搜档网

当前位置:搜档网 > 特征标和特征标表

特征标和特征标表

5.04, 无机化学原理 II 麻省理工学院化学系 第4讲 特征标和特征标表

''

v 在前面一讲中,我们构建了一套操作为2

'

33E C C v v σσσ、

、、、、的特征标表。但因为我们选择的三角形基组是不完全的,所以并没有揭示所有不可约表示Γirr 。可以用一个三角形代表笛卡儿坐标空间(x, y, z ),在该空间中可以确定不可约表示Γirr ,也可以尝试选择其他的基以揭示其他的不可约表示Γirr 。例如,考察绕z 轴的旋转,

特征标和特征标表

在群的操作(因为同一类操作的特征标是相同的,因此对每一类只选择一个操作)下,这个基fn 、Rz 的变换特性如下:

()z z 3z z

v z z →''

v E R R C R R xy R R σ→→:::

注意:这些变换特性产生不包括在三角形基之内的不可约表示。可得到一个新的(1×1)的表示[representation ,原文误为:basis ]Γ3,这个表示描述R z 的变换

特性。由2'33E C C v v σσσ、

、、、、定义的群的Γi 总结如下:

特征标和特征标表

不可约表示及其特征标服从五个重要规则:

规则1:

群的不可约表示Γi的维数(l i)平方和等于群的阶h,即:

特征标和特征标表

由于恒等操作下特征标等于Γi的维数(因为E总是单位矩阵),该规则也可表述如下:

特征标和特征标表

原文误为:

规则2:不可约表示Γi的特征标的平方和等于h

特征标和特征标表

原文误为:

规则3:两个不同不可约表示的特征标作为分量的矢量正交

特征标和特征标表

原文误为:

规则4:对于给定的表示,所有属于同类操作的矩阵的迹(trace ,原文误为character )相等 。

规则5:群中不可约表示Γi 的数目等于群中类的数目

运用这些规则,我们就可以从代数学角度构建特征标表。下面仍以前面的例子为例来构建缺乏任一基时的特征标表:

规则5:E ,()2C C 、33,()

'''

v v v σσσ、、,可分为3类,∴3Γi

规则1:2

2261,l l l l l l 1

231232++=∴===,

规则2:所以特征标表都具有一个全对称表示,这样,其中的一个不可约表示Γi 具有特征标χ1(E )=1,χ1=(C 3,C 32)=1(原文误为:σ1=),χ1=(σv ,σv ′,σv ″)=1。应用规则2,我们可求得维数为1的其他不可约表示,

特征标和特征标表

因为,

()E χ=21()()()()232v 232v 12C 30C 1,1χχσχχσ+?+?=∴==?,

在Γ3(l 3=2)的情况下,规则2没有唯一解

()()333v 22C 30χχσ+?+?=

但是,规则2应用于Γ3可以得到一个含有两个未知数的方程。可以有几种选择得到第二个独立的方程:

规则1:()()232

2

3v 3122C 36χσχ?????++??

?=? (原文误为:)

规则3:

()()()()()333v 332v 11221C 31011221C 310

χχσχχ??+??+??=??+??+???= 或者

σ

可解得()()333v C 1,

χχσ=?=0

这样我们得到与I.E.节一样的结果。

特征标和特征标表

注意:本节是仅仅根据特征标的性质得出特征标表。特征标表是从代数学上得到的。而在I.E.节中的推引则是完全从第一原理得到。

完整的特征标表如下:

特征标和特征标表

z

对于A (对于C n 轴对称)或者B (对于C n 轴反对称),Γi 的l =1,对E , l =2,对T ,l =3。

z

下标1和2分别表示Γi 对于垂直的C 2对称和反对称,如果不存在垂直的C 2,则相对于σv 。

z撇(′)和两撇(″)分别表示Γi对于σh对称和反对称。

z对于包含对称中心i的群,下标g表示对对称中心对称,而下标u表示对对称中心反对称。