(完整版)导数单元测试题理及答案
高 二 数 学 阶 段 检 测(理)
一．选择题（共10题，每题5分）
1． 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为 （ ）
A. 1
B. 2
C. －1
D. 0
2． 函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为
( )
A ．),2(+∞
B ．)2,(-∞
C ．)0,(-∞
D ．（0，2） 3．曲线3231y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A ．34y x =-
B 。32y x =-+
C 。43y x =-+
D 。45y x =- a 4． 由曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为( )
A.
16 B. 13 C. 56 D. 2
3
5． 函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6． 在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于
4
π
的点中，坐标为整数的点的个数是 ( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
7．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）
A ．0a >
B ．0a ≥
C ．0a <
D ．0a ≤
8．设函数f (x)在定义域内可导，y = f (x)的图象如左图所示，则导函数y =f ′(x)的图象可能是
C. D.
9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )
x 2
<0恒成立，则不等
式x 2f (x )>0的解集是
( )
A ．(－2,0)∪(2，＋∞)
B ．(－2,0)∪(0,2)
10．曲线313y x x =
+在点413??
???
，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19
Ｂ．
29 Ｃ．13
Ｄ．
23
二．填空题（共5题，每题5分）
11．设f ( x ) = x 3－2
1x 2
－2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取
值范围为 .
12．函数y = f ( x ) = x 3
＋ax 2
＋bx ＋a 2
，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。 13．已知函数f (x )＝1
2mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．
14．设点P 是曲线3
233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是 。
15．已知函数f (x )＝x －
1
x ＋1
，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________．
三．解答题
16（12分）．已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.
17（12分）．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值. （Ⅰ）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值； （Ⅱ）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程.
18（12分）．已知函数323
()(2)632
f x ax a x x =-++-
（1）当2a >时，求函数()f x 极小值；（2）试讨论曲线()y f x =与x 轴公共点的个数。
19（12分）.
甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方
索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t
（吨）满足函数关系x =s 元（以下称s 为赔付价格）．
（Ⅰ）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （Ⅱ）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0．002t 2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少?
20（13分）．设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．
21（14分）.设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ) 当1,12k ??
∈ ???
时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .
一．选择题ADBAD DCCDA
9、解析 x >0时??????
f (x )x ′<0，∴φ(x )＝f (x )x 为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0 此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2 f (x )>0的解集为(0,2)∪(－∞，－2)． 二．填空题 11、m>7 12、4 -11 13、答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0对一切x >0恒成立， m ≥－? ?? ??1x 2＋2 x ， 令g (x )＝－? ????1x 2＋2 x ，则当1x ＝1时，函数g (x )取最大值1，故m ≥1. 14、),3 2[]2,0[ππ πY 15、答案 ?????? 94，＋∞ 解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递 增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤ －1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋5 2x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成 立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝9 4，故 只需a ≥9 4. 三．解答题 16．解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以 ,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是0 76=+-y x 知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即.3,0,32.121,623-==???=-=-???=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即故 所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （2） .012,0363. 363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当 ;0)(,21,21>'+>- )21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数， 在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数. 17．（Ⅰ）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即 ?? ?=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(23-+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x . 若),1()1,(∞+--∞∈Y x ，则0)(>'x f ， 故)(x f 在)1,(--∞上是增函数，)(x f 在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数. 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值. （Ⅱ）解：曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上. 设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03 03x x y -=. 因)1(3)(20 0-='x x f ，故切线的方程为))(1(302 00x x x y y --=- 注意到点A （0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(1602 0030x x x x --=-- 化简得83 -=x ，解得20-=x . 所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x . 18．解：（1）'22()33(2)63()(1),f x ax a x a x x a =-++=--()f x 极小值为(1)2a f =- （2）①若0a =，则2()3(1)f x x =--，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ②若0a <， ∴()f x 极大值为(1)02a f =- >，()f x Q 的极小值为2 ()0f a <， ()f x ∴的图像与x 轴有三个交点； ③若02a <<，()f x 的图像与x 轴只有一个交点； ④若2a =，则'2()6(1)0f x x =-≥，()f x ∴的图像与x 轴只有一个交点； ⑤若2a >，由（1）知()f x 的极大值为22133 ()4()044 f a a =---<，()f x ∴的图像与x 轴只有 一个交点； 综上知，若0,()a f x ≥的图像与x 轴只有一个交点；若0a <，()f x 的图像与x 轴有三个交点。 19. 解：（Ⅰ）因为赔付价格为S 元／吨，所以乙方的实际年利润为：(0).w st t =≥ 因为2 210001000)w st s s s ==-+， ……………4分 所以当2 1000()t s =时，w 取得最大值． 所以乙方取得最大年利润的年产量2 1000()t s =吨 ……………5分 2 将2 1000()t s =代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格之间的函数关系式： 234 100021000v s s ?=- ……………………………………7分 又2323255 1000810001000(8000) s v s s s ??-'=+= 令0v '=，得s=20． 当s<20时，0v '>；当s>20时，0v '<，所以s=20时，v 取得最大值．…11分 因此甲方向乙方要求赔付价格s=20（元／吨）时，获最大净收入．…………12分 20．解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++， 因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=． 即6630241230a b a b ++=??++=?， ．解得3a =-，4b =． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++， 2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--． 当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立， 所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ，，． 21. 【答案】(Ⅰ) 当1 k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表: x (),0-∞ 0 ()0,ln 2 ln 2 ()ln 2,+∞ ()f x ' + 0 - 0 + ()f x 增 极 减 极 增 大值 小值 右表可知,函数()f x 的递减区间为()0,ln 2,递增区间为(),0-∞,()ln 2,+∞. (Ⅱ) ()()() 1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-,令 ()0 f x '=,得 10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'= -=>,所以()g k 在1,12?? ??? 上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<;当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>; 所以()(){}(){}3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令 ()()311 k h k k e k =--+,则 ()() 3k h k k e k '=-,令 ()3k k e k ?=-,则 ()330k k e e ?'=-<-< 所以()k ?在1,12?? ???上递减,而()()1313022e ??????=--< ????? 所以存在01,12x ??∈ ???使得()00x ?=,且当01,2k x ?? ∈ ??? 时,()0k ?>,当() 0,1k x ∈时,()0k ?<, 所以()k ?在01,2x ?? ??? 上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为17028h ??=> ???,()10h =,所以()0h k ≥在1,12?? ??? 上恒成立,当且仅当1k =时取 得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--. 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( ) 3 B 10 3 C 16 3 D 13 = 2 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知 f ( x ) = ax 3 + 3x 2 + 2 ，若 f '(-1) = 4 ，则 a 的值等于 A 19 3 2 已知直线 y = kx + 1 与曲线 y = x 3 + ax + b 切于点（1，3），则 b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数 y （x + 2a ）(x-a ) 的导数为 A 2( x 2 - a 2 ) B 3(x 2 + a 2 ) C 3(x 2 - a 2 ) D 2( x 2 + a 2 ) 1 4 4 曲线 y = x 3 + x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 3 3 A 1 2 1 2 B C D 9 9 3 3 5 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的导数为 f '( x ), f '(0) > 0 ，对于任意实数 x ，有 f ( x ) ≥ 0 ，则 最小值为 f (1) f '(0) 的 A 3 B 5 2 C 2 D 3 2 6 已知函数 f ( x ) 在 x = 1 处的导数为 3，则 f ( x ) 的解析式可能为 A C f ( x ) = ( x -1)2 + 3(x - 1) f ( x ) = 2( x - 1)2 B f ( x ) = 2( x - 1) D f ( x ) = x - 1 7 下列求导数运算正确的是 A 1 1 ( x + )' = 1 + x x 2 B (log x )' = 2 1 x ln 2 C (3x )' = 3x ? log e D ( x 2 cos x )' = -2 x sin x 3 8 曲线 y = A π 6 1 3 x 3 - x 2 + 5 在 x = 1 处的切线的倾斜角为 3π π π B C D 4 4 3 9 曲线 y = x 3 - 3x 2 + 1 在点 (1,-1) 处的切线方程为 A y = 3x - 4 B y = -3x + 2 C y = -4 x + 3 D y = 4 x - 5 10 设函数 y = x sin x + cos x 的图像上的点 ( x , y ) 处的切线斜率为 k ，若 k = g ( x ) ，则函数 k = g ( x ) 的图导数练习题 含答案
导数练习题(含答案).
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