高考理科数学试题及答案2002

高考理科数学试题及答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目

要

求

的

。

1.

31i

i

+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -

2. 设集合{}1,2,4A =，{}

2

40x x x m B =-+=．若{}1A

B =，则B =（）

A ．{}1,3-

B ．{}1,0

C ．{}1,3

D ．{}1,5

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百

八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某

几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π

5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??

-+≥??+≥?

，则2z x y =+的

最小

值是（）

A ．15-

B ．9-

C ．1

D ．9

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共

有（）

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，

2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

A ．乙可以知道四人的成绩

B ．丁可以知道四人的成绩

C ．乙、丁可以知道对方的成绩

D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的

S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

9. 若双曲线C:22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐

近线被圆()2

224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．

23

10. 若2x =-是函数2

1`

()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1

11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB

与1C B 所成角的余弦值为（）

A ．

32 B ．155 C ．105

D ．33 12. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小值是（）

A.2-

B.32-

C. 4

3

- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽

到的二等品件数，则D X =． 14. 函数()23sin 3cos 4f x x x =+-

（0,2x π??

∈????

）的最大值是．

15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则

11

n

k k

S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:2

8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为

F N 的中点，则F N =．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）

ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2

sin()8sin 2

B

A C +=． (1)求cos B

(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b

18.（12分）

淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下： 1.

设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；

2.

填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法 新养殖法

3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P （

）

0.050 0.010 0.001 k

3.841

6.635

10.828

19.（12分）

如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠= E 是PD 的中点.

（1）证明：直线//CE 平面PAB

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所 成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值 20. （12分）

设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =

.

（1） 求点P 的轨迹方程；

（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.（12分）

已知函数3

()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2

30()2e

f x --<<.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2

C 的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为(2,

)3

π

，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值．

23.[选修45：不等式选讲]（10分）

已知3

3

0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）3

3()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．

参考答案

1．D

2．C

【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =

∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，

3．B

【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112

-==-a S ，解得13a =．

4．B

【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 5．A

【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．

6．D

【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．

由此把4份工作分成3份再全排得23

43C A 36?=

7．D

【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．

甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．

8．B

【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =． 9．A

【解析】取渐近线b

y x a =

，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，到直线距离为22

23b a b =

+ 得224c a =，24e =，2e =．

10．C

【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角

（异面线所成角为π02?

? ??

?，）

可知1152MN AB =

=

，112

2NP BC ==，

作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形． 1=PQ ，1

2

MQ AC =

ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠

14122172??

=+-???-= ???

，7=AC

则7MQ =

，则MQP △中，22112

MP MQ PQ =+= 则PMN △中，222

cos 2MN NP PM PNM MH NP

+-∠=??

又异面线所成角为π02?

? ??

?，，则余弦值为10．

11．A 【解析】()()21

21x f x x a x a e -'??=+++-???

， 则()()3

2422101f a a e a -'-=-++-?=?=-????，

则()()211x f x x x e -=--?，()()212x f x x x e -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-．

12．B

【解析】几何法：

如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点）， 则()

2PA PB PC PD PA ?+=?，

要使PA PD ?最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ?=-?， 即求PD PA ?最大值， 又3

23PA PD AD +==?

=， 则2

233

24PA PD PA PD ??+?? ??== ? ? ??

???≤， P

D C

B

A

则min 332242

PD PA ?=-?=-． 解析法：

建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点， ∴()

03A ，，()10B -，，()10C ，． 设()P x y ，， ()

3PA x y

=--，，

()

1PB x y =---，，

()1PC x y =--，，

∴()

222222PA PB PC x y y ?+=-+

则其最小值为33242??

?-=- ???

，此时0x =，3y =．

13．1.96

【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =

则()11000.020.98 1.96x D np p =-=??= 14．1

【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ???

?=+-∈ ????

???，

令cos x t =且[]01t ∈， 则当3

t =时，()f x 取最大值1． 15．

2+1

n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．

则3123a a d =+=

求得11a =，1d =，则n a n =，()12

n n n S +=

16．6

【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，

，准线:2l x =-，

如图，M 为F 、N 中点，

l F

N M C B

A

O

y

x

故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线， ∵2CN =，4AF =， ∴3ME =

又由定义ME MF =， 且MN NF =， ∴6

NF NM MF =+=

17.

【解析】（1）依题得：2

1cos sin 8sin

84(1cos )22

B B B B -==?=-． ∵22sin cos 1B B +=， ∴2216(1cos )cos 1B B -+=， ∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=， ∴15

cos 17

B =

， （2）由⑴可知8sin 17

B =． ∵2AB

C S =△， ∴1

sin 22ac B ?=， ∴18

2217

ac ?=， ∴17

2ac =

， ∵15cos 17

B =

， ∴22215217

a c

b a

c +-=，

∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=，

∴2361715b --=，

∴2b =．

18．

【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B

“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C

而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+?

（2）

由计算可得2K 的观测值为 ∵15.705 6.635> ∴()2 6.6350.001P K ≈≥

∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．

（3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=

80.0320.06817÷=

，8

5 2.3517

?≈ 50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．

19．【解析】

（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．

∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴1

2

EF AD ∥．

又∵90BAD ABC ∠=∠=?，∴BC AD ∥． 又∵12AB BC AD ==

，∴1

2

BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥． 又∵BF PAB ?面，∴CE PAB 面∥

（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．

设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，，，(010)D ，，，

(00P ，．

M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=?，

∴MBM '△为等腰直角三角形．

∵POC △为直角三角形，OC =

，∴60PCO ∠=?．

设MM a '=，3CM a '=

，3

1OM a '=-．∴3100M a ??'- ? ???

，，． 2

22

231610133BM a a a a ??'=++=+=?= ? ???．∴3211OM a '=-=-． ∴21002M ??'- ? ???，，，26102M ??

- ? ???

，， 2611AM ??=- ? ???

，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 116

0y z +

=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，

(001)n =，，．

∴10

cos ,m n m n m n

?<>=

=

?． ∴二面角M AB D --的余弦值为10

． 20．

【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ，

(0)NP y =，又1022NM NP ?== ??

?，

∴2M x y ?

?

???

，，又M 在椭圆上． ∴2

2122x += ???

，即222x y +=． (3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，

⑵设点

由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ?=?---=，，， ()

2

1OP OQ OP OP OQ OP ?-=?-=，

∴2

13OP OQ OP ?=+=， ∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ?+=-+=．

设直线OQ ：3

Q y y x =

?-，

因为直线l 与OQ l 垂直．

∴3l Q

k y =

故直线l 方程为3

()P P Q

y x x y y =

-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-， 1

3

P Q P y y x x -?=-， ∴1

3

P Q P x y y x =-?+，

∵33P Q P y y x =+，

∴1

(33)13

P P x x x =-++=-，

若0Q y =，则33P x -=，1P x =-，1P y =±， 直线OQ 方程为0y =，直线l 方程为1x =-， 直线l 过点(10)-，，为椭圆C 的左焦点．

21．

【解析】 ⑴ 因为()()ln 0f x x ax a x =--≥，0x >，所以ln 0ax a x --≥．

令()ln g x ax a x =--，则()10g =，()11

ax g x a x x

-'=-

=

， 当0a ≤时，()0g x '<，()g x 单调递减，但()10g =，1x >时，()0g x <； 当0a >时，令()0g x '=，得1

x a

=． 当10x a <<

时，()0g x '<，()g x 单调减；当1

x a

>时，()0g x '>，()g x 单调增． 若01a <<，则()g x 在11a ?? ???，上单调减，()110g g a ??

<= ???；

若1a >，则()g x 在11a ?? ???，上单调增，()110g g a ??

<= ???；

若1a =，则()()min 110g x g g a ??

=== ???

，()0g x ≥．

综上，1a =．

⑵()2ln f x x x x x =--，()22ln f x x x '=--，0x >．

令()22ln h x x x =--，则()121

2x h x x x

-'=-=

，0x >． 令()0h x '=得1

2

x =

， 当102x <<时，()0h x '<，()h x 单调递减；当1

2

x >时，()0h x '>，()h x 单调递增．

所以，()min 112ln 202h x h ??

==-+< ???

．

因为()

22e 2e 0h --=>，()22ln 20h =->，21e 02-??∈ ???，，122??

∈+∞ ???

，，

所以在102?? ???，和12??

+∞ ???

，上，()h x 即()f x '各有一个零点．

设()f x '在102?? ???，和12??+∞ ???，上的零点分别为02x x ，

，因为()f x '在102??

???

，上单调减，

所以当00x x <<时，()0f x '>，()f x 单调增；当01

2

x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减．因此，0x 是()f x 的极大值点．

因为，()f x '在12??

+∞ ???

，上单调增，所以当212x x <<时，()0f x '<，()f x 单调减，

2x x >时，()f x 单调增，因此2x 是()f x 的极小值点．

所以，()f x 有唯一的极大值点0x ．

由前面的证明可知，201e 2x -?

?∈ ??

?，，则()()

24220e e e e f x f ---->=+>．

因为()00022ln 0f x x x '=--=，所以00ln 22x x =-，则 又()()22000000022f x x x x x x x =---=-，因为0102x <<，所以()01

4

f x <． 因此，()201

e 4

f x -<<

． 22．

【解析】⑴设()()00M P ρθρθ，

，， 则0||OM OP ρρ==，．

解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为

()

2

224x y -+=．()0x ≠

⑵连接AC ，易知AOC △为正三角形．

||OA 为定值．

∴当高最大时，AOB S △面积最大，

如图，过圆心C 作AO 垂线，交AO 于H 点 交圆C 于B 点， 此时AOB S △最大

23．

【解析】⑴由柯西不等式得：()()()

2

2

5

5

33

4a b a b a b ++=+=≥

1a b ==时取等号． ⑵∵332a b +=

∴()()

222a b a ab b +-+= ∴()()2

32a b b ab α??++-=??

∴()()3

32a b ab a b +-+=

∴()()

3

23a b ab

a b +-=+

由均值不等式可得：()()3

2

232a b a b ab a b +-+??= ?+??≤ ∴()()3

2232a b a b a b +-+?? ?+??

≤ ∴()()3

3

324

a b a b ++-≤

∴

()3

124

a b +≤ ∴2a b +≤ 当且仅当1a b ==时等号成立．

高考数学模拟试卷复习试题专题强化训练(一) 算法初步

算法初步

(30分钟50分)

一、选择题(每小题3分，共18分)

1.如图是某程序框图的一部分，其算法的逻辑结构为()

A.顺序结构

B.判断结构

C.条件结构

D.循环结构

【解析】选 C.条件结构是处理逻辑判断并根据判断结果进行不同处理的结构，由算法流程图知，该算法的逻辑结构为条件结构.

2.下列各进位制数中，最大的数是()

A.11111(2)

B.1221(3)

C.312(4)

D.56(8)

【解析】选C.11111(2)=1+1×2+1×22+1×23+1×24=1+2+4+8+16=31.

1221(3)=1+2×3+2×32=1+6+18+27=52.

312(4)=2+1×4+3×42=2+4+48=54.

56(8)=6+5×8=6+40=46.

3.(·陕西高考改编)如图所示，当输入x为2 006时，输出的y=()

A.28

B.10

C.4

D.2

【解题指南】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10.

【解析】选B.

模拟执行程序框图，可得

x=2 006，

x=2 004

满足条件x≥0，x=2 002

满足条件x≥0，x=2 000

…

满足条件x≥0，x=0

满足条件x≥0，x=2

不满足条件x≥0，y=10

输出y的值为10.

【补偿训练】执行如图所示的程序框图，若输出的结果是9，则判断框内m的取值范围是()

A.(42，56]

B.(56，72]

C.(72，90]

D.(42，90]

【解析】选 B.第一次运行：S=2，k=2；第二次运行：S=6，k=3；…；第七次运行：S=56，k=8；第八次运行：S=2+4+6+…+16=72，k=9，输出结果.故判断框中m的取值范围是(56，72].

4.(·襄阳高一检测)168，54，264的最大公约数是()

A.4

B.6

C.8

D.9

【解析】选 B.16854=114，11454=60，6054=6，546=48，486=42，426=36，366=30，306=24，246=18，186=12，126=6，故168和54的最大公约数为6.又因为264=44×6+0，所以6是264和6的最大公约数.所以这三个数的最大公约数为6.

5.下列程序的功能是()

S=1

i=3

WHILE S<=10000

S=S i

i=i+2

WEND

PRINT i

END

A.求1×2×3×4×…×10 000的值

B.求2×4×6×8×…×10 000的值

C.求3×5×7×9×…×10 001的值

D.求满足1×3×5×…×n>10 000的最小正整数n

【解析】选D.法一：S是累乘变量，i是计数变量，每循环一次，S乘以i一次且i增加2.当S>10 000时停止循环，输出的i值是使1×3×5×…×n>10 000成立的最小正整数n.

法二：最后输出的是计数变量i，而不是累乘变量S.

【补偿训练】如图程序框图中，语句“S=S×n”将被执行的次数是()

A.4

B.5

C.6

D.7

【解析】选B.由程序框图知：

S=1×2×3×…×n.

又1×2×3×4×5=120<200，

1×2×3×4×5×6=720>200.

故语句“S=S×n”被执行了5次，选B.

6.(·北京高考改编)执行如图所示程序框图，输出的k值为()

A.3

B.4

C.5

D.6

【解题指南】按照程序框图顺序执行.

【解析】选B.k=0，a=3，q=；a=，k=1；a=，

k=2；a=，k=3；a=，k=4.

【补偿训练】如图是计算函数y=的值的程序框图，则在①、②和③处应分别填入的是()

A.y=x，y=0，y=x2

B.y=x，y=x2，y=0

C.y=0，y=x2，y=x

D.y=0，y=x，y=x2

【解析】选 B.当x> 1不成立时，y=x，故①处应填“y=x”；当x>1成立时，若x>2，则y=x2，即②处应填“y=x2”，否则y=0，即③处应填“y=0”.

二、填空题(每小题4分，共12分)

7.(·苏州高一检测)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为.

【解析】第一次循环，s=×(1×2)=2，i=4，k=2；第二次循环，s=×(2×4)=4，i=6，k=3；第

三次循环，s=×(4×6)=8，i=8，k=4.此时退出循环，输出s的值为8.

答案：8

【补偿训练】某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于37，则输入的整数i的最大值

为.

【解析】S=(20+1)+(21+1)+(22+1)+…+(2i1+1).

当i=1时，S=2；

当i=2时，S=2+3=5；

当i=3时，S=2+3+5=10；

当i=4时，S=2+3+5+9=19；

当i=5时，S=2+3+5+9+17=36；

当i=6时，S=2+3+5+9+17+33>37.

所以i的最大值为5.

答案：5

8.对任意非零实数a，b，若a?b的运算原理如图所示，则log28?=.

【解析】log28<，则题意知，log28?=3?4==1.

9.(·大同高一检测)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=.

【解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：

第一次循环：当n=1时，得s=1，a=3.

第二次循环：当n=2时，得s=4，a=5.

第三次循环：当n=3时，得s=9，a=7，此时n=3，不再循环，所以输出s=9.

答案：9

【补偿训练】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值等于.

【解析】第一次循环：S=1，k=1<4，S=2×11=1，k=1+1=2.

第二次循环：k=2<4，S=2×12=0，k=2+1=3.

第三次循环：k=3<4，S=2×03=3，k=3+1=4，

当k=4时，k<4不成立，循环结束，此时S=3.