高中数学一点通秘笈 解题策略-高考版-第12-15讲P151-199
1. 已知关于x 的二次方程01222
=+++m mx x
（1）若方程有两根，其中一根在区间)0,1(-内，另一根在区间)2,1(内，求m 的取值范围； （2）若方程两根均在区间)0,1(-内，求m 的取值范围。
第十二讲 函数与方程的思想方法 例1
2. 已知c ax x a x f a ++-=≥
22)(,2
1
（1）证明对任意1)(],1,0[≤∈x f x 的充要条件是4
3≤
c ； （2）已知关于x 的二次方程0)(=x f 有两个实根βα、，证明：1≤α且1≤β的充要条件是a a c -≤2
第十二讲 函数与方程的思想方法 例2
3. 已知函数???????<<-≥-=10,111,1
1)(x x
x x
x f
（1）当b a <<0且)()(b f a f =时求
b
a 1
1+； （2）是否存在实数)(b a b a <、使得函数)(x f y =的定义域、值域都是],[b a ，若存在，求出b a 、的值，若不存在，请说明理由；
（3）若存在实数)(b a b a <、使得函数)(x f y =的定义域是],[b a 时，值域为)0](,[≠m mb ma ，求m 的取值范围。
第十二讲 函数与方程的思想方法 例3
4. 设a 为实数，函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为)(a g （1）设x x t -++=11，求t 的取值范围，并把)(x f 表示为t 的函数)(t m ； （2）求)(a g ；
（3）试求满足??
? ??=a g a g 1)(的所有实数。
第十二讲 函数与方程的思想方法 例4
5. 已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线x y 2=平行，且)(x g y =在1-=x 处取得极小值
)0(1≠-=m m ，设x
x g x f )
()(=
（1）若曲线)(x f y =上的点P 到点)2,0(Q 距离的最小值为2，求m 的值； （2）()R k k ∈如何取值时，函数kx x f y -=)(存在零点，并求出零点。
第十二讲 函数与方程的思想方法 例5
6. 已知a 是实数，函数a x ax x f --+=322)(2，如果函数)(x f y =在区间]1,1[-上有零点，求a 的取
值范围。
第十二讲 函数与方程的思想方法 例6
7. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1=n a ，241+=+n n a S （1）设n n n a a b 21-=+，证明数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式
第十二讲 函数与方程的思想方法 例7
8. 各项均为正数的数列{}n a 、b a a a ==21,，且对满足q p n m +=+的正整数q p n m 、、、都有
)
1)(1()1)(1(q p q p n m n
m a a a a a a a a +++=
+++ （1）当5
4
,21==
b a 时，求通项n a ； （2）证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数n ，都有λλ
≤≤n a 1
第十二讲 函数与方程的思想方法 例8
9. 设动点P 到点)0,1(-A 和)0,1(B 的距离分别为1d 和2d ，θ2=∠APB ，且存在常数)10(<<λλ，使
得λθ=221sin d d
（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；
（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M ，N 两点，试确定λ的范围，使0=?，其中点O 为坐标原点。
第十二讲 函数与方程的思想方法 例9
10. 椭圆E ：)0,(122
22>=+b a b
y a x 过)1,6()2,2(N M 、两点，O 为坐标原点。
（1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围；若不存在，说明理由。
第十二讲 函数与方程的思想方法 例10
11. 设抛物线c bx ax y ++=2过点)2,1(A 和)1,2(--B （1）试用a 表示c b 、；
（2）以非零实数a 抛物线斗不过点)1,(2+m m P ，试求m 的值。
第十二讲 函数与方程的思想方法 例11
12. a 为何值时，不等式2cos 2sin 22
2
>--+x a x a a 对任意实数x 都成立
第十二讲 函数与方程的思想方法 例12
13. 已知数列{}n a 中，101=a 且n n n a a 52151?+=-，求这个数列的通项公式。
第十二讲 函数与方程的思想方法 例13
14. 已知以4=T 为周期的函数?????∈---∈-=]
3,1[,21]
1,1[,1)(2x x x x m x f ，其中0>m ，若方程x x f =)(3恰有5个实
数解，则m 的取值范围是…………………………………………………………………………（ ）
A. ??
?
?
??38,315
B. ?
??
?
??7,315
C. ??
?
??38,34
D. ??
?
??7,34
第十二讲 函数与方程的思想方法 例14
15. 已知函数5)1(2)(22++-+=m x m x x f 有两个相异的零点，若这两个零点均比1大，则m 的取值范
围为
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练1
16. 已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数。若方程
)0()(>=m m x f 在区间]8,8[-上有四个不同的根4321,,,x x x x ，则=+++4321x x x x
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练2
17. 若函数????
???≥??
? ??<=0
,310,1
)(x x x x f x
，则不等式31)(≥x f 的解集为
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练3
18. 在区间]3,2[上，方程x x 2332log log log log =的实根的个数共有个。
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练4
19. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若729=S ，则=++942a a a 个。
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练5
20. 设1z 是复数，112z i z z -=（其中1z 表示1z 的共轭复数）。已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部
为
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练6
21. 设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的]2,[a a x ∈，都有],[2
a a y ∈满足方程c y x a a =+log log ，
这时a 的取值的集合为
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练7
22. 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是q p 、，
则=+q
p 1
1
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练8
23. 过方程0122
=-+x x 的解可视为函数2+=x y 的图像与函数x
y 1
=
的图像交点的横坐标。若方程044
=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤?k x x x k 所对应的点),,2,1(4,
k i x x i i ?=???
? ??均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练9
24. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式222y ax xy +≤对于]3,2[],2,1[∈∈y x 恒成立，求a 的取值
范围”提出了各自的解题思路。
甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析。” 乙说：“寻找x 与y 的关系，再作分析。”
丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析。”
参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练10
25. 函数∑=-=
19
1
)(n n x x f 的最小值为………………………………………………………………（ ）
A. 190
B. 171
C. 90
D. 45
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练11
26. 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为02=-+y x 和047=--y x ，原点在等腰三角形底边上，
则底边所在直线的斜率为……………………………………………………………………（ ） A. 3
B. 2
C. 3
1-
D. 2
1-
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练12
27. 将函数12+=x y 的图像按向量a 平移得到函数的图像，则……………………………（ ）
A. )1,1(--=a
B. )1,1(-=a
C. )1,1(=a
D. )1,1(-=a
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练13
28. 已知集合{
}
1)1)(1(|),(22=++++
y y x x y x M ，则集合M 表示的图形是…………（ ）
A. 直线
B. 线段
C. 拋物线
D. 圆
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练14
29. 定义域为R 的函数()()??
???=≠-=2,12,21
)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰有5个不同的实数解而，54321,,,,x x x x x ，则)(54321x x x x x f ++++等于…………………………（ ） A. 3
1
B.
4
1 C.
8
1 D.
16
1
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练15
30. 定义在R 上的函数)(x f 满足2)1(),(2)()()(=∈=+=+f R y x xy y f x f y x f 、则)3(-f 等
于……………………………………………………………………………………………（ ）.
A. 2
B. 3
C. 6
D. 9
第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练16
31. 已知函数)0()8()(2≠---+=a ab a x b ax x f ，当)2,3(-∈x 时，0)(>x f ；当
),2()3,(+∞--∞∈ x 时，0)( （1）求)(x f 在]1,0[内的值域； （2）c 为何值时，不等式02 ≤++c bx ax 在]4,1[上恒成立。 第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练17 32. 已知二次函数c bx ax x f ++=2)(及一次函数bx x g -=)( （1）若0,=++>>c b a c b a ；设)()(x g x f 、两图像交于A 、B 两点，当线段AB 在x 轴上投影为11B A 时，试求11B A 的取值范围； （2）对于自然数a 存在一个以a 为首项系数的整系数二次三项式)(x f ，使0)(=x f ，有两个小于1的不等正根，求a 的最小值。 第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练18 33. 已知二次函数c bx ax x f ++=2)( （1）若0)1(=-f ，试判断函数)(x f 零点的个数； （2）是否存在R c b a ∈、、，使)(x f 同时满足以下条件： ① 对任意R x ∈，)1()1(x f x f --=+-，且0)(≥x f ② 对任意R x ∈，都有2)1(2 1 )(0-≤ -≤x x x f 若存在，求出c b a 、、的值；若不存在，请说明理由。 （2）若对任意R x x ∈21,且)()(,2121x f x f x x ≠<<，试证明存在工。),(210x x x ∈使 )]()([2 1 )(210x f x f x f +=成立. 第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练19 34. （1）求函数1-+=x x y 的值域； （2）若二次函数2 13 21)(2+- =x x f 在区间],[b a 上的最小值为a 2，最大值为b 2，求],[b a ； （3）已知γβα、、都是锐角，且满足1cos cos cos 2cos cos cos 222=+++γβαγβα，求γβα++ 第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练20 35. 已知椭圆C:)0(12222>>=+b a b y a x 点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，点)3,2(P 在直线c a x 2 =上， 且221PF F F =，直线m kx y l +=:为动直线，且直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B （1）求椭圆C 的方程； （2）若在椭圆C 上存在点Q ，满足λ=+（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围； （3）在（2）的条件下，当λ取何值时，△ABO 的面积最大，并求出这个最大值。 第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练21 36. 已知曲线),2,1(02:22?==+-n y nx x C n ，从点)0,1(-P 向曲线n C 引斜率为)0(>n n k k 的切线n l ， 切点为),(n n n y x P （1）求数列{}n x 与{}n y 的通项公式； （2）证明n n n n n y x x x x x x x sin 21112321<+- 第十二讲 函数与方程的思想方法 拓展训练22 37. 二次函数12)(2++=ax ax x f 在区间]2,3[-上的最大值为4，求a 的值。 第十三讲 分类与整合的思想 例1 38. 设a 为实数，函数R x a x x x f ∈+-+=,1)(2 （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值。 第十三讲 分类与整合的思想 例2 39. 设函数22)(2+-=x ax x f ，对于满足41< 第十三讲 分类与整合的思想 例3 40. 设集合{} {} N M a ax x x N a a x x M ?≤-+-=-≤-=,0133|,)1()(|2 222，求参数a 的取值范围 第十三讲 分类与整合的思想 例4 41. 函数() )0,0(122log 22 1>>+-+=b a b b a a y x x x x ，求使y 为负值的x 的取值范围。 第十三讲 分类与整合的思想 例5 42. 已知函数12)(2-+-=a x ax x f （a 为实常数） （1）若1=a ，作函数)(x f 的图像； （2）设)(x f 在区间]2,1[上的最小值为)(a g ，求)(a g 的表达式； （3）设x x f x h ) ()(=，若函数)(x h 在区间]2,1[上是增函数，求实数a 的取值范围。 第十三讲 分类与整合的思想 例6 43. 平面直角坐标系中有点??? ?? ?- ∈43,4)1,(cos )cos ,1(ππx x Q x P 、、 （1）求向量和的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ； （2）讨论)(x f 的增减性； （3）求θ的最大值和最小值。 第十三讲 分类与整合的思想 例7 44. 已知)2,0(),sin sin cos (cos sin 2)sin(cos 2)(πθθθθ∈-++=x x x a x x a x f 。若2125=?? ? ??- πf ，且)(x f 在?? ? ???- 12,125ππ上为减函数。 （1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求实数a 和角θ的值。 第十三讲 分类与整合的思想 例8 45. 设21,x x 是方程)(03222R a a a ax x ∈=-++的两根，求21x x +（用含a 的解析式表示） 第十三讲 分类与整合的思想 例9 46. 已知),1(),1,(y x ==，求△ABC 为等腰直角三角形的充要条件。 第十三讲 分类与整合的思想 例10 47. 已知数列{}n a 的通项公式)(,12)1(*N n n n n a n ∈++= 且)(,111*21N n b b b n a n n ∈+?++= （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列? ?? ???n n b a 2 中最大值的项和最小值的项。 第十三讲 分类与整合的思想 例11 48. 设数列{}n a 是等比数列，)(,* 1 1 2 321N m P C a m m m ∈?=--，公比q 是4 241??? ? ? +x x 展开式中的第二项（按x 的降幂排列） （1）求常数m 与1a 的值； （2）用x n 、表示数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）若n n n n n n S C S C S C T +?++=2211，试用x n 、表示n T 第十三讲 分类与整合的思想 例12 49. —个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球。 （1）从中任取4个，红球的个数不比白球的个数少的取法有多少种？ （2）若取一个红球记为2分，取一个白球记为1分，从中取5个球，使总分不少于7分的取法 第十三讲 分类与整合的思想 例13 50. 某足球赛事中甲乙两球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术， 顽强防守0:0逼平甲队进入点球大战。假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为4 3 ，现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求： （1）求乙球以4：3点球取胜的概率有多大？ （2）设足球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分5的概率分布和数学期望。 第十三讲 分类与整合的思想 例14 51. △AOB 是等腰直角三角形，2= AB ，动直线l 过点)1,1(P 与△AOB 的斜边，直角边分别交于不同 的点N M 、（如图13-2所示） （1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标； （2）试写出表示△AMN 的面积S 的函数解析式)(k S ，并求)(k S 的最大值。 第十三讲 分类与整合的思想 例15 52. 根据k 的变化，讨论方程 1)2(422 +=-+-k y k k x 所表示的曲线的形状。 第十三讲 分类与整合的思想 例16 53. 已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠BAC=90°，且BC 1⊥AC ，AB=AC=2，BC 1=6， 侧棱与底面成60°角，求它的体积。 第十三讲 分类与整合的思想 例17 54. 已知13 1 log )1(<+a ，则a 的取值范围是 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练1 55. {}n a 为等比数列，首项为a ，公比为q ，n n a a a T +?++=21，则=+∞ →1 lim n n n T T 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练2 56. 已知R b a ∈、，且b a ≠，若2lim 1 1=+-++∞→n n n n n b a b a ，那么b 的取值范围是 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练3 57. 已知线段在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段的中点到平面α的距离 为 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练4 58. 从1，2，3，…，18这18个数中任取三个不同的数，则取到的三个数的和正好是3的整数倍的概率 是 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练5 59. 函数)10()(≠>=a a a x f x 且在]2,1[中最大值比最小值大2 a ，则a 的值为 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练6 60. 已知：βα、是方程022 =++a x x 的两个根（其中R ∈α）2=-βα，则=a 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练7 61. 动点P 到定点)0,1(F 和到定直线1=x 的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程是 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练8 62. 若二次函数22)(2-+=ax x x f 在区间]2,[+a a 上恒大于1-，则a 的取值范围是 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练9 63. 若函数84)(2--=x kx x f 在区间|]20,5[上单调递减，则实数k 的取值范围是 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练10 64. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是c b a 、、，若4 15 sin ,3,2= ==A c b ，则边a 的长 是 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练11 65. 已知c b a 、、，是实数，对任意R x ∈，不等式02 >++c bx ax 恒成立，那么实数c b a 、、必须满 足的关系是 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练12 66. 函数x y a log =在),2[+∞∈x 上总有1>y ，则a 的取值范围是……………………（ ） A. 212 1 0<<< 2112 1 <<< 12 1 < D. 2>a 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练13 67. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别是2和4的矩形，则它的体积为…………………（ ） A. 9 3 8 B. 9 3 4 C. 9 3 2 D. 934或9 3 8 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练14 68. 已知等比数列{}n a 的公比1-≠q ，前n 项和为n S ，若集合? ?? ???==∞→n n n S S x x p 2lim |，则p 为（ ） A. {}0 B. ? ?? ???1,21, C. ? ?? ???21,1 D. ? ?????21,0 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练15 69. 如果函数1sin 2cos )(2--+=a x a x x f 的最大值为2，则a 等于……………………（ ） A. 2,1- B. 3,2,1- C. 3,1- D. 1- 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练16 70. 函数3)1(4)54()(22+---+=x a x a a x f 的图像均在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ） A. 191≤≤a B. 191<≤a C. 191< D. 191≤ 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练17 71. 若不等式0lg ])1[(<--a a n a 对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是……（ ） A. 1>a B. 210< 1 0<a D. 3 1 0<a 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练18 72. 已知函数a a x x x f ),()(-=为实数， （1）讨论)(x f 在R 上的奇偶性； （2）在0≤a 时，求函数)(x f 在闭区间?? ??? ?-2 1,1上的最大值。 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练19 73. 已知数列{}n a 是首项01>a ，公比1->q 的等比数列，设数列{}n b 的通项*21,N n ka a b n n n ∈-=++， 数列{}n a 、{}n b 的前n 项的和分别是n A 、n B ，如果n n kA B >对一切正整数n 和1->q 都成立，求实数k 的取值范围。 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练20 74. 求同时满足下列条件的拋物线 （1）准线是y 轴； （2）顶点在x 轴上； （3）点)0,3(A 到拋物线上的动点P 的最小距离为2 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练21 75. 将三个数a C a B a a A 226,2,20781102-=+=++=进行适当的排列，再分别取常用对数，就成公 差为1的等差数列，求实数a 的值。 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练22 76. （1）关于y x 、的方程x y k x k 2)12(222=++表示什么曲线； （2）已知直角坐标平面上的点)0,2(Q 和圆O ：122=+y x ，动点M 到圆O 的切线长与MQ 的比等 于常数)0(,>λλ，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 第十三讲 分类与整合的思想 拓展训练23 高中数学解题八种思维模式 和十种思维策略 引言 “数学是思维的体操” “数学教学是数学(思维)活动的教学。” 学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。 高中数学思维中的重要向题 它可以包括: 高中数学思维的基本形式 高中数学思维的一般方法 高中数学中的重要思维模式 高中数学解题常用的数学思维策略 高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究; 高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究; 高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性 高中数学思维的基本形式 从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维 一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。 二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形 分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 0 高中数学破题技巧 主讲人：徐德桦（绍兴一中） 一、列举法 【方法阐释】列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合的基本运算进行求解的方法。这种方法适用于数集的有关运算以及集合类型的新定义运算问题，也适用于一些集合元素比较少而且类型比较单一类型的题目，如排列组合等等。 【典型实例】 设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q={z|z=a/b,a∈P,b∈Q}，若P={-1,0,1}，Q={-2，2}，则集合P*Q中元素的个数是（） A.2 B.3 C.4 D.5 二、定义法 【方法阐释】利用定义判断充分条件和必要条件的方法就是最基本的、最常规的方法（回忆一下这些条件的判断方法），一般拿到陌生的题目或者一些新定义类型的题目都需要从定义和性质出发寻找突破口。 【典型实例】 “（m-1）(a-1)>0”是“logam>0”的（）（logam 意思就是以a为底m的对数） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 三、特殊函数法 【方法阐释】对于一些小题目（譬如，选择题和填空题）一般不需要详细的过程和步骤，只要有一种预感和能说服自己的理由可以尝试地使用一些特定的函数或者说特殊值。给定函数f(x)具备的一些性质来研究它另外的一些性质。对于能看出来是定值的题目一般也宜用特殊值法。 【典型实例】 定义在R上的函数f（x）关于（2,0）对称，且在[2,+无穷）上单调递增，如果x1+x2>4,且（x1-2）(x2-2)<0,则f(x1)+f(x2)与0的大小关系是（） A.f(x1)+f(x2)>0 B.f(x1)+f(x2)=0 C.f(x1)+f(x2)<0 D.无法判断 四、换元法 【方法阐释】这是一种高中阶段最常用的数学解题方法，贯穿于高中所有的阶段。解题过程就是将复杂的抽象的难以分辨和讨论的问题转化为简单具体直接而且熟悉的问题。例如，求函数y = x^4+2x^2-8的最值，就可以t=x^2(t>=0),这里t的范围需要特别注意。 【典型实例】 若2= 第一章 高中数学解题基本方法 一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋ b 2＝(a ＋b)2 －2ab ＝(a －b)2 ＋2ab ； a 2 ＋a b ＋b 2 ＝(a ＋b)2 －ab ＝(a －b)2 ＋3ab ； a 2 ＋ b 2 ＋ c 2 ＋ab ＋bc ＋ca ＝ 2 1[(a ＋b)2 ＋(b ＋c) 2＋(c ＋a) 2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c) 2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2 －2(ab －bc －ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α） ； x ＋ ＝(x ＋ ) －2＝(x － ) ＋2 ；…… 等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a }中，a ?a +2a ?a +a ?a =25，则 a ＋a ＝_______。 2. 方程x ＋y －4kx －2y ＋5k ＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 高考数学思想方法 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题.而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”,这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法.我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题,形成能力,提高数学素质,使自己具有数学头脑和眼光. 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想 等. 数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次.数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述,随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识,只能够领会和运用,属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决,掌握数学思想方法,不是受用一阵子,而是受用一辈子,即使数学知识忘记了,数学思想方法也还是对你起作用. 数学思想方法中,数学基本方法是数学思想的体现,是数学的行为,具有模式化与可操作性的特征,可以选用作为解题的具体手段.数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得. 可以说,“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”. 为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法,再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想.最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题,并在附录部分提供了近几年的高考试卷. 在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以三种题组的形式出现.再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现,示范性题组进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范.巩固性题组旨在检查学习的效果,起到巩固的作用.每个题组中习题的选取,又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识. 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4 高中数学解题思维策略文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 第四讲 数学思维的开拓性 一、概述 数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。 “数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。 在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。 数学思维的开拓性主要体现在： (1)一题的多种解法 例如 已知复数z 满足1||=z ，求||i z -的最大值。 我们可以考虑用下面几种方法来解决： ①运用复数的代数形式； ②运用复数的三角形式； ③运用复数的几何意义； ④运用复数模的性质（三角不等式）||||||||||||212121z z z z z z +≤-≤-； ⑤运用复数的模与共轭复数的关系z z z ?=2||； ⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆1||=z 与r i z =-||有公共点时，r 的最大值。 (2)一题的多种解释 例如，函数式22 1ax y =可以有以下几种解释： ①可以看成自由落体公式.2 12gt s = ②可以看成动能公式.2 12mv E = ③可以看成热量公式.2 12RI Q = 又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换为：x tg x a b x x x x a b a a 2222sec ),(log )(log ,cos sin ,,log -?+，等等。 1． 思维训练实例 例1 已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax 分析1 用比较法。本题只要证.0)(1≥+-by ax 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。 思想方法一、函数与方程思想 姓名： 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 班别： 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性； （2） 证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ?????? 高中数学解题基本方法——换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通 过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉 的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x ＝sin2α，α∈[0,π 2 ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中 主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。 均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S 2 ＋t，y＝ S 2 －t等等。 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例 中的t>0和α∈[0,π 2 ]。 Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。 2.设f(x2＋1)＝log a (4－x4) （a>1），则f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n+1 ·a n ＝a n+1 －a n ，则数列通项a n ＝___________。 4.设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。 5.方程13 13 + + -x x ＝3的解是_______________。 6.不等式log 2(2x－1) ·log 2 (2x+1－2)〈2的解集是_______________。 高中数学50个解题小技巧 XX：__________ 指导：__________ 日期：__________ 1 . 适用条件 [直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。 注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。 2 . 函数的周期性问题(记忆三个) (1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。 注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。 c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下 (1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a， b)中心对称 4 . 函数奇偶性 (1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空 5 . 数列爆强定律 (1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中： S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立(4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q 6 . 数列的终极利器，特征根方程 首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p2(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。 二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7 . 函数详解补充 1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外 2、复合函数单调性：同增异减 3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8 . 常用数列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2记忆方法 前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2 9 . 适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式 k椭=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k双={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k抛=p/yo 注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技 已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[这个条件为了 十、构造法 解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维 方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方 向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。 历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构 造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、 巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来， 构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。 构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提， 根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带， 使解题另辟蹊径、水到渠成。 用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、 数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这 些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结 规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特 点，以便依据特点确定方案，实现构造。 再现性题组 1、求证： 3 10910 22≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则4 2511≥???? ??+??? ??+ y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证： 22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a （构造图形、复数） 4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。（构造向量） 5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当 c a b 111+=时取等号。（构造图形） 6 、求函数y = 再现性题组简解： 1、解：设)3(92 ≥+=t x t 则t t y t f 1)(2+==，用定义法可证：f (t )在),3[+∞上单调递增，令：3≤12t t < 则0)1)((11)()(2 1212122212121>--=+-+=-t t t t t t t t t t t f t f ∴310313)3(9 10322=+=≥++= f x x y 第2 西瓜开门 滚到成功 ●计名释义 比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”. 数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号. ●典例示范 ［题1］ (2006年赣卷第5题) 对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f '(x )≥0，则必有 A. f (0)＋f (2)< 2f (1) B. f (0)＋f (2)≤2 f (1) C. f (0)＋f (2)≥ 2f (1) D. f (0)＋f (2)>2f (1) ［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点在已条件(x -1)f ＇(x )≥0中暗示得极为显目. 其一，对f ＇(x )有大于、等于和小于0三种情况； 其二，对x -1，也有大于、等于、小于0三种情况. 因此，本题破门，首先想到的是划分讨论. ［解一］ (i)若f ＇(x ) ≡ 0时，则f (x )为常数：此时选项B 、C 符合条件. (ii)若f ＇(x )不恒为0时. 则f ＇(x )≥0时有x ≥1，f (x )在[)∞,1上为增函数；f ＇(x )≤0时x ≤1. 即f (x )在(]1,-∞上为减函数. 此时，选项C 、D 符合条件. 综合(i)，(ii)，本题的正确答案为C. ［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f ＇(x ) ≡ 0的可能. 以为(x-1)f ＇(x ) ≥0中等号成立的条件只是x -1=0，其实x-1=0与f ＇(x )=0的意义是不同的：前者只涉x 的一个值，即x =1，而后是对x 的所有可取值，有f ＇(x ) ≡ 0. ［再析］ 本题f (x )是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中，又是一些具体的函数值f (0)，f (1)，f (2). 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想. ［解二］ (i)若f ＇(x )=0，可设f (x )=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件. (ii)f ＇(x )≠0. 可设f (x ) =(x-1)2 又 f ＇(x )=2(x-1). 满足 (x-1) f ＇(x ) =2 (x-1)2≥0，而对 f (x )= (x-1)2. 有f (0)= f (2)=1，f (1)=0 选项C ，D 符合条件. 综合(i)，(ii)答案为C. ［插语］ 在这类 f (x )的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x -1)2. 如果在同类中找到了(x -1)4 ，(x-1)3 4 ，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化. ［再析］ 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终，如由f '(x )= 0找最值点x =0，由f '(x )>0(<0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题. 由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到. ［解三］ (i)若f (0)= f (1)= f (2)，即选B ，C ，则常数f (x ) = 1符合 条件. (右图水平直线) (ii)若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条件(x -1) 高中数学19种答题方法及6种解题思想一．十九种数学解题方法 1.函数 函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2.方程或不等式 如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.初等函数 面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……； 4.选择与填空中的不等式 选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法； 5.参数的取值范围 求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法； 6.恒成立问题 恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.圆锥曲线问题 圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式； 8.曲线方程 求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）； 9.离心率 求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可； 10.三角函数 三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列问题 数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何问题 立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题； 13.导数 导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上； 一、《高中数学解题的思维策略》 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． [数学][高中数学解题思维与 思想] 《高中数学解题思维与思想》 导读 数学家G. 波利亚在《怎样解题》中说过：数学教 学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质 的途径，是进行有效的训练，本策略结合数学教学的实 际情况,从以下四个方面进行讲解:...文档交流仅供参考... 一、数学思维的变通性 根据题设的相关知识，提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性 提出独特见解，检查思维过程,不盲从、不轻信。 三、数学思维的严密性 考察问题严格、准确,运算和推理精确无误。 四、数学思维的开拓性 对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度 观察、对一个题目运用多种不同的解法。 什么”转变，从而培养他们的思维能力。 《思维与思想》的即时性、针对性、实用性,已在 教学实践中得到了全面验证。 一、高中数学解题思维策略 第一讲 数学思维的变通性 一、概念 数学问题千变万化,要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：...文档交流 仅供参考... (1)善于观察 心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式,而观察则是知觉的高级状态,是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径,它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。...文档交流 仅供参考... 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它,就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考,透过表面现象看其本质,这样才能确定解题思路，找到解题方法。...文档交流 仅供参考... 例如，求和) 1(1431321211+++?+?+?n n .高中数学解题八个思维模式和十个思维策略
高中数学解题思想之分类讨论思想
q D.当a>1时，p>q；当0
高中数学解题技巧归纳
高中数学解题方法大全
高考数学思想方法汇总(80页)
高中数学知识点以及解题方法大全
高中数学解题思维策略
高中数学解题四大思想方法
高中数学解题基本方法——换元法
高中数学50个解题小技巧
高中数学解题方法之构造法(含答案)
高中数学解题思想方法技巧：西瓜开门 滚到成功
高中数学19种答题方法及6种解题思想
高中最全数学解题的思维策略资料全
很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安徽写生画图，
昨天下午坐了 24 个小时的火车过来，误了 4 天的课程，最后咱们
下午物理上完之后再给大家补课，再给大家补 5 天的课程，
去年高考难，很多学生数学考得也很不错，，很多人可能会问补课
有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留
学很贵，实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了，
补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分数，高
考中分数的重要性，，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了，
家长就说，，考不好，家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主
体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批学生
反映最后对我们 3 个教的还不错，
我先讲一下我补课大概基本要讲的内容，把大家数学必修的知识点
基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多
好题；很多我归纳的知识和一些数学技巧；在最后 2 天我要给大家
讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大家讲一下
一些英语，语文和其他科目的技巧。
导
读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效
的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：
一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难题大家容易钻
牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考 120 分
钟，12 道选择，4 道填空，基本用时不超过 50 分钟，选这题一般最后 2 个比较难，填
空题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第 2 道高中数学函数解题技巧与方法
[数学][高中数学解题思维与思想](课件)