2016新课标创新人教A版数学必修3 3.3几何概型
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P135～P136，回答下列问题．
(1)教材问题中甲获胜的概率与什么因素有关？
提示：与两图中标注B的扇形区域的圆弧的长度有关．
(2)教材问题中试验的结果有多少个？其发生的概率相等吗？
提示：试验结果有无穷个，但每个试验结果发生的概率相等．
2．归纳总结，核心必记
(1)几何概型的定义与特点
①定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
②特点：(ⅰ)可能出现的结果有无限多个；(ⅱ)每个结果发生的可能性相等．
(2)几何概型中事件A的概率的计算公式
P(A)＝
构成事件A的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
[问题思考]
(1)几何概型有何特点？
提示：几何概型的特点有：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
②每个基本事件出现的可能性相等．
(2)古典概型与几何概型有何区别？
提示：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
(1)几何概型的定义：；
(2)几何概型的特点：；
(3)几何概型的计算公式： .
某班公交车到终点站的时间可能是11∶30－12∶00之间的任何一个时刻． 往方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上． [思考1] 这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？ 提示：无限多个．
[思考2] 古典概型和几何概型的异同是什么？ 名师指津：古典概型和几何概型的异同 如表所示：
为不可能事件 ②P
(
A )＝0A 为不可能事件 ③P (
B )＝1
B 为必然事件
1．取一根长为5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于2 m 的概率有多大？
[尝试解答] 如图所示．
记“剪得两段绳长都不小于2 m ”为事件A .把绳子五等分，当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的1
5
，
所以事件A 发生的概率P (A )＝1
5
.
求解与长度有关的几何概型的关键点
在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，
确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件A 的概率．
练一练
1．(2016·全国乙卷)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A.13
B.12
C.23
D.34 解析：选B 如图，
7：50至8：30之间的时间长度为40 分钟，而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20 分钟，由几何概型概率公式知所求概率为P ＝2040＝1
2
.故选B.
讲一讲
2．(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )
A.π2
B.π4
C.π6
D.π8
[尝试解答] 由几何概型的概率公式可知，质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P ＝半圆的面积长方形的面积＝12π·1
21×2＝π
4
，故选B.
答案：B
解与面积相关的几何概型问题的三个关键点
(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；
(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积； (3)套用公式，从而求得随机事件的概率． 练一练
2．如图，在矩形区域ABCD 的A ，C
两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围
分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2D.π
4
解析：选A 由几何概型知所求的概率P ＝S 图形DEBF S 矩形ABCD ＝2×1－1
4×π×12×2
2×1＝1－π
4.
讲一讲
3．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．
[尝试解答] 点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π
3×13
23
＝1－π
12
. 答案：1－π
12
如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．
练一练
3．如图所示，有一瓶2升的水，其中含有1个细菌．用一小水杯从这瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．
解：记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件．
∵小水杯中有0.1升水，原瓶中有2升水， ∴由几何概型求概率的公式得P (A )＝0.1
2
＝0.05.
——————————————[课堂归纳·感悟提
升]———————————————
1．本节课的重点是了解几何概型的意义，会求几何概型的概率．难点是理解几何概型的特点和计算公式．
2．本节课要掌握以下几类问题：
(1)理解几何概型，注意与长度有关的几何概型的求解关键点，见讲1. (2)求解与面积相关的几何概型问题的三个关键点，见讲2. (3)注意与体积有关的几何概型的求解策略，见讲3. 3．本节课的易错点：
不能正确求出相关线段的长度或相关区域的面积或相关空间的体积，如讲1,2,3.
课下能力提升(十九) [学业水平达标练]
题组1 与长度有关的几何概型
1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( ) A.45 B.35 C.25D.15
解析：选B 在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35
. 2．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A.110
B.19
C.111
D.18
解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝1
10
.
3．在区间[－2,4]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为5
6，则m ＝________.
解析：由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m ，当m ≤2时，由题意得2m 6＝5
6，解得m ＝2.5，矛盾，
舍去．
当2 6，解得m ＝3. 答案：3 4．如图所示，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率． 解：弦长不超过1，即|OQ |≥3 2 ，而Q 点在直径AB 上是随机的，记事件A ＝{弦长超过1}． 由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝3 2. ∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－3 2 . 题组2 与面积、体积有关的几何概型 5.在如图所示的正方形中随机撒入 1 000粒芝麻，则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)． 解析：设正方形边长为2a ，则S 正＝4a 2，S 圆＝πa 2. 因此芝麻落入圆内的概率为P ＝πa 24a 2＝π4，大约有1 000×π 4≈785(粒)． 答案：785 6．一个球型容器的半径为3 cm ，里面装有纯净水，因为实验人员不小心混入了一个H 7N 9 病毒，从中任取1 mL 水，含有H 7N 9 病毒的概率是________． 解析：水的体积为43πR 3＝43×π×33＝36π(cm 3)＝36π(mL)．故含有病毒的概率为P ＝1 36π. 答案： 1 36π 7．(2015·西安质检)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 内随机取点，则该点落在三棱锥A 1-ABC 内的概率是________． 解析： 设正方体的棱长为a ，则所求概率 P ＝VA 1-ABC VABCD -A 1B 1C 1D 1 ＝13×12a 2·a a 3 ＝16. 答案：16 8．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是1 4 ，则此长方体的体积是________． 解析：设长方体的高为h ，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h (2h ＋2)(2h ＋1)＝14，解得h ＝3或h ＝－1 2(舍去)，故长方体的体积为1×1×3 ＝3. 答案：3 9．在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在边上，可重掷一次；若掷在正方形内，需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上，可获得一元钱．试问： (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？ 解：(1)如图(1)所示，因为O 落在正方形ABCD 内任何位置是等可能的，小圆板与正方形塑料板ABCD 的边相交接是在圆板的中心O 到与它靠近的边的距离不超过1 cm 时，所以O 落在图中阴影部分时，小圆板就能与塑料板ABCD 的边相交接，这个范围的面积等于92－72＝32(cm 2)，因此所求的概率是3292＝32 81 . (2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O 与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1 cm 时，如图(2)阴影部分，四块合起来面积为π cm 2，故所求概率是π 81 . [能力提升综合练] 1．下列关于几何概型的说法中，错误的是( ) A ．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性 B ．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关 C ．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个 D ．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性 解析：选A 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，故选A. 2．已有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( ) 解析：选A 利用几何概型的概率公式，得P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝1 3， ∴P (A )＞P (C )＝P (D )＞P (B )，故选A. 3．如图，在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率是 ( ) A.14 B.12 C.34 D.23 解析：选C 因为△ABC 与△PBC 是等高的，所以事件“△PBC 的面积大于S 4”等价于 事件“|BP |∶|AB |＞14”．即P (△PBC 的面积大于S 4)＝|P A ||BA |＝3 4 . 4．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机地取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB ＝( ) A.12 B.14 C. 32 D.74 解析：选D 依题可知，设E ，F 是CD 上的四等分点，则P 只能在线段EF 上且BF ＝AB .不妨设CD ＝AB ＝a ，BC ＝b ，则有b 2＋????3a 42＝a 2，即b 2 ＝716a 2，故b a ＝74 . 5．(2016·石家庄高一检测)如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠xOT 内的概率为________． 解析：记“射线OA 落在∠xOT 内”为事件A .构成事件A 的区域最大角度是60°，所有基本事件对应的区域最大角度是360°，所以由几何概型的概率公式得P (A )＝60°360°＝16 . 答案：16 6．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 是AB 的中点． 一只苍蝇在几何体ADF -BCE 内自由飞行，求它飞入几何体F -AMCD 内的概率． 解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF ，DF ＝AD ＝DC ＝a . 因为V F -AMCD ＝13S 四边形AMCD ×DF ＝13×12(12a ＋a )·a ·a ＝1 4a 3， V ADF -BCE ＝12a 2·a ＝1 2 a 3， 所以苍蝇飞入几何体F -AMCD 内的概率为14a 3 12 a 3＝1 2. 7．在长度为10 cm 的线段AD 上任取两点B ，C .在B ，C 处折此线段而得一折线，求此折线能构成三角形的概率． 解：设AB ，AC 的长度分别为x ，y ，由于B ，C 在线段AD 上，因而应有0≤x ，y ≤10，由此可见，点对(B ，C )与正方形K ＝{(x ，y )|0≤x ≤10,0≤y ≤10}中的点(x ，y )是一一对应的，先设x 符合此条件的点(x ，y )必落在△GFE 中( 如图 ) ． 同样地，当y ＝1 4.