2010年中考数学一轮复习四边形

2010年中考数学一轮复习 四边形

知识梳理

知识点1.四边形与特殊四边形的关系 重点：掌握四边形与特殊四边形的关系 难点：理解关系，熟练掌握图形知识 （在箭头上填写适当条件）.

知识点2.平行四边形的性质、判定 重点：掌握平行四边形的性质、判定 难点：运用平行四边形的性质、判定 1.平行四边形的性质

2.平行四边形的判定：

例1. 如图，在□ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB ?的周长为15，

AB=6，那么对角线AC+BD=_______．

解题思路：运用平行四边形的对角线互相平分，AC+BD=2(AO+BO)=18 例2如图，在□ABCD 中， E 、F ?是对角线AC 上的两点，请你再添加一个条件，

使四边形DEBF 是平行四边形，你添加的

条件是 ,说明你的理由。

解题思路：运用平行四边形的判定（对角线互相平分）AE=CF 或AF=CE 练习

1.下面命题中，正确的是（ ）

A. 一组对角相等的四边形是平行四边形

B. 一组对角互补的四边形是平行四边形

C. 两组边分别相等的四边形是平行四边

D. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

2.平行四边形的一边的长为10,则这个平行四边形的两条对角线的长可以是( ) A.

B.

C.

D.

3.已知：如图，E 、F 是平行四边行ABCD 的对角线AC 上的两点，AE=CF 。求证： （1）△ADF ≌△CBE ； （2）EB ∥DF 。

答案：1.D 2.D 3. 证明：(1)∵AE=CF

∴AE+EF=CF+FE 即AF=CE 又ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，AD ∥BC ∴∠DAF=∠BCE 在△ADF 与△CBE 中

AF=CE AD=CB DAF= BCE ??

?

?∠∠?

∴△ADF ≌△CBE （SAS ） （2）∵△ADF ≌△CBE ∴∠DF A=∠BEC ∴DF ∥EB

知识点3.特殊四边形的性质、判定 重点：掌握特殊四边形的性质、判定 难点：运用特殊四边形的性质、判定 1.特殊四边形的性质

2.特殊四边形的判定：

例1．如图，已知以△ABC 的三边为边在BC 的同侧作 等边△ABD 、△BCE 、△ACF ，请回答下列问题： （1）四边形ADEF 是什么四边形？写出理由。

（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？

（3）当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在？

解题思路：解探索性问题，一般借助直观、直觉或经验先猜测结论，再结合条件加以说明，要注意抓住图形的特殊性，要得到特殊条件，就要构造特殊图形．

解：（1）四边形ADEF 是平行四边形；∵△ABD 、△BCE 为等边三角形， ∴AB = BD = AD ，BC = CE = EB ，∠ABD = ∠CBE = 60°. ∴∠DBE = ∠CBA .∴△EBD ≌△CBA . ∴DE = AC .又∵△ADC 为等边三角形， ∴CF = AF = AC . ∴DE = AF.. 同理可得AD = EF .

∴四边形ADEF 是平行四边形

（2）若四边形

ADEF 为菱形，AD ＝AF ，所以AB ＝AC ．所以当△ABC 满足AB ＝AC 时，四边形ADEF 是菱形； （3）由（1）得∠BAC ＝∠BDE ＝60°＋∠ADE ，当∠ADE ＝0°时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存时，此时，∠BAC ＝60°．所以当∠BAC ＝60°时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在．

例2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． (1)求证：CF AB ；

(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时， 四边形ABFC 是矩形，并说明理由．

F

E

D

C

B

A

解题思路：特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的判定一定要熟练不能混淆，根据题目的条件选择合适的判定方法。

解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CD AB CD AB =,//

∴FCE ABE CFE BAE ∠=∠∠=∠, ∵E 为BC 的中点 ∴EC EB = ∴FCE ABE ??? ∴CF AB =.

(2)解:当AF BC =时,四边形ABFC 是矩形.理由如下: ∵CF AB CF AB =,// ∴四边形ABFC 是平行四边形 ∵AF BC =

∴四边形ABFC 是矩形.

例3 . 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，

45B ∠=

，AD =

，BC =DC 的长．

解题思路：解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：

①“作高”：使两腰在两个直角三角形中． ②“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． ③“延腰”：构造具有公共角的两个三角形．

④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一 解析一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ，

DF BC ⊥于点F

∴AE DF ∥．

又AD BC ∥，

∴四边形AEFD 是矩形．

EF AD ∴==

AB AC ⊥ ，45B ∠=

，BC = AB AC ∴=．

1

2

AE EC BC ∴==

=

DF AE ∴==

CF EC EF =-=Rt DFC △中，90DFC ∠= ，

A

B

C

D

A B

C

D

F

E 图1

DC

∴==

解析2：如图2，过点D作DF AB

∥，分别交AC BC

，于点E F

，． ···············1分AB AC

⊥

，

90

AED BAC

∴∠=∠= ．

AD BC

∥，

18045

DAE B BAC

∴∠=-∠-∠=

．

在Rt ABC

△中，90

BAC

∠= ，45

B

∠=

，BC=

sin454

2

AC BC

∴===

在Rt ADE

△中，90

AED

∠= ，45

DAE

∠=

，AD=，

1

DE AE

∴==．

3

CE AC AE

∴=-=．

在Rt DEC

△中，90

CED

∠= ，

DC

∴=

练习

1.如图，四边形ABCD中，AB CD

∥，AC平分BAD

∠，

CE AD

∥交AB于E．

求证：四边形AECD是菱形；

2.如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝7，

BC＝12，求∠B的度数．

3.在梯形ABCD中，AB∥CD，0

90

A

∠=，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。

答案1. 解AB CD

∥，即AE CD

∥，又CE AD

∥，

∴四边形A E C D是平行四边形．AC

平分BAD

∠，CAE CAD

∴∠=∠，又A D C E

∥，ACE CAD

∴∠=∠，ACE CAE

∴∠=∠，AE CE

∴=，

A

B

C

D

F

E

图2

∴四边形AECD 是菱形．

2. 解：过点A 作AE ∥DC 交BC 于E ，∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 为平行四边形． ∴AD ＝EC ，AE ＝CD ．∵AB ＝CD ＝7，AD ＝5，BC ＝12， ∴BE ＝BC －CE ＝12－5＝7，AE ＝CD ＝AB ＝7． ∴?ABE 为等边三角形．故∠B ＝60°．

3. 解：EC EB ⊥

略证：过点C 作CF AB ⊥于F ，则四边形AFCD 是矩形，在Rt BCF

中，可算得CF =则

AD=CF =

DE=AE=1

2

AD =在Rt ABE 和Rt DCE 中，

222222222063

990EB AE AB EC DE CD EB EC BC CEB EB EC

=+==+=+==∴∠=∴⊥ 最新考题

本讲内容是中考重点之一，如特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的性质和判定，以及运用这些知识解决实际问题．中考中常以选择题、填空题、解答题和证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开放题、应用题、阅读理解题、学科间综合题、动点问题、折叠问题等，这都成了热点题型，应引起同学们高度关注

考查目标一、图形的性质与判定

例1（09年 南京）如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是下列图形中的

A.三角形

B.平行四边形

C.矩形

D.正方形

解题思路：运用梯形的中位线性质，熟悉平行四边形的特性.

例2（09年 南京）如图，在□ABCD 中，E 、F 为BC 上的两点，且BE=CF ，AF=DE.

求证：（1）△ABF ≌△DCE; (2)四边形ABCD 是矩形. 解题思路：运用全等、矩形的判定 解：（1）∵BE=CF,

BF=BE+EF,CE=CF+EF,

∴BF=CE. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC.

在△ABF 和△DCE 中， ∵

AB=DC,BF=CE,AF=DE,

F

E

D

C

B

A

Q

P

O

E

D

C

B

A

∴△ABF ≌△DCE.

(2)解法一：∵△ABF ≌△DCE ， ∴∠B=∠C,

∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥C D. ∴∠B+∠C=180° ∴∠B=∠C=90°

所以四边形ABCD 是矩形. 解法二：连接AC,DB. ∵△ABF ≌△DCE, ∴∠AFB=∠DEC, ∴∠AFC=∠DEB. 在△AFC 和△DEB 中，

∵AF=DE, ∠AFC=∠DEB,CF=BE. ∴△AFC ≌△DEB,

∴AC=DB. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形.

例3（09年 广东）在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，ＡＢ＝５，ＡＣ＝６.过Ｄ点作DE ∥AC 交ＢＣ的延长线于点Ｅ.

（１）求△BDE 的周长； （２）点Ｐ为线段BC 上的点，

连接PO 并延长交AD 于点Q.求证：BP=DQ.

解题思路：（1）∵四边形ABCD 是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=5，ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＢ＝ＯＤ，ＯＡ＝ＯＣ＝３

∴4OB =

=，ＢＤ＝２OB=8

∵ＡＤ∥ＣＥ，ＡＣ∥ＤＥ，∴四边形ＡＣＥＤ是平行四边形 ∴ＣＥ＝ＡＤ＝ＢＣ＝５，ＤＥ＝ＡＣ＝６

∴△ＢＤＥ的周长是：ＢＤ+ＢＣ+ＣＥ+ＤＥ＝８+１０+６＝２４. （２）证明：∵AD ∥BC ，∴∠OBP=∠ODQ ，∠OPD=∠OQD ∵OB=OD ，∴△BOP ≌△DOQ ，∴BP=DQ 。

考查目标二、开放性问题

例1.（09年 广东） 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O.以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形C OBB 1，对角线相交于点1A ；再以C A B A 111、为邻边作第2个平行四边形C C B A 111，对角线相交于点1O ；再以1111C O B O 、为

C 2

C 1A 2

B 2

B 1

O 1

O

A 1

D

C

B

A

A 邻边作第3个平行四边形1211C

B B O ……依此类推. （1）求矩形ABCD 的面积；

（2）求第1个平行四边形1OBB

C 、第2个平行四边

形111A B C C 和第6个平行四边形的面积。 解题思路

解（1）∵四边形ABCD 是矩形，AC=20，AB ＝12 ∴∠ABC ＝９０o，16BC =

=

∴ABCD AB BC 1216192S =?=?=矩形。

（２）∵ＯＢ ∥1B C ，ＯＣ ∥1BB ，∴四边形ＯＢ1B C 是平行四边形。 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＯＢ＝ＯＣ，∴四边形ＯＢ1B C 是菱形。

∴111111

OB BC A B BC 8OA OB 622

⊥=

====，， ∴11OB 2OA 12==，∴1OBB C 1S =1612962BC OB ?=??=1菱形1

2

同理：四边形A B C C １１１是矩形，∴848B C ??=１１１

1111矩形ＡＢＣＣ

Ｓ＝A B =6 ‥‥‥ 第ｎ个平行四边形的面积是：2S ｎｎ

192＝ ∴2

S =

66192

=12．

例2（08 江苏扬州）如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转n 后得到正方形AEFG ， 边EF 与CD 交于点O ．

(1)以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所 连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由； (2)若正方形的边长为2cm ，重叠部分（四边形AEOD 2cm ，求旋转的角度n ．

解题思路：

（1理由如下：

AO DE ⊥

证明： 在Rt ADO △与Rt AEO △中，AD AE AO AO ==，，

Rt Rt ADO AEO ∴△≌△，

DAO OAE ∴∠=∠（即AO 平分DAE ∠）

B

A

D

C

P

E AO DE ∴⊥（等腰三角形的三线合一）

注：其它的结论也成立如GD BE ⊥． （2）30

四边形AEOD

∴三角形ADO

的面积23AD DO ?=，

2AD DO ==

，，

，3030DAO EAB ∴∠=∴∠=

，

考查目标三、与函数综合

例 如图：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=6，在线段BC 上任取一点P ，连接DP ，作射线PE ⊥DP ，PE 与直线AB 交于点E.（1）试确定当CP=3时，点E 的位置；（2）若设CP=x ，BE=y ，试写出y 关于自变量x 的函数关系式.

解题思路

（1）连接DP ∵CP=3 ∴BP=BC —CP=12 —3=9 ∵AD=9 ∴AD=DP ∵AD ∥DP ∴四边形ABPD 是矩形 ∴ DP ⊥BP ∵PE ⊥DP ∴点E 与点B 重合

（2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，∴AD=BF=9 AB=DF=6 当点P 在BF 上：

∵∠BPE +∠EPD+∠DPF=180° PE ⊥DP ∴∠BPE +∠DPF=90° ∵DF ⊥BC ∴∠PDF+∠DPF=90° ∴∠PDF =∠EPB

∴∴△PEB ∽△DPF ∴

DF

BP

PF BE =∵CP=x BE=y ∴BP=12—x PF=PC —CF=x —3 ∴

6123x x y -=-（6分） ∴)3615(6

12

+--=x x y 当点P 在CF 上，同理可求得：)3615(6

12

+-=x x y

过关测试

一、选择题

1．如果要用正三角形和正方形两种图案进行密铺，那么至少需要（? ）

A ．三个正三角形，两个正方形

B ．两个正三角形，三个正方形

C ．两个正三角形，两个正方形

D ．三个正三角形，三个正方形

2．使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是（ ）

A ．正六边形地砖

B ．正五边形地砖

C ．正

方形地砖 D ．正三角形地砖 3．下面的选项中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A ．正六边形

B ．平行四边形

C ．正五边形

D ．等边三角形

4．已知梯形的上底与下底的比为2：5，且它的中位线长为14cm ，则这个梯形的上，下底的长分别为（ ） A ．4cm ，10cm B ．8cm ，20cm C ．2cm ，5cm D ．14cm ，28cm

5．如图4，如果平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么图中的全等三角形共有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对

（4） （5） 6．顺闪连接矩形各边中点所得的四边形是（ ）

A ．等腰梯形

B ．正方形

C ．菱形

D ．矩形

7．如图5，E 、F 、G 、H 分别是正方形ABCD 各边的中点，?要使中间阴影部分的小正方形的面积为5，则大正方形的边长应该是（ ）

A ．

B ．

C ．5

D 8.一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，则它的边数是（ ）

A 、5

B 、6

C 、7

D 、8

9.四个内角都相等的四边形是（ ）

A 、矩形

B 、菱形

C 、正方形

D 、平行四边形

10.符合下列条件的四边形不一定是菱形的是（ ） A 、四边都相等 B 、两组邻边分别相等

C 、对角线互相垂直平分

D 、两条对角线分别平分一组对角

11.已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ，BD ⊥CD ，则∠C ＝（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、75°

12.延长正方形ABCD 的一边BC 至E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，则∠AFC 的度数是（ ） A 、112.5° B 、120° C 、122.5° D 、135°

二、填空题

1．顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个_______四边形． 2．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是_________．

3．平行四边形的周长为28，两邻边的比为4：3，?则较短的一条边的长为_______．

A

D

F

E C B

4．如图1，已知：在ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD?于点E，交CD的延长线于点F，则DF=______cm．

（1）（2）（3）

5．如图2，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定方法是_______．

6．如图3，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，?PF?∥CD?交AD?于F，?则阴影部分的面积是______．

三、解答题

1．如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB

（1）求证：四边形EFCD是菱形；

（2）设CD＝4，求D、F两点间的距离．

2．如图，已知在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，?且CE=CF．

（1）求证：△ABE≌△ADF；

（2）过点C作CG∥EA交AF于H，交AD于G，若∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AHG的度数．

3．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，对角线AC=5，BD=3，?试求此梯形的面积．

4．将一张矩形纸片沿直线折叠一次，折痕恰好把矩形分为面积相等的两部分．

（1）这样的折痕有多少条？（2）这样的折痕具有什么特点？

5．如图，斜折一页书的一角，使点A落在同一页书内的A′处，DE为折痕，作DF平分∠A′DB，试猜想∠FDE等于多少度，并说明理由．

6.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一

倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.

答案:

一、选择题：

1．A 2．B 3．A 4．B 5．D 6．C 7．C 8.B 9.A 10.B 11.C12.A

二、填空题：

1．平行 2．菱形 3．6 4．3 5．对角线平分内角的矩形是正方形等 6．2．5 三、解答题

1．解：（1）证明：ABC △与CDE △都是等边三角形

ED CD ∴=

60A DCE BCA DCE ∴∠=∠=∠=∠= AB CD DE CF ∴∥，∥

又 EF AB ∥

∴EF CD ∥

∴四边形EFCD 是菱形

（2）解：连结DF ，与CE 相交于点G 由4CD =，可知2CG =

∴DG ==DF ∴=

2．（1）略 （2）100°

3．解：作AE ∥DB ，交CB 延长线于E ，作AF ⊥BC 于F ，易知ADBE 为平行四边形

∴AE=DB=3 EB=AD=2

∴CE=6 设EF=x 有AE 2－EF 2=AC 2－CF 2 即32－x 2=52－（6－x ）2 x=

5

3

∴AF=23 S 梯=1

2

AF （AD+BC ）

4．（1）无数条 （2）过矩形对称中心． 5．猜想∠FDE=90°，理由略．

6. 如图所示,连结对角线AC 、BD,过A 、B 、C 、D 分别作BD 、AC 、BD 、AC 的平行线,且这些平行线两两相交于E 、F 、G 、H,四边形EFGH 即为符合条件的平行四边形.