2017-2018学年吉林省长春外国语学校八年级(上)期末数学试卷含答案解析

2017-2018学年吉林省长春外国语学校八年级（上）期末数学试

卷

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．（2017?泰州）2的算术平方根是（）

A．±√2B．√2C．?√2D．2 2．（2015?衡阳）下列计算正确的是（）

A．a+a＝2a B．b3?b3＝2b3C．a3÷a＝a3D．（a5）2＝a7 3．（2015?贵港）下列因式分解错误的是（）

A．2a﹣2b＝2（a﹣b）B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）

C．a2+4a﹣4＝（a+2）2D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）4．（2017秋?南关区校级期末）数学老师给出如下数据1，2，2，3，2，关于这组数据的正确说法是（）

A．众数是2B．极差是3C．中位数是1D．平均数是4 5．（2017秋?南关区校级期末）如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝85°，∠B＝65°，则∠CAD度数为（）

A．85°B．65°C．40°D．30°6．（2015?荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10B．8C．10D．6或12 7．（2013?长春模拟）如图，在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长为（）

A．6B．7C．8D．10

8．（2017春?定安县期末）在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中不正确的是（）

A．四边形AEDF是平行四边形

B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形

C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形

D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形

二、填空题（每小题3分，共18分）

9．（2017秋?南关区校级期末）﹣21a2b3c÷3ab＝．

10．（2015秋?端州区期末）若5x﹣3y﹣2＝0，则105x÷103y＝．

11．（2017秋?南关区校级期末）在平行四边形ABCD中，已知∠A﹣∠B＝60°，则∠C ＝．

12．（2018?惠州一模）已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为．13．（2006?浙江）甲、乙两台机器分别罐装每瓶质量为500克的矿泉水．从甲、乙罐装的矿泉水中分别随机抽取了30瓶，测算得它们实际质量的方差是：S甲2＝4.8，S乙2＝3.6．那么罐装的矿泉水质量比较稳定．

14．（2012?铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值．

三、解答题（共78分）

15．（6分）（2017秋?南关区校级期末）计算：

3?(π?3)0

（1）√25?√8

（2）（5x+1）（﹣2x+3）

16．（6分）（2017秋?南关区校级期末）将下列各式因式分解：

（1）2a2﹣6a

（2）9（a+b）2﹣6（a+b）+1．

17．（6分）（2017秋?南关区校级期末）先化简，后求值：已知：a（a﹣4）+（1﹣a）（1+a），

其中a=?1 2．

18．（7分）（2018春?乐亭县期末）如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB＝a，DE＝b（a＞b）．

（1）写出AG的长度（用含字母a，b的代数式表示）；

（2）观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；

（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，试利用（2）中的公式，求a，b的值．

19．（7分）（2019?徐州一模）我校对全校学生进传统文化礼仪知识测试，为了了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，现将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．

请你根据图中所给的信息解答下列问题：（1）本次随机抽取的人数是人，并将以上两幅统计图补充完整；

（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则我校被抽取的学生中有人达标；

（3）若我校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？20．（7分）（2017秋?南关区校级期末）定义概念：如图，在直角三角形ABC中，锐角α

的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=角α的对边

斜边

=BC

AB，根据上述角

的正弦的概念，解答下列问题：在Rt△ABC中，

（1）当AC＝12，AB＝13时，求sinα的值；

（2）当α＝30°，AB＝20时，则BC＝．

21．（8分）（2017秋?南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB＝CD，∠BAC＝∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．

22．（9分）（2016?来宾）如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．

（1）求证：△ABE≌△EGF；

（2）若AB＝2，S△ABE＝2S△ECF，求BE．

23．（10分）（2017秋?南关区校级期末）如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．

探究：试判断BE和CN的位置关系和数量关系，并说明理由．

应用：Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ＝．

24．（12分）（2017秋?南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC ＝5，AB＝4√2，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿射线CD以每秒1个单位长度的速度运动．设运动的时间为t秒．

（1）BC＝．

（2）MC＝．（用t表示）

（3）求t为何值时，四边形AMCD为平行四边形．

（4）直接写出t为何值时，△AND为直角三角形．

2017-2018学年吉林省长春外国语学校八年级（上）期末

数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．（2017?泰州）2的算术平方根是（）

A．±√2B．√2C．?√2D．2

【解答】解：2的算术平方根是√2，

故选：B．

2．（2015?衡阳）下列计算正确的是（）

A．a+a＝2a B．b3?b3＝2b3C．a3÷a＝a3D．（a5）2＝a7

【解答】解：A、a+a＝2a，故本选项正确；

B、b3?b3＝b3+3＝b6，故本选项错误；

C、a3÷a＝a3﹣1＝a2，故本选项错误；

D、（a5）2＝a5×2＝a10，故本选项错误．

故选：A．

3．（2015?贵港）下列因式分解错误的是（）

A．2a﹣2b＝2（a﹣b）B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）

C．a2+4a﹣4＝（a+2）2D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）

【解答】解：A、2a﹣2b＝2（a﹣b），正确；

B、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），正确；

C、a2+4a﹣4不能因式分解，错误；

D、﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2），正确；

故选：C．

4．（2017秋?南关区校级期末）数学老师给出如下数据1，2，2，3，2，关于这组数据的正确说法是（）

A．众数是2B．极差是3C．中位数是1D．平均数是4【解答】解：A、众数是2，故A选项正确；

B、极差是3﹣1＝2，故B选项错误；

C、将数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，中位数是2，故C选项错误；

D、平均数是（1+2+2+2+2）÷5=9

5，故D选项错误；，

故选：A．

5．（2017秋?南关区校级期末）如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝85°，∠B＝65°，则∠CAD度数为（）

A．85°B．65°C．40°D．30°

【解答】解：∵∠BAC＝85°，∠B＝65°，

∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B，

＝180°﹣85°﹣65°，

＝180°﹣150°，

＝30°．

故选：D．

6．（2015?荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10B．8C．10D．6或12

【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，

∵2+2＝4，

∴不能组成三角形，

②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，

能组成三角形，

周长＝2+4+4＝10，

综上所述，它的周长是10．

故选：C．

7．（2013?长春模拟）如图，在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长为（）

A．6B．7C．8D．10

【解答】解：∵AC的垂直平分线交AD于E，

∴AE＝EC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC＝AB＝3，AD＝BC＝4，

∴EC+DE＝4，

∴△CDE的周长为3+4＝7，

故选：B．

8．（2017春?定安县期末）在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中不正确的是（）

A．四边形AEDF是平行四边形

B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形

C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形

D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形

【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；

又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故

A、B正确；

如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠F AD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠F AD＝∠ADF，

∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故D 正确；

故选：C．

二、填空题（每小题3分，共18分）

9．（2017秋?南关区校级期末）﹣21a2b3c÷3ab＝﹣7ab2c．

【解答】解：﹣21a2b3c÷3ab＝﹣7ab2c．

故答案为﹣7ab2c．

10．（2015秋?端州区期末）若5x﹣3y﹣2＝0，则105x÷103y＝100．【解答】解：∵5x﹣3y﹣2＝0，

∴5x﹣3y＝2，

∴105x÷103y＝105x﹣3y＝102＝100．

11．（2017秋?南关区校级期末）在平行四边形ABCD中，已知∠A﹣∠B＝60°，则∠C＝120°．

【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，

又有∠A﹣∠B＝60°，

把这两个式子相加相减即可求出∠A＝∠C＝120°，

故答案为：120°．

12．（2018?惠州一模）已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为24．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，

∴这个菱形的面积为6×8÷2＝24

故答案为24

13．（2006?浙江）甲、乙两台机器分别罐装每瓶质量为500克的矿泉水．从甲、乙罐装的矿泉水中分别随机抽取了30瓶，测算得它们实际质量的方差是：S甲2＝4.8，S乙2＝3.6．那么乙罐装的矿泉水质量比较稳定．

【解答】解：因为4.8＞3.6，所以S甲2＞S乙2，所以乙罐装的矿泉水质量比较稳定．故填乙．

14．（2012?铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值√2．

【解答】解：

∵四边形CDEF 是正方形，

∴∠OCD ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD ， ∵AO ⊥OB ， ∴∠AOB ＝90°，

∴∠COA +∠AOD ＝90°，∠AOD +∠DOB ＝90°， ∴∠COA ＝∠DOB ， ∵在△COA 和△DOB 中 {∠OCA =∠ODB OC =OD ∠AOC =∠DOB

， ∴△COA ≌△DOB （ASA ）， ∴OA ＝OB ， ∵∠AOB ＝90°，

∴△AOB 是等腰直角三角形，

由勾股定理得：AB =√OA 2+OB 2=√2OA ， 要使AB 最小，只要OA 取最小值即可， 根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小， ∵正方形CDEF ， ∴FC ⊥CD ，OD ＝OF ， ∴CA ＝DA ， ∴OA =1

2CF ＝1，

即AB=√2，

故答案为：√2．

三、解答题（共78分）

15．（6分）（2017秋?南关区校级期末）计算：

（1）√25?√8

3?(π?3)0

（2）（5x+1）（﹣2x+3）

【解答】解：（1）原式＝5﹣2﹣1＝2；

（2）（5x+1）（﹣2x+3）

＝﹣10x2+15x﹣2x+3

＝﹣10x2+13x+3．

16．（6分）（2017秋?南关区校级期末）将下列各式因式分解：

（1）2a2﹣6a

（2）9（a+b）2﹣6（a+b）+1．

【解答】解：（1）原式＝2a（a﹣3）；

（2）原式＝[3（a+b）﹣1]2＝（3a+3b﹣1）2．

17．（6分）（2017秋?南关区校级期末）先化简，后求值：已知：a（a﹣4）+（1﹣a）（1+a），

其中a=?1 2．

【解答】解：a（a﹣4）+（1﹣a）（1+a）＝a2﹣4a+1﹣a2

＝﹣4a+1，

当a=?1

2时，原式＝﹣4a+1＝3．

18．（7分）（2018春?乐亭县期末）如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB＝a，DE＝b（a＞b）．

（1）写出AG的长度（用含字母a，b的代数式表示）；

（2）观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；

（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，

试利用（2）中的公式，求a，b的值．

【解答】解：（1）AG＝a﹣b；

（2）能．a2﹣b2或a?（a﹣b）+b?（a﹣b）；

a2﹣b2＝a?（a﹣b）+b?（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），

即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

（3）由题意，得a﹣b＝16①，

a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝960，

∴a+b＝60②，

由①、②方程组解得a＝38，b＝22．

故a的长为38cm，b的长为22cm

19．（7分）（2019?徐州一模）我校对全校学生进传统文化礼仪知识测试，为了了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，现将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．

请你根据图中所给的信息解答下列问题：（1）本次随机抽取的人数是120人，并将以上两幅统计图补充完整；

（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则我校被抽取的学生中有96人达标；

（3）若我校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？

【解答】解：（1）根据题意得：24÷20%＝120（人），

则“优秀”人数为120﹣（24+36）＝60（人），“一般”占的百分比为36

120

×100%＝30%，

补全统计图，如图所示：

（2）根据题意得：36+60＝96（人），则达标的人数为96人；

（3）根据题意得：96

120

×1200＝960（人），

则全校达标的学生有960人．

故答案为：（1）120；（2）96人．

20．（7分）（2017秋?南关区校级期末）定义概念：如图，在直角三角形ABC中，锐角α

的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=角α的对边

斜边

=BC

AB，根据上述角

的正弦的概念，解答下列问题：在Rt△ABC中，

（1）当AC＝12，AB＝13时，求sinα的值；

（2）当α＝30°，AB＝20时，则BC＝10．

【解答】解：（1）∵AC＝12，AB＝13，∠BCA＝90°，∴BC＝5，

∴sinα=BC

AB

=513；

（2）∵AB＝20，∠BCA＝90°，α＝30°，

∴BC＝10；

故答案为：10．

21．（8分）（2017秋?南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB＝CD，∠BAC＝∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．

【解答】证明：∵AB ∥CD 且AB ＝CD ，

∴四边形ABCD 是平行四边形，∠ABD ＝∠BDC ， ∵∠BAC ＝∠BDC ， ∴∠ABD ＝∠BAC ， ∴OA ＝OB ， ∴AC ＝BD ，

∴平行四边形ABCD 是矩形．

22．（9分）（2016?来宾）如图，在正方形ABCD 中，点E （与点B 、C 不重合）是BC 边上一点，将线段EA 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，过点F 作BC 的垂线交BC 的延长线于点G ，连接CF ．

（1）求证：△ABE ≌△EGF ；

（2）若AB ＝2，S △ABE ＝2S △ECF ，求BE ．

【解答】（1）证明：∵EF ⊥AE ， ∴∠AEB +∠GEF ＝90°， 又∵∠AEB +∠BAE ＝90°， ∴∠GEF ＝∠BAE ， 又∵FG ⊥BC ，

∴∠ABE ＝∠EGF ＝90°， 在△ABE 与△EGF 中， {∠ABE =∠EGF ∠BAE =∠GEF AE =EF

， ∴△ABE ≌△EGF （AAS ）；

（2）解：∵△ABE ≌△EGF ，AB ＝2，

∴AB ＝EG ＝2，S △ABE ＝S △EGF ， ∵S △ABE ＝2S △ECF ， ∴S EGF ＝2S △ECF ， ∴EC ＝CG ＝1，

∵四边形ABCD 是正方形， ∵BC ＝AB ＝2， ∴BE ＝2﹣1＝1．

23．（10分）（2017秋?南关区校级期末）如图，分别以△ABC 的两边AB 和AC 为边向外作正方形ANMB 和正方形ACDE ，NC 、BE 交于点P ．

探究：试判断BE 和CN 的位置关系和数量关系，并说明理由． 应用：Q 是线段BC 的中点，若BC ＝6，则PQ ＝ 3 ．

【解答】解：CN ＝BE ，BE ⊥NC ， 理由如下：

∵四边形ANMB 和四边形ACDE 都是正方形， ∴AN ＝AB ，AC ＝AE ，∠NAB ＝∠CAE ＝90°， ∴∠NAB +∠BAC ＝∠CAE +∠BAC ， ∴∠NAC ＝∠BAE ． 在△ANC 和△ABE 中， {AN =AB

∠NAC =∠BAE AC =AE

，

∴△ANC≌△ABE（SAS），

∴CN＝BE，

设CN交AB于H，交BE于P，

∵△ANC≌△ABE，

∴∠ABE＝∠ANC，

∵∠PHB＝∠AHN，

∴∠HPB＝∠HAP＝90°，

∴BE⊥NC．

∵四边形NABM是正方形，

∴∠NAB＝90°，

∴∠ANC+∠AHN＝90°，

∵∠BHP＝∠AHN，∠ANC＝∠ABE，∴∠ABP+∠BHP＝90°，

∴∠BPC＝∠ABP+∠BHP＝90°，

∵Q为BC中点，BC＝6，

∴PQ=1

2BC＝3，

故答案为：3

24．（12分）（2017秋?南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC ＝5，AB＝4√2，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿射线CD以每秒1个单位长度的速度运动．设运动的时间为t秒．

（1）BC＝10．

（2）MC＝10﹣2t．（用t表示）

（3）求t为何值时，四边形AMCD为平行四边形．

（4）直接写出t为何值时，△AND为直角三角形．

【解答】解：（1）如图1，作AE⊥BC于点E、DF⊥BC于点F，

则∠AEF＝∠DFC＝90°，

∴AE∥DF，

∵AD∥BC，

∴四边形AEFD为矩形，

则AD＝EF＝3，

∵AB＝4√2、∠B＝45°，

∴AE＝BE＝DF＝4，

则FC=√CD2?DF2=√52?42=3，

∴BC＝BE+EF+FC＝4+3+3＝10，

故答案为：10；

（2）∵BM＝2t，BC＝10，

∴MC＝10﹣2t，

故答案为：10﹣2t；

（3）∵AD∥BC，

∴当AD＝MC，即3＝10﹣2t时，四边形ADCM为平行四边形，

解得t=7 2，

即当t=7

2时，四边形ADCM为平行四边形；

（4）如图2，当∠AND＝90°时，

∵S△ACD=1

2AD?DF=

1

2CD?AN，即

1

2

×3×4=12×5×AN，

∴AN=12 5，

由CN＝CD+DN可得t＝5+9

5

=345；

如图3，当∠NAD＝90°时，

∵∠AEF＝90°，AD∥BC，∴∠EAD＝90°，

∴∠NAD+∠EAD＝180°，∴点N、A、E三点共线，

∵AD∥BC，

∴△NAD∽△NEC，

∴

AD EC

=

ND NC

，即36

=

ND

ND+5

，

解得：DN ＝5， ∴NC ＝10， ∴t ＝10．

综上t =34

5或t ＝10时，△AND 为直角三角形．