闭合后的时间常数等于（ ） 1) 0.5s 2) 1s 3) 2s 4) 4s 11. 图示电路在开关闭合后电流()t i 等于（ ） 1) 3t e 5.0- A 2) 3(t e 31--) A 3) 3(t e 21--) A 4) 3(t e 5.01--) A 12. 图示正弦电流电路中电流()t i 等于（ ） 1) 2)1.532cos( +t A 2) 2)1.532cos( -t A 3) 2)9.362cos( +t A 4) 2)9.362cos( -t A 13. 图示正弦电流电路中电流()t i R 的有效值等于（ U V t t u S )2cos(10)( =L i ?H 2H 26
电路实验总结
电路实验总结 总结的对象是什么?总结的对象是过去做过的工作或完成的某项任务，进行总结时，要通过调查研究，努力掌握全面情况和了解整个工作过程，只有这样，才能进行全面总结，避免以偏概全。 电路实验总结一：一个长学期的电路原理，让我学到了很多东西，从最开始的什么都不懂，到现在的略懂一二。 在学习知识上面，开始的时候完全是老师讲什么就做什么，感觉速度还是比较快的，跟理论也没什么差距。但是后来就觉得越来越麻烦了。从最开始的误差分析，实验报告写了很多，但是真正掌握的确不多，到最后的回转器，负阻，感觉都是理论没有很好的跟上实践，很多情况下是在实验出现象以后在去想理论。在实验这门课中给我最大的感受就是，一定要先弄清楚原理，在做实验，这样又快又好。 在养成习惯方面，最开始的时候我做实验都是没有什么条理，想到哪里就做到哪里。比如说测量三相电，有很多种情况，有中线，无中线，三角形接线法还是Y形接线法，在这个实验中，如果选择恰当的顺序就可以减少很多接线，做实验应该要有良好的习惯，应该在做实验之前想好这个实验要求什么，有几个步骤，应该怎么安排才最合理，其实这也映射到做事情，不管做什么事情，应该都要想想目的和过程，
这样才能高效的完成。电原实验开始的几周上课时间不是很固定，实验报告也累计了很多，第一次感觉有那么多实验报告要写，在交实验报告的前一天很多同学都通宵了的，这说明我们都没有合理的安排好自己的时间，我应该从这件事情中吸取教训，合理安排自己的时间，完成应该完成的学习任务。这学期做的一些实验都需要严谨的态度。在负阻的实验中，我和同组的同学连了两三次才把负阻链接好，又浪费时间，又没有效果，在这个实验中，有很多线，很容易插错，所以要特别仔细。 在最后的综合实验中，我更是受益匪浅。完整的做出了一个红外测量角度的仪器，虽然不是特别准确。我和我组员分工合作，各自完成自己的模块。我负责的是单片机，和数码显示电路。这两块都是比较简单的，但是数码显示特别需要细致，由于我自己是一个粗心的人，所以数码管我检查了很多遍，做了很多无用功。 总结：电路原理实验最后给我留下的是：严谨的学习态度。做什么事情都要认真，争取一次性做好，人生没有太多时间去浪费。 电路实验总结二：电路实验，作为一门实实在在的实验学科，是电路知识的基础和依据。它可以帮助我们进一步理解巩固电路学的知识，激发我们对电路的学习兴趣。在
2019上“电路原理”作业(四大题共16小题)
一、简答题（8小题） 1、在进行电路分析时，为何要指定电压或电流的参考方向？何谓关联参考方向？何谓非关联参考方向？在图1-1中，电压和电流的参考方向为关联参考方向还是非关联参考方向？在这种参考方向体系下，ui乘积表示吸收还是发出功率？如果u>0、i<0，则元件实际发出还是吸收功率？ 图1-1 答： 1、一旦决定了电流参考方向，每个元件上的电压降方向就确定了，不可随意设置，否则在逻辑上就是错误的，所以先要指定电厂、电流的方向。 2、所谓关联参考方向是指流过元件的电流参考方向是从元件的高电位端指向低电位端，即是关联参考方向，否则是非关联参考方向。 3、非关联——同一元件上的电压、电流的参考方向相反，称为非关联参考方向。 4、发出功率——非关联方向，调换电流i的参考方向之后，乘积p = ui < 0，表示元件发出功率。 5、吸收功率——非关联方向下，调换电流i的参考方向之后，u > 0，i > 0，功率p为正值下，元件实际吸收功率； 2、分别说明图1-2、1-3所示的电路模型是理想电压源还是理想电流源？分别简述理想电压源和理想电流源的特点，并分别写出理想电压源和理想电流源的VCR（即u和i的约束方程）。 图1-2 图1-3 答： 1、图1-2是理想电压源；1-3所示的电路模型是理想电流源 2、理想电压源电源内阻为0；理想电流源内阻无穷大 3、图1-2中理想电压源与外部电路无关，故u = 10V 图1-3中理想电流源与外部电路无关，故i=-10×10-3A=-10-2A 3、何谓RLC并联电路的谐振？在发生谐振时，其阻抗、电流、无功功率各有何特点？并写出其品质因数Q的表达式。 答： 1、端口上的电压与输入电流同相时的工作状态称为谐振，由于发生在并联电路中，所以称 为并联电路的谐振。 2、并联谐振电路总阻抗最大，因而电路总电流变得最小，但对每一支路而言，其电流都可 能比总电流大得多，因此电流谐振又称电流谐振。并联谐振不会产生危及设备安全的谐振过电压，但每一支路会产生过电流。
电路原理知识总结
电路原理总结 第一章基本元件和定律 1.电流的参考方向可以任意指定，分析时：若参考方向与实际方向一致，则i>0，反之i<0。 电压的参考方向也可以任意指定，分析时：若参考方向与实际方向一致，则u>0反之u<0。 2．功率平衡 一个实际的电路中，电源发出的功率总是等于负载消耗的功率。 3．全电路欧姆定律：U=E-RI 4．负载大小的意义： 电路的电流越大，负载越大。 电路的电阻越大，负载越小。 5．电路的断路与短路 电路的断路处：I＝0，U≠0 电路的短路处：U＝0，I≠0 二．基尔霍夫定律 1．几个概念： 支路：是电路的一个分支。 结点：三条（或三条以上）支路的联接点称为结点。 回路：由支路构成的闭合路径称为回路。网孔：电路中无其他支路穿过的回路称为网孔。 2．基尔霍夫电流定律： （1）定义：任一时刻，流入一个结点的电流的代数和为零。 或者说：流入的电流等于流出的电流。（2）表达式：i进总和=0 或：i进=i出 （3）可以推广到一个闭合面。 3．基尔霍夫电压定律 （1）定义：经过任何一个闭合的路径，电压的升等于电压的降。 或者说：在一个闭合的回路中，电压的代数和为零。 或者说：在一个闭合的回路中，电阻上的电压降之和等于电源的电动势之和。（2）表达式：1 或：2 或：3 （3）基尔霍夫电压定律可以推广到一个非闭合回路 三．电位的概念 （1）定义：某点的电位等于该点到电路参考点的电压。 （2）规定参考点的电位为零。称为接地。（3）电压用符号U表示,电位用符号V表示 （4）两点间的电压等于两点的电位的差。 （5）注意电源的简化画法。 四．理想电压源与理想电流源 1．理想电压源 （1）不论负载电阻的大小，不论输出电流的大小，理想电压源的输出电压不变。理想电压源的输出功率可达无穷大。 （2）理想电压源不允许短路。 2．理想电流源 （1）不论负载电阻的大小，不论输出电压的大小，理想电流源的输出电流不变。理想电流源的输出功率可达无穷大。 （2）理想电流源不允许开路。 3．理想电压源与理想电流源的串并联（1）理想电压源与理想电流源串联时，电路中的电流等于电流源的电流，电流源起作用。 （2）理想电压源与理想电流源并联时，电源两端的电压等于电压源的电压，电压源起作用。 4．理想电源与电阻的串并联 （1）理想电压源与电阻并联，可将电阻去掉（断开），不影响对其它电路的分析。（2）理想电流源与电阻串联，可将电阻去掉（短路），不影响对其它电路的分析。5．实际的电压源可由一个理想电压源和一个内电阻的串联来表示。 实际的电流源可由一个理想电流源和一个内电阻的并联来表示。
电路原理图设计及Hspice实验报告
电子科技大学成都学院 （微电子技术系） 实验报告书 课程名称：电路原理图设计及Hspice 学号： 姓名： 教师： 年06月15日 实验一基本电路图的Hspice仿真 实验时间：同组人员： 一、实验目的 1.学习用Cadence软件画电路图。 2.用Cadence软件导出所需的电路仿真网表。 3.对反相器电路进行仿真，研究该反相器电路的特点。 二、实验仪器设备 Hspice软件、Cadence软件、服务器、电脑 三、实验原理和内容 激励源：直流源、交流小信号源。 瞬态源：正弦、脉冲、指数、分线段性和单频调频源等几种形式。 分析类型：分析类型语句由定义电路分析类型的描述语句和一些控制语句组成，如直流分析（.OP）、交流小信号分析（.AC）、瞬态分析（.TRAN）等分析语句，以及初始状态设置（.IC）、选择项设置（.OPTIONS）等控制语句。这类语句以一个“.”开头，故也称为点语句。其位置可以在标题语句之间的任何地方，习惯上写在电路描述语句之后。 基本原理：(1)当UI=UIL=0V时，UGS1=0，因此V1管截止，而此时|UGS2|> |UTP|，所以V2导通，且导通内阻很低，所以UO=UOH≈UDD，即输出电平. (2)当UI=UIH=UDD时，UGS1=UDD>UTN，V1导通，而UGS2=0<|UTP|，因此V2截止。此时UO=UOL≈0，即输出为低电平。可见，CMOS反相器实现了逻辑非的功能. 四、实验步骤
1.打开Cadence软件，画出CMOS反相器电路图，导出反相器的HSPICE网表文件。 2.修改网表，仿真出图。 3.修改网表，做电路的瞬态仿真，观察输出变化，观察波形，并做说明。 4.对5个首尾连接的反相器组成的振荡器进行波形仿真。 5.分析仿真结果，得出结论。 五、实验数据 输入输出仿真： 网表： * lab2c - simple inverter .options list node post .model pch pmos .model nch nmos *.tran 200p 20n .dc vin 0 5 1m sweep data=w .print v(1) v(2) .param wp=10u wn=10u .data w wp wn 10u 10u 20u 10u 40u 10u 40u 5u .enddata vcc vcc 0 5 vin in 0 2.5 *pulse .2 4.8 2n 1n 1n 5n 20n cload out 0 .75p m1 vcc in out vcc pch l=1u w=wp m2 out in 0 0 nch l=1u w=wn .alter vcc vcc 0 3 .end 图像： 瞬态仿真： 网表： * lab2c - simple inverter .options list node post .model pch pmos .model nch nmos .tran 200p 20n .print tran v(1) v(2) vcc vcc 0 5 vin in 0 2.5 pulse .2 4.8 2n 1n 1n 5n 20n cload out 0 .75p m1 vcc in out vcc pch l=1u w=20u
电路原理复习题(含答案)
1.如图所示，若已知元件A 吸收功率6 W ，则电压U 为____3__V 。 2. 理想电压源电压由 本身 决定，电流的大小由 电压源以及外电路 决定。 3.电感两端的电压跟 成正比。 4. 电路如图所示，则R P 吸 = 10w 。 5.电流与电压为关联参考方向是指 电压与电流同向 。 实验室中的交流电压表和电流表，其读值是交流电的 有效值 6. 参考方向不同时，其表达式符号也不同，但实际方向 相同 。 7. 当选择不同的电位参考点时，电路中各点电位将 改变 ，但任意两点间 电压 不变 。 8. 下图中，u 和i 是 关联 参考方向，当P= - ui < 0时，其实际上是 发出 功率。 9.电动势是指外力（非静电力）克服电场力把 正电荷 从负极经电源内部移到 正极所作的功称为电源的电动势。 10.在电路中，元件或支路的u ，i 通常采用相同的参考方向，称之为 关联参考 方向 . 11.电压数值上等于电路中 电动势 的差值。 12. 电位具有相对性，其大小正负相对于 参考点 而言。 13.电阻均为9Ω的Δ形电阻网络，若等效为Y 形网络，各电阻的阻值应为 3 Ω。 14、实际电压源模型“20V 、1Ω”等效为电流源模型时，其电流源=S I 20 A ， 内阻=i R 1 Ω。 15.根据不同控制量与被控制量共有以下4种受控源：电压控制电压源、 电压控 电流源 、 电流控电压源 、 电流控电流源 。 16. 实际电路的几何 近似于其工作信号波长，这种电路称集总 参数电路。 17、对于一个具有n 个结点、b 条支路的电路，若运用支路电流法分析，则需列 出 b-n+1 个独立的KVL 方程。 18、电压源两端的电压与流过它的电流及外电路 无关 。 （填写有关/无关）。 19、流过电压源的电流与外电路 有关 。（填写有关/无关） 20、电压源中的电流的大小由 电压源本身和 外电路 共同 决定 21、在叠加的各分电路中，不作用的电压源用 短路 代替。 22、在叠加的各分电路中，不作用的电流源用 开路 代替。 23、已知电路如图所示，则结点a 的结点电压方程为（1/R1+1/R2+1/R3）