同济大学--矩阵分析课件---矩阵论§3.6-2

矩阵论解题步骤-期末考试题

1. 广义逆（必考类型） 假设s x n 矩阵A 的广义逆为G ，且A 可以满秩分解为A = BC ，A 的秩r(A) = r ，则B 为s x r 矩阵，C 为r x n 矩阵。则G 可表示为： H 1 1 C (CC )(B B)B H H H G --= 例题： 步骤：显然，A 要分解为BC ，必须知道A 的秩，故先对A 进行行化简成最简式 ，r(A)=2，故A 满秩分解为A=（3x2） （2x4）=BC.根据A 的最简式来决定B 和C ，B 由A 最简式中只有1的原列组成，C 由A 的最简式的非零首元行组成。 B = ， C = ，H 11C (CC )(B B)B H H H A --+=，通过计算即可 得到A 的广义逆。（若B 、C 中有单位矩阵，那么A 的广义逆表达式可去掉矩阵） 性质： 2. 证明r(ABC)r(B)r(AB)+r(BC)+>=

比较重要的性质 (1) ABX=0与BX=0同解 r(AB)=r(B) (2) r(A)=r(H A A ) (3) r(A+B)<=r(A)+r(B) (4) r(AB)<=min[r(A),r(B)] (5) r(AB)>=r(A)+r(B)-n ，其中A=s x n ，B=n x t 步骤： 设r(B)=r ，B 的满秩分解为B=HK ，所以ABC=AHKC ， r(ABC)=r(AHKC)>=r(AH)+r(KC)-r （性质（5）） AB=AHK ，故r(AB)<=r(AH)，同理得r(BC)<=r(KC)，（性质（4）） 从而r(ABC)>=r(AB)+r(BC)-r(B)，原式得证 知识点： A ． 秩为r 的s x n 矩阵A 必可分解为A=BC ，其中B=s x r ，C=r x n 。该分解称为A 的 满秩分解。 3. nxn 2n n 2V {X |AX ,X C }n X ==∈，证明：12=V n C V ⊕ 证明包含两部分，1）证明12V V ⊕是直和 等价于 证明1 2V {0}V = 2）证明12V n C V ?⊕，12V n C V ?⊕ 步骤：

矩阵论论文

西安理工大学 研究生课程论文 课程名称：矩阵论 任课教师：XXX 论文/研究报告题目：线性变换在 电路方程中的应用 完成日期：2014年11月5日学科：Xxxx 学号：XXXXXXX 姓名：XXX 成绩：

线性变换在电路方程中的应用 摘要：电路分析中的坐标变换和复杂绕组变压器分析中所用的变压器变换都是电路方程的线性变换。根据矩阵理论，对坐标变换和变压器变换进行了统一阐释。坐标变换本质是一个方阵和对角阵的相似变换，变压器变换的本质是新变量对旧变量的表示，当变换矩阵的逆阵等于它的转置（共轭转置）阵时，坐标变换和变压器变换数学表示是相同的。通过对电路方程系数矩阵和三角阵的相似变换，同时得到了三相 abc 坐标系和任意速度旋转两相 dq0 坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 FB0 坐标系之间的变换矩阵。这有助于在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，也为提出电路方程线性变换的新类型提供了思路。 关键词：电路方程；线性变换；坐标变换；变压器变换 引言 在交流电机等电路分析中，常用的坐标变换是指三相静止 abc 坐标系任意速度旋转两相 d q坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、 前进 - 后退 F B坐标系，以及它们对应的特殊坐标系的变量之间的 相互转换。电路方程坐标变换的主要目的是使电压、电流、磁链方程系数矩阵对角化和非时变化，从而简化数学模型，使分析和控制变得简单、准确、易行。还有一类电路方程变换，其目的是用旧变量表示出新变量，例如变压器中由原边变量利用变比变换而来的副边变量，把这类电路方程变换称为变压器变换。坐标变换已有很多文献进行了阐述，但这些阐述大都是基于物理概念的。变压器变换在复杂绕组变

同济大学研究生课程教学大纲

同济大学 研究生课程教学大纲 课程名称 所在院（系、所） 适用专业 填表日期 同济大学研究生院培养处制

课程编号：（请用4号字填写） 课程名称：（请用黑体4号字填写） 英文名称：（请用4号字填写） 开课单位：（请用宋体5号字填写）开课学期：（请用宋体5号字填写）课内学时：（请用宋体5号字填写）教学方式：（请用宋体5号字填写）适用专业：（请用宋体5号字填写）考核方式：（请用宋体5号字填写）预修课程：（请用宋体5号字填写） 一、教学目标与要求（请用宋体5号字填写） 二、课程内容与学时分配（请用宋体5号字填写） 三、实验及实践性环节（注：此项没有的不填）（请用宋体5号字填写）

四、教材（序号，编著者姓名，教材名称，出版社，版次，出版日期） （请用宋体5号字填写） 主要参考书（序号，编著者姓名，教材名称，出版社，版次，出版日期） （请用宋体5号字填写） 大纲撰写负责人：（请用宋体5号字填写）授课教师：（请用宋体5号字填写）

课程编号：000109 课程名称：矩阵论 英文名称：The Theory of Matrices 开课单位：081（理学院数学系）开课学期：1 课内学时：60 教学方式：讲授 适用专业：工科各专业考核方式：考试 预修课程：线性代数、高等数学 一、教学目标与要求 本课程较全面、系统地介绍矩阵的基本理论、方法和某些应用，重点是线性空间及其映射、变换，以及矩阵运算等。难点是理解线性空间、线性映射、线性变换的不变子空间、 λ矩阵在相抵下的标准形和矩阵算子范数等抽象概念以及计算线性映射在基下的矩阵、- 的各种因子分解等。通过本课程中基本概念和基本定理的阐述和论证，培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力，提高研究生的数学素养。在重视数学论证的同时，强调数学概念的物理、力学等实际背景，培养研究生应用数学知识解决实际工程技术问题的能力。通过本课程的学习，要求研究生掌握矩阵的基本理论和方法，为学习后续课程、开展科学研究打好基础。 二、课程内容与学时分配 第一章线性空间与内积空间（8学时） 1．1 预备知识：集合·映射与数域 1．2 线性空间 1．3 基与坐标 1．4 线性子空间 1．5 线性空间的同构 1．6 内积空间 第二章线性映射与线性变换（8学时） 2．1 线性映射及其矩阵表示 2．2 线性映射的值域与核 2．3 线性变换 2．4 特征值与特征向量 2．5 矩阵的相似对角形 2．6 线性变换的不变子空间 2．7 酉（正交）变换与酉（正交）矩阵 第三章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（8学时） 3．1 一元多项式 3．2 λ-矩阵及其在相抵下的标准形3．3 λ-矩阵的行列式因子和初等因子 3．4 矩阵相似的条件 3．5矩阵的Jordan标准形 3．6 Cayley-Hamilton定理与最小多项式 第四章矩阵的因子分解（8学时） 4．1 初等矩阵 4．2 满秩分解 4．3 三角分解 4．4 QR分解 4．5 Schur定理与正规矩阵 4．6 奇异值分解

矩阵论课程论文

西安理工大学 研究生课程论文报告 课程名称：矩阵论 课程代号： 任课教师： 论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统 状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动 学号： 姓名： 成绩：

矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵 求解中的应用 摘 要 控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。 关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数. 1.问题提出 线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。 线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 线性定常系统齐次状态方程为 ()()t Ax t x = ()1-1 其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ?系数矩阵。设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。 设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即 )(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1 式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。 式()2-1代入方程()1-1得 () +++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1 既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有

同济大学研究生专业介绍：结构工程样本

同济大学研究生专业介绍: 结构工程 一、简介 结构工程学科是土木工程属下的二级学科, 在国民经济建设中有着重要的地位, 在促进城市建设、社会发展过程中做出了重大贡献。结构工程是同济大学历史最为悠久、综合实力最强的传统强势学科, 以其培养的卓越人才和丰硕的教学科研成果在国内外学术界、工程界享有重要的地位和影响。早在19 同济大学就已设立了结构类专业, 1952年全国高等院校院系调整以及1996年上海城市建设学院、上海建筑材料学院和上海铁道大学先后并入同济大学, 都促进了本学科的发展。1981年首批获得硕士和博士学位授予权, 1984年首批获得博士后流动站, 1987年入选为国家级重点学科, 又入选为上海市重点学科, 专业评估中继续入选国家级重点学科。 本学科在钢筋混凝土结构与砌体结构、钢结构与木结构、空间结构、结构分析、结构与生命线工程抗震防灾和控制、结构全寿命设计与维护等方向特色鲜明, 有着十分强实的师资和科研力量。现有教学、科研和试验人员167人, 其中工程院院士1人、长江学者及讲座教授4人、教授39人、副教授61人、高级工程师3人、高级实验师5人。这些师资中有许多是成就卓著、享有国际声誉的著名专家、学者, 引领着国内结构工程学科的发展。近年来本学科在人才培养、教学改革、国际合作与交流、科学研究、社会服务等各个层面取得了国内外公认的丰硕成果。每年平均招收硕士研究生200余名、博士研究生60多名, 完成了众多的教学改革项目, 出版了大量的高水平教材。已与欧洲、美国、加拿大、澳大利亚、日本、韩国等许多大学和机构建立了合作关系, 经常开展师生访问、学术交流、共同研究等活动和项目, 主办了多次国际学术会

2016北京邮电大学《矩阵分析与应用》期末试题

北京邮电大学 《矩阵分析与应用》期末考试试题（A 卷） 2015／2016学年第一学期（2016年1月17日） 注意：每题十分，按中间过程给分，只有最终结果无过程的不给分。 一、 已知22 R ?的两组基： 111000E ??=? ??? ，120100E ??=????，210010E ??=????，220001E ??=????； 11100 0F ??=? ???，121100F ??=????，211110F ??=????，221111F ??=????。 求由基1112212,,,E E E E 到11122122,,,F F F F 的过渡矩阵，并求矩阵 3542A -?? =?? ?? 在基11122122,,,F F F F 下的坐标。 二、 假定123x x x ，，是3 R 的一组基，试求由112323y x x x =-+， 2123232y x x x =++，312413y x x =+；生成的子空间()123,,L y y y 的基。 三、 求下列矩阵的Jordan 标准型 （1）1 0002 10013202 31 1A ???? ? ?=??????（2）310 0-4-1007121-7-6-10B ?? ????=?????? 四、 设()()123123,,,,,x y ξξξηηη==是3 R 的任意两个向量, 矩阵 210=120001A ?? ???????? ，定义(),T x y xAy = (1) 证明在该定义下n R 构成欧氏空间; (2) 求3 R 中由基向量()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1x x x ===的度量矩阵; 五、 设y 是欧氏空间V 中的单位向量，x V ∈，定义变换 2(,)Tx x y x y =- 证明：T 是正交变换。

矩阵论考试试题(含答案)

矩阵论试题 一、(10分)设函数矩阵 ()??? ? ??-=t t t t t A sin cos cos sin 求：()?t dt t A 0和(()?2 0t dt t A )'。 解：()?t dt t A 0=()???? ? ??-????t t t t tdt tdt dt t dt t 0 sin cos cos sin =??? ? ??---t t t t cos 1sin sin cos 1 (()?2 t dt t A )'=()??? ? ? ?-=?22 22 2sin cos cos sin 22t t t t t t t A 二、(15分)在3R 中线性变换σ将基 ????? ??-=1111α，????? ??-=1202α，??? ?? ??-=1013α 变为基 ????? ??-=0111β，????? ??-=1102β，??? ? ? ??-=2303β (1)求σ在基321,,ααα下的矩阵表示A ； (2)求向量()T 3,2,1=ξ及()ξσ在基321,,ααα下的坐标； (3)求向量()()ξσξ及T 3,2,1=在基321,,βββ下的坐标。 解：(1)不难求得： ()2111ααβασ-== ()32122αααβασ++-== ()321332αααβασ++-==

因此σ在321,,ααα下矩阵表示为 ??? ? ? ??---=110211111A (2)设()??? ?? ??=321321,,k k k αααξ，即 ??? ? ? ??????? ??---=????? ??321111021101 321k k k 解之得：9,4,10321-=-==k k k 所以ξ在321,,ααα下坐标为()T 9,4,10--。 ()ξσ在321,,ααα下坐标可得 ???? ? ??--=????? ??--????? ??---=????? ??1332239410110211111321y y y (3)ξ在基321,,βββ下坐标为 ??? ? ? ??-=????? ??--????? ??--=????? ??---61519410011111101 94101A ()ξσ在基321,,βββ下坐标为 ????? ??--=????? ??--????? ??--=????? ??---94101332230111111011332231A 三、(20分)设??? ? ? ??-=301010200A ，求At e 。 解：容易算得 ()()()()212--=-=λλλλ?A I

西北工业大学矩阵论PPT课件

矩阵论讲稿 讲稿编者：张凯院 使用教材：《矩阵论》（第2版） 西北工业大学出版社 程云鹏等编 辅助教材：《矩阵论导教导学导考》 《矩阵论典型题解析及自测试题》 西北工业大学出版社 张凯院等编 课时分配：第一章 17学时第四章8学时第二章5学时第五章8学时 第三章8学时第六章8学时

第一章 线性空间与线性变换 §1.1 线性空间 一、集合与映射 1．集合：能够作为整体看待的一堆东西． 列举法：},,,{321L a a a S = 性质法：}{所具有的性质a a S = 相等(：指下面二式同时成立 )21S S =2121,S S S a S a ?∈?∈?即 1212,S S S b S b ?∈?∈?即 交：}{2121S a S a a S S ∈∈=且I 并：}{2121S a S a a S S ∈∈=或U 和：},{22112121S a S a a a a S S ∈∈+==+ 例1 R}0{2221111∈ ==j i a a a a A S R}0 {221211 2∈ ==j i a a a a A S ，21S S ≠ R},00{22112211 21∈ ==a a a a A S S I R},0{211222211211 21∈= ==j i a a a a a a a A S S U R}{2221 1211 21∈ ==+j i a a a a a A S S 2．数域：关于四则运算封闭的数的集合． 例如：实数域R ，复数域C ，有理数域，等等． Q 3．映射：设集合与，若对任意的1S 2S 1S a ∈，按照法则σ，对应唯一的

矩阵论复习总结

第一章：矩阵的相似变换 1.特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2.相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3.Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形方法：特征向量法、初等变换法、初等因子法4.Hamilton-Cayley定理 应用：特定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5.向量的内积 6.酉相似下的标准型 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵 第二章：范数理论 1.向量的范数 计算：1,2，∞范数 2.矩阵的范数 计算：1,2，∞，m∞，F范数，谱半径 3.谱半径、条件数

第三章：矩阵分析 1.矩阵序列 2.矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和3.矩阵函数 计算：矩阵函数值，eAt，Jordan矩阵的函数值 4.矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵的导数，数量函数对向量的导数 αT X=X Tα 如， dt )t( d A，f(X)= X T AX 等 R(X) 5.应用 计算：求一阶常数线性微分方程组 第四章：矩阵分解 1.矩阵的三角分解 计算：Crout分解，Doolittle分解，Choleskey分解2.矩阵的QR分解 计算：Householder矩阵，Givens矩阵 矩阵的QR分解或者向量化为与e1同方向 3.矩阵的满秩分解 计算：满秩分解

4.矩阵的奇异值分解 计算奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示1.特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2.特征值的包含区域 计算：Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值 3.Hermite矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh商在某个空间上的极值 4.广义特征值问题 计算：AX=λBX 转化为一般特征值问题 第六章：广义逆矩阵 1.广义逆矩阵的概念 2.{1}逆及其应用 计算：A(1) 判别矩阵方程AXB=D，Ax=b解的情况 3.Moore-Penrose逆A+ 计算：利用A+判别方程组Ax=b解的情况， 并求极小范数解或极小范数最小二乘解 第七章：矩阵的直积 1.矩阵的直积 计算：A B的特征值，行列式，迹，秩

2014年矩阵论考试样卷(研究生)

同济大学课程考核试卷（样卷） 2013—2014学年第一学期 命题教师签名： 审核教师签名： 课号：2102001 课名：矩阵论 考试考查：考试 此卷选为：期中考试( )、期终考试( √ )、重修( )试卷 （注意：本试卷共七大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟.要求写出解题过程，否则不予计分） 一、填空与选择题（4?6分） 1.设矩阵134251122A --?? ? =-- ? ??? 的三角分解A LR =，则单位下三角形矩阵L = 2.设5阶矩阵A 的特征矩阵E A λ-的初等因子是2 ,,2,2λλλλ--，则A 的最小多项式 ()m λ= 。 3.设T 是22 R ?上的线性变换：对任意2 2R ?∈A ，()2T T A A A =+，则T 的特征值 是 。 4.设A 为4阶实矩阵，线性方程组0Ax =的解空间是V ，4 (){|R }R A Ax x =∈，则V 在4 R 内的正交补是 A. ()R A B. ()T R A C. ()()T R A R A ? D. ()()T R A R A + 5. 设3 R 中1{(,0,0)|R }T V x x =∈，2{(,,)|R }T V x x x x =∈，则12V V += A.{(,,)|,R }T x x y x y ∈ B.{(,,)|,R }T x y x x y ∈ C.{(,,)|,R }T x y y x y ∈ D. }R ∈x x x x T |),,{( 6.设A 是m n ?矩阵，则[()]T R AA += A.()R A B.()T R A )(+A R D.前三个选项都不对 二、（14分）设1231231001002,1,0;0,1,1121111αααβββ???????????? ? ? ? ? ? ? ====== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?---???????????? 是3R 的两 组基，T 为3 R 上的线性变换，T T 1231313((,,))(2,,2)T x x x x x x x =+，求 （1）求由基123,,ααα到基123,,βββ的过度矩阵； （2）T 在基123,,βββ的下的矩阵。

矩阵理论期末试题2016-2017第一学期A卷

1 电子科学与工程学院 硕士研究生 《 矩阵论 》期末考试试卷 闭 卷 任课教师姓名:____ ___ 考试日期： 2016.12.29 上午10：00-12：00 考试时长： 120 分钟 考生年级 考生专业 考生学号 考生姓名 一 .（10分） 设n s ?∈C A ，证明： )()()( +++-==AA I K A A R A R 二.（10 分） 设 ，求500 A -549A 。 三.（10分） 四.（15分） 设求 的特征值、最小多项式和Jordan 标准形。 ?? ??? ??---=502613803A ??? ?? ??----=411301221A 假设3[]V R x =中的内积定义为 1 1(),()()()f x g x f x g x dx -<>=? 求2x η=在(1,)W L x =中的正投影。

2 五.（15分） () 2222??∈C C Hom f ，，定义为：22C X ?∈?， X 1122(X)??? ? ??∈f 1. 求 f 在基22211211,,,E E E E 下的矩阵； 2. 求f 的特征值及其相应的特征子空间的基； 3. 问是否存在22C ?的基，使得f 的矩阵为对角阵，给出理由。 六.（10分） 七.（15分） 设 ， 求A e e At A cos ,,。 八.（15分） 设矩阵 ， 求A +。 ??? ?? ??=421101104321A 。3求行列式,)2(并且，,103满足,已知2I A p I A r I A A C A n n -=++=∈?? ???? ??---=10142681330A

南京航空航天大学Matrix-Theory双语矩阵论期末考试2015

NUAA

Let 3P (the vector space of real polynomials of degree less than 3) defined by (())'()''()p x xp x p x σ=+. (1) Find the matrix A representing σ with respect to the ordered basis [21,,x x ] for 3P . (2) Find a basis for 3P such that with respect to this basis, the matrix B representing σ is diagonal. (3) Find the kernel （核） and range （值域）of this transformation. Solution: (1) 221022x x x x σσσ===+（）（）（） 002010002A ?? ? = ? ? ?? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (2) 101010001T ?? ? = ? ??? (The column vectors of T are the eigenvectors of A) The corresponding eigenvectors in 3P are 1000010002T AT -?? ? = ? ??? (T diagonalizes A ) 22[1,,1][1,,]x x x x T += . With respect to this new basis 2 [1,,1]x x +, the representing matrix of σis diagonal. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (3) The kernel is the subspace consisting of all constant polynomials. The range is the subspace spanned by the vectors 2,1x x + -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------