必修二 同步习题-第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3.2
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()
A．①③B．②④
C．③④D．①②
解析：由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故选B.
答案： B
2.在四棱锥P－ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()
A．平面P AB⊥平面P AD
B．平面P AB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面P AD
解析：由面面垂直的判定定理知：平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面P AD，A、B、D正确．
答案： C
3.如图所示，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－P A－C 的大小为()
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
解析： ∵P A ⊥平面ABC ，BA ，CA ?平面ABC ，
∴BA ⊥P A ，CA ⊥P A ，因此，∠BAC 即为二面角B －P A －C 的平面角．又∠BAC ＝90°，故选A.
答案： A
4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为( )
A.3
2
B.22
C. 2
D. 3
解析： 如右图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接A 1O ，O 为BD 中点， ∵A 1D ＝A 1B ，
∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD . 又∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ， ∴∠A 1OA 为二面角A 1－BD －A 的平面角． 设AA 1＝1，则AO ＝
22.∴tan ∠A 1OA ＝1
2
2
＝ 2. 二、填空题(每小题5分，共15分)
5．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．
解析： 设面外的点为A ，面内的点为B ，过点A 作面α的垂线l ，若点B 恰为垂足，则所有过AB 的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B 不是垂足，则l 与点B 确定唯一平面β满足α⊥β.
答案： 1或无数
6．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________． 解析： 如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为1，顶点A 在底面BCD
上的射影为O ，连接DO 并延长交BC 于点E ，连接AE ，则E 为BC 的中点，故AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴∠AEO 为侧面ABC 与底面BCD 所成二面角的平面角．
在Rt △AEO 中，AE ＝
3
2
，
EO ＝13ED ＝13·32＝36，∴cos ∠AEO ＝EO AE ＝13.
答案： 13
7．如图，平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝________.
解析： 取BC 中点M ，则AM ⊥BC ，
由题意得AM ⊥平面BDC ， ∴△AMD 为直角三角形， AM ＝MD ＝22a .∴AD ＝2
2
a ×2＝a . 答案： a
三、解答题(每小题10分，共20分)
8.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，直线SC ⊥平面ABCD ，E 是SA 的中点，求证：平面EDB ⊥平面ABCD .
证明： 连接AC ，交BD 于点F ，连接EF ，
∴EF 是△SAC 的中位数，∴EF ∥SC . ∵SC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD . 又EF ?平面EDB .∴平面EDB ⊥平面ABCD .
9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值大小．
解析： 取BD 的中点O ，连接AO ，A 1O (图略)． 在正方体中，AO ⊥BD ， A 1B ＝A 1D ，∴A 1O ⊥BD ，
∴∠A 1OA 为二面角A 1－BD －A 的平面角，设AA 1＝a ， 在Rt △A 1OA 中，tan ∠A 1OA ＝A 1A AO ＝a
2
2a ＝ 2.
即二面角A 1－BD －A 的正切值为 2.
10.(2015·蚌埠一中高二期中)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )
A ．D 1O ∥平面A 1BC 1
B ．MO ⊥平面A 1B
C 1
C ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°
D ．二面角M －AC －B 等于90°
解析： 对于选项A ，连接B 1D 1，BO ，交A 1C 1于E ，则四边形D 1OBE 为平行四边形，所以D 1O ∥BE ，因为D 1O ?平面A 1BC 1，BE ?平面A 1BC 1，所以D 1O ∥平面A 1BC 1，故正确；
对于选项B ，连接B 1D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点， 所以MO ∥B 1D ，易证B 1D ⊥平面A 1BC 1， 所以MO ⊥平面A 1BC 1，故正确；
对于选项C ，因为AC ∥A 1C 1，所以∠A 1C 1B 为异面直线BC 1与AC 所成的角，因为△A 1C 1B 为等边三角形，
所以∠A 1C 1B ＝60°，故正确；对于选项D ，因为BO ⊥AC ，MO ⊥AC ，所以∠MOB 为二面角M －AC －B 的平面角，显然不等于90°，故不正确．综上知，选D.
答案： D
11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上一动点．当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为正确的条件即可)
解析： 连接AC ，则BD ⊥AC .
由P A ⊥底面ABCD ，可知BD ⊥P A ，所以BD ⊥平面P AC ，所以BD ⊥PC ，所以当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD .而PC ?平面PCD ，
所以平面MBD ⊥平面PCD . 答案： DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)
12.(2015·杭州重点中学高二联考)如图多面体中，正方形ADEF 所在的平面与直角梯形ABCD 所在的平面垂直，且AD ＝AB ＝1
2
CD ＝2，AB ∥CD ，M 为CE 的中点．
(1)证明：BM ∥平面ADEF ； (2)证明：平面BCE ⊥平面BDE .
证明： (1)取DE 中点N ，连接MN ，AN ， 因为M 、N 分别为EC ，ED 的中点，
所以MN 綊1
2
CD ，
由已知AB ∥CD ，AB ＝1
2
CD ，
所以MN綊AB.
所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，
又因为AN?平面ADEF，
且BM?平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.
(2)在正方形ADEF中，ED⊥AD，
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC.
在直角梯形ABCD中，取CD的中点P，连接BP，
AB＝AD＝2，CD＝4，
可得BC＝22，
在△BCD中，BD＝BC＝22，CD＝4，
所以BC⊥BD，BD∩ED＝D.所以BC⊥平面BDE，
又因为BC?平面BCE，
所以平面BCE⊥平面BDE.
13．(2015·杭州重点中学高二联考)在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.
(1)求证：EF⊥PC；
(2)试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P－EB－C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．
解析：(1)证明：因为EF⊥PF，EF⊥FC，
又由PF∩FC＝F，所以EF⊥平面PFC.
又因为PC?平面PFC，所以EF⊥PC.
(2) 由(1)知，EF⊥平面PFC，
所以平面BCFE⊥平面PFC，
作PH⊥FC，则PH⊥平面BCFE，作HG⊥BE，连接PG，则BE⊥PG，所以∠PGH是这个二面角的平面角，设AF＝x，则0＜x≤1，
因为∠PFC＝60°，
所以FH＝x
2，PH＝
3
2x，易求GH＝
33
4x，
所以tan∠PGH＝PH
GH＝
2
3，
所以二面角P－EB－C的大小是定值.