复变函数与积分变换课后习题答案详解
复变函数与积分变换
（修订版）主编：马柏林
（复旦大学出版社）
——课后习题答案
习题一
1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数
π/43513
;
;(2)(43);711i i e i i i i i
-++++
++.
①解i 4
πππe cos isin 44-??????=-+- ? ? ? ???
??
?? ②解： ()()()()
35i 17i 35i 1613i
7i 1
1+7i 17i 2525
+-+==-++-
③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13
35=i i i 1i 222
-+-+=-+
2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )
(z a a z a -∈+
); 33
3;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy
则
()()()()()()()22
i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y
-++-????+--+-????===+++++++ ∴
()222
2
2
Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++,
()22
2Im z a xy z a x a y
-??
= ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵
()()()()()
()()()3
2
322222222
3223i i i 2i i 22i
33i
z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴
()332
Re 3z x xy =-,
()323Im 3z x y y =-．
③解：
∵
((
)(
){
}3
3
2
3
2
111313188-+?
???==
--?-?+?-?????
?
??
??
()1
80i 18
=
+=
∴Re 1=??
, Im 0=??
． ④解：
∵
()
(
)((
)2
3
3
2
3
13131i 8
??--?-?+?-????
=??
()1
80i 18
=
+=
∴Re 1
=?
?
, Im 0=?
?
． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,
k
n k
n k k n k ?-=?
=∈?=+-???￠． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；
当
21n k =+时，
()Re i 0
n =，
()()Im i 1k
n =-．
3.求下列复数的模和共轭复数
12;3;(2)(32);
.2
i
i i i +-+-++
①解：2i -+=
2i 2i -+=--
②解：33-=
33-=-
③解：()(
)2i 32i 2i 32i ++=++=
()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=-
④解：
1i 1i 22++==
()1i 11i
222i ++-??== ???
4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．
证明：若z z =，设i z x y =+，
则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．
若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．
命题成立．
5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤
证明∵()()()()
2
z w z w z w z w z w +=+?+=++
(
)()
2
2
2
2
2Re z z z w w z w w
z zw z w w z w
z w =?+?+?+?=++?+=++?
()
22
2
2
2
22z w z w
z w z w z w ++?=++?=+≤
∴z w
z w ++≤
．
6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()
2
2
2
2Re z w z z w w +=+?+ ()
2
2
2
2Re z w z z w w -=-?+
(
)22
22
2z w z w z w
++-=+
并给出最后一个等式的几何解释．
证明：()
2
2
2
2Re z w z z w w +=+?+在上面第五题的证明已经证明了．
下面证()
2
2
2
2Re z w z z w w -=-?+．
∵()()()()
2
2
2
z w z w z w z w z w z z w w z w
-=-?-=--=-?-?+
()
2
2
2Re z z w w =-?+．从而得证．
∴(
)
2
2
22
2z w z w z w
++-=+
几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边
的平方的和．
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
3
352π2π;;1;8π(1);.cos sin i i i +?
?--+ ①解：
()()()()
35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-
3816i 198i e 5025i θ?--=
==其中8
πarctan 19
θ=-． ②解：e i i θ?=其中π
2θ=．
π2
e i
i =
③解：ππi i 1e e -==
④解：()
2
8π116ππ3
θ-==-.
∴()
2πi 3
8π116πe
--+=?
⑤解：3
2π2πcos isin 99?
?+ ??
? 解：∵3
2π2πcos isin 199?
?+= ??
?．
∴3
2
2π
i π.3i 93
2π2πcos isin 1e e 99???+=?= ??
?
8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)
的平方根.
⑴i 的三次根． 解：
()1
3ππ
2π2πππ22cos sin cos
isin 0,1,22233
+
+
??+=+= ??
?k k i k
∴1ππ1
cos
isin i 662
=+=+z ．
2551
cos πisin πi 662=+=+z
3991cos πisin πi 662
=+=-z
⑵-1的三次根 解：
()()1
32π+π2ππ
cos πisin πcos
isin 0,1,233
k k k ++=+=
∴1ππ1cos isin 3
3
2
=+=z
2cos πisin π1=+=-z
35513
cos πisin πi 3322
=+=--z
⑶33i +的平方根．
解： π
i 42233i=6i 6e 22??+?+=? ? ???
∴
(
)
()1π12
i 4
4
ππ2π2π4433i 6e
6cos isin 0,122k k k ?
?++ ?+=
?=?+= ???
∴π
1
1i 84
41ππ6cos isin 6e 88?
?=?+=? ??
?z
9
1
1πi 84
42996cos πisin π6e 88?
?=?+=? ??
?z ．
9.设2πe
,2i
n
z n =≥. 证明：110n z z -+++=L
证明：∵2πi e n
z ?= ∴1n z =，即10n z -=．
∴()()1110n z z z --+++=L
又∵n ≥2． ∴z ≠1
从而211+0n z z z -+++=L
11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α
=>=+-令
:Im 0z a L z b β?-???==?? ?
????
, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.
解：如图所示．
因为L β={z : Im z a b -??
???
=0}表示通过点a 且方
向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°
所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件
是α-β=90°．
12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.
(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;
(5)Im 1 2.
z z z z i z z z z ==-<+<>><且
解：
(1)、argz =π．表示负实轴．
(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =
12
．
(3)、1<|z +i|<2 解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
（4）、Re(z )>Im z ．
解：表示直线y =x 的右下半平面
5、Im z >1，且|z |<2．
解：表示圆盘内的一弓形域。
习题二 1. 求映射
1
w z z =+
下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则
2222
221i i i i i()i x y x y
u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++
=++=++-++++
因为2
2
4x y +=,所以53i 44u iv x y +=
+
所以 54u x =,34v y
=+
53
4
4
,u v x y == 所以(
)
()225344
2
u
v
+
=即(
)
()2
2
225322
1
u v +
=，表示椭圆.
2. 在映射2
w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ?
ρ=或i w u v =+. （1）
π
02,4r θ<<=
； （2）
π
02,04r θ<<<<
;
(3) x=a, y=b.(a, b 为实数)
解：设222
i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+
所以
22
,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ?
ρ=，则
π
02,4r θ<<=
映射成w 平面内虚
轴上从O 到4i 的一段，即 π
04,.
2ρ?<<=
(2) 记e i w ?
ρ=，则π
0,024r θ<<<<映成了w 平面
上扇形域，即
π
04,0.
2ρ?<<<<
(3) 记w u iv =+，则将直线x=a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦
点，张口向左的抛物线将y=b 映成了22,2.u x b v xb =-=
即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物
线如图所示.
3. 求下列极限.
1lim
解：令
1
z t =
,则,0z t →∞→.
于是2
22
01lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim
z z z →;
解：设z=x+yi ，则Re()i z x
z x y =
+有 000
Re()1
lim
lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==
++
显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim
(1)
z i z i z z →-+；
解：
2lim
(1)z i
z i z z →-+=11
lim lim ()()()2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-
+-+.
（4） 2122
lim
1z zz z z z →+---.
解：因为2
22(2)(1)2
,1(1)(1)1zz z z z z z z z z z +--+-+==-+-+
所以
21
12223
lim
lim 112z z zz z z z z z →→+--+==-+.
4. 讨论下列函数的连续性： (1)
22
,0,()0,0;
xy
z x y f z z ?≠?
+=??=?
解：因为
22
(,)(0,0)lim ()lim
z x y xy
f z x y →→=
+, 若令y=kx,则
222(,)(0,0)lim 1x y xy k
x y k →=++, 因为当k 取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在
z=0处极限不存在.
从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续.
342
,0,()0,0.
x y
z f z x y z ?≠?
=+??=?
解：因为
3342202
2x y x x y
x y x y ≤≤=
+,
所以342
(,)(0,0)lim 0(0)x y x y
f x y →==+
所以f(z)在整个z 平面连续.
5. 下列函数在何处求导？并求其导数.
(1) 1
()(1)n f z z -=- (n 为正整数)；
解：因为n 为正整数，所以f(z)在整个z 平面上可导. 1()(1)n f z n z -'=-.
(2)
22
()(1)(1)z f z z z +=
++.
解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在
2
(1)(1)0z z ++=处不可导.
从而f(z)除1,i z z =-=±外可导.
22222
32222
(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)z z z z z z f z z z z z z z z ''
+++-+++'=
++-+++=
++
(3)
38()57z f z z +=
-.
解：f(z)除7=5
z 外处处可导，且
223(57)(38)561
()(57)(57)z z f z z z --+'=
=-
--.
(4) 222
2()i x y x y
f z x y x y +-=
+++.
解：因为
2
222222i()i i(i )(i )(1i)(1i)1i
()x y x y x y x y x y z f z x y x y x y z z
++--+--+++=
====+++.
所以f(z)除z=0外处处可导，且
2(1i)()f z z +'=-
.
6. 试判断下列函数的可导性与解析性.
22
()i f z xy x y =+
解：
22
(,),(,)u x y xy v x y x y ==在全平面上可微. 22,2,2,y
u
v
v y xy xy x x y x
y ????====????
所以要使得
u v x y ??=??， u v
y x ??=-??,
只有当z=0时,
从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(2) 22
()i f z x y =+.
解：22
(,),(,)u x y x v x y y ==在全平面上可微.
2,0,0,2u
u v v
x y x y x
y ????====????
只有当z=0时,即(0,0)处有u v x y ??=??,u v
y
y ??=-
??. 所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(3) 33
()23i f z x y =+;
解：33
(,)2,(,)3u x y x v x y y ==在全平面上可微.
226,0,9,0u
u v
v x y x y x
y ????====????
=时，才满足C-R 方程. 从而f(z)
0±=处可导，在全平面不解析. (4)
2
()f z z z =?.
解：设i z x y =+，则
23232()(i )(i )i()f z x y x y x xy y x y =-?+=+++ 3232(,),(,)u x y x xy v x y y x y =+=+
22223,2,2,3u
u
v
v
x y xy xy y x x
y
x
y ????=+===+????
所以只有当z=0时才满足C-R 方程.
从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.
7. 证明区域D 内满足下列条件之一的解析函数必为常数. (1) ()0f z '
=;
证明：因为()0f z '=，所以0u u x y ??==??,0
v v
x y ??==??.
所以u,v 为常数，于是f(z)为常数. (2) ()f z 解析.
证明：设()i f z u v =-在D 内解析,则 ()u v u v
x y x y ??-??=?=-???? ()u v v y x y ?-?-?==+??? ,u v u v
x y
y x ????=-=????
而f(z)为解析函数，所以,
u u
u v x y
y x ????==-????
所以,
,v v v v x
x y y ????=-=-????即0u u v v
x y x y ????====????
从而v 为常数，u 为常数，即f(z)为常数.
(3) Ref(z)=常数.
证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, 0u u x y ??==?? 因为f(z)解析，C-R 条件成立。故0u u x y ??==??即u=C2
从而f(z)为常数.
(4) Imf(z)=常数.
证明：与（3）类似，由v=C1得0v v x y ??==??
因为f(z)解析，由C-R 方程得0u u x y ??==??,即u=C2
所以f(z)为常数.
5. |f(z)|=常数.
证明：因为|f(z)|=C ，对C 进行讨论. 若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.
若C ≠0，则f(z) ≠0,但2()()f z f z C ?=，即u2+v2=C2
则两边对x,y 分别求偏导数，有
220,220
u v u v u v u v x x y y ?????+?=?+?=???? 利用C-R 条件，由于f(z)在D 内解析，有 u v u v x y y x ????==-???? 00u
v u v x x u v v u ????+?=?????
????-?=0,
0u v
??==
即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.
(6) argf(z)=常数.
证明：argf(z)=常数，即arctan v C
u ??= ???,
于是
222
222222
()
()(/)01(/)()()v u v u
u u v u u v v u y y x x v u u u v u u v ????-??
-?'
????===+++
得
00v
u u v x x v
u u v y y ????-?=?????????-?=???? C-R 条件→ 00v u u v x x v u u v x x ????-?=?????
????+?=????
解得0u v u v x x y y ????====????，即u,v 为常数，于是f(z)
为常数.
8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z 平面上解析，求m,n,l 的值.
解：因为f(z)解析，从而满足C-R 条件. 222,3u u nxy my nx x y ??==+?? 223,2v
v
x ly lxy x
y ??=+=??
u v n l x y ??=?=??
3,3u v
n l m y x ??=-?=-=-??
所以3,3,1n l m =-=-=.
9. 试证下列函数在z 平面上解析，并求其导数. (1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i
证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且
222233,6,6,33u
u
v
v
x y xy xy x y x
y
x
y ????=-=-==-????
所以f(z)在全平面上满足C-R 方程，处处可导，处处
解析.
22222()i 336i 3(2i)3u v
f z x y xy x y xy z x x ??'=
+=-+=-+=??.
()e (cos sin )ie (cos sin )x x
f z x y y y y y x y =-++证明：
(,)e (cos sin ),
(,)=e (cos sin )
x x u x y x y y y v x y y y x y =-+处处可微，且
e (cos sin )e (cos )e (cos sin cos )x x x u
x y y y y x y y y y x ?=-+=-+?
e (sin sin cos )e (sin sin cos )x x u
x y y y y x y y y y y
?=---=---?e (cos sin )e (sin )e (cos sin sin )x x x v
y y x y y y y x y y x
?=++=++?e (cos (sin )cos )e (cos sin cos )x x v
y y y x y y y y x y y
?=+-+=-+?所以u v x y ??=??, u v y
x ??=-
?? 所以f(z)处处可导，处处解析.
()i e (cos sin cos )i(e (cos sin sin ))e cos ie sin (e cos ie sin )i (e cos ie sin )e e i e e (1)
x x x
x x x x x z z z z u v
f z x y y y y y y x y y x x y y x y y y y y x y z ??'=
+=-++++??=+++++=++=+10. 设
()()
333322
i ,0.0.0.x y x y z f z x y z ?-++≠?
=+??=?
求证：(1) f(z)在z=0处连续．
(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程． (3)f′(0)不存在． 证明.(1)∵
()()
()()
,0,0lim ()lim ,i ,z x y f z u x y v x y →→=
+
而()()()()()33
22,0,0,0,0lim ,lim x y x y x y u x y x y →→-=+
∵
()3322221x y xy x y x y x y -?
?=-?+ ?++??
∴3322
3
02
x y x y x y --+≤
≤
∴()()33
22,0,0lim 0x y x y x y →-=+ 同理()()33
22
,0,0lim 0x y x y x y →+=+
∴()()
()()
,0,0lim
00x y f z f →==
∴f(z)在z=0处连续．
(2)考察极限()0()0lim
z f z f z →-
当z 沿虚轴趋向于零时，z=iy ，有
()()()3
2
00111i lim i 0lim 1i i i y y y f y f y y y →→--??-=?=+??．
当z 沿实轴趋向于零时，z=x ，有 ()()[]01
lim 01i x f x f x →-=+
它们分别为
i ,i u v v u x x y y ????+?-???? ∴,u v u v x y y
x ????==-
???? ∴满足C-R 条件．
(3)当z 沿y=x 趋向于零时，有
()()()()()33300i 0,01i 1i i lim lim i 21i 1i x y x y f x x f x x x x x =→=→+-+--==+++
∴0lim
z f z →??不存在．即f(z)在z=0处不可导． 11. 设区域D 位于上半平面，D1是D 关于x 轴的对
称区域，若f(z)在区域D 内解析，求证()
()F z f z =在
区域D1内解析．
证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D 内解析．
所以u(x,y),v(x,y)在D 内可微且满足C-R 方程，即,u v u v x y y x ????==-????．
()()()()()
,iv ,,i ,f z u x y x y x y x y ?ψ=---=+，得
(),u x y x x ??-?=
?? ()(),,u x y u x y y y y ??-?-?==-??? (),v x y x x ψ-?-?=
?? ()(),,v x y v x y y y y ψ?-?-?=+=???
故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R 条件,x y y x ?ψ?ψ????==-???? 从而
()
f z 在D1内解析
13. 计算下列各值
(1) e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1)
(2)
22π2
2
i 3
3
3
3
3
ππ1e e e
e cos isin e 332i π--????????=?=?-+-=? ?
? ??????????? (3)
()()
22
22
22
22
22
i i
22222
2Re e
Re e e
Re e cos isin e
cos x y x y x y x y x y x
x y
x
x y y y x y x y y x y -+-
++++=????????
?= ?-+-??? ? ? ?++???????
?
??=? ?
+??
(4)
()()i 2i 2i i 22i 2e e e e e e x y x y x y x
-+-+---=?=?=
14. 设z 沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f(z)=z+ez 的极限． 解：令z=reiθ， 对于?θ，z →∞时，r →∞． 故()()()i i e
i isi c n os lim e e lim e e r r r r r r θ
θθθθ→∞
→+∞
+=+=∞
．
所以()lim z f z →∞
=∞
．
15. 计算下列各值． (1)
(
)(
)3ln 23i iarg 23i i πarctan 2?
?-+-+=- ?
??
(2)
(
)(
ππln 3ln iarg 3ln i ln i
66??
==-= ???
(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i
(4)
()()π
ln ie ln e iarg ie 1i
2=+=+
16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz 的连续性与可导性．
解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz 除负实轴及原点外处处连续． 设z=x+iy
，
()()
()||,i ,g z z u x y v x y ==+
(
)(),,0
u x y v x y =在复平面内可微．
(
)1
222
122
u u x y x x y
-??=+?==??
00v v x y ??==??
故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．
从而f(x)=|z|+lnz 在复平面上处处不可导．
17. 计算下列各值． (1)
()()
()()
(
)1i
π1i i 2πi 1i
ln 1i 1i ln 1i 4ππ
i 2π
44π
2π
4
π
2π4
1i e
e
e
ππ
e i 2π44e e
ππe
cos isin 4
4ππe
cos isin 4
4k k k k k -??-?+ ?
-+-?+??
?-+ ?++
+====+
-++=?????=?-+- ??
??????
??=?-+- ??
???? (2)
(
(
)
(
)
)(
)(
)(
(
)(
)(5
ln 3ln 3i π2πi 3π23
3e cos 21isin 21cos 21πisin 21k k k k k k --+?++-=====++=?++ (3)
(
)
()
i
i ln1iln1i ln1i 02πi
i 2πi 2π
1e e e e e k k k ----?+?+-?=====
(
)()(
)1i
1i
ln 1i ln ππ1i ln1i 2πi 1i 2πi i 44πππ
π
i 2π2πi i 2π2π4444
π
2π4
π
2π4e e
e e
e e
e
ππe
cos isin 44()4e k k k k k k k k +++??????+?+-++- ? ?
?
??????
?
?---+
- ???
--======?????=?+- ? ?
???
??=?-?
?
18. 计算下列各值
(1)
()()()
()i π5i i π5i i π5i π5
555555e e e e cos π5i 22
e e 1e e e e ch 5
222+-+--+---+++==
-+---+===-=-
(2)
()(
)
(
)
()()i 15i i 15i i 5i 5
555555e e e e sin 15i 2i 2i
e cos1isin1e cos1isin12i
e e e e sin1i cos1
22---+--------==
+-?-=
++=?-? (3)
()()()()()
()()()
i 3i i 3i
i 3i i 3i 22e e sin 3i sin 6isin 2
2i tan 3i cos 3i e e 2ch 1sin 32i
----------===
-+-(4)
()()()2
2
2
i i 2222222222221sin e e sin ch i cos sh 2i
sin ch cos sh sin ch sh cos sin sh sin sh y x y x z x y x y
x y x y
x y y x x y x y
-+-=?-=?+?=?+?=?-++?=+
(5)
(
(
))()arcsin i i ln i i ln 1i ln 1i2π0,1,i ln 1i π2πk k k =-+=-???-+???==±????-++???L
(6)
()()()i 1i 12i i 21arctan 12i ln ln i 21i 12i 2551i
πarctan 2ln 5
24k ++??
+=-=-?-+ ?
-+??=++?
19. 求解下列方程
(1) sinz=2． 解：
(
)(
(
(1
arcsin 2ln 2i ln 2i i
1i ln 22πi 212πi ln 2,0,1,2z k k k ??==±=-±??
???
?=-±++ ???
???
??
?=+±+=± ???L
(2)e 10z
-=
解：e 1z
=+ 即
()π
ln 1ln 2i 2πi 3
1ln 22πi
3z k k ==++?
?=++ ??
?
(3) πln i 2z =
解：
πln i
2z =
即π
i 2e i z ==
(4)()ln 1i 0z -+= 解
：
π1?
?
大学物理(第五版)上册课后习题答案马文蔚
习题1 1-1 质点作曲线运动，在时刻t 质点的位矢为r ，速度为v ，t 至()t t +?时间内的位移为r ?，路程为s ?，位矢大小的变化量为r ?（或称r ?），平均速度为v ，平均速率为v 。 （1）根据上述情况，则必有（ ） （A ）r s r ?=?=? （B ）r s r ?≠?≠?，当0t ?→时有dr ds dr =≠ （C ）r r s ?≠?≠?，当0t ?→时有dr dr ds =≠ （D ）r s r ?=?≠?，当0t ?→时有dr dr ds == （2）根据上述情况，则必有（ ） （A ）,v v v v == （B ）,v v v v ≠≠ （C ）,v v v v =≠ （D ）,v v v v ≠= 1-2 一运动质点在某瞬间位于位矢(,)r x y 的端点处，对其速度的大小有四种意见，即 （1） dr dt ；（2）dr dt ；（3）ds dt ；（4下列判断正确的是： （A ）只有（1）（2）正确 （B ）只有（2）正确 （C ）只有（2）（3）正确 （D ）只有（3）（4）正确 1-3 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度。对下列表达式，即 （1）dv dt a =；（2）dr dt v =；（3）ds dt v =；（4）t dv dt a =。 下述判断正确的是（ ） （A ）只有（1）、（4）是对的 （B ）只有（2）、（4）是对的 （C ）只有（2）是对的 （D ）只有（3）是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时，则有（ ） （A ）切向加速度一定改变，法向加速度也改变 （B ）切向加速度可能不变，法向加速度一定改变 （C ）切向加速度可能不变，法向加速度不变
大学物理课后题答案
习 题 四 4-1 质量为m =的弹丸，其出口速率为300s m ，设弹丸在枪筒中前进所受到的合力 9800400x F -=。开抢时，子弹在x =0处，试求枪筒的长度。 [解] 设枪筒长度为L ，由动能定理知 2022121mv mv A -= 其中??-==L L dx x Fdx A 00)9 8000400( 9 40004002 L L - = 而00=v ， 所以有： 22 300002.05.09 4000400??=-L L 化简可得： m 45.00 813604002==+-L L L 即枪筒长度为。 4-2 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m 的滑块以初速度0v 沿切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦系数为μ，试证明：当滑块从屏障的另一端滑出时，摩擦力所作的功为() 12 1220-= -πμe mv W [证明] 物体受力：屏障对它的压力N ，方向指向圆心，摩擦力f 方向与运动方向相反，大小为 N f μ= (1) 另外，在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力，二者互相平衡与运动无关。 由牛顿运动定律 切向 t ma f =- (2) 法向 R v m N 2 = (3) 联立上述三式解得 R v a 2 t μ-= 又 s v v t s s v t v a d d d d d d d d t === 所以 R v s v v 2 d d μ -= 即 s R v v d d μ-=
两边积分，且利用初始条件s =0时，0v v =得 0ln ln v s R v +- =μ 即 s R e v v μ -=0 由动能定理 2 022 121mv mv W -= ，当滑块从另一端滑出即R s π=时，摩擦力所做的功为 () 12 1212122020220-=-=--πμ πμ e mv mv e mv W R R 4-3 质量为m 的质点开始处于静止状态，在外力F 的作用下沿直线运动。已知 T t F F π2sin 0=，方向与直线平行。求：(1)在0到T 的时间内，力F 的冲量的大小；(2)在0到2T 时间内，力F 冲量的大小；(3)在0到2T 时间内，力F 所作的总功；(4)讨论质点的运动情况。 [解]由冲量的定义?=1 2 d t t t F I ，在直线情况下，求冲量I 的大小可用代数量的积分，即 ?= 1 2 d t t t F I (1) 从t ＝0到 t=T ，冲量的大小为： ?= =T t F I 01d ?-=T T T t T F t T t F 0 00]2cos [2d 2sin πππ=0 (2) 从t =0到 t =T /2，冲量的大小为 π πππ0000 0022 2 2]2cos [2d 2sin d TF T t T F t T t F t F I T T T =-=== ?? (3) 初速度00=v ，由冲量定理 0mv mv I -= 当 t =T /2时，质点的速度m TF m I v π0== 又由动能定理，力F 所作的功 m F T m F mT mv mv mv A 22022 22022 20222212121ππ===-= (4) 质点的加速度)/2sin()/(0T t m F a π=，在t =0到t =T /2时间内，a >0，质点 作初速度为零的加速运动，t =T /2时，a =0，速度达到最大；在t =T /2到t =T 时间内，a <0，但v >0，故质点作减速运动，t =T 时 a =0，速度达到最小，等于零；此后，质点又进行下一
结构力学习题及答案(武汉大学)
结构力学习题 第2章平面体系的几何组成分析2-1～2-6 试确定图示体系的计算自由度。 题2-1图题2-2图 题2-3图题2-4图 题2-5图题2-6图 2-7～2-15 试对图示体系进行几何组成分析。若是具有多余约束的几何不变体系，则需指明多余约束的数目。
题2-7图 题2-8图题2-9图 题2-10图题2-11图 题2-12图题2-13图 题2-14图题2-15图
题2-16图题2-17图 题2-18图题2-19图 题2-20图题2-21图2-1 1 W = 2-1 9 W - = 2-3 3 W - = 2-4 2 W = - 2-5 1 = W - 2-6 4 = W - 2-7、2-8、2-12、2-16、2-17无多余约束的几何不变体系 2-9、2-10、2-15具有一个多余约束的几何不变体系 2-11具有六个多余约束的几何不变体系 2-13、2-14几何可变体系为
2-18、2-19 瞬变体系 2-20、2-21具有三个多余约束的几何不变体系 第3章静定梁和静定平面刚架的力分析3-1 试作图示静定梁的力图。 （a）（b） (c) (d) 习题3-1图 3-2 试作图示多跨静定梁的力图。 （a） （b）
(c) 习题3-2图 3-3～3-9 试作图示静定刚架的力图。 习题3-3图习题3-4图 习题3-5图习题3-6图 习题3-7图习题3-8图
习题3-9图 3-10 试判断图示静定结构的弯矩图是否正确。 (a) (b) (c) (d) 部分习题答案 3-1 （a ）m kN M B ?=80（上侧受拉），kN F R QB 60=，kN F L QB 60-= （b ）m kN M A ?=20（上侧受拉），m kN M B ?=40（上侧受拉），kN F R QA 5.32=， kN F L QA 20-=，kN F L QB 5.47-=，kN F R QB 20=
大学物理课后练习习题答案详解.docx
第一章质点运动学 1、( 习题： 一质点在 xOy 平面内运动，运动函数为 x = 2t, y = 4 t 2 8 。（ 1）求质点的轨道方程； （ 2）求 t = 1 s 和 t = 2 s 时质点的位置、速度和加速度。 解：（ 1）由 x=2t 得， y=4t 2 -8 （ 2）质点的位置 ： r r 由 v d r / dt 则速度： r r 由 a d v / d t 则加速度： 则当 t=1s 时，有 r r 可得： y=x 2-8 r 即轨道曲线 r r (4t 2 r 2ti 8) j r r r v 2i 8tj r r a 8 j r r r r r r r 2i 4 j , v 2i 8 j , a 8 j 当 t=2s 时，有 r r r r r r r r r 4i 8 j , v 2i 16j , a 8 j 2、（习题）： 质点沿 x 在轴正向运动，加速度 a kv ， k 为常数．设从原点出发时速度为 v 0 ，求运动方程 x x(t) . 解： dv kv v 1 t kdt v v 0 e kt dt dv v 0 v dx v 0e k t x dx t kt dt x v 0 (1 e kt ) dt v 0 e k 3、一质点沿 x 轴运动，其加速度为 a 4 t (SI) ，已知 t 0 时，质点位于 x 10 m 处，初速度 v 0 ．试求其位置和时间的关系式． 解： a d v /d t 4 t d v 4 t d t v t 4t d t v 2 t 2 dv d x 2 x t 2 3 2 x t d t x 2 t v /d t t /3+10 (SI) x 0 4、一质量为 m 的小球在高度 h 处以初速度 v 0 水平抛出，求： （ 1）小球的运动方程； （ 2）小球在落地之前的轨迹方程； v v （ 3）落地前瞬时小球的 dr ， dv ， dv . dt dt dt 解：（ 1） x v 0 t 式（ 1） y 1 gt 2 式（ 2） v v 1 2 v h r (t ) v 0t i (h - gt ) j 2 2 （ 2）联立式（ 1）、式（ 2）得 y h 2 gx 2 2v 0 v v v v v v （ 3） dr 2h dr v 0i - gt j 而落地所用时间t 所以 v 0i - 2gh j dt g dt v v dv g 2 t g 2gh dv v 2 2 2 ( gt ) 2 dt g j v x v y v 0 dt 2 2 1 2 ( gt ) ] 2 2gh) [v 0 ( v 0 1 2
大学物理课后习题答案(全册)
《大学物理学》课后习题参考答案 习 题1 1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 )ωt sin ωt (cos j i +=R r 其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。 解：1） 由)ωt sin ωt (cos j i +=R r 知 t cos R x ω= t sin R y ω= 消去t 可得轨道方程 222R y x =+ 2） j r v t Rcos sin ωωt ωR ωdt d +-== i R ωt ωR ωt ωR ωv =+-=2 122 ])cos ()sin [( 1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )t 23(t 42++=，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求： （1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。 解：1）由j i r )t 23(t 42++=可知 2t 4x = t 23y += 消去t 得轨道方程为：2)3y (x -= 2）j i r v 2t 8dt d +== j i j i v r 24)dt 2t 8(dt 1 1 +=+==??Δ 3） j v 2(0)= j i v 28(1)+= 1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r t t 22+=，式中r 的单位为m ，t 的单
位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。 解：1）j i r v 2t 2dt d +== i v a 2dt d == 2）21 22 12)1t (2] 4)t 2[(v +=+= 1 t t 2dt dv a 2 t +== n a == 1-4. 一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。 解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为 2012 1 at t v y += （1） 图 1-4 2022 1 gt t v h y -+= （2） 21y y = （3） 解之 t = 1-5. 一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的t d d r ，t d d v ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 2 1 h y -= 式（2） j i r )gt 2 1 -h (t v (t)20+= （2）联立式（1）、式（2）得 2 02 v 2gx h y -= （3） j i r gt -v t d d 0= 而 落地所用时间 g h 2t =
大学物理(第四版)课后习题及答案 质点
题1.1：已知质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为3322)s m 2()s m 6(m 2t t x --?-?+= 。求（l ）质点在运动开始后s 0.4内位移的大小；（2）质点在该时间内所通过的路程。 题1.1解：（1）质点在4.0 s 内位移的大小 m 3204-=-=?x x x （2）由 0)s m 6()s m 12(d d 232=?-?=--t t t x 得知质点的换向时刻为 ｓ2=P t （t = 0不合题意） 则：m 0.8021=-=?x x x m 40x 242-=-=?x x 所以，质点在4.0 s 时间间隔内的路程为 m 4821=?+?=x x s 题1.2：一质点沿x 轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图所示。设0=t 时，0=x 。试根据已知的图t v -，画出t a -图以及t x -图。 题1.2解：将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程，它们对应的加速度值分别为 2A B A B AB s m 20-?=--=t t v v a （匀加速直线运动） 0BC =a （匀速直线） 2C D C D CD s m 10-?-=--= t t v v a （匀减速直线运动） 根据上述结果即可作出质点的a －t 图 在匀变速直线运动中，有 2002 1at t v x x + += 间内，质点是作v = 201s m -?的匀速直线运动，其x －t 图是斜率k = 20的一段直线。 题1.3：如图所示，湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，滑轮到原船位置的绳长为0l ，试求：当人以匀速v 拉绳，船运动的速度v '为多少？
《结构力学习题集》(含答案)
第三章 静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. =1 =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。 A a a 9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。 二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。 a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l /3 /3 q
13、图示结构，EI=常数 ，M =?90kN m , P = 30kN 。求D 点的竖向位移。 P 3m 3m 3m 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。 q 16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。EI ＝ 常数 。 l/2 17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。 EI ＝ 常数 。 18、求图示刚架中D 点的竖向位移。 E I = 常数 。 q l l/2 19、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI ＝ 常数 。 l/3 l/3 20、求图示结构A 、B 两点的相对水平位移，E I = 常数。
大学物理上册课后习题答案
大学物理上册课后习题答案
习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ? 有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解： （1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量， 即r ?1 2r r -=，1 2 r r r ? ?-=?； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r = =v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示. 题 1-1图 (3) t d d v 表示加速度的模，即 t v a d d ? ?= ，t v d d 是加速度a 在切向上的分量.
∵有ττ??(v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d τ τ???+= 式中dt dv 就是加速度的切向分量. ( t t r d ?d d ?d τ??Θ与的运算较复杂，超出教材规定，故不予 讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r ＝ 2 2 y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝ 2 2d d t r 而求得结果； 又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v =2 2 d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种 方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 j y i x r ? ??+=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v ??? ???? ?222222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为 2 222 22222 2 2 2d d d d d d d d ? ?? ? ??+???? ??=+=? ? ? ??+??? ??=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x
结构力学课后习题答案1
习题 7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。 (a) (b) (c) 1个角位移3个角位移，1个线位移4个角位移，3个线位移 (d) (e) (f) 3个角位移，1个线位移2个线位移3个角位移，2个线位移 (g) (h) (i) 一个角位移，一个线位移一个角位移，一个线位移三个角位移，一个线位移7-2 试回答：位移法基本未知量选取的原则是什么？为何将这些基本未知位移称为关键位移？是否可以将静定部分的结点位移也选作位移法未知量？ 7-3 试说出位移法方程的物理意义，并说明位移法中是如何运用变形协调条件的。 7-4 试回答：若考虑刚架杆件的轴向变形，位移法基本未知量的数目有无变化？如何变化？ 7-5 试用位移法计算图示结构，并绘出其内力图。 (a) 解：（1）确定基本未知量和基本结构 有一个角位移未知量，基本结构见图。 l 7- 32
7- 33 Z 1M 图 （2）位移法典型方程 11110 p r Z R += （3）确定系数并解方程 i ql Z ql iZ ql R i r p 24031831 ,82 12 12 111= =-∴-== （4）画M 图 M 图 (b) 解：（1）确定基本未知量 1个角位移未知量，各弯矩图如下 4m 4m 4m
7- 34 1Z =1M 图 3 EI p M 图 （2）位移法典型方程 11110 p r Z R += （3）确定系数并解方程 1115 ,35 2p r EI R ==- 15 3502 EIZ -= 114Z EI = （4）画M 图 () KN m M ?图 (c) 解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种M 图如下 6m 6m 9m
大学物理课后习题答案详解
第一章质点运动学 1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j = 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+= 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速 度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -?? =0 00 )1(0 t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d d r t ，d d v t ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201 ()(h -)2 r t v t i gt j =+ （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3） 0d -gt d r v i j t = 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d -2g h d r v i j t = d d v g j t =- 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+=
大学物理(上)课后习题标准答案
大学物理(上)课后习题答案
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3 第1章 质点运动学 P21 1.8 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为：x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4. 式中t 以 s 计，x ,y 以m 计。⑴以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；⑵求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶ 计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。 解：（1）j t t i t r )432 1()53(2 m ⑵ 1 t s,2 t s 时，j i r 5.081 m ；2114r i j v v v m ∴ 213 4.5r r r i j v v v v v m ⑶0t s 时，054r i j v v v ；4t s 时，41716r i j v v v ∴ 140122035m s 404r r r i j i j t v v v v v v v v v ⑷ 1 d 3(3)m s d r i t j t v v v v v ，则：437i j v v v v 1s m (5) 0t s 时，033i j v v v v ；4t s 时，437i j v v v v 24041 m s 44 j a j t v v v v v v v v v (6) 2d 1 m s d a j t v v v v 这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。 1.9 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为2 26a x ，a 的单位为m/s 2， x 的单位为m 。质点在x =0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。 解：由d d d d d d d d x a t x t x v v v v 得：2 d d (26)d a x x x v v 两边积分 210 d (26)d x x x v v v 得：2322250x x v ∴ 31225 m s x x v 1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+33t ，式中 以弧度计，t 以秒计，求：⑴ t ＝2 s 时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度 的方向和半径成45°角时，其角位移是多少? 解： t t t t 18d d ,9d d 2 ⑴ s 2 t 时，2 s m 362181 R a 2 222s m 1296)29(1 R a n ⑵ 当加速度方向与半径成ο45角时，有：tan 451n a a 即： R R 2 ，亦即t t 18)9(2 2 ，解得：9 2 3 t 则角位移为：32 2323 2.67rad 9 t 1.13 一质点在半径为0.4m 的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为 =0.2 rad/s 2，求t ＝2s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。 解：s 2 t 时，4.02 2.0 t 1s rad 则0.40.40.16R v 1s m 064.0)4.0(4.022 R a n 2 s m 0.40.20.08a R 2 s m 22222s m 102.0)08.0()064.0( a a a n 与切向夹角arctan()0.0640.0843n a a
大学物理课后习题标准答案第六章
大学物理课后习题答案第六章
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第6章 真空中的静电场 习题及答案 1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。一试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合力等于零？ 解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑力的大小及方向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合力才可能为0，所以 2 00 200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε 故 223+=x 2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点。试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知，q '为负电荷，所以 2 220)3 3(π4130cos π412a q q a q '=?εε 故 q q 3 3- =' (2)与三角形边长无关。 3. 如图所示，半径为R 、电荷线密度为1λ的一个均匀带电圆环，在其轴线上放一长为 l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的一端处于圆环中心处。求该直线段受到的 电场力。 解：先求均匀带电圆环在其轴线上产生的场强。在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产生的场强大小为 ) (4220R x dq dE += πε 根据电荷分布的对称性知，0==z y E E 2 3220)(41 cos R x xdq dE dE x += =πεθ R O λ1 λ2 l x y z
结构力学课后习题答案
习题及参考答案 【习题2】【习题3】【习题4】【习题5】【习题6】【习题8】【习题9】【习题10】【习题11】【习题12】【习题13】【习题14】【参考答案】 习题2 2-1～2-14试对图示体系进行几何组成分析，如果是具有多余联系的几何不变体系，则应指出多余联系的数目。 题2-1图 题2-2图 题2-3图题2-4图题2-5图 题2-6图题2-7图题2-8图 题2-9图题2-10图题2-11图
题2-12图 题2-13图 题2-14图 习题3 3-1 试作图示多跨静定梁的M 及Q 图。 (b) (a) 20kN 40kN 20kN/m 40kN 题3-1图 3-2 试不计算反力而绘出梁的M 图。 (b) 5kN/m 40kN (a) 题3-2图 习题4 4-1 作图示刚架的M 、Q 、N 图。 (c) (b)(a)20kN /m 2kN /m 题4-1图 4-2 作图示刚架的M 图。
P (e) (d) (a) (b) (c) 20k N /m 4kN 题4-2图 4-3 作图示三铰刚架的M 图。 (b) (a) 题4-3图 4-4 作图示刚架的M 图。 (a) 题4-4图 4-5 已知结构的M 图，试绘出荷载。 (b) (a) 题4-5图
4-6 检查下列刚架的M 图，并予以改正。 (e)(g)(h) P (d) (c)(a)(b) (f) 题4-6图 习题5 5-1 图示抛物线三铰拱轴线方程x x l l f y )(42-= ，试求D 截面的力。 题5-1图 5-2 带拉杆拱，拱轴线方程x x l l f y )(42-= ，求截面K 的弯矩。 C 题5-2图 题5-3图 5-3 试求图示带拉杆的半圆三铰拱截面K 的力。 习题 6 6-1 判定图示桁架中的零杆。
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第一章质点运动学 1、(习题 1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j = 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+= 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时 速度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -??=000 )1(0t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速 度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d d r t ，d d v t ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201 ()(h -)2 r t v t i gt j =+ （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3） 0d -gt d r v i j t = 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d -2gh d r v i j t = d d v g j t =- 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+=
大学物理(吴柳主编)上册课后习题答案
大学物理(吴柳主编) 上册课后习题答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
说明： 上册教材中，第5，6，7等章的习题有答案； 第1，2，4，8章的习题有部分答案； 第3，9，10，11章的习题没有答案。 为方便学生使用，现根据上学期各位老师辛苦所做的解答，对书上原有的答案进行了校对，没有错误的，本“补充答案”中不再给出；原书中答案有误的，和原书中没有给出答案的，这里一并给出。错误之处，欢迎指正！ 第1章 1.4． 2.8×10 15 m 1.5．根据方程中各项的量纲要一致，可以判断：Fx= mv 2/2合理， F=mxv , Ft=mxa , Fv= mv 2/2, v 2+v 3=2ax 均不合理. 第2章 2.1 (1) j i )2615()2625(-+-m; )/]()2615()2625[(45 1151020)2615()2625(s m j i j i t r v -+-=++-+-=??= (2)52m; 1.16m/s 2.2 (1) 4.1 m/s; 4.001m/s; 4.0m/s (2) 4m/s; 2 m.s -2 2.3 3m; m 3 4π ; 140033-s .m π方向与位移方向相同; 1.0m/s 方向沿切线方向 2.5 2π (m); 0; 1(s) 2.6 24(m); -16(m) 2.8 2 22 t v R vR dt d +=θ 2.10 (1) 13 22 =+y x (2) t v x 4sin 43ππ-=;t v y 4 cos 4π π=;t a x 4cos 1632ππ-=;t a y 4sin 162ππ-= (3) 2 6= x ,22=y ;π86- =x v ,π82=y v ;,2326π-=x a 2 322π-=y a 2.12 (1) ?=7.382θ，4025.0=t (s)，2.19=y (m) (2) ?=7.382θ，48.2=t (s)，25.93=y (m)。 2.14 (1) 22119x y - = (2) j t i v 42-=;j a 4-= (3) 0=t 时，j r 19=； 3=t 时，j i r +=6。（4）当9=t s 时取“=”，最小距离为37（m ）。
《大学物理学》第二版上册课后答案
大学物理学习题答案 习题一答案 习题一 1.1 简要回答下列问题： (1) 位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相 等？ (2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？ (3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什 么？ (4) 质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一 定保持不变？ (5) r ?和r ?有区别吗？v ?和v ?有区别吗？ 0dv dt =和0d v dt =各代表什么运动？ (6) 设质点的运动方程为：()x x t =，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，有人先求 出22r x y = + dr v dt = 及 22d r a dt = 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即 v = 及 a =你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？ (7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？ (8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此 其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？ (9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？ (10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？ (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？ 1.2 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单位，试计算：(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；(2)s 1末到s 3末的平均
结构力学2课后思考题答案
概念题 1.1 结构动力计算与静力计算的主要区别是什么？ 答：主要区别表现在：(1) 在动力分析中要计入惯性力，静力分析中无惯性力；(2) 在动力分析中，结构的内力、位移等是时间的函数，静力分析中则是不随时间变化的量；(3) 动力分析方法常与荷载类型有关，而静力分析方法一般与荷载类型无关。 1.2 什么是动力自由度，确定体系动力自由度的目的是什么？ 答：确定体系在振动过程中任一时刻体系全部质量位置或变形形态所需要的独立参数的个数，称为体系的动力自由度（质点处的基本位移未知量）。 确定动力自由度的目的是：(1) 根据自由度的数目确定所需建立的方程个数（运动方程 数=自由度数），自由度不同所用的分析方法也不同；(2) 因为结构的动力响应（动力内力和动位移）与结构的动力特性有密切关系，而动力特性又与质量的可能位置有关。 1.3 结构动力自由度与体系几何分析中的自由度有何区别？ 答：二者的区别是：几何组成分析中的自由度是确定刚体系位置所需独立参数的数目，分析的目的是要确定体系能否发生刚体运动。结构动力分析自由度是确定结构上各质量位置所需的独立参数数目，分析的目的是要确定结构振动形状。 1.4 结构的动力特性一般指什么？ 答：结构的动力特性是指：频率（周期）、振型和阻尼。动力特性是结构固有的，这是因为它们是由体系的基本参数（质量、刚度）所确定的、表征结构动力响应特性的量。动力特性不同，在振动中的响应特点亦不同。 1.5 什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？ 答：振动过程的能量耗散称为阻尼。 产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。当然，也包括结构中安装的各种阻尼器、耗能器。阻尼力是根据所假设的阻尼理论作用于质量上用于代替能量耗散的一种假想力。粘滞阻尼理论假定阻尼力与质量的速度成比例。 粘滞阻尼理论的优点是便于求解，但其缺点是与往往实际不符，为扬长避短，按能量等 效原则将实际的阻尼耗能换算成粘滞阻尼理论的相关参数，这种阻尼假设称为等效粘滞阻尼。 1.6 采用集中质量法、广义位移法（坐标法）和有限元法都可使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们采用的手法有何不同？ 答：集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没有质量。质量集中后，结构杆件仍具有可变形性质，称为“无重杆”。 广义坐标法：在数学中常采用级数展开法求解微分方程，在结构动力分析中，也可采用 相同的方法求解，这就是广义坐标法的理论依据。所假设的形状曲线数目代表在这个理想化形式中所考虑的自由度个数。考虑了质点间均匀分布质量的影响（形状函数），一般来说，对于一个给定自由度数目的动力分析，用理想化的形状函数法比用集中质量法更为精确。有限元法：有限元法可以看成是广义坐标法的一种特殊的应用。一般的广义坐标中，广 义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，并且在广义坐标中，形状函数是针对整个结构定义的。而有限元法则采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，且形函数是定义在分片区域的。在有限元分析中，形函数被称为插值函数。 综上所述，有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的特点：(l) 与广义坐标法相似， 有限元法采用了形函数的概念。但不同于广义坐标法在整体结构上插值（即定义形函数），而是采用了分片的插值，因此形函数的表达式（形状）可以相对简单。(2) 与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，这与集中质量法相同。
大学物理学(课后答案解析)第1章
第1章 质点运动学 习 题 一 选择题 1-1 对质点的运动，有以下几种表述，正确的是[ ] (A)在直线运动中，质点的加速度和速度的方向相同 (B)在某一过程中平均加速度不为零，则平均速度也不可能为零 (C)若某质点加速度的大小和方向不变，其速度的大小和方向可不断变化 (D)在直线运动中，加速度不断减小，则速度也不断减小 解析：速度是描述质点运动的方向和快慢的物理量，加速度是描述质点运动速度变化的物理量，两者没有确定的对应关系，故答案选C 。 1-2 某质点的运动方程为)(12323m t t x +-=，则该质点作[ ] (A)匀加速直线运动，加速度沿ox 轴正向 (B)匀加速直线运动，加速度沿ox 轴负向 (C)变加速直线运动，加速度沿ox 轴正向 (D)变加速直线运动，加速度沿ox 轴负向 解析：229dx v t dt = =-，18dv a t dt ==-，故答案选D 。 1-3 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v ，瞬时速率为v ，某一段时间内的平均速率为v ，平均速度为v ，他们之间的关系必定有[ ] (A)v =v ，v =v (B)v ≠v ，v =v (C)v ≠v ，v ≠v (D)v =v ，v ≠v
解析：瞬时速度的大小即瞬时速率，故v =v ；平均速率s v t ?=?，而平均速度t ??r v = ，故v ≠v 。答案选D 。 1-4 质点作圆周运动时，下列表述中正确的是[ ] (A)速度方向一定指向切向，所以法向加速度也一定为零 (B)法向分速度为零，所以法向加速度也一定为零 (C)必有加速度，但法向加速度可以为零 (D)法向加速度一定不为零 解析：质点作圆周运动时，2 n t v dv a a dt ρ =+=+ n t n t a e e e e ，所以法向加速度一定不为零，答案选D 。 1-5 某物体的运动规律为 2dv kv t dt =-，式中，k 为大于零的常量。当0t =时，初速为0v ，则速率v 与时间t 的函数关系为[ ] (A)2012v kt v =+ (B)2011 2kt v v =+ (C)2012v kt v =-+ (D)2011 2kt v v =-+ 解析：由于2dv kv t dt =-，所以 02 0()v t v dv kv t dt =-? ? ，得到20 11 2kt v v =+，故答案选B 。 二 填空题 1-6 已知质点位置矢量随时间变化的函数关系为2=4t +( 2t+3)r i j ，则从
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