初一数学基础知识讲义
第一讲 和绝对值有关的问题
一、 知识结构框图：
二、 绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()
||0a a a a a a ???
=??-??当为正数当为0当为负数
三、 典型例题
例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b
例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号
例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．无穷多个 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．
()()()()
()()
1111
112220072007ab a b a b a b ++++
++++++
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离
可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .
第二讲：代数式的化简求值问题
一、知识链接
1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容. 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题
例1．若多项式(
)
x y x x x mx 5378522
2
2
+--++-的值与x 无关，
求()[]
m m m m +---45222
的值.
例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63
5-++cx bx ax 的值。
例3．当代数式532
++x x 的值为7时,求代数式2932
-+x x 的值.
例4． 已知012
=-+a a ，求200722
3
++a a 的值.
例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？
例6．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bc
bc
ac ac ab ab c c b b a a x +
++++=， 则 12
3+++cx bx ax 的值是_______ 。
例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数
字1，2，3，4，5，6，7，…． （1）“17”在射线 ____上， “2008”在射线___________上．
（2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为__________________________．
例8． 将正奇数按下表排成5列:
第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9
第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25
根据上面规律，2007应在
A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列
例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，结果为k
n 2（其
中k 是使k
n
2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：
若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________．
F
26
13
44
11
第一次
F ② 第二次
F ① 第三次
F ② …
第三讲：与一元一次方程有关的问题
一、典型例题
例1．若关于x 的一元一次方程2332
x k x k
--+
=1的解是x=-1，则k 的值是（ ） A ．27 B ．1 C ．-13
11
D ．0
例2．若方程3x-5=4和方程03
31=--x
a 的解相同，则a 的值为多少？
例3.（方程与代数式联系）
a 、
b 、
c 、
d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad d c b a -=.
（1）则2121
-的值为 ；（2）当185
)1(42=-x 时，x = .
例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘米，
则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）
A ．
b a a + B ．b a b + C ．h a b + D ．h a h
+
例5． 小杰到食堂买饭，看到A 、B 两窗口前面排队的人一样多，就站在A 窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A 窗口队伍转移到B 窗口后面重新排队，将比继续在A 窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。 （提示）题中的等量关系为：小李在A 窗口排队所需时间=转移到B 窗口排队所需时间+
2
1
课外知识拓展：
一、含字母系数方程的解法：
思考：b ax =是什么方程？
在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a ≠0，所以b ax =不是一元一次方程
不考虑瓶子的厚度.
我们把它称为含字母系数的方程。
例6．解方程b
ax=
例7．问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。
例8．解方程
11
x x a b a
b ab
--+
-=
二、含绝对值的方程解法
例9．解下列方程523
x-=
例10．解方程
215
1
3
x--
=
例11．解方程121
x x
-=-+
第四讲：图形的初步认识
基本要求：
1．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
较高要求：
2．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的
一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
3．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对
两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （）
A．40 B.38 C.36 D. 34
4．下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）
9．下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是( )
A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱
C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
13．对右面物体的视图描绘错误的是（）
（四）新颖题型
1
2
3
6 4 5
c
84
25
b
a
A
．
B
．
C
．
D
．
16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为 .
第五讲：线段和角
一、知识结构图
直线
线段
直线性质
射线
线段的比较和画法线段的中点
线段性质两点间的距离
角
角的分类
角的比较、度量和画法
相关角
角平分线
平角直角锐角
周角
钝角
余角和补角
定义
性质
同角（或等角）
的补角相等
同角（或等角）
的余角相等
二、典型问题：
（一）数线段——数角——数三角形
问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？
问题2．如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有（）个
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
拓展：在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？
（二）与线段中点有关的问题
线段的中点定义：
文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点
图形语言：
M
几何语言：∵M是线段AB的中点
∴
1
2
AM BM AB
==，22
AM BM AB
==
典型例题：
1．由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（）
（A）AP=
2
1
AB （B）AB＝2PB （C）AP＝PB （D）AP＝PB=
2
1
AB
2．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 2
1
=
；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ． 其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ．
4．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（ ）
A 2（a-b ）
B 2a-b
C a+b
D a-b （三）与角有关的问题
1． 已知：一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠B OC =200，
则∠A OC =____________度（分类讨论）
2． A 、O 、B 共线，OM 、ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线，猜想∠ MON 的度数，试证明你的结论．
3．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF =∠，
求BOD ∠的度数．
4．如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， （1）若∠A = 60°，求∠O ；
（2）若∠A =100°，∠O 是多少？若∠A =120°，∠O 又是多少？ （3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三角形的内角和等于180°）
5．如图，O 是直线AB 上一点,OC 、OD 、OE 是三条射线,则图中互补的角共有（ B ）对 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
6．互为余角的两个角 （ ）
（A ）只和位置有关 （B ）只和数量有关
（C ）和位置、数量都有关 （D ）和位置、数量都无关
7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ ） A.
12（∠1＋∠2） B.12∠1 C.12（∠1－∠2） D.1
2
∠2 A D
B M C
N
A
C
N M
D
C
B
A
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
第六讲：相交线与平行线
一、知识框架
二、典型例题
1.下列说法正确的有( )
①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图所示,下列说法不正确的是( )
A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;
B.点C 到AB 的垂线段是线段AC
C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;
D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 3.下列说法正确的有( )
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ ）
A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30°
B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130°
C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130°
D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°
5．如图，若AC ⊥BC 于C ，CD ⊥AB 于D ，则下列结论必定成立．．．．的是（ ） A. CD>AD B.AC 6．如图,已知AB ∥CD,直线EF 分别交AB,CD 于E,F,EG?平分∠BEF,若∠1=72°, A B 1 E F 2 C P D l 3 l 2l 1 O 3 4l 3 l 2l 11 2 则∠2=______. 7．如图,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( ) ?A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 8．如图，直线l 1、l 2、l 3交于O 点，图中出现了几对对顶角，若n 条直线相交呢？ 9. 如图，在44?的正方形网格中，321∠∠∠，，的大小关系是_________． 10. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想) 12．如图，若AB//EF ，∠C= 90°，求x+y-z 度数。 13．已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012 ， 求证：∠=∠E F 第七讲：平面直角坐标系 一、知识要点： 1、特殊位置的点的特征 （1）各个象限的点的横、纵坐标符号 （2）坐标轴上的点的坐标：x 轴上的点的坐标为)0,(x ,即纵坐标为0; y 轴上的点的坐标为),0(y ，即横坐标为0; 2、具有特殊位置的点的坐标特征 1 2 3 设),(111y x P 、),(222y x P 1P 、2P 两点关于x 轴对称?21x x =，且21y y -=; 1P 、2P 两点关于y 轴对称?21x x -=，且21y y =; 1P 、2P 两点关于原点轴对称?21x x -=，且21y y -=。 3、距离 （1）点A ),(y x 到轴的距离：点A 到x 轴的距离为|y |；点A 到y 轴的距离为|x |； （2）同一坐标轴上两点之间的距离： A )0,(A x 、 B )0,(B x ，则||B A x x AB -=；A ),0(A y 、B ),0(B y ，则||B A y y AB -=； 二、典型例题 1、已知点M 的坐标为（x ，y ），如果xy<0 , 则点M 的位置( ) (A)第二、第三象限 (B)第三、第四象限 (C)第二、第四象限 (D)第一、第四象限 2．点P （m ，1）在第二象限内，则点Q （-m ，0）在（ ） A ．x 轴正半轴上 B ．x 轴负半轴上 C ．y 轴正半轴上 D ．y 轴负半轴上 3．已知点A （a ，b ）在第四象限，那么点B （b ，a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．点P （1，-2）关于y 轴的对称点的坐标是（ ） A ．（-1，-2） B ．（1，2） C ．（-1，2） D ．（-2，1） 5．如果点M （1-x ，1-y ）在第二象限，那么点N （1-x ，y-1）在第 象限， 点Q （x-1，1-y ）在第 象限。 7．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别为（0，0）， （5，0），（2，3）则顶点C 的坐标为（ ） A ．（3，7） B ．（5，3） C ．（7，3） D ．（8，2） 8．已知点P （x , x ），则点P 一定 （ ） A ．在第一象限 B ．在第一或第四象限 C ．在x 轴上方 D ．不在x 轴下方 9．已知长方形ABCD 中，AB=5，BC=8，并且A B ∥x 轴，若点A 的坐标为（－2，4），则点C 的坐标为____________________________________________________________________。 10．三角形ABC 三个顶点的坐标分别是A （-4，-1），B （1，1），C （-1，4），将三角形ABC 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ） A ．（2，2），（3，4），（1，7） B ．（-2，2），（4，3），（1，7） C ．（-2，2），（3，4），（1，7） D ．（2，-2），（3，3），（1，7） 11．“若点P 、Q 的坐标是（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则线段PQ 中点的坐标为（ 122x x +12 2 y y +，）．” 已知点A 、B 、C 的坐标分别为（-5，0）、（3，0）、（1，4），利用上述结论求线段AC 、BC 的中点D 、E 的坐标，并判断DE 与AB 的位置关系． 13．如图，三角形AOB 中，A 、B 两点的坐标分别为（-4，-6）， A 9 A 10A 5 A 4A 7A 6 A 8 A 3A 2 A 1 o y x （-6，-3），求三角形AOB 的面积 ． 14．如图，四边形ABCD 各个顶点的坐标分别为 （–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）。 （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的? （2）如果把原来ABCD 各个顶点纵坐标保持不变， 横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？ 15．如图，已知A 1(1,0)、 A 2（1，1）、A 3（-1，1）、A 4（-1，-1）、 A 5（2，-1），…，则点A 2007的坐标为______________________. 第八讲：与三角形有关的线段 一、相关知识点 1．三角形的边 三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边 即：△ABC 中，a+b>c,b+c>a,c+a>b （两点之间线段最短） 由上式可变形得到： a>c －b ，b>a －c ，c>b －a 即有：三角形的两边之差小于第三边 2． 高:由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 3． 中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线 4． 角平分线：三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线. 二、典型例题 （一）三边关系 1．已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a 的取值范围是( ) A.1 2．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m 和5m 的木棒。如果要求第三根木棒的长度是整数小颖有几种选法？可以 是多少？ 3：已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线 求证：AD+BD>1 2 （AB+AC ） 2 1A B C D （二）三角形的高、中线与角平分线 问题：（1）观察图形，指出图中出现了哪些高线？ （2）图中存在哪些相等角？ 注意基本图形：双垂直图形 4．如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ， 垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （∠C 除外）相等的角的个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5．如图，⊿ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ， DF ⊥CE ，求∠CDF 的度数。 6．⊿ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O 。 （1）若∠ABC = 40°，∠ACB = 50°，则∠BOC = 。 （2）若∠ABC +∠ACB =116°，则∠BOC = 。 （3）若∠A = 76°，则∠BOC = 。 （4）若∠BOC = 120°，则∠A = 。 （5）你能找出∠A 与∠BOC 之间的数量关系吗？ 8．已知: BE, CE 分别为 △ABC 的外角 ∠ MBC, ∠NCB 的角平分线, 求: ∠E 与∠A 的关系 9．已知: BF 为∠ABC 的角平分线, CF 为外角∠ACG 的角平分线, 求: ∠F 与∠A 的关系