高中数学-排列组合二项式定理知识点

排列组合二项式定理知识点

2、排列、组合

3、二项式定理

内容典型题

定义①二项式定理:

(a＋b)n＝C 0n a n＋C 1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n

＝∑

=

n

r

r

n

C

a n－r

b r（n∈N＋）

②二项式展开式第r＋1项通项公式:

T

r－1

＝C r n a n－r b r

其中C r n（r＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数.

8.二项式8)1

(-

x的展开式中的第5项是( )

A. 70x4

B. 70x2

C. 56x3

D. －562

3

x

9.二项式(x－2)12展开式中第3项的系数是( )

A.264

B.－264

C.66

D.－1760

10.(x－2)8 的展开式中, x6的系数是( )

A. 56

B. －56

C. 28

D. 224

11.(x2＋)5展开式中的10x是( )

A.第2项

B.第3项

C.第4项

D.第5项

12.二项式x－1

x

6

的展开式中常数项是( )

A. 1

B. 6

C. 15

D. 20

13.设(3－x)n＝n

n

x

a

x

a

x

a

a+???+

+

+2

2

1

,已知

n

a

a

a

a+???+

+

+

2

1

＝64,则n＝.

14.设二项式(3x＋5)10＝

1

8

8

9

9

10

10

a

x

a

x

a

x

a

x

a+

+???+

+

+,则

1

8

9

10

a

a

a

a

a+

-???-

+

-＝.

15.二项式2x－1

x

6

的展开式中二项式系数最大的项是.

性质①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.

②如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大.

③二项式系数的和为n2，即

n

C＋1

n

C＋…＋r

n

C＋…＋n

n

C＝n2

④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即

n

C＋2

n

C＋…＝1

n

C＋3

n

C＋…＝1

2-n

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

排列组合与二项式定理知识点

排列组合与二项式定理知识点

第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： ) ,,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C

2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排 列个数等于! !...!!2 1 k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3 ! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列 个数1!3!3==n . 三、组合. 1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -= +--==Λ ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一

高中排列组合知识点汇总和典型例题[全]

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3)111111(1)! (1)! (1)!(1)! !(1)! n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决 排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意： 分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计 数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。 3．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元 素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空

排列组合题型总结

排列组合题型总结 排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。 一．直接法、 1． 特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理： 25A 24A =240 2．特殊位置法 （2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ， 共有14A 1 4A 24A =192所以总共有192+60=252 二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因 而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ??个，其中0在百位的有 2242?C ?22A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352A C ??-2242?C ?22A =432 （个） 三．插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方 法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ?=100中插 入方法。 四．捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×4 4A =576 练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ） 2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集， 所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分 类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （43．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

排列组合二项式定理知识点

第十六章 排列、组合、二项式定理 一、排列 )!(!)())((m n n m n n n n P m m n -= +---=4444434444421Λ个相乘 121 （如：)!(!3553453 5-=??=P ） 二、组合 !)!(!m m n n P P C m m m n m n -== （如：123345335533 353 5????= -==!)!(!P P C ） m n n m C C -=n ，m n m n m C C C 11+-=+n （如：253C C =5，36253C C C =+5） 三、二项式定理 1.二项式定理：000b a C b a n n n -=+)(111b a C n n ??+-n n n b a C ??+0Λ （1）展开式共有n+1项，其中第r+1项：r r n r n r b a C T ??=-+1 （2）其中r n C （0,1,2…）叫二项式系数 2.二项式系数的性质 (1)在二项展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。（对称性） (2)展开式中二项式系数最大的项： 若n 是偶数，是中间一项即第12 +n 项，二次项系数为2n n C ； 若n 是奇数，是中间两项即第21+n 、2 1 +n +1项，二次项系数为21 -n n C 、21 +n n C ； 【区别】展开式中系数最大的项：?? ?≥≥+++的系数 的系数的系数 的系数r r T T T T r r 121?求出r (3)二项式系数的和为n 2，即n n n n C C C 210=+++Λn 【区别】所有系数的和：令字母为1 (4)偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即1 31202-=++=++n n ΛΛn n n C C C C 3.二项式定理的主要应用 (1)赋值求职； (2)证明某些整除问题或求余数； (3)证明关于指数式与多项式的不等式； (4) 进行近似计算。

高中排列组合基础题 (含答案)

排列、组合问题基本题型及解法 同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法. 一、相邻问题“捆绑法” 将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列. 例1 甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？ 分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有33A ＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有22A ＝2种，所以共有6×2＝12种排法. 二、不相邻问题“插空法” 该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注意两端）. 例2 7个同学并排站成一排，其中只有A 、B 是女同学，如果要求A 、B 不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？. 分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是55A ＝120.再把A 、B 插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有24A ＝2 种方法.则共有52 54A A ＝440种排法. 三、定位问题“优先法” 指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素. 例3 6个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有 种. 分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有14A 种排法.然后将其余5个 排在余下的5个位置上，有55A 种方法.则共15 45A A ＝480种排法.还可以优先排两端（位置优先） . 四、同元问题“隔板法” 例4 10本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？ 分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图： ×× × ××× ×××× 一种插法对应于一种分法，则共有39C ＝84种分法. 五、先分组后排列 对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和. 例5 由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） （A ）210个 （B ）300个 （C ）464个 （D ）600个 分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有55A 个、113433A A A 个、113333A A A 个、113233A A A 个、13 33A A 个，合计300个，所以选B 例6 用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个? 【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有325555C C A 种， 其中0居首位的有314 544C C A 种，故符合条件的五位数共有325314 555544C C A C C A ＝11040个. 【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8. 把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的. ①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有325 545C C A 个； ②含0的，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有14A 种排法， 再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有3141 5444C C A A 种排法. 综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有325545C C A ＋3141 5444C C A A ＝11040个. 例8 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3

高考专题---总结排列组合题型

总结排列组合题型 一．直接法 1．特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：=240 2．特殊位置法 （2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192所以总共有192+60=252 二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432（个） 三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。 例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有=100中插入方法。 四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。 例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排

法，又乘法原理满足条件的排法有：×=576 练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（） 2．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有 其余的就是19所学校选28天进行排列） 五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法 例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。 分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种 练习1.(a+b+c+d)15有多少项？ 当项中只有一个字母时，有种（即a.b.c.d而指数只有15故。 当项中有2个字母时，有而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即 当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可 当项种4个字母都在时四者都相加即可． 练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（） 3．不定方程X 1+X 2 +X 3 +…+X 50 =100中不同的整数解有（） 六．平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？ 分析：分出三堆书（a 1,a 2 ）,(a 3 ,a 4 )，（a 5 ,a 6 ）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一 种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种 练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？ 2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。

(完整版)排列组合知识点与方法归纳

排列组合知识点与方法归纳 一、知识要点 1.分类计数原理与分步计算原理 （1）分类计算原理（加法原理）： 完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办 法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完 成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。 （2）分步计数原理（乘法原理）： 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m1× m2×…× m n种不同的方法。 2.排列 （1）定义 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的排列数，记为 . （2）排列数的公式与性质 a)排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）= 特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！ =1 b)排列数的性质： （Ⅰ） =（Ⅱ） （Ⅲ） 3.组合 （1）定义

a)从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合 b)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。 （2）组合数的公式与性质 a)组合数公式：（乘积表示） （阶乘表示） 特例： b)组合数的主要性质： （Ⅰ）（Ⅱ） 4.排列组合的区别与联系 （1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 （2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系： 二、经典例题 例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（） A .5种 B.6种 C. 7种 D. 8种 解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法； 第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有

排列组合二项式定理知识点

排列组合项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以．有．重．复．元．素．的排列. 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以 从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m- m?…m = m n..例

3! 1 . 3! 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ (解: m n 种) 二、排列. 1.(1)对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取 m (贰n )个元素，按照一定顺序 排成一列， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺 序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (mcn)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用 符号表 示. ⑷排列数公式： 注意：n n! (n 1)! n!规定 0! = 1 m m m m 1 m m 1 m m 1 On, A n 1 A n A m C n A n mA n A n nA n 1 /规^定 C n C n 1 2.含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有k 个不同元素a 1, a 2,……a n 其中限重复数为n 1、n ..... n k ,且n = n 计尊+ .. n k ,则S 的排列 例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n 喈3又例如：数字5、5、5、 求其排列个数？其排列个数 个数等于n n! n !n 2!...n k

高中数学排列组合例题

到车间也有7种分依此类推由分步计数原理共有76种不同的排法 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 . 解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这 两个位置 先排末位共有C 3 然后排首位共有C i 最后排其它位置共有A 3 113 由分步计数原理得 C 4C 3A 4 =288 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里 ，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内 5 2 2 部进行自排。由分步计数原理可得共有 A 5A 2A ； =480种不同的排法 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素 的位置，没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 m n 种 练习题： 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 _42_ 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯六. 环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法？ 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以 从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1 ）!种排法即7 ! 要求某几个元素必须排在一起的问题 ，可以用捆绑法来解决问题 ?即将需要相邻的元素合并 为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列 ?练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三. 不相邻问题插空策略 例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续岀场，则节目的岀场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 A 5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 Ae 不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有 A 5A 4 ______ 种 元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 练习 一5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目 ----------- 插入原节目单中， 且两个新 节目不相邻，那么不同插法的种数为 JQ_ 四. 定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题 ，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列 ，然后用总排列数除以这几个 元素之间 的全排列数，则共有不同排法种数是： A 7∕A 3 （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 丄种坐法，则共有 A ：种 方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗 ？ — — （插入法）先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有 ___________ 方法 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 练习题:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ C 15O 五. 重排问题求幕策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有 J-种分法.把第二名实习生分配 排列组合 A 4并 -CKMXxMXXX) ABCDEFGHA D- B E A F H G

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示. pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1. 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 cn,m 表示. cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m; 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/n1!*n2!*...*nk!. k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m. 排列Pnmn为下标，m为上标 Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n 组合Cnmn为下标，m为上标 Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

排列组合 二项式定理知识点

排列组合二项定理考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有 ．．重复 ．．的排列. ．．元素 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例

如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解： n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1! 3!3==n .

排列组合问题经典题型(含解析)

排列组合问题经典题型与通用方法 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例1.,,,, A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（） A、60种 B、48种 C、36种 D、24种 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. 例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种 （2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C 种 B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种 D、 444 1284 3 3 C C C A种 6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ （2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 7.名额分配问题隔板法: 例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 8.限制条件的分配问题分类法: 例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种 （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？ （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

高中数学排列组合典型例题精讲

概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．． 序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．． 。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 合作探究二 排列数的定义及公式 3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号m n A 表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导 探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是1n m -+，共有m 个因数； （2）,,m n N m n *∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A -- B ．2979k A - C ．3079k A - D ．3050k A - 例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中， m = n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=（叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）44A （3）)!1(-?n n 排列数公式的另一种形式： )! (!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 .

两个计数原理与排列组合知识点及例题

两个计数原理与排列组合知识点及例题两个计数原理内容 1、分类计数原理： 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法. 2、分步计数原理： 完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法. 例题分析 例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种？ 分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择 第二步配一个素菜有5种选择 第三步配一个汤有2种选择 共有N=3×5×2=30（种） 例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？ （1）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算。 解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择 第二类从下层取一本书有4种选择 共有N=5+4=9（种） （2）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择 第二步从下层取一本书有4种选择 共有N=5×4=20（种） 例3、有1、2、3、4、5五个数字. （1）可以组成多少个不同的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？ （1）分析： 1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 略解：N=5×5×5=125（个） 【例题解析】 1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？