编程MATLAB程序实现复化梯形和辛普森数值积分

数值分析实验报告——

复化梯形公式及复化辛普森公式的精度比较

实验四、复化梯形公式和复化Simpson公式的精度比较 （2学时） 一、实验目的与要求 1、熟悉复化Simpson公式和复化梯形公式的构造原理； 2、熟悉并掌握二者的余项表达式； 3、分别求出准确值，复化梯形的近似值，复化Simpson的近似值，并比较后两 者的精度； 4、从余项表达式，即误差曲线，来观察二者的精度，看哪个更接近于准确值。 二、实验内容： 对于函数 sin () x f x x =，试利用下表计算积分1 sin x I dx x =?。 表格如下： 注：分别利用复化梯形公式和复化Simpson公式计算，比较哪个精度更好。其中：积分的准确值0.9460831 I=。 三、实验步骤

1、熟悉理论知识，并编写相应的程序； 2、上机操作，从误差图形上观察误差，并与准确值相比较，看哪个精度更好； 3、得出结论，并整理实验报告。 四、实验注意事项 1、复化梯形公式，程序主体部分： for n=2:10 T(n)=0.5*T(n-1) for i=1:2^(n-2) T(n)=T(n)+(sin((2*i-1)/2^(n-1))/((2*i-1)/2^(n-1)))/2^(n-1)； end end 2、复化Simpson公式，程序主体部分： for i=1:10 n=2.^i x=0:1/n:1 f=sin(x)./x f(1)=1 s=0 for j=1:n/2

s=s+f(2*j) end t=0 for j=1:(n/2-1) t=t+f(2*j-1) end S(i)=1/3/n*(f(1)+4*s+2*t+f(n+1)) end 五．实验内容 复化梯形公式和复化辛普森公式的引入 复化梯形公式： 1 10[(()]2 n n k k k h T f x f x -+==+∑； 复化辛普森公式： 1 1102 [(4()()]6n n k k k k h S f x f x f x -++ ==++∑； 根据题意和复化梯形公式、复化辛普森公式的原理编辑程序求解代码如下： Matlab 代码 clc s=quad('sin(x)./x',0,1) p1=zeros(10,1);

数值积分算法与MATLAB实现陈悦5133201讲解

东北大学秦皇岛分校 数值计算课程设计报告 数值积分算法及MATLAB实现 学院数学与统计学院 专业信息与计算科学 学号5133201 姓名陈悦 指导教师姜玉山张建波 成绩 教师评语： 指导教师签字： 2015年07月14日

1 绪论 数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值检索方其理论与软件的实现.而数值分析主要研究数值计算. 现科学技术的发展与进步提出了越来越多的复杂的数值计算问题，这些问题的圆满解决已远人工手算所能胜任，必须依靠电子计算机快速准确的数据处理能力.这种用计算机处理数值问题的方法，成为科学计算.今天，科学计算的应用范围非常广泛，天气预报、工程设计、流体计算、经济规划和预测以及国防尖端的一些科研项目，如核武器的研制、导弹和火箭的发射等，始终是科学计算最为活跃的领域. 1.1 数值积分介绍 数值积分是数值分析的重要环节，实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系. 求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的.另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解.由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题.对微积分学做出杰出贡献的数学大师，如I.牛顿、L.欧拉、C.F.高斯、拉格朗日等人都在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了这个分支的理论基础. 构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式.特别在节点分布等距的情形称为牛顿-科特斯公式，例如梯形公式(Trapezoidal Approximations)与抛物线公式(Approximations Using Parabolas)就是最基本的近似公式.但它们的精度较差.龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式(Rhomberg Integration).当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分.数值积分还是微分方程数值解法的重要依据.许多重要公式都可以用数值积分方程导出.现探讨数值积分算法以及运用MATLAB软件的具体实现

matlab实验十七__牛顿迭代法(可打印修改)

实验十七牛顿迭代法 【实验目的】 1.了解牛顿迭代法的基本概念。 2.了解牛顿迭代法的收敛性和收敛速度。 3.学习、掌握MATLAB软件的有关命令。 【实验内容】 用牛顿迭代法求方程的近似根，误差不超过。 3210 ++-=3 10- x x x 【实验准备】 1.牛顿迭代法原理 2.牛顿迭代法的几何解析 3.牛顿迭代法的收敛性 4.牛顿迭代法的收敛速度 5.迭代过程的加速 6.迭代的MATLAB命令 MATLAB中主要用for,while等控制流命令实现迭代。 【实验重点】 1.牛顿迭代法的算法实现 2.牛顿迭代法收敛性和收敛速度 【实验难点】 1.牛顿迭代法收敛性和收敛速度 【实验方法与步骤】 练习1用牛顿迭代法求方程在x=0.5附近的近似 3210 ++-= x x x

根，误差不超过。 310-牛顿迭代法的迭代函数为 322()1()()321 f x x x x g x x x f x x x ++-=-=-'++相应的MATLAB 代码为 >>clear; >>x=0.5; >>for i=1:3 >>x=x-(x^3+x^2+x-1)/(3*x^2+2*x+1) >>end 可算的迭代数列的前3项0.5455，0.5437，0.5437。经三次迭代，就大大超过了精度要求。 练习2 用牛顿迭代法求方程的近似正实根，由此建2(0)x a a =>立一种求平方根的计算方法。 由计算可知，迭代格式为，在实验12的练习4中1()()2a g x x x =+已经进行了讨论。 【练习与思考】 1.用牛顿迭代法求方程的近似根。 ln 1x x =2.为求出方程的根，在区间[1,2]内使用迭代函数进行310x x --=迭代，纪录迭代数据，问迭代是否收敛？对迭代进行加速，对比加速前的数据，比较加速效果。 3.使用在不动点的泰勒公式，证明牛顿迭代法收敛原理。*x

MATLAB代码 解线性方程组的迭代法

解线性方程组的迭代法 1.rs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=rs(A,b,x0,eps,M) if(nargin==3) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值elseif(nargin==4) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-A)*x0+b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 2.crs里查森参数迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=crs(A,b,x0,w,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1; %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-w*A)*x0+w*b; n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x;

if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 3.grs里查森迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=grs(A,b,x0,W,eps,M) if(nargin==4) eps=1.0e-6;%eps表示迭代精度 M=10000;%M表示迭代步数的限制值 elseif(nargin==5) M=10000; end I=eye(size(A)); n=0; x=x0; tol=1;%前后两次迭代结果误差 %迭代过程 while(tol>eps) x=(I-W*A)*x0+W*b;%迭代公式 n=n+1;%n为最终求出解时的迭代步数tol=norm(x-x0); x0=x; if(n>=M) disp('Warning:迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end 4.jacobi雅可比迭代法求线性方程组Ax=b的解 function[x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200; elseif nargin<3 error return elseif nargin==5 M=varargin{1}; end D=diag(diag(A));%求A的对角矩阵 L=-tril(A,-1);%求A的下三角阵

【数学建模学习】Matlab的数值积分

Matlab 的数值积分问题 （１）求和命令sum 调用格式. 如果x 是向量,则sum(x) 给出x 的各个元素的累加和;如果x 是矩阵,则sum(x)是一个元素为x 的每列列和的行向量. 例3.1 调用命令sum 求向量x 的各个元素的累加和。 解:输入 x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]; sum(x) 得到 ans=55 例3.2 调用命令sum 求矩阵x 的各列元素的累加和。 解:输入 x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sum(x) 得到 ans=12 15 18 2．定积分的概念. 定积分是一个积分和的极限. 例如取x e x f =)(,求定积分?10dx e x 的近似值。 积分区间为[0,1],等距划分为20个子区间, x=linspace(0,1,21); 选取每个子区间的端点,并计算端点处的函数值. y=exp(x); 取区间的左端点处的函数值乘以区间长度全部加起来. y1=y(1:20); s1=sum(y1)/20 s1=1.6757 s1可作为定积分?10dx e x 的近似值。 若选取右端点: y2=y(2:21); s2=sum(y2)/20 s2=1.7616 s2也可以作为定积分?10dx e x 的近似值。 下面我们画出图象. plot(x,y);hold on for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],'b')

end 如果选取右端点,则可画出图象. for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i+1),y(i+1),0],'b') hold on end plot(x,y,'r') 在上边的语句中,for … end 是循环语句,执行语句体内的命令20次,fill 命令可以填充多边形,在本例中,用的是兰色(blue)填充. 可试取50个子区间看一看结果怎样.下面按等分区间计算。 syms k n s=symsum(exp(k/n)/n,k,1,n); limit(s,n,inf) 得结果 ans=exp(1)-1 3．计算定积分 例3.6 计算?10dx e x . 解:输入命令: syms x; int(exp(x),0,1) 得结果 ans=exp(1)-1. 这与我们上面的运算结果是一致的. ⒈ 由给定数据进行梯形求积 假设已经建立起向量T N T N y y y y x x x x ],,,[,],,,[2121 ==，则可用以下语句进行梯形求积： sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2 MATLAB 提供的trapz()函数也可直接用梯形法求解积分问题，该函数调用格式为 S=trapz(x,y) [例1-6-17] 试用梯形法求出),0(π∈x 区间内，函数sin(x),cos(x),sin(x/2)的定积分值。 [求解] >> x1=[0:pi/30:pi]'; y=[sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)]; x=[x1 x1 x1]; S=sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2 >> S1=trapz(x1,y) [例1-6-18] 用定步长方法求解积分?2 /30)15cos(πdx x 。 [求解] 鉴于求解区域内被积函数有很强的振荡，可先用下述语句绘制被积函数的曲线。 >> x=[0:0.01:3*pi/2,3*pi/2]; y=cos(15*x); plot(x,y) 采用不同的步距，可分别得到积分近似结果。 >> syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % 求理论值 >> h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[]

数值积分的matlab实现

实验10 数值积分 实验目的： 1．了解数值积分的基本原理； 2．熟练掌握数值积分的MATLAB 实现； 3．会用数值积分方法解决一些实际问题。 实验内容： 积分是数学中的一个基本概念，在实际问题中也有很广泛的应用。同微分一样，在《微积分》中，它也是通过极限定义的，由于实际问题中遇到的函数一般都以列表形式给出，所以常常不能用来直接进行积分。此外有些函数虽然有解析式，但其原函数不是初等函数，所以仍然得不到积分的精确值，如不定积分?1 0 d sin x x x 。这时我们一般考虑用数值方法计算其 近似值，称为数值积分。 10.1 数值微分简介 设函数()y f x =在* x 可导，则其导数为 h x f h x f x f h ) ()(lim )(**0* -+='→ （10.1） 如果函数()y f x =以列表形式给出（见表10-1），则其精确值无法求得，但可由下式求得其近似值 h x f h x f x f ) ()()(*** -+≈' （10.2） 表 10-1 一般的，步长h 越小，所得结果越精确。（10.2）式右端项的分子称为函数()y f x =在 *x 的差分，分母称为自变量在*x 的差分，所以右端项又称为差商。数值微分即用差商近似 代替微商。常用的差商公式为： 000()() ()2f x h f x h f x h +--'≈ （10.3） h y y y x f 243)(2 100-+-≈ ' （10.4）

h y y y x f n n n n 234)(12+-≈ '-- （10.5） 其误差均为2 ()O h ，称为统称三点公式。 10.2 数值微分的MATLAB 实现 MATLAB 提供了一个指令求解一阶向前差分，其使用格式为： dx=diff(x) 其中x 是n 维数组，dx 为1n -维数组[]21321,, ,n x x x x x x ---,这样基于两点的数值导 数可通过指令diff(x)/h 实现。对于三点公式，读者可参考例1的M 函数文件diff3.m 。 例1 用三点公式计算()y f x =在=x 1.0,1.2,1.4处的导数值，()f x 的值由下表给 解：建立三点公式的M 函数文件diff3.m 如下： function f=diff3(x,y) n=length(x);h=x(2)-x(1); f(1)=(-3*y(1)+4*y(2)-y(3))/(2*h); for j=2:n-1 f(j)=(y(j+1)-y(j-1))/(2*h); end f(n)=(y(n-2)-4*y(n-1)+3*y(n))/(2*h); 在MATLAB 指令窗中输入指令： x=[1.0,1.1,1.2,1.3,1.4];y=[0.2500,0.2268,0.2066,0.1890,0.1736];diff3(x,y) 运行得各点的导数值为：-0.2470，-0.2170，-0.1890，-0.1650，-0.0014。所以()y f x =在=x 1.0,1.2,1.4处的导数值分别为-0.2470，-0.1890和-0.0014。 对于高阶导数，MATLAB 提供了几个指令借助于样条函数进行求导，详细使用步骤如下： step1：对给定数据点（x,y ），利用指令pp=spline(x,y)，获得三次样条函数数据pp ，供后面ppval 等指令使用。其中，pp 是一个分段多项式所对应的行向量，它包含此多项式的阶数、段数、节点的横坐标值和各段多项式的系数。 step2：对于上面所求的数据向量pp ，利用指令[breaks,coefs,m,n]=unmkpp(pp)进行处理，生成几个有序的分段多项式pp 。 step3：对各个分段多项式pp 的系数，利用函数ppval 生成其相应导数分段多项式的系数，再利用指令mkpp 生成相应的导数分段多项式 step4：将待求点xx 代入此导数多项式，即得样条导数值。 上述过程可建立M 函数文件ppd.m 实现如下： function dy=ppd(pp) [breaks,coefs,m]=unmkpp(pp);

matlab实现数值分析插值及积分

Matlab实现数值分析插值及积分 摘要： 数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。在实际生产实践中，常常将实际问题转化为数学模型来解决，这个过程就是数学建模。学习数值分析这门课程可以让我们学到很多的数学建模方法。 分别运用matlab数学软件编程来解决插值问题和数值积分问题。题目中的要计算差值和积分，对于问题一，可以分别利用朗格朗日插值公式，牛顿插值公式，埃特金逐次线性插值公式来进行编程求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为：=+。 其中Aitken插值计算的结果图如下： 对于问题二，可以分别利用复化梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式编写程序来进行求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为： 0.6932 其中复化梯形公式计算的结果图如下：

问题重述 问题一：已知列表函数 表格 1 分别用拉格朗日，牛顿，埃特金插值方法计算。 问题二：用复化的梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式计算积分，使精度小于5。 问题解决 问题一：插值方法 对于问题一，用三种差值方法：拉格朗日，牛顿，埃特金差值方法来解决。 一、拉格朗日插值法： 拉格朗日插值多项式如下： 首先构造1+n 个插值节点n x x x ,,,10 上的n 插值基函数，对任一点i x 所对应的插值基函数 )(x l i ，由于在所有),,1,1,,1,0(n i i j x j +-=取零值，因此)(x l i 有因子 )())(()(110n i i x x x x x x x x ----+- 。又因)(x l i 是一个次数不超过n 的多项式，所以只 可能相差一个常数因子，固)(x l i 可表示成： )())(()()(110n i i i x x x x x x x x A x l ----=+- 利用1)(=i i x l 得：

lu分解法、列主元高斯法、jacobi迭代法、gaussseidel法的原理及matlab程序

一、实验目的及题目 1.1 实验目的： （1）学会用高斯列主元消去法，LU 分解法，Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组。 （2）学会用Matlab 编写各种方法求解线性方程组的程序。 1.2 实验题目： 1. 用列主元消去法解方程组： 1241234 123412343421233234x x x x x x x x x x x x x x x ++=??+-+=??--+=-??-++-=? 2. 用LU 分解法解方程组,Ax b =其中 4824012242412120620266216A --?? ?- ?= ? ?-??，4422b ?? ? ?= ?- ?-?? 3. 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组： 123234 1231234102118311210631125x x x x x x x x x x x x x -+=-??-+=-??-+=??-+-+ =? 二、实验原理、程序框图、程序代码等 2.1实验原理 2.1.1高斯列主元消去法的原理 Gauss 消去法的基本思想是一次用前面的方程消去后面的未知数，从而将方程组化为等价形式： 1111221122222n n n n nn n n b x b x b x g b x b x g b x g +++=??++=????= ? 这个过程就是消元，然后再回代就好了。具体过程如下： 对于1,2, ,1k n =-，若() 0,k kk a ≠依次计算

()() (1)()()(1)()()/,,1, ,k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k i i ik k m a a a a m a b b m b i j k n ++==-=-=+ 然后将其回代得到： ()() ()()()1/()/,1,2,,1 n n n n nn n k k k k k kj j kk j k x b a x b a x a k n n =+?=??=-=--? ? ∑ 以上是高斯消去。 但是高斯消去法在消元的过程中有可能会出现() 0k kk a =的情况，这时消元就无法进行了，即使主元数() 0,k kk a ≠但是很小时，其做除数，也会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散。因此，为了减少误差，每次消元选取系数矩阵的某列中绝对值最大的元素作为主元素。然后换行使之变到主元位置上，再进行销元计算。即高斯列主元消去法。 2.1.2直接三角分解法（LU 分解）的原理 先将矩阵A 直接分解为A LU =则求解方程组的问题就等价于求解两个三角形方程组。 直接利用矩阵乘法，得到矩阵的三角分解计算公式为： 1111111 11 1,1,2,,/,2,,,,,1,,,2,3, ()/,1,2, ,i i i i k kj kj km mj m k ik ik im mk kk m u a i n l a u i n u a l u j k k n k n l a l u u i k k n k n -=-===?? ==?? =-=+??=??=-=++≠?? ∑∑且 由上面的式子得到矩阵A 的LU 分解后，求解Ux=y 的计算公式为 11 111,2,3,/()/,1,2, ,1 i i i ij j j n n nn n i i ij j ii j i y b y b l y i n x y u x y u x u i n n -==+=??? =-=?? =??? =-=--?? ∑∑ 以上为LU 分解法。

MATLAB样例之雅克比迭代法

要求： 下面分别使用雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求一个方程组的近似解用的线性方程组是按实验要求给的： 7*x1+x2+2*x3=10 x1+8*x2+2*x3=8 2*x1+2*x2+9*x3=6 雅克比迭代法的matlab代码：（老师写的） A=[7,1,2;1,8,2;2,2,9]; b=[10;8;6]; if(any(diag(A))==0) error('error,pause') end eps=input('误差限eps='); N=input('迭代次数N='); D=diag(diag(A)); B=inv(D)*(D-A); f=inv(D)*b; K=0; x0=zeros(size(b)); while 1 x1=B*x0+f K=K+1; fprintf('第-次迭代的近似解为',K) disp(x1'); if norm(x1-x0,inf)N fprintf('迭代超限') end x0=x1; end 高斯-赛德尔迭代法matlab代码:（自己改的）

A=[7,1,2;1,8,2;2,2,9]; b=[10;8;6]; if(all(diag(A))==0) error('error,pause') end eps=input('误差限eps='); N=input('迭代次数N='); D=diag(diag(A)); B=inv(D)*(D-A); f=inv(D)*b; K=0; x0=zeros(size(b)); x00=x0; while 1 x11=B*x0+f; x00(1,1)=x11(1,1); x12=B*x00+f; x00(2,1)=x12(2,1); x13=B*x00+f; x00(3,1)=x13(3,1); x1=x00 K=K+1; fprintf('第-次迭代的近似解为',K) disp(x1'); if norm(x1-x0,inf)N fprintf('迭代超限') end x0=x1; end

数值积分用matlab实现

数值积分用m a t l a b实 现

东北大学秦皇岛分校 数值计算课程设计报告 数值积分及Matlab实现 学院数学与统计学院 专业信息与计算科学 学号5133117 姓名楚文玉 指导教师张建波姜玉山 成绩 教师评语： 指导教师签字： 2015年07月14日

1 绪论 在科研计算中，经常会碰到一些很难用公式定理直接求出精确解的积分问题，对于这类问题，我们一般转化为数值积分问题，用计算机来实现求解问题． 1.1 课题的背景 对于定积分()b a f x dx ?在求某函数的定积分时，在一定条件下，虽然有牛顿-莱布里 茨公式()()()b a I f x dx F b F a ==-?可以计算定积分的值，但在很多情况下的原函数() f x 不易求出或非常复杂．被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，例如 2 sin (),x x f x e x -= 等；有的函数()f x 的原函数()F x 存在，但其表达式太复杂，计算量太大，有的甚至无法有解析表达式．因此能够借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的．另外，许多实际问题中的被积函数()f x 往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解，只能设法求其近似值．因此，探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的，即有必要研究定积分的数值计算方法，以解决定积分的近似计算．而数值积分就是解决此类问题的一种有效的方法，它的特点是利用被积函数在一些节点上的信息求出定积分的近似值．微积分的发明是人类科学史上一项伟大的成就，在科学技术中，积分是经常遇到的一个重要计算环节数值积分是数学上重要的课题之一，是数值分析中重要的内容之一．随着计算机的出现，近几十年来，对于数值积分问题的研究已经成为一个很活跃的研究领域．现在，数值积分在计算机图形学，积分方程，工程计算，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有着很重要的意义．国内外众多学者在数值积分应用领域也提出了许多新方法．在很多实际应用中，只能知道积分函数在某些特定点的取值，比如天气测量中的气温、湿度、气压等，医学测量中的血压、浓度等等．通过这个课题的研究，我们将会更好地掌握运用数值积分算法求出特殊积分函数的定积分的一些基本方法、理论基础；并且通过Matlab 软件编程的实现，应用于实际生活中． 1.2 课题的主要内容框架

数值积分的算法比较及其MATLAB实现

编号： 审定成绩： 重庆邮电大学 毕业设计（论文） 设计（论文）题目：数值积分算法与MATLAB实现 学院名称：数理学院 学生姓名： 专业：数学与应用数学 班级： 学号： 指导教师： 答辩组负责人： 填表时间：年月 重庆邮电大学教务处制

摘要 在求一些函数的定积分时，由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精确求出，只能设法求其近似值，因此能够直接借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。本文从数值积分问题的产生出发，详细介绍了一些数值积分的重要方法。 本文较详细地介绍了牛顿-科特斯求积公式，以及为了提高积分计算精度的高精度数值积分公式，即龙贝格求积公式和高斯-勒让德求积公式。除了研究这些数值积分算法的理论外，本文还将这些数值积分算法在计算机上通过MATLAB软件编程实现，并通过实例用各种求积公式进行运算，分析比较了各种求积公式的计算误差。 【关键词】数值积分牛顿-科特斯求积公式高精度求积公式MATLAB软件

ABSTRACT When the solution of the definite integral of some function values，because the original function is very complex and difficult to find the elementary function expression, the integral is difficult to accurately calculate, only managed to find the approximate value, and the case is small that allows to direct interface with the Newton - Leibniz formula to calculate the definite integral. Numerical integration is an effective method to solve such problems. The numerical integration is an important branch of numerical analysis; therefore, exploring the approximate calculation of the numerical integration method has obvious practical significance. This article departure from the numerical integration problem, described in detail some important numerical integration methods. This paper has introduced detail the Newton - Coates quadrature formula, and in order to improve the calculation accuracy of numerical integration formulas, More precise formulas have Romberg quadrature formulas and the Gauss - Legendre quadrature formula. In addition to the study of these numerical integration algorithm theory, the article also involve what these numerical integration algorithm be programmed by matlab software on the computer, and an example is calculated with a variety of quadrature formulas, finally analysis and comparison to various quadrature formulas calculation error. 【Key words】Numerical integration Newton-Cotes quadrature formula High-precision quadrature formula Matlab software

辛普森求积公式

摘要 在工程实验及研究中，实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.可以说，曲线拟合模型与我们的生活生产密切相关. 本课题着重介绍曲线拟合模型及其应用，其中包括它的基本思想、模型的建立、以及具体应用.为了更好的了解曲线拟合模型，可以将它分为线性与非线性模型，在模型建立的基础上我们可以用最小二乘法来解决一些我们日常所应用的问题. 关键词曲线拟合；线性与非线性模型；最小二乘发

目录 引言 (1) 第一章曲线拟合 (2) §1.1 基本思想及基本概念 (2) §1.1.1 方法思想 (2) §1.1.2几个基本概念 (2) §1.2辛普森算法基本定义及其应用 (4) §1.2.1辛普森求积公式的定义 (4) §1.2.2辛普森求积公式的几何意义 (5) §1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项 (5) §1.2.4辛普森公式的应用 (6) 第二章辛普森求积公式的拓展及其应用 (7) §2.1 复化辛普森求积公式 (7) §2.1.1问题的提出 (7) §2.1.2复化辛普森公式及其分析 (7) §2.1.3复化辛普森公式计算流程图 (8) §2.1.4复化辛普森公式的应用 (9) §2.2 变步长辛普森求积公式 (10) §2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程 (10) §2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程 (12) §2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图 (13) §2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码 (14) §2.2.5变步长辛普森求积公式的应用 (14) §2.2.6小结 (14) §2.2.7数值求积公式在实际工程中的应用 (14) 参考文献 (16) 附录A (17)

数值积分算法与MATLAB实现

数值积分算法与MATLAB实现 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 摘要：在求一些函数的定积分时，由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精确求出，只能设法求其近似值，因此能够直接借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。本文从数值积分问题的产生出发，详细介绍了一些数值积分的重要方法。 本文较详细地介绍了牛顿-科特斯求积公式，以及为了提高积分计算精度的高精度数值积分公式，即龙贝格求积公式和高斯-勒让德求积公式。除了研究这些数值积分算法的理论外，本文还将这些数值积分算法在计算机上通过MATLAB软件编程实现，并通过实例用各种求积公式进行运算，分析比较了各种求积公式的计算误差。 【关键词】数值积分牛顿-科特斯求积公式高精度求积公式MATLAB软件

前言 对于定积分，在求某函数的定积分时，在一定条件下，虽然有牛顿-莱布里茨公式可以计算定积分的值，但在很多情况下的原函数不易求出或非常复杂。被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，例如等；有的函数的原函数存在，但其表达式太复杂，计算量太大，有的甚至无法有解析表达式。因此能够借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解，只能设法求其近似值。因此，探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的，即有必要研究定积分的数值计算方法，以解决定积分的近似计算。而数值积分就是解决此类问题的一种有效的方法，它的特点是利用被积函数在一些节点上的信息求出定积分的近似值。 微积分的发明是人类科学史上一项伟大的成就，在科学技术中，积分是经常遇到的一个重要计算环节。数值积分是数学上重要的课题之一，是数值分析中重要的内容之一，也是应用数学研究的重点。随着计算机的出现，近几十年来，对于数值积分问题的研究已经成为一个很活跃的研究领域。现在，数值积分在计算

二分法、简单迭代法的matlab代码实现

实验一非线性方程的数值解法(一) 信息与计算科学金融崔振威201002034031一、实验目的： 熟悉二分法和简单迭代法的算法实现。 二、实验内容： 教材P40 2.1.5 三、实验要求 1根据实验内容编写二分法和简单迭代法的算法实现 2简单比较分析两种算法的误差 3试构造不同的迭代格式，分析比较其收敛性 (一)、二分法程序： function ef=bisect(fx,xa,xb ,n, delta) % fx是由方程转化的关于x的函数，有fx=0。 % xa解区间上限 % xb解区间下限 % n最多循环步数，防止死循环。 %delta为允许误差 x=xa;fa=eval(fx); x=xb;fb=eval(fx); disp(' [ n xa xb xc fc ]'); for i=1: n xc=(xa+xb)/2;x=xc;fc=eval(fx); X=[i,xa,xb,xc,fc]; disp(X), if fc*fa<0 xb=xc; else xa=xc; end if (xb-xa)

k=0; while abs(x-xO)>eps & k> fplot('[x A5-3*x A3-2*x A2+2]',[-3,3]);grid 得下图： 由上图可得知：方程在［-3,3］区间有根。 （2 ）、二分法输出结果 >> f='xA5-3*xA3-2*xA2+2' f = X A5-3*X A3-2*X A2+2 >> bisect(f,-3,3,20,10A(-12)) 2.0000 - 3.0000 0 -1.5000 0.0313

关于辛普森(simpson)公式在线路坐标计算中的应用

关于复化辛普森(simpson)公式在线路坐标计算中的应用 天津西站项目部刘思传 摘要：本文里利用辛普森公式导证了线路坐标计算的公式，并在卡西欧FX-4800P计算器中编写了中边线坐标计算的源程序。 关键词：复化辛普森公式，线路坐标计算，曲率。 一.引言 随着我国道路建设等级和质量水平的飞速发展，公路、铁路建设的机械化和日产量日益提高，促使施工中在满足设计精度的前提下，尽可能快速、准确地进行测量放样和检查工作，本文线路曲率变化的特点，利用复化辛普森公式导证了线路坐标计算的通用公式，并利用卡西欧FX-4800P计算器编写了计算线路中边线坐标的源程序。 二.复化辛普森公式数学模型 把积分区间分成偶数等分，记，其中是节点总数，是积分子区间的总数。 记，，在每个区间上用辛普森数值积分公式计算，则得到复化辛普森公式，记为。 复化辛普森积分计算公式 而，称

(1) 式(1)即为辛普森复化公式。 三.线路坐标计算 2. 回旋曲线上点位坐标方位角的计算 如图1，设回旋曲线起点A 的曲率为A ρ，其里程为DK A ；回旋曲线终点B 的曲率为B ρ，其里程为DK B ，Ax ’'y 为以A 为坐标原点，以A 点切线为'x 轴的局部坐标系；Axy 为线路坐标系。 由此回旋曲线上各点曲率半径为R i 和该点离曲线起点的距离?i 成反比，故此任意点的曲率为 c l R i i i /1==ρ（=为常数）. （2） y ' Y B 图1 由式（2）可知，回旋曲线任意点的曲率按线性变化，由此回旋曲线上里程为DK i 点的曲率为

)(A i A B A B A i DK DK DK DK ---+=ρρρρ （3） 当曲线右偏时，取正；当曲线左偏时取负。在图1中有 ???????=== ?I A DK DK i i i dl dl dl R d ρβρβ1 （4） 将式（3）代入式（4）得 πρρβ180 *)(2A i A i i DK DK -+= （5） 若已知回旋曲线起点A 在线路坐标系下切线坐标方位角αA ，则里程为Dk i 点切线坐标方位角为 i A i βαα+= π180 （6） 将式(5)代入式（6）得 *)(2A i A i A i DK DK -++=ρραα π180 （7） 对于式(7) ，当，时，，则a i =a A ，式(7)变成计算直线段上任意点切线坐标方位角计算公式；当，时，， ，则式(7)代表圆曲线上任意点切线坐标方位角 计算公式。 可见，若已知曲线段起点和终点的曲率及起点的切线坐标方位角，式(7)便能计算任意线型点位切线坐标方位角。 3、回旋曲线点位坐标计算 由图1可得回旋曲线上点位在坐标系下坐标计算公式：

利用Matlab实现Romberg数值积分算法----系统建模与仿真结课作业

利用Matlab 实现Romberg 数值积分算法 一、内容摘要 针对于某些多项式积分，利用Newton —Leibniz 积分公式求解时有困难，可以采用数值积分的方法，求解指定精度的近似解，本文利用Matlab 中的.m 文件编写了复化梯形公式与Romberg 的数值积分算法的程序，求解多项式的数值积分，比较两者的收敛速度。 二、数值积分公式 1.复化梯形公式求解数值积分的基础是将区间一等分时的Newton —Cotes 求积公式: I =(x)[f(a)f(b)]2 b a b a f dx -≈ +? 其几何意义是，利用区间端点的函数值、与端点构成的梯形面积来近似(x)f 在区间[a,b]上的积分值，截断误差为： 3" (b a)()12 f η-- (a,b)η∈ 具有一次的代数精度，很明显，这样的近似求解精度很难满足计算的要求，因而，可以采用将积分区间不停地对分，当区间足够小的时候，利用梯形公式求解每一个小区间的积分近似值，然后将所有的区间加起来，作为被求函数的积分，可以根据计算精度的要求，划分对分的区间个数，得到复化梯形公式： I =1 1 (b a)(b a) (x)dx [f(a)f(b)2(a )]2n b a k k f f n n -=--≈+++∑? 其截断误差为：

2" (b a)h ()12 R f η--= (a,b)η∈ 2.Romberg 数值积分算法 使用复化的梯形公式计算的数值积分，其收敛速度比减慢，为此，采用Romberg 数值积分。其思想主要是，根据I 的近似值2n T 加上I 与2n T 的近似误差，作为新的I 的近视，反复迭代，求出满足计算精度的近似解。 用2n T 近似I 所产生的误差可用下式进行估算： 12221 ()3 n n n I T T T -?=-=- 新的I 的近似值： 122 n n j T T -=?+ j =（0 1 2 ….） Romberg 数值积分算法计算顺序 i=0 (1) 002T i=1 (2) 102T (3) 012T i=2 (4) 202T (5) 112T (6) 022T i=3 (7) 302T (8) 212T (9) 122T (10) 032T i=4 (11) 402T (12) 312T (13) 222T (14) 132T … … … … 其中，第一列是二阶收敛的，第二列是四阶收敛的，第三列是六阶收敛的，第四列是八阶收敛的，即Romberg 序列。