【市级联考】广东省湛江市2019届高三调研测试题数学(文科)试题-

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【市级联考】广东省湛江市2019届高三调研测试题数学（文

科）试题

试卷副标题

题号一二三总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人得分

一、单选题

1．已知集合，，则

A． B． C． D．

2．已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取名学生进行调查，则抽取的高中生人数为

A． B． C． D．

3．满足（是虚数单位）的复数

A． B． C． D．

4．双曲线的焦点到渐近线的距离为

A． B． C． D．

5．已知非零向量m、n满足n m，且m m n，则m、n的夹角为

A． B． C． D．

6．明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙

子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）

A ． 53

B ． 54

C ． 158

D ． 263 7．曲线在点处的切线方程为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．使函数()()()3sin 2cos 2f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4π??

????

上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．

6π B ． 3

π

C ． 23π

D ． 56π

10．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ． ，

， B ． ，，

C ． ，，

D ．

，

，

11．已设函数，则满足的的取值范围是

A． B． C． D．

12．点、、、在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为

A． B． C． D．

第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分

二、填空题

13．若是奇函数，则 ．

14．设、满足不等式组，则的最大值为_________．

15．若△ABC 的内角,,A B C 满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ． 评卷人 得分

三、解答题 16．圆心在直线，且与直线

相切于点

的圆的标准方程为

__________. 17．已知数列

满足

（，），且，．

（Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）求数列

的前项和

． 18．如图，在四棱锥中，底面

是矩形，

，

，是棱

的

中点．

（Ⅰ）证明：平面

平面；

（Ⅱ）若

，求点到平面

的距离．

19．（题文）某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有

人．

（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；

（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；

（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．

20．已知椭圆：（）的离心率，且右焦点为．斜率为的直线与椭圆交于、两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求的面积．

21．设函数（）．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）记函数的最小值为，证明：．

22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标．23．设函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

由与，求出两集合的交集即可.

【详解】

∵，，∴，故选C.

【点睛】

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．B

【解析】

【分析】

由扇形图先得学生总人数，根据分层抽样的定义建立比例关系，解方程即可得到结论．

【详解】

由扇形图可得学生总人数为人，

设抽取的高中生人数为，则，解得，故选B.

【点睛】

本题主要了考查分层抽样的概念及应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属于基础题.

3．A

【解析】

【分析】

根据复数的基本运算即可得到结论．

【详解】

∵，∴，即，故选A.

【点睛】

本题主要考查复数的计算，掌握其运算法则即可，比较基础

4．C

【解析】

【分析】

分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即能求出结果．【详解】

双曲线中，焦点坐标为，渐近线方程为，

∴双曲线的焦点到渐近线的距离，故选C.

【点睛】

本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.

5．C

【解析】

【分析】

运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算向量夹角，结合其范围，即可得到．

【详解】

∵，∴，即，

又∵，∴，解得，

结合，所以，故选C.

【点睛】

本题考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题.

6．A

n=，第【解析】按程序框图知n的初值为263，代入循环结构，第一次循环158

二次循环53,53105

n=<，推出循环，n的输出值为53，故选A.

7．A

【解析】

解：

利用点斜式方程可知为y=2x+1 8．D

【解析】由正视图知，该正三棱锥的底边长为，高为，则侧视图是一个底边长为 ，

高为的三角形，其面积为，故选D ．

9．B 【

解

析

】

()()()()()313sin 2cos 22sin 2cos 22sin 226f x x x x x x πθθθθθ???

?=+++=+++=++ ? ? ?????

,由于()f x 为偶函数，则()02sin 26f πθ?

?

=+

=± ??

?， sin 1,662k πππθθπ?

?+=±+=+ ???

， 3

k π

θπ=+

，当0k =时， 3

π

θ=

， ()2sin 22sin 23

62f x x x π

ππ?

?

?

?=+

+

=+ ? ??

??

? 2cos2x =，当0,4x π??

∈????

时， 20,2x π??∈????， ()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所

以选B. 10．A 【解析】 【分析】

对每一选项进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可． 【详解】

对于A ，根据线面平行性质定理即可得A 选项正确；对于B ，当

，

时，若

，，则

，但题目中无条件

，故B 不一定成立；对于C ，若

，，

，

则与相交或平行，故C 错误；对于D ，若，

，则与平行或异面，则D 错误，

故选A. 【点睛】

本题考查的知识点空间直线与平面垂直的判定定理，性质定理，定义及几何特征，其中熟练

掌握空间中线线垂直，线面垂直，面面垂直的相互转化是解答本题的关键．

11．D

【解析】

【分析】

分类讨论：①当时；②当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可.

【详解】

当时，的可变形为，，∴．

当时，的可变形为，∴，

则满足的的取值范围是，故选D.

【点睛】

本题主要考查了关于分段函数的不等式，解题的关键为转化特定的不等式类型求解，属于基础题.

12．B

【解析】

【分析】

根据几何体的特征，先确定外接圆的圆心即小圆圆心，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积

【详解】

根据题意知，是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1，小圆的圆心为，由于底面积不变，高最大时体积最大，所以与面垂直时体积最大，最大值为，∴，设球心为，半径为，则在直角中，，即，∴，则这个球的表面积为：，故选B. 【点睛】

本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体的体积的最大值，是解答的关键.

13．

【解析】

本题考查函数的奇偶性定义。

此函数的定义域为

因为函数为奇函数

所以有

即

所以

14．；

【解析】

【分析】

确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得的最大值．【详解】

不等式组表示的平面区域如图，由，解得，表示直线的纵截距，由图象可知，在处取得最大值为7，故答案为7.

【点睛】

本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的

顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．

62

4

- 【解析】试题分析：由正弦定理有22a b c +=,所以22

a b

c +=

, 222

2

2

312422cos 22a b ab a b c C ab ab

+-+-==,由于2222313162

42422a b a b ab +≥?=,故62cos 4C -≥

,所以cos C 的最小值是62

4

-. 考点：1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.

【思路点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin 2sin 2sin A B C +=化为22a b c +=，再由余弦定理推论求出cos C 的

表达式，还用到用均值不等式求出

222231316

242422

a b a b ab +≥?=，再算出结果来. 视频 16．

【解析】

试题分析：可设圆标准方程：

，则根据题意可列三个条件：

，解方程组可得

，即得圆

方程 试题解析：设

则

，解得

所以（x-1）2

+（y+4）2

=8． 点睛：确定圆的方程方法

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心

和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于

的方

程组，从而求出的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、

E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．

17．（1）见解析（2）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由已知条件可得，即可得结论；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得，利用错位相减法求其前项和.

【详解】

（Ⅰ）证明：∵当时，，

∴．

∴，．

∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列．

（Ⅱ）解：

∵，①

∴，②

①②：，

∴．

【点睛】

本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.

18．（1）见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明，，则，所以；（2）利用，求得。

试题解析：

（1）在矩形ABCD中，

又

又

（2）在中，，是棱的中点，∴

由（1）知平面，∴.

又∵，∴平面

,

∥,面,而面,

所以，在中，

设点到平面的距离为

所以点到平面的距离为

19．（1）4（2）数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．（3）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生人数及频率，可求得总人数，再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率，与总人数相乘即可得结果（Ⅱ）分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方差，可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（Ⅲ）利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，利用古典概型概率公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有人，可得，所以语文成绩为一等奖的考生人

（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，

,

,因为,，所以数学二

等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差. （Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人----9分

设两科成绩都是一等奖的人分别为，只有数学一科为一等奖的人分别是,只

有语文一科为一等奖的人是，则随机抽取两人的基本事件空间为

,共有

个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，所以两人的两科

成绩均为一等奖的概率.

20．（1）（2）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由椭圆的离心率为，右焦点为，结合，即可求出椭圆的方程；

（Ⅱ）设，代入椭圆方程，得，根据韦达定理中点

的坐标，根据斜率可求得，进而能求出的面积．

【详解】

（Ⅰ）由已知得，，解得．

，

∴椭圆的标准方程．

（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程得

…………①，

设、，中点为，

则，

因为是等腰的底边，所以．

所以的斜率为，解得，

此时方程①为．

解得，，所以，，所以，

此时，点到直线：的距离

，

所以的面积．

【点睛】

本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，具体涉及到椭圆的简单性质、直线和椭圆的位置关系、根与系数的关系、根的判别式、中垂线方程的求法、弦长公式等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的灵活运用．

21．（1）在上单调递减，在上单调递增．（2）见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）的定义域为，求出导函数，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可；（Ⅱ）要证，即证，即证明，构造函数，判断函数的单调性，通过函数的最小值推出结果即可．

【详解】

解：（Ⅰ）显然的定义域为．

．

∵，，

∴若，，此时，在上单调递减；

若，，此时，在上单调递增；

综上所述：在上单调递减，在上单调递增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，

即：．

要证，即证明，即证明，

令，则只需证明，

∵，且，

∴当，，此时，在上单调递减；

当，，此时，在上单调递增，

∴．

∴．

∴．

【点睛】

本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．

22．（1），（2）最小值为，此时点的坐标为．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式、，把极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求得椭圆上的点到直线的距离为，可得的最小值，以及此时的的值，从而求得点的坐标.

【详解】

（Ⅰ）对曲线：，，

∴曲线的普通方程为．

对曲线：，

∴．

∴曲线的直角坐标方程为．

（Ⅱ）设曲线上的任意一点为，则点到曲线：的距离

，当，即时，，此时点的坐标为．

【点睛】

本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．

23．（1）（2）

【解析】

【分析】

（Ⅰ）问题转化为解不等式组问题，解出取并集即可；（Ⅱ）先求出的分段函数，求出

的最小值，从而求出的范围．

【详解】

（Ⅰ）由得：，

∴或，解得：或．

∴不等式的解集是．

（Ⅱ）令，

则，

∴．

∵存在使不等式成立，∴．

∴．

【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，

体现了函数与方程的思想．