高等数学——导数练习题
一．选择题
1.若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim
000，则x
x f x x f x ?-??+→?)
()2(lim
000等于( ) A.k 2 B.k C.k 2
1
D.以上都不是
2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( )
A ．sinα
B ．cosα
C ．sinα+cosα
D ．2sinα
3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(?1)=4,则a 的值等于( )
A ．
319 B ．
316 C ．3
13
D ．3
10
4.函数y =x sin x 的导数为( )
A ．y ′=2x sin x +x cos x
B ．y ′=
x x 2sin +x cos x
C ．y ′=
x
x sin +x cos x D ．y ′=x
x sin －x cos x
5.函数y =x 2cos x 的导数为( )
A ．y ′=2x cos x －x 2sin x
B ．y ′=2x cos x +x 2sin x
C ．y ′=x 2cos x －2x sin x
D ．y ′=x cos x －x 2sin x
6.函数y =2
2x
a
x +（a >0）的导数为0，那么x 等于（ ）
A ．a
B ．±a
C ．－a
D ．a 2
7. 函数y =x
x
sin 的导数为（ ）
A ．y ′=2
sin cos x
x
x x + B ．y ′=
2
sin cos x
x
x x - C ．y ′=2cos sin x x
x x -
D ．y ′=2
cos sin x x
x x +
8.函数y =
2
)13(1
-x 的导数是（ ）
A ．
3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3
)13(6-x D ．－2)13(6
-x
9.已知y =
2
1
sin2x +sin x ，那么y ′是（ ） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值，又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数
10.函数y =sin 3（3x +4π
）的导数为（ ）
A ．3sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）
B ．9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π
）
C ．9sin 2（3x +4π）
D ．－9sin 2（3x +4π）cos （3x +4
π
）
11.函数y =cos （sin x ）的导数为（ ）
A ．－［sin （sin x ）］cos x
B ．－sin （sin x ）
C ．［sin （sin x ）］cos x
D ．sin （cos x ）
12.函数y =cos2x +sin x 的导数为（ ）
A ．－2sin2x +
x
x
2cos B ．2sin2x +
x
x 2cos
C ．－2sin2x +x
x 2sin D ．2sin2x －
x
x 2cos
13.过曲线y =11+x 上点P （1，2
1
）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为（ ）
A ．2y －8x +7=0
B ．2y +8x +7=0
C ．2y +8x －9=0
D ．2y －8x +9=0
14.函数y =ln （3－2x －x 2）的导数为（ ）
A ．
32
+x B ．
2
231
x x -- C ．3
2222-++x x x
D ．3
2222-+-x x x
15.函数y =lncos2x 的导数为（ ）
A ．－tan2x
B ．－2tan2x
C ．2tan x
D ．2tan2x
16.已知3)2(3
123
++++=
x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( )
A. 21>-
B.21≥-≤b b ，或
C. 21<<-b
D. 21≤≤-b 17.函数的单调递增区间是 ( )
x e x x f )3()(-=
A. B.(0,3) C.(1,4) D. 18.函数y =x
x
a 22
-（a >0且a ≠1），那么y ′为（ ）
A ．x
x
a 22
-ln a
B ．2（ln a ）x
x a 22
- C ．2（x －1）x
x a 22-·ln a
D ．（x －1）x
x a
22-ln a
19.函数y =sin32x 的导数为（ ）
A ．2（cos32x ）·32x ·ln3
B ．（ln3）·32x ·cos32x
C ．cos32x
D ．32x ·cos32x
20.已知曲线24x y =的一条切线的斜率为1
2
，则切点的横坐标为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
21.曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（ ）
A ．43-=x y
B ．23+-=x y
C ．34+-=x y
D ．54-=x y
22.函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
23.已知函数)(,31)(x f x x f 则处的导数为在=的解析式可能为（ ） A ．)1(3)1()(2-+-=x x x f
B ．)1(2)(-=x x f
C ．2)1(2)(-=x x f
D ．1)(-=x x f
24.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
25.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )
A.(2,)+∞
B.(,2)-∞
C.(,0)-∞
D.(0,2) 26.函数()323922y x x x x =---<<有（ ）
A.极大值5，极小值－27
B.极大值5，极小值－11
C.极大值5，无极小值
D.极小值－27，无极大 27.三次函数()x ax x f +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则（ ）
A.0>a
B.0 )2,(-∞),2(+∞ C.1=a D.3 1= a 28.在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于 4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 29.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 30.下列求导运算正确的是（ ） A 、3211)1(x x x -='+ B 、(log 2x )′=1xln2 C 、(x 2cosx )′=?2xsinx D 、 (3x )′=3x log 3e 31.已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．－1 D ．1 32.函数3y x x =+的递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),(+∞-∞ D ．),1(+∞ 33. 函数y =x ln 的导数为（ ） A ．2x x ln B ． x x ln 2 C ． x x ln 1 D ． x x ln 21 34.设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ） A ． 2 p B ．p C ．p 2 D ．无法确定 35.函数x x y 33-=的极大值为m ，极小值为n ，则n m +为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 36.函数x x y 1 42+=单调递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),21 (+∞ D ．),1(+∞ 37.函数在上（ ） A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值 D ．有最小值 38.函数x x y ln = 的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ． 3 10 二．填空题 1.()f x '是31 ()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。 2.已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-， 处的切线方程是 。 4.若y =(2x 2-3)(x 2-4),则y ’= 。 5.若y =3cosx -4sinx ,则y ’= 。 6.与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是 。 7.质点运动方程是s =t 2（1+sin t ），则当t =2 π 时，瞬时速度为 。 8.求曲线y=x3+x2-1在点P （-1，-1）处的切线方程 。 9.若2 1,2x y x += -则y’= 。 10.若423335 ,x x y x -+-= 则y’= 。 11.若1cos ,1cos x y x += -则y’= 。 12.已知f （x ）= 3 54 33 7x x x x ++，则f ′（x ）=___________。 x x x f sin 2)(-=),(+∞-∞ 13.已知f （x ）= x x ++ -1111，则f ′（x ）=___________。 14.已知f （x ）= x x 2cos 12sin +，则f ′（x ）=___________。 15.若y=（sinx-cosx 3)，则y’= 。 16.若y=2cos 1x +，则y’= 。 17.若y=sin 3(4x+3)，则y’= 。 18.函数y =（1+sin3x ）3 是由___________两个函数复合而成。 19.曲线y =sin3x 在点P （3 π ，0）处切线的斜率为___________。 20.函数y =x sin （2x － 2π）cos （2x +2 π ）的导数是______________。 21.函数y =)3 2cos(π -x 的导数为______________。 22.函数y =cos 3 x 1 的导数是___________。 23.在曲线y = 5 9 ++x x 的切线中，经过原点的切线为________________。 24.函数y =log 3cos x 的导数为___________。 25.函数y =x 2lnx 的导数为 。 26.函数y =ln （lnx ）的导数为 。 27.函数y =lg (1+cosx )的导数为 。 28.设y =x x e e 2 )12(+，则y ′=___________。 29.函数y =x 22的导数为y ′=___________。 30.曲线y =e x －e ln x 在点（e ，1）处的切线方程为___________。 31.()f x '是31 ()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。 32.曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。 33.已知曲线314 33 y x =+，则过点(2,4)P “改为在点(2,4)P ”的切线方程是 ______________。 34.已知()()n f x 是对函数()f x 连续进行n 次求导，若65()f x x x =+，对于任意 x R ∈，都有()()n f x =0，则n 的最少值为 。 35.函数y = x x sin 的导数为_________________。 36.函数2cos y x x =+在区间[0,]2 π 上的最大值是 。 37.若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是 。 38.曲线x y ln =在点M(e,1)处的切线的方程为_______________。 三．计算题 1.求函数y =ln 2 2132x x +-的导数。 2.求函数y = 3.求函数y =ln （21x +－x ）的导数。 4.求函数y=e 2x lnx 的导数。 5.求函数y =x x （x >0）的导数。 6.设函数)(x f 在点0x 处可导，试求下列各极限的值． （1）x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 ； （2）；2) ()(lim 000 h h x f h x f h --+→ （3）若2)(0='x f ，则。2) ()(lim 000 k x f k x f k --→ 7.求函数x y =在1=x 处的导数。 8.求函数b ax x y ++=2（a 、b 为常数）的导数。 9.利用洛必达法则求下列极限： 0e e (1)lim x x x x -→-； 1 ln (2)lim 1 x x x →-； 3232132 (3)lim 1x x x x x x →-+--+； 2 ln() 2(4)lim tan x x x ππ + → -； (5)lim (0,e n ax x x a n →+∞>为正整数） (6)lim ln (0)m x x x m + →>； 011 (7)lim()e 1 x x x →--； 1 (8)lim(1sin )x x x →+； sin 0 (9)lim x x x + →； 10.求下列函数的单调增减区间： 2(1)365y x x =++； (2)y =x 4?2x 2+2； 2(3)1x y x =+； 11.求下列函数的极值： 32(1)37y x x =-+； 2 2(2)1x y x =+； 2(3)e x y x -=； (4)3y = (5)(y x =-； 3 2 (6)(1) x y x =-； 四．解答题 1.求曲线y=x3+x2-1在点P （-1，-1）处的切线方程。 2.求过点（2，0）且与曲线y =x 1 相切的直线的方程。 3.质点的运动方程是23 ,s t t =+求质点在时刻t=4时的速度。 4.求曲线2211 (2,)(3)4 y M x x =-在处的切线方程。 5.求曲线sin 2(,0)y x M π=在处的切线方程。 6.已知曲线C ：x x x y 2323+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 7.已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 8.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围。 9.已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求()x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 10.设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。 （1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。 11.已知曲线x x y 1+ =上一点)2 5 ,2(A ，用斜率定义求： （1）点A 的切线的斜率 （2）点A 处的切线方程 12.已知函数???????>+≤+=)1)(1(2 1)1)(1(2 1)(2 x x x x x f ，判断)(x f 在1=x 处是否可导？ 13.已知函数()c bx ax x x f +++=23，当1-=x 时，取得极大值7；当3=x 时，取得极小值．求这个极小值及c b a ,,的值。 14.已知函数a x x x x f +++-=93)(23。 （1）求)(x f 的单调减区间； （2）若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。 15.设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。 （1）用t 表示c b a ,,； （2）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围。 16.设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。 （1）求b 、c 的值。 （2）求()g x 的单调区间与极值。 17.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 18.已知函数3211 ()32f x x ax bx =++在区间[11) -，，(13]，内各有一个极值点。 （1）求a 2?4b 的最大值； （2）当a 2?4b =8时，设函数y =f(x)在点A(1,f(1))处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数y =f(x)的图象（即动点在点A 附近沿曲线y =f(x)运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式。 19.设函数ln(1)0()1 kx x f x x x +?≠? =??-=?，若()f x 在点0x =处可导，求k 与(0) f '的值。 20.设函数21cos 0 ()0110 e 1x x x x f x k x x x -?>?? ==???-<-?，当k 为何值时，()f x 在点0x =处连续。 21.设2ln(1)y x =+，求函数的极值，曲线的拐点。 22.利用二阶导数，判断下列函数的极值： 2(1)(3)(2)y x x =--； (2)2e e x x y -=+ 23.曲线32y ax bx cx d =+++过原点，在点(1,1)处有水平切线，且点(1,1)是该曲线的拐点，求,,,a b c d 。 24.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： 42(1)25[2,2]y x x =-+-； 2(2)ln(1)[1,2]y x =+-； 2 1 (3)[,1]12 x y x = -+； (4)[0,4]y x =+。 25.已知函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[1,2]-上的最大值为3，最小值为29-，求,a b 的值。 26.欲做一个底为正方形，容积为3108m 的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？ 27.确定下列曲线的凹向与拐点： 23(1)y x x =-； 2(2)ln(1)y x =+； 13 (3)y x =； 2 2(4)1x y x = +； (5)e x y x =； (6)e x y -= 28.某厂生产某种商品，其年销量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件的库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完成后，立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？ 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x ２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 《高等数学》（理工类） 1.设()y f x =的定义域为(0,1]，()1ln x x ?=-，则复合函数[()]y f x ?=的定义域为________；0ln 1,[1,)x x e ≤<∈ 2.已知0x +→时，arctan3x 与 cos ax x 是等价无穷小，则a =______；0arctan 33 lim 1,3x x a ax a →===； 3．函数6cos 2sin π+=x x y ，则=y d ________；21 (2cos 2sin 2)x x dx x -； 4．函数x xe y -=的拐点为____________；(2)0,2x y e x x -''=-==，2(2,2)e - 5．设函数?? ??? ≥ +<=2,2,sin )(ππx x a x x x f ，当a =____时，)(x f 在2 π =x 处连续；12π-； 6. 设()y y x =是由方程20y e xy +-=所确定的隐函数，则y '=__；y y e x -+ 7．函数x x e x f --= 111)(的跳跃间断点是______；(1)0,(1)1,f f -+ ==1x =； 8 ．定积分 1 1 sin )x dx -? ＝________ ；22π=? 9．已知点空间三个点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(B A M 则∠AMB = _______；3π； 10．已知(2,3,1)(1,2,3)a b ==r r ，则a b ?r r ＝_________。(751)-，， 二、计算题（每小题6分，共42 分） 1．求极限220ln(1)1 lim 2sin 2x x arc x →+=。 2．求极限3sin 0 sin lim x t x e dt x x →-?=3 2sin 03sin lim 61cos x x xe x →=- 3．设 2 sin ,x y e x =?求.dy dx 。2 (2sin cos )x dy e x x x dx =+ 一．选择题 1.若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim 000，则x x f x x f x ?-??+→?) ()2(lim 000等于( ) A.k 2 B.k C.k 2 1 D.以上都不是 2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( ) A ．sinα B ．cosα C ．sinα+cosα D ．2sinα 3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(?1)=4,则a 的值等于( ) A ． 319 B ． 316 C ．3 13 D ．3 10 4.函数y =x sin x 的导数为( ) A ．y ′=2x sin x +x cos x B ．y ′= x x 2sin +x cos x C ．y ′= x x sin +x cos x D ．y ′=x x sin －x cos x 5.函数y =x 2cos x 的导数为( ) A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin x D ．y ′=x cos x －x 2sin x 6.函数y =2 2x a x +（a >0）的导数为0，那么x 等于（ ） A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2 7. 函数y =x x sin 的导数为（ ） A ．y ′=2 sin cos x x x x + B ．y ′= 2 sin cos x x x x - C ．y ′=2cos sin x x x x - D ．y ′=2 cos sin x x x x + 8.函数y = 2 )13(1 -x 的导数是（ ） A ． 3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3 )13(6-x D ．－2)13(6 -x 高等数学公式 1导数公式： 2基本积分表： 3三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23 - ），=b （ 16 - ）． ∵()12++= 'bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142 =++b a ，解之得6 1,32- =- =b a ２．函数()()1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 2112 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2， (Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝－1时，求 函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2 1- 成立． 2、已知函数2 ()ln 2(0)f x a x a x = +->.（Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ?∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区 间[e ― 1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围. 3． 设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1 [,2]2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点. 4、已知函数2 1()(21)2ln ()2 f x ax a x x a = -++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2 ()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得 12()()f x g x <，求a 的取值范围. 5、已知函数())0(2ln 2 >-+= a x a x x f (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单 调区间； (Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围； (Ⅲ)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R ).当a ＝1时，函数g (x )在区间[ ] e ,e 1 -上有两个零点， 求实数b 的取值范围． 6、已知函数1ln ()x f x x += ． (1)若函数在区间1 (,)2 a a + (其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1 k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围． 1．已知函数d x b a c bx ax x f )23()(2 3 的图象如图所 示． （I ）求d c,的值；（II ）若函数)(x f 在2x 处的切线方程为0113y x ，求函 数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y 与m x x f y 5)(3 1的 图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4x 处切线的斜率为,2 3若函数 ]2 ) ('[3 1) (2 3 m x f x x x g 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f 2 3 )(的图象经过坐标原点，且在 1x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 ) 32() (2 a x f 恰好有两个不同的根，求 ) (x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意 R 、 ，求证：81|)sin 2() sin 2(|f f ． 4．已知常数0a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x ) (，x a x x g ln ) (2 ． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a ；（II ）讨论函数)(x g y 在区间),1(a e 上零点的个数． 5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x ．（I ）当1k 时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x 是函数2 ()(23)x f x x ax a e 的一个极值点（718 .2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在]3,2 3[x 的最大值和最小值． 7．已知函数) 0,(,ln )2(4)(2 a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2 e e 上的最小值． 8．已知函数()(6) ln f x x x a x 在(2, )x 上不具有．．． 单调性．（I ）求实数a 的取值范围； （II ）若 ()f x 是()f x 的导函数，设 2 2()()6 g x f x x ，试证明：对任意两个不相 等正数 12x x 、，不等式121 238|() ()| ||27g x g x x x 恒成立． 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（B）. （A） 2 fxlnx和gx2lnx（B）fx|x|和 2 gxx （C）fxx和 2 gxx（D）fx |x| x 和gx1 sinx42 fxln1x x0 2．函数 在x0处连续，则a（B）. ax0 （A）0（B） 1 4 （C）1（D）2 3．曲线yxlnx的平行于直线xy10的切线方程为（A）. （A）yx1（B）y(x1)（C）ylnx1x1（D）yx 4．设函数fx|x|，则函数在点x0处（C）. （A）连续且可导（B）连续且可微（C）连续不可导（D）不连续不可微 5．点x0是函数 4 yx的（D）. （A）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点 6．曲线 y 1 |x | 的渐近线情况是（C）. （A）只有水平渐近线（B）只有垂直渐近线（C）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D）既无水平渐近线又无垂直渐近线 11 7．2 fdx xx 的结果是（C）. （A） 1 fC x （B） 1 fC x （C） 1 fC x （D） 1 fC x 8． dx xx ee 的结果是（A）. （A）arctan x eC（B）arctan x eC（C） xxxx eeC（D）ln(ee)C 9．下列定积分为零的是（A）. （A ）4 4 a rctan 1 2 x x dx （B ） 4 4 xarcsinxdx （C ） xx ee 1 dx （D ） 12 12 xxsinxdx 1 10．设fx 为连续函数，则 1 0 f2x dx 等于（C ）. （A ）f2f0（B ） 1 2 f11f0（C ） 1 2 ff （D ）f1f0 20 二．填空题（每题4分，共20分） 2x1 e fxx x0 1．设函数 在x0处连续，则a.-2 ax0 2．已知曲线yfx 在x2处的切线的倾斜角为 3 5 6 ，则 f2.-3分之根号 x 3．2 y x 1 的垂直渐近线有条.2 4． dx 2 x1lnx . 5． 2 4 xsinxcosxdx. 2 三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限 ① lim x 1x x 2x ② lim x0 xsinx 2 x xe 1 2．求曲线ylnxy 所确定的隐函数的导数y x . 3．求不定积分 ① dx x1x3 ② dx 22 xa a 0 ③ x xedx 四．应用题（每题10分，共20分） 1．作出函数 332 yxx 的图像. 2．求曲线 22 yx 和直线yx4所围图形的面积. 导数大题专题 题型一．求含参数的单调性问题 一． 讨论是否存在极值点问题 1.求f(x)= -ax+1的单调区间 2. 已知函数（其中）. （Ⅰ）若函数在点处的切线为，求实数的值； （Ⅱ）求函数的单调区间. 2()1 x a f x x +=+a R ∈()f x (1,(1))f 12 y x b =+,a b ()f x 3. 设函数. （Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间与极值点. 二．讨论极值点的大小关系问题 1．设0>a 且a ≠1，函数x a x a x x f ln )1(2 1)(2++-=. （1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在（3，)3(f ）处切线的斜率； （2）求函数)(x f 的极值点。， 3()3(0)f x x ax b a =-+≠()y f x =(2,())f x 8y =,a b ()f x 2. 已知函数其中 (1)当时，求曲线处的切线的斜率； (2)当时，求函数的单调区间与极值。 3.（本小题13分） 设函数=[]． （Ⅰ）若曲线y= f （x ）在点（1，）处的切线与轴平行，求a ； （Ⅱ）若在x =2处取得极小值，求a 的取值范围． 4. 已知函数2()()x k f x x k e =-。求()f x 的单调区间； 22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈a R ∈0a =()(1,(1))y f x f =在点23 a ≠ ()f x ()f x 2(41)43ax a x a -+++e x (1)f x ()f x 三． 讨论极值点和定义域问题 1．已知函数.,1ln )(R ∈-=a x x a x f （I ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值； （II ）求函数)(x f 的单调区间 2.已知函数f (x )=In(1+x )-x +22 x x (k ≥0)。 (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x )的单调区间。 导数压轴大题方法总结一、零点问题（隐零点压轴） 【压轴1】已知函数f(x)=e x ln(x+m) （Ι）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0. 【压轴2】已知函数ln ()x f x x =．（Ⅰ）求函数()y f x =在点(1,0)处的切线方程； （Ⅱ）设实数k 使得()f x kx <恒成立，求k 的取值范围； （Ⅲ）设()() (R)g x f x kx k =-∈，求函数()g x 在区间21 [,e ]e 上的零点个数．【压轴3】已知函数1()x x f x xe ae -=-，且'(1)f e =. (Ⅰ)求a 的值及()f x 的单调区间； (Ⅱ)若关于x 的方程2()2(2)f x kx k =->存在两个不相等的正实数根12,x x ，证明：124ln x x e ->. 二、零点问题（放缩法压轴） 【压轴1】设函数2)(--=ax e x f x . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若1=a ，k 为整数，且当x ＞0时，1)(')(++-x x f k x ＞0，求k 的最大值.【压轴2】已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点()() 00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-. 【压轴3】已知函数22 1ln )(-+-=a ax x x f ，R a ∈.（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若2)()(+=x xf x g ，求证：当a ＜e 2ln 时，)(x g ＞a 2.【压轴4】已知函数12 1ln )(2+++=x ax x x f .（Ⅰ）当2-=a 时，求)(x f 的极值点；（Ⅱ）当0=a 时，证明：对任意的x ＞0，不等式x xe ≥)(x f 恒成立. 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○邻域（去心邻域） (){},|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<- 精心整理 高二数学导数专题训练 一、选择题 1.一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2.已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（） A.1 B.2 C.－1 D.0 3()f x 与(f x A (f C (f 4.函数y A (5.若函数A.f(x)6.0'()f x A C 7．曲线f A (1,0)C (1,0)8．函数y A.C.9.对于R A (0)(2)2(1)f f f + 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（） A ．' 0()f x B ．' 02()f x C ．' 02()f x -D ．0 二、填空题 11．函数32 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是. 13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)-处的切线倾斜角为__________. 14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ??+?? 的前n 项和的公式是 . 三、解答题： 15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3 2 35y x x =+-相切的直线方程 16 17 （1）求y （2）求y 18（I （II （III 19（I （II 20.已知x （1）求m （2）求f （3）当x AABCBACCDB 二、填空题 11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（1 3 -，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1 3 ）∪（1，+∞）） 12．(,0)-∞13．3 4 π 14．1 2 2n +-()()/ 112 22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为， 《难 点 突 破》(学生版) 压轴题----函数与导数常考题型 一、要点归纳 1.曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为 000()()()y f x x x f x '=-+. 2.若可导函数()y f x =在 0x x = 处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立. 3.对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 4.函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈,()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不恒为0）. 5.函数()f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。（若()f x '为二次函数且I=R ，则有 0?>）. 6.()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立. 7.若x I "?，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则 max ()f x 0<. 8.若0x I ? ∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则 m i n ()f x 0<. 9.设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ? ∈D ()()f x g x >恒成立，则有 []min ()()0f x g x ->. 10.若对11x I ?∈、22x I ∈ ，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ? ∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. 11.已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ，若对 高数导数练习题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 第二章导数与微分练习题 一、填空题 1.设)cos(cos 2sin x y x =，则='y _________________. 2.设函数)(x y y =由方程0)sin(222=-++xy e y x x 所确定，则=dx dy __________. 3.设2 sin x e y =，则=dy ____________________. 4．设函数()x y y =由方程0=+-y x e e xy 所确定，则()0y '=(),0y ''= 5 ．若函数2sec y t t =?+设 ，则=dy 。 6．曲线?????=+=321t y t x 在2=t 处的切线方程为，2214t d y dx ==。 7.设(0)0,'(0)4,f f ==则0()lim x f x x →=_______________. 8.()(1)(2)(3)(4) (100)f x x x x x x x =-----，则=')1(f ________. 9.设)]([22x f x f y +=,其中)(u f 为可导函数,则 =dx dy _____________. 二、选择题 1.若???≥+<+=1 ,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（） 2,2==b a .2,2=-=b a 2,2-==b a .2,2-=-=b a 2.设0'()2f x =，则000()()lim h f x h f x h h →+--＝(). A.不存在B.2 C.0D 、4 3.设)0()(32>=x x x f ,则=')4(f ()大一高数试题及答案.doc
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