第一章 鞅 第四节 离散鞅的收敛定理

第四节 离散鞅的收敛定理

设}0;{M n X X n ≤≤=为一数列，],[b a 为一闭区间，如果a X k <，b X k >+1，则称该数列上穿],[b a 一次。记

??

?≤≤>+≤≤≤=M

n a X M a X M n n n n 0,,1}

,0;min{1τ

???≤≤≤+≤≤≤=M

n b X M b X M n n n n 111,,1}

,;min{ττσ

??

?≤≤>+≤≤≤=M n a X M a X M n n n n 112,,1}

,;min{σστ

?

?

?≤≤≤+≤≤≤=M n b X M b X M n n n n 222,,1}

,;min{ττσ

…

??

?≤≤>+≤≤≤=--M n a X M a X M n n k n n k k 11,,1}

,;min{σστ ?

?

?≤≤≤+≤≤≤=M n b X M b X M n n k n n k k ττσ,,1}

,;min{ 于是b X a X ≥≤11,στ，数列穿过],[b a 一次，b X a X ≥≤22,στ，数列穿过],[b a 两次，如此下去，b X a X k k ≥≤στ,，数列穿过],[b a k 次，在这里都假设

k i M i i ≤≤≤1,,στ。

定义1-4-1 M k ≤σ的最大的k 称为数列}0;{M n X X n ≤≤=上穿],[b a 的次数，记为b a V 。若11+=M σ，则令0=b a V 。

定理1-4-1 （上穿不等式）设}0;{M n X X n ≤≤=为下鞅，则

|}|][{1]})[(])[({1

][0a X E a

b a X E a X E a

b V E n M b a +-≤----≤

+++

证明：令M n a X Y n n ≤≤-=+0,)(,则由定理1-3-2的推论1-3-2知n Y 也是下鞅。易见，若n X 穿过],[b a 一次，即b X a X i i ≥≤στ,，则,,0a b Y Y i i -≥=στ即n Y 穿过

],0[a b -一次。所以n Y 穿过],0[a b -的次数也是b a V ，且由n X 在],[b a 上定义的

k k στ,和由n Y 在],0[a b -上定义的k k στ,相同。再令

M M M Y Y M =+==++110,1,0τσ

则

∑∑+==--+-=-1

1

1

0)()(1M k M

k M k k k k Y Y Y Y Y Y σττσ （1）

b a V 是ω的函数，设0)(>=r w V b a ，则

r k a b Y Y k k ,,2,1,)()( =-≥-ωωτσ

r k Y Y k k >≥-,0)()(ωωτσ

)()(),())()((1

ωωωτσ

b

a M

k V a b r a b Y Y k

k -=-≥-∑= 当0=r 时，上式仍成立。

][)(])([1b a M

k V E a b Y Y E k k -≥-∑=τσ

（2） 又因为k k στ,是有界停时，且1-≥k k στ，故由定理1-3-2知

11)|(--≥k k Y Y E σστF ，]

[][1-≥k k Y E Y E στ

从而 0)]()([)]([11

1

111≥-=

-∑∑+=+=--M k M k k k

k k Y E Y E Y Y E στ

ωτ （3）

由式（1）（2）（3）知

])()([][][][1

1

1001∑∑=+=--+-=-=-M

k M k M M k k k k Y Y Y Y E Y Y E Y E Y E σττσ

][)(b a V E a b -≥

由此得 ])()([1)]()([1][00++----=--≤

a X E a X E a

b Y E Y E a b V E M M b a 又因为|,|)(a X a X M M +≤-+

+所以

|}.|][{1][a X E a

b V E n b a +-≤

+

定理1-4-2 设}0;{≥=n X X n 为下鞅，满足条件

∞<|][|sup n X E

记,0k k F F ∞

=∞∨=则存在∞F 可测的随机变量∞X ，满足

∞∞

→=X X n n lim ..e a

证明：令

)}(lim )(lim ;{ωωωn n n n X X A ∞

→∞

→<=

)}(lim )(lim ;{),(ωωωn n n n X b a X b a A ∞

→∞

→<<<=

则∞∈F ),(,b a A A 。记Q 为有理数全体，则

),(,b a A A Q

b a b a ∈<= （习题1-4-1 证明此式）

往证0)(=A P ,令)(M V b a 为M X X X ,,,10 上穿],[b a 的次数，b a V 表示

,,,210 X X X 上穿],[b a 的次数。显然)(M V b a 单调非减，且)(lim M V V b a n b a ∞

→=。由

上穿不等式

|]||)(|sup [1

|}.|][{1)]([0

a X E a

b a X E a

b M V E M M n b a +-≤

+-≤≥+

所以

∞<+-≤

≥|]||)(|sup [1

][0

a X E a

b V E n n b a 由此知

1)(=∞

由上极限和下极限的定义知

{}+∞=?)(;),(ωωb a V b a A

故0)(,0)),((==A P b a A P .所以n n X ∞

→lim 几乎处处存在。记

n n X X ∞

→∞=lim

则

∞∞

→=X X n n lim ..e a

由Fatou 引理得

∞<≤≤≥∞

→∞|}{|sup |][|lim |][|0

n n n n X X E X E

注1-4-1 因为

][][2][][2|][|0X E X E X E X E X E n n n n -≤-=+

+

所以条件+∞<≥|][|sup 0

n n X E 可以减弱为+∞<+

≥][sup 0

n n X E 。

推论1-4-1 设}0;{M n X X n ≤≤=为非负上鞅，则

..,lim e a X X n n ∞∞∞

→∈=F

证明：因为n X 为上鞅，所以n X -为下鞅，所以

∞<≤=-][][|][|1X E X E X E n n

..,)(lim '

e a X X n n ∞∞∞

→∈=-F ..,lim 'e a X X X n n ∞∞∞

→≡-= END

定义1-4-2 }0;{≥=n X X n 为随机序列，称X 为一致可积的，如果

0||lim }

|{|=?

≥∞→dP X n X n λλ

关于0≥n 一致成立。

定理1-4-3 设}0;{≥=n X X n 是鞅（下鞅），且一致可积，则存在可积的随机变量∞X ，∞X 关于∞F 可测，使 （ⅰ）∞∞

→=X X n n lim ..e a

（ⅱ）0lim =-∞∞

→X X E n n

（ⅲ）}0;{∞≤≤n X n 是鞅（下鞅），即对一切0≥n ，都有

..),(]|[e a X X X E n n n ≥=∞F

证明：因为}0;{≥=n X X n 一致可积，所以当λ充分大时，对n 一致地有

ελλλ+≤+≤?

?

≥<}

|{|}

|{|||||||n n X n X n n dP X dP X X E

由此可知，∞<≥][sup 0

n n X E 。由定理1-4-2知，存在∞F 可测且可积的∞X ，使

∞∞

→=X X n n lim ，..e a 。

∞?∈?F F n A ，因为,]|[n n m X X E =F 由条件概率的定义知

∞→→==∞??

m I X E I X E dP X dP X A A m A

m A

n ],[][

再由条件概率的定义和性质知，..,)(]|[e a X X X E n n n ≥=∞F （习题1-4-1 证明下

鞅的情形）

END

推论1-4-2 设}0,{≥n n F 为σ代数流，n n F F 0∞

=∞∨=，Y 是可积的随机变量，令

,0],|[≥=n Y E X n n F

则（ⅰ）}{n X 一致可积

（ⅱ）.,,]|[lim e a Y E X n n ∞∞

→=F ，且0|)|(|lim =-∞∞

→F Y E X E n n

证明：（ⅰ）由马尔科夫不等式

∞→→≤≤≥--λλλλ,0||||)|(|11Y E X E X P n n

所以

?

≥}

|{|||λn X n dP X ?

≥≤}

|{|||λn X dP Y

?≥<=}

|{|}|{|||λn X k Y dP Y ?

≥≥+}

|{|}|{|||λn X k Y dP Y

?≥=}

|{|λ

n X dP

k

?≥+}

|{|||k Y dP Y

)|(|λ≥=n X kP ?

≥+}

|{|||k Y dP Y

对,,0K ?>?ε当K k >时，

2

||}

|{|ε

<

?

≥k Y dP Y

对所取的k ，取充分大的k λ，使k λλ>时，

2

)|(|ε

λ<

≥n X kP

所以λ充分大时，

εε

ε

λ<+

<

?

≥2

2

||}

|{|n X n dP X

}{n X 一致可积。 （ⅱ）因为

n n n n n n X Y E Y E E X E ===++]|[]|]|[[]|[11F F F F ，

所以}0;{≥n X n 是鞅，又因为}0;{≥n X n 一致可积，由定理1-4-3知存在∞∞∈F X ，

∞<∞||X E ，使得∞∞

→=X X n n lim ，..e a 。

往证]|[∞∞=F Y E X . 因为

∞→→-∞n X X E n ,0||

所以对∞∈?F A

∞→→∞n I X E I X E A A n ],[][

从而对∞?∈?F F n A ，有

∞→→=??

?∞n dP X dP X dP Y A

A

n A

,

所以

][][A A I X E YI E ∞=

上式对n n A F ∞

=∈?0 成立。由-λ系法知，对??

?

??∈?∞=n n A F 0 σ，上式也成立。由条件

概率的定义知

]|[∞∞=F Y E X .

END

定义1-4-3 称}0,{≥n n F 是反向子σ代数流，如果

210F F F ??

定义1-4-4 称}0,{≥=n X X n 为}0,{≥n n F 的反向鞅（反向上鞅或反向下鞅），如果

（1）n X 是n F 可测的，且∞<||n X E

（2）对m m n X X E n m =>]|[,F （相应的≤或≥）

例：设Z 为随机变量，}0,{≥n Y n 是随机变量序列，且∞<||Z E 令 ,2,1,0),,,(1==+n Y Y n n n σF ]|[n n Z E X F = 则}0,{≥n X n 是}0,{≥n n F 的反向鞅。显然

011F F F F ????-+ n n n

设n m >，则

m m m n m n X Z E Z E E X E ===]|[]|]|[[]|[F F F F

定理1-4-4 设}0,{≥=n X X n 为反向下鞅，则存在 ∞

=0n n F 可测的随机变量∞-x ，

使

..,lim e a X X n n ∞-∞

→=

证明：令)(n V b a 为},,,{01x x x n n -上穿],[b a 的次数，b a V 为}0,{≥n x n 上穿],[b a 的次数，显然

)(lim n V V b a n b a ∞

→=

因为 ∞<+-≤+|)|][(1

)(0a X E a

b n EV b a 令∞→n ，得

∞<+-≤+|)|][(1

0a X E a

b EV b a (1) 记

)}(lim )(lim ;{ωωωn n n n X X A ∞

→∞

→<=

)}(lim )(lim ;{),(ωωωn n n n X b a X b a A ∞

→∞

→<<<=

),(,b a A A Q

b a b a ∈<=

由式（1）知，1)(=∞

现在说明})(;{),(+∞=?ωωb a V b a A 。事实上，),(b a A ∈?ω，

)(lim )(lim ωωn n n n X b a X ∞

→∞

→<<<

于是有

() <<<<≥

且有1,≥k m k ，满足k k k k m m m n m n m n <<<<-12211,,,, ，使

1,)(≥>k b X k m ω

所以

})(;{),(,)(+∞=?+∞=w V b a A V b a b a ωω

0)()),((0=+∞=≤≤b a V P b a A P

∑∈==

Q

b a b a A P A P ,0)),(()(

故n n X ∞

→lim 几乎处处存在，令n n X X ∞

→∞-=lim ，则∞-X 是∞F 可测的。

END

定理1-4-5 设}0,{≥n X n 使反向下鞅，如果

-∞>∞

→n n EX lim

则有

（1）}{n X 一致可积。

（2）存在 ∞

=1n n F 可测且可积的随机变量∞-X ，使

..,lim e a X X n n ∞-∞

→=

0||lim =-∞-∞

→X X E n n

证明：首先，n EX 是不增的。事实上，对m n <

m m n X X E ≥]|[F m m n EX X E E ≥]]|[[F

m n EX EX ≥

所以存在c 使

c X E n n =∞

→][lim 。

往证}{n X 一致可积。对0>?ε，取n k ,，且n k <，使

2

][][,2

][lim ][ε

ε

<

-<

-∞

→k n n n k X E X E X E X E

ε<-+-∞

→][lim ][][][n n n n k X E X E X E X E

ε<-][][n k X E X E

??->εdP X dP X

k n

（1）

又

???-

<>

>-

=

λ

λλn n n X n

X n

X n

dP X dP X dP X

|

|

???-+

=

-

≥>dP X dP X dP X

n X n

X n

n n λ

λ

若k n ≥，由反向下鞅的性质，不等式（1）及][n x E 不增的事实可知上式右边

ελ

λ+-+

≤

???-

≥>

dP X dP X dP X

k X k

X k

n k

ελλ++

=

??-

<>

n n X k

X k

dP X

dP X

||||

ε

λ+=

?>

dP X

n X k

||||

（2） 又因为

])[][2(1

||1

)|(|n n n n X E X E X E X P -=

≤

>+

λ

λ

λ

)2(1

0c EX -≤

+λ

所以当λ足够大时，)|(|λ>n X P 关于n 一致地小，从而可取λ足够大，使

?>

<λε||||n X k

dP X

于是

εεελ2||||=+

n X n

dP X

}{n X 一致可积。定理1-4-3知，∞-?x ，使

..,

lim e a X X n n ∞-∞

→=

∞→→-∞-n X X E n ,0||。

∞<∞-X E

END

最优控制

最优控制综述 摘要：最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。而最优控制通常针对控制系统而言，目的在于使一个机组、一台设备或一个生产过程实现局部最优。本文重点阐述了最优系统常用的变分法、极小值原理和动态规划三种方法的基本理论及其在典型系统设计中的应用。 关键词：变分法、极小值原理、动态规划 1 引言 最优控制是分析控制系统常用的方法，是现代控制理论的核心之一。它尤其与航空航天的制导、导航和控制技术密不可分。最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标最优。 这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中的老化指数、抚养指数和劳动力指数为最优等，都是一些经典的最优控制问题。 最优控制问题是要在满足约束条件下寻求最优控制函数，使目标泛函取极值。求解动态最优化问题的方法主要有古典变分法，极小值原理及动态规划法等。 2 研究最优控制的前提条件 2.1状态方程 对连续时间系统: x t=f x t,u t,t 对离散时间系统：x(k+1)=f x k,u k,k k=0,1,……，（N-1）

Cauchy收敛原理

Cauchy 收敛原理 “单调有界数列必有极限。”与“夹逼定理：设有三个数列{}{}{}n n n z y x ,,满足n n n z y x ≤≤，且c z x n n n n ==∞ →∞ →lim lim ，则c y n n =∞ →lim 。 ”给出了数列收敛的充分条件而不是必要条件，经过许多数学家的努力，终于由法国数学家Cauchy 获得了完善的结论——Cauchy 收敛原理，它从数列本身找到了能够判断数列收敛性的充分必要条件。 定理5 （Cauchy 收敛原理）数列{}n a 收敛的充分必要条件是：对任意的0>ε，都存在正整数N ，当N n m >,时，有 ε<-m n a a 证明 必要性： 设a a n n =∞ →lim ，则对0>?ε，存在正整数N ，当N l >时，有 3 ε <-a a l 从而当N n m >,时，有 εε ε <+ <-+-≤-+-=-3 3 m n m n m n a a a a a a a a a a 必要性得证。 充分性 先证明数列{}n a 有界。取1=ε，由题设，必存在正整数0N ，当1,00+=>N m N n 时，有 110<-+N n a a 因而当0N n >时，有 11111000001++++++<+-≤+-=N N N n N N n n a a a a a a a a 当令{ } ,1,,,1100+=+N N a a a M ()( ) ,2,1=≤n M a n ，数列{}n a 有界。由致密性定理，数列{}n a 存在收敛的子列{} l n a ，设()∞→→l a a l n ，即对0>?ε，存在正整数L ， 当L l >时，有 3 ε < -a a l n

离散时间系统最优控制离散时间系统最优控制

第五章离散时间系统最优控制

?前面所讨论的都是关于连续时间系统的最优控制问题。?现实世界中，很多实际系统本质上是时间离散的。?即使是系统是时间连续的，因为计算机是基于时间和数值上都离散的数字技术的，实行计算机控制时必须将时间离散化后作为离散系统处理。 引言 ?因此，有必要讨论离散时间系统的最优控制问题。 ?离散时间系统仍然属于连续变量动态系统(CVDS)范畴。注意与离散事件动态系统(DEDS)的区别。 ? CVDS 与DEDS 是自动化领域的两大研究范畴，考虑不同的自动化问题。

5.1 离散时间系统最优控制问题的提法 (1) 离散系统最优控制举例——多级萃取过程最优控制 ?萃取是指可被溶解的物质在两种互不相溶的溶剂之间的转移，一般用于将要提取的物质从不易分离的溶剂中转移到容易分离的溶剂中。 ?多级萃取是化工生产中提取某种价值高、含量低的物质的常用生产工艺。 萃取器萃取器萃取器萃取器V u (0)u (1)u (k -1)u (N －1) V V V V V V 含物质A 的混合物以流量V 进入萃取器1，混合物中A 浓度x (0); 萃取剂以流量u (0)通过萃取器1，单位体积萃取剂带走A 的量为z (0); 一般萃取过程的萃取物含量均较低，可认为通过萃取器1后混合物流量仍为V ; 流出萃取器1的混合物中A 物质的浓度为x (1)。以此类推至萃取器N 。 1 2 k N x (0) z (0)z (1) z (k-1) z (N -1) x (1) x (2) x (k -1) x (k ) x (N ) x (N -1) 多级萃取过程

(2) 离散系统最优控制问题的提法 给定离散系统状态方程(5-1-6)和初始状态 (5-1-7) 其中分别为状态向量和控制向量，f 为连续可微的n 维 函数向量。考虑性能指标 1 ,,1,0],),(),([)1( N k k k u k x f k x 0 )0(x x m n R k u R k x )(,)( 1 N 其中Φ、L 连续可微。 ?离散系统的最优控制问题就是确定最优控制序列u *(0)，u *(1)，…，u *(N -1)，使性能指标J 达到极小(或极大)值。 ? 将最优控制序列u *(0)，u *(1)，…，u *(N -1)依次代入状态方程，并利用初始条件，可以解出最优状态序列x *(1)，x *(2)，…，x *(N )，也称为最优轨线。 (5-1-8) ] ),(),([]),([k k k u k x L N N x J

现代控制理论知识点汇总

第一章 控制系统的状态空间表达式 １．状态空间表达式 n 阶 Du Cx y Bu Ax x +=+= 1:?r u 1:?m y n n A ?: r n B ?: n m C ?:r m D ?: A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情 况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 ２．状态空间描述的特点 ①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 ②状态方程和输出方程都是运动方程。 ③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。 ⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 ⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。 ⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３．模拟结构图（积分器 加法器 比例器） 已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 ４．状态空间表达式的建立 ① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积 分器的输出选作i x ，输入则为i x ；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。 ② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。 ③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。 方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。熟练使用梅森公式。 注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。 5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。 特征矢量i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。 状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根时，各特征矢量按列排。b 有重根时，设３阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。 系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。 6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s W D B A sI C s W ++-=-1)()( r m ?的矩阵函数［ij W ］ ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。 状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。

§3收敛定理的证明

§3 收敛定理的证明 (一) 教学目的：了解收敛定理的证明． (二) 教学内容：贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理； 收敛定理的证明． (1) 基本要求：掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2) 较高要求：理解收敛定理的证明． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题． —————————————————————————— Dini 定理 设以π 2为周期的函数f 在区间] , [ππ-上按段光滑, 则在每一点 ∈x ] , [ππ-, f 的Fourier 级数收敛于f 在点x 的左、右极限的算术平均值, 即 nx b nx a a x f x f n n n sin cos 22)0()0(1 ++=-++∑∞ = , 其中n a 和n b 为f 的Fourier 系数. 证明思路: 设)(x f ～ ∑∞ =++1 . sin cos 2n n n nx b nx a a 对每个∈x ] , [ππ-, 我们 要证明 )(→x S n 2 ) 0()0(-++x f x f . 即证明 0 2)0()0(lim =?? ? ??--++∞→n n S x f x f . 方法是把该极限表达式化为积分, 利用Riemann —Lebesgue 定理证明相应积分的极限为零. 1 写出)(x S n = ∑=++n k k k kx b kx a a 1 sin cos 2的简缩形式. ?- ++= π ππ dt t t n t x f x S n 2 sin 221 2sin ) (1 )(. 称这一简缩形式为)(x S n 的积分形式, 或称为Dirichlet 积分, 2 利用该表示式, 式 2 ) 0()0(-++x f x f )(x S n -可化为

由柯西收敛原理证确界存在定理说课材料

由柯西收敛原理证确界存在定理

精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 有限覆盖定理→紧致性定理 证明：设数列}{n x 满足 b x a n ≤≤。 先证0x ?∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。 如果不然。x ?∈[b a ，]，x δ?0φ，使(x x δ-,x x δ+)只含}{n x 的有限项。记E={(x x δ-,x x δ+)|x ∈[b a ，]，x δ由上产生}，是[b a ，]的一个覆盖。由有限覆盖定理，知?E 中有限个开区间（11δ-x ,11δ+x ）(22δ-x ,22δ+x )…… (k k x δ-,k k x δ+)覆盖],[b a 。则 一方面：由覆盖的定义，}{n x 中的所有项包含于这有限个开区间内，另一方面，因为{i i x δ-,i i x δ+}（),...2,1k i =均只含}{n x 的有限项，故这有限个开区间只包含}{n x 中的有限项，这将互相矛盾。 故0x ?∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。 特别地，取1=ε，则?)1,1(001+-∈x x x k ， 取2/1=ε，则?)(),2/1,2/1(12002k k x x x k >+-∈， …… 取n /1=ε，则?)(),/1,/1(100->+-∈n n k k k n x n x x n …… 则}{n k x 为}{n x 的子数列,满足0

现代控制理论在航空航天中应用

现代控制理论在航空航天中应用 01111201 贺辉1120120003 现代控制理论研究对象为多输入、多输出系统，线性、定常或时变、离散系统。解决方法主要是状态空间法（时域方法）。航空航天技术的迅速发展离不开现代控制理论的不断完善。 比如在实现惯性导航系统的过程中，控制技术起到了至关重要的作用。平台系统依靠陀螺仪、稳定回路使台体稳定在惯性空间，而捷联系统中惯性仪表采用力反馈回路来实现角速度或加速度等信息的敏感。在平台系统的初始对准中，通过调平回路和方位对准回路分别实现水平对准和方位对准。上述过程的实现，都需要通过设计满足各种性能指标的控制器来实现。目前，随着控制技术的发展，科技工作者对一些新型的控制理论和方法在惯性导航系统中的应用进行了探索，目的是提高惯性导航系统的精度、鲁棒稳定性、可靠性、环境适应性以及满足小型化的需求。 另外，现代控制理论在飞行器轨道优化方面有着重要作用。飞行器的轨道优化与制导规律研究对飞行器设计至关重要。随着燃料的大量消耗，空间飞行器的质心、转动惯量都随之发生变化。飞行器弹道会受到极大的影响，这种情况下用经典理论精确控制几乎是不能满足设计要求的，因此要求控制系统的控制在控制手段上采用现代控制理论及控制技术。防空导弹的弹道优化与制导规律研究的目的是提高导弹的飞行性能，达到精确、有效地拦截目标。轨道优化与制导规律研究是根据给定的技术指标，建立飞行器的运动方程, 并选择主要设计参数, 构造传递函数, 运用现代控制理论及数学原理求解最优参数, 形成制导规律与相应的飞行器飞行轨道。飞行器按照优化的轨道飞行, 可以减轻其飞行质量, 提高飞行速度和可用过载, 缩短飞行时间等。在设计飞行器的初步方案论证阶段, 为了实现规定的技术指标, 需要预估飞行器的几何尺寸、质量、推力大小和气动外形, 然后进行轨道优化与制导规律设计。通过轨道优化与制导规律设计不断调整和确定上述各参数, 直到综合确定出合适的方案为止。因此, 飞行器的轨道优化与制导规律问题将关系到飞行器设计性能的好坏, 关系到能否完成用户所需的技术性能指标要求的问题。轨道优化与制导规律研究内容很广泛, 它与任务要求有关, 随着不同的要求, 给定不同的性能指标, 其结果和形式就不同。 轨道优化与制导规律研究这两方面的内容是紧密联系在一起的, 特别是防空导弹更是如此。防空导弹弹道优化涉及制导规律问题, 设计出良好的制导规律势必达到弹道优化设计的目的。防空导弹的飞行弹道优化问题, 一般可以对一组给定的初始条件和终端条件进行弹道优化, 可以用改变一组参变量求解目标函数, 形成满足预定的边界条件, 并命中目标的最优弹道;可以用改变自变量, 在受附加约束的条件下, 如导弹的质量、推力、气动外形等已确定, 可用过载受限制的条件下, 用改变飞行弹道角的制导规律, 寻求导弹飞行的最大射程,最大平均速度, 最大末速度, 最小燃料消耗量, 最短飞行时间;可以用产生开环控制函数或间断地改变控制参数来优化弹道等各式各样的弹道优化模式防空导弹的制导规律是描述导弹在向目标接近的整个过程中所应遵循的运动规律, 它与目标及导弹的运动参数有关, 它决定导弹的弹道特性及其相应的弹道参数。导弹按不同的制导规律制导, 飞行的弹道特性和运动参数是不同的。 导弹的制导规律有多种多样, 有的建立在早期经典理论和概念上, 有的建立在现代控制理论和对策理论的基础上。建立在早期经典理论的概念基础上的制导规律通常称为经典制导规律。经典制导规律包括三点法, 前置点或半前置点法, 预测命中点法, 速度追踪法, 姿态追踪法, 平行接近法, 比例导引法及其诸多的改进形式的制导规律。建立在现代控制理论和微

现代控制理论课后习题答案

绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！

这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日 第一章 控制系统的状态空间表达式 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =

§7.4动态规划与离散系统最优控制

§ 7.4 动态规划与离散系统最优控制 1. 动态规划基本原理 最优性原则应有如此性质: 即无论(整个过程的)初始状态和初始决策如何，其余(后段)各决策对于由第一个决策(后)所形成的状态作为(后段)初始状态来说，必须也是一个最优策略。 A B C D E 最优性原则 图7.5

用式表示 1() ()min{(,())(())},1,2,,n n n n n u x J x R x u x J u x n N -=+= 阶段变量n (分析次序) 状态变量x 决策变量()n u x 决策组11{,, ,}n n u u u - 损失(效益)函数:(,)n R x u 对x 用决策n u 所付代价(效益) 后部最优策略函数()n J x 由x 至终最小损失(最大效益)

A 到D 的最短路线 解 3阶段的决策过程， 在CD 段(首), (分析)阶段变量1n =; 7.6 图A 2C 1 B D 2 B 3 B 1 C 3 C 4 5 55 6 3 3) b (A 2 C 1B D 2 B 3 B 1 C 3 C 4 4 5 55 55 66677 7 3 3 (a) 3 =n 1 =n 2 =n

111111*********()(,)3,();()(,)5,();()(,)3,(). J C R C D u C D J C R C D u C D J C R C D u C D ========= 在BC 段(首), (分析)阶段变量2n =； 21111,2,3 ()min{(,)()} min{73,65,53}8i i i J B R B C J C ==+=+++=，213()u B C =； 22211,2,3 ()min{(,)()} min{63,55,73}9i i i J B R B C J C ==+=+++=，221()u B C =； 23311,2,3 ()min{(,)()} min{53,65,73}8 i i i J B R B C J C ==+=+++=，231()u B C =；

最优控制习题答案

最优控制习题答案 1.设系统方程及初始条件为? ??=+-=)()() (2)()(1211t x t x t u t x t x &&，???==0)0(1)(21x t x 。约束 5.1)(≤t u 。若系统终态)(f t x 自由，利用连续系统极大值原理求)(*t u 性能指标，)3(2x J =取最小值。 解： 2.设一阶离散时间系统为)()()1(k u k x k x +=+，初值2)0(=x ，性 能指标为∑=+=20 2 2 )(21)2(k k u x J ，试用离散系统最小值原理求解最优控 制序列：)2(),1(),0(u u u ，使J 取极小值。 解： 3.软着落、空对空导弹的拦截问题、防空拦截问题。 解答： 4.设离散系统状态方程为)(2.00)(101.01)1(k u k x k x ?? ? ???+??????=+，已知边界条件?? ? ???=01)0(x ，??????=00)1(x 。试用离散系统最小值原理求最优控制序 列，使性能指标∑==1 02 )(03.0k k u J 取极小值，并求出最优的曲线序列。 解：属于控制无约束，N 不变，终端固定的离散最优控制问题，构造离 散 哈 密 尔 顿 函 数 )](2.0)()[1()](1.0)()[1()(03.0)(222112k u k x k k x k x k k u k H ++++++=λλ 其中)1(),1(21++k k λλ为给定拉个朗日乘子序列，由伴随方程：

)1()()(111+=??= k k x H k λλ，)1()1(1.0) ()(2122+++=??=k k k x H k λλλ得出 ?? ?+==+==) 2()2(1.0)1(),2()1() 1()1(1.0)0(),1()0(2121121211λλλλλλλλλλ， 由 极 值 条 件 ??? ????>=??=++=??0 06.0)(0)1(2.0)(06.0) (22 2k u H k k u k u H λ极小)1(310)(2+-=k k u λ可使min )(=k H ，令k=0和k=1的?? ??? -=-=) 2(310 )1(*)1(310)0(*22λλu u ，)(k u 带入状态方程并令k=0和1得到： 5.求 泛 函 dt x x x x J ?++=1 02 221211],[&&满足边界条件 π===-=)3(,0)0(,0)3(,3)0(2211x x x x 和约束条件36221=+t x 的 极值曲线。 解：应用拉格朗日乘子法，新目标函数为： dt t x t x x J )36)((1[2 21 1 022211-++++=?λ&&，令哈密尔顿函数为： )36(12 212221-++++=t x x x H λ&&，可以得到无约束条件新的泛函1 J 的欧拉方程为0)1(2)(22 211 1111=++-=??-??x x x dt d x x H dt d x H &&&&λ (1)

由柯西收敛原理证确界存在定理

有限覆盖定理→紧致性定理 证明：设数列}{n x 满足 b x a n ≤≤。 先证0x ?∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。 如果不然。x ?∈[b a ，]，x δ?0 ，使(x x δ-,x x δ+)只含}{n x 的有限项。记E={(x x δ-,x x δ+)|x ∈[b a ，]，x δ由上产生}，是[b a ，]的一个覆盖。由有限覆盖定理，知?E 中有限个开区间（11δ-x ,11δ+x ）(22δ-x ,22δ+x )…… (k k x δ-,k k x δ+)覆盖],[b a 。则 一方面：由覆盖的定义，}{n x 中的所有项包含于这有限个开区间内，另一方面，因为{i i x δ-,i i x δ+}（),...2,1k i =均只含}{n x 的有限项，故这有限个开区间只包含}{n x 中的有限项，这将互相矛盾。 故0x ?∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。 特别地，取1=ε，则?)1,1(001+-∈x x x k ， 取2/1=ε，则?)(),2/1,2/1(12002k k x x x k >+-∈， …… 取n /1=ε，则?)(),/1,/1(100->+-∈n n k k k n x n x x n …… 则}{n k x 为}{n x 的子数列,满足0

现代控制理论 离散时间系统、 时变系统和非线性系统的状态空间表达式

《现代控制理论》MOOC课程 1.5 离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达式

一. 时间离散系统 离散系统的状态空间表达式可用差分方程组表示为 x(k +1)=Gx(k)+Hu (k)y k =Cx k +Du(k) 二. 线性时变系统 其系数矩阵的元素中至少有一个元素是时间t 的函数； 线性时变系统的状态空间表达式为： x =A t x +A t u y=C t x +D t u

三. 非线性系统 x =f (x,u , t ） y=g (x,u,t) 1.非线性时变系统的状态空间表达式 式中，f ，g 为函数向量； x =f (x,u ） y=g (x,u) 2.非线性定常系统的状态空间表达式 当非线性系统的状态方程中不显含时间t 时，则称为非线性定常系统

3.非线性系统的线性化 x =f (x,u ） y =g (x,u) 设是非线性系统x 0，u 0的一个平衡状态, 即。 f (x 0,u 0)=0 , y 0= g (x 0,u 0)若只考虑附近小范围的行为，则可将非线性系统取一次近似而予以线性化。x 0，u 0，y 0将非线性函数f 、g 在附近作泰勒级数展开，并忽略高次项，仅保留一次项： x 0，u 0f x,u =f x 0,u 0 +?ef ex x 0,u 0δx +?ef eu x 0,u 0δu g x,u =g x 0,u 0+?eg ex x 0,u 0δx +?eg eu x 0,u 0 δu

则非线性系统的一次线性化方程可表示为：δx =x ?x 0=?ef ex x 0,u 0δx +?ef eu x 0,u 0δu δy =y ?y 0=?eg ex x 0,u 0δx +?eg eu x 0,u 0 δu 将微增量用符号表示，线性化状态方程就表示为： δx ，δu ，δy ?x ，?u ，?y ?x =A ?x +B ?u ?y =C ?x +D ?u 其中,A =?ef ex x 0,u 0,B =?ef eu x 0,u 0,?C =eg ex x 0,u 0,D =?eg eu x 0,u 0

Riemann积分的收敛定理

作者简介:郭明乐 (1978年 1月生 ),男,硕士 ,讲师 ,研究方向 :马氏过程和无穷粒子系统. 基金项目:安徽省高校省级自然科学重点项目(KJ2007A012),安徽省高等学校青年教师科研资助计划(2005jq1044). E-mail: mleguo @ https://www.sodocs.net/doc/3b6351102.html,. Riemann 积分的收敛定理 郭明乐 喻娜 （安徽师范大学数学计算机科学学院 ,安徽 ,芜湖 241000） 摘要：利用 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系,给出了一组 Riemann 积分的收敛定理，深化了Riemann 积分的理论和应用. 关键词：Riemann 积分，Lebesgue 积分，单调收敛定理，控制收敛定理 中图分类号：O172.2 文献标识码：A 众所周知,由于Riemann 积分的局限性,数学工作者们相继对积分理论进行了深入的研究. 1902年Lebesgue 发表了一篇标志着从古典分析向近代分析转变的论文,从而建立了Lebesgue 积分理论 ,使得积分应用领域得到极大的拓广 .但Riemann 积分在现代科学中仍具有较大的实用价值.在实变函数已经指出:如果)(x f 在[a, b]上Riemann 可积 ,则)(x f 在[a, b]上也 Lebesgue 可积 ,且两个积分值相等，即 ? ? =] ,[)()()(b a b a dx x f L dx x f .但是这一结论对于广义 Riemann 积分 (无界函数及无穷区间上的积分 )不再成立,对广义的Riemann 积分与Lebesgue 积分的关系研究目前也取得了较为完善的理论成果[1] . 这些结论为我们利用Riemann 积分来计算Lebesgue 积分带来许多方便,同时也可以利用Lebesgue 积分序列的极限的宽松条件来研究Riemann 积分序列的极限问题.本文利用Lebesgue 积分理论,获得了 Riemann 积分的单调收敛定理、控制收敛定理及有界收敛定理 ,同时给出这些定理的应用.为叙述方便，文中出现无穷区间I 指的是以下三种类型区间之一:[a, ∞), (?∞,b], (?∞, ∞),区间指的是[a, b]或无穷区间.?I dx x f )(和? I dx x f L )()(分别表示在区间I 上的Riemann 积分和Lebesgue 积 分. 引理1 [1] 若)(x f 在无穷区间I 上的无穷限 Riemann 积分是绝对收敛的 ,则)(x f 在I 上Lebesgue 可积 ,且 =?I dx x f )(?I dx x f L )()(. 引理2 [1] 若定义在无穷区间I 上的可测函数 )(x f 在任何有限区间上都是 Riemann 可 积的 ,则)(x f 在区间I 上Lebesgue 可积的充要条件是)(x f 在I 上的无穷限积分绝对收敛. 定理1 设 (i) {})(x f n 是[a, b]上Riemann 可积函数列; (ii) ..),()(e a x F x f n ≤于[a, b],且)(x F 在[a, b]上Lebesgue 可积; (iii) ..)()(e a x f x f n n ??→?∞ →于[a, b], 且)(x f 在[a, b]上Riemann 可积,

(完整版)现代控制理论

第一章线性离散系统 第一节概述 随着微电子技术，计算机技术和网络技术的发展，采样系统和数字控制系统得到广泛的应用。通常把采样系统，数字控制系统统称为离散系统。 一、举例自动测温，控温系统图; 加 热 气 体 图解： 1. 当炉温h变化时，测温电阻R变化→R ?，电桥失去平衡状态，检流计指针发生偏转，其偏转角度为) e； (t 2. 检流计是个高灵敏度的元件，为防磨损不允许有摩擦力。当凸轮转动使指针 ）,接触时间为τ秒； 与电位器相接触（凸轮每转的时间为T

3. 当炉温h 连续变化时，电位器的输出是一串宽度为τ的脉冲信号e *τ(t); 4.e *τ(t)为常值。加热气体控制阀门角度调速器电动机放大器h →→→→→→? 二、相关定义说明（通过上例来说明） 1. 信号采样 偏差)(t e 是连续信号，电位器的输出的e *τ(t)是脉冲信号。连续信号转变为脉冲信号的过程，成为采样或采样过程。实现采样的装置成为采样器。 To —采样周期，f s =--To 1 采样频率，W s =2πf s —采样角频率 2．信号复现 因接触时间很小，τo T ??τ， 故可把采样器的输出信号）（t e * 近似看成是一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲，为了去除采样本身带来的高额分量，需要把离 散信号）（t e * 恢复到原信号)(t e 。 实现方法：是在采样器之后串联一个保持器，及信号复现滤波器。 作用：是把）（t e * 脉冲信号变成阶梯信号e h (t) 3.采样系统结构图 r(t)，e(t)，c(t)，y(t)为连续信号，）（t e * 为离散信号 )(s G h ，)(s G p ，)(s H 分别为保持器，被控对象和反馈环节的传递函数。 (t) r 4.采样系统工作过程

数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明

第十五章 傅里叶级数 3收敛定理的证明 预备定理1：(贝塞尔不等式)若函数f 在[-π,π]上可积，则 2a 20+∑∞=1n 2 n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π1dx ，其中a n , b n 为f 的傅里叶系数. 证：令S m (x)=2a 0+∑=+m 1 n n n sinnx )b cosnx (a ，则 ? π π-2m (x )]S -[f(x )dx=?ππ -2(x )f dx-2?ππ -m (x )f(x )S dx+?π π -2m (x )S dx. 其中 ?π π -m (x )f(x )S dx=?π π-0 f(x)2 a dx+dx cosnx f(x )a m 1 n π π-n ∑?= ??+????sinnxdx f(x)b ππ-n =20a 2π+π∑=m 1 n 2n 2n )b +(a . 由三角函数的正交性，有 ?π π-2 m (x )S dx=?∑?? ????++=π π-2 m 1n n n 0sinnx)b cosnx (a 2a dx =??? ? ??π π-2 02a dx+?∑??=??????+ππ-m 1n ππ-22n ππ-22n nx dx sin b nx dx cos a dx=20a 2π+π∑=m 1n 2n 2n )b +(a . ∴?π π-2 m (x )]S -[f(x )dx=?π π-2 (x )f dx-2 πa -2π∑∞ =1n 2n 2n )b +(a +20a 2π+π∑=m 1n 2 n 2n ) b +(a =?π π-2 (x )f dx-???20a 2π+π???∑=m 1n 2n 2n )b +(a ≥0. ∴2a 20+∑=m 1n 2 n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π 1dx 对任何正整数m 都成立. 又 ?ππ-2(x)f π 1dx 为有限值，∴正项级数2a 20+∑∞ =1n 2 n 2n )b +(a 的部分和数列有界， ∴2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 收敛且有2a 20+∑∞=1n 2 n 2n )b +(a ≤?ππ-2(x)f π 1dx. 推论1：(黎曼-勒贝格定理)若f 为可积函数，则

六大定理互相证明总结

六大定理的相互证明总结 XXX 学号 数学科学学院 数学与应用数学专业 班级 指导老师 XXX 摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明. 关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理 1 确界定理 1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列{[,n a ] n b }适合下面两个条件： （1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b ) n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞ →n n n a b . 显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞ →n n n a b ∴βα= 即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1] 证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界 {}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y . 由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，

经典控制理论和现代控制理论的区别和联系

1.经典控制理论与现代控制理论的区别与联系 区别: (1)研究对象方面:经典控制系统一般局限于单输入单输出,线性定常系统。严格的说,理想的线性系统在实际中并不存在。实际的物理系统,由于组成系统的非线性元件的存在,可以说都就是非线性系统。但就是,在系统非线性不严重的情况时,某些条件下可以近似成线性。所以,实际中很多的系统都能用经典控制系统来研究。所以,经典控制理论在系统的分析研究中发挥着巨大的作用。 现代控制理论相对于经典控制理论,应用的范围更广。现代控制理论不仅适用于单输入单输出系统,还可以研究多输入多输出系统;不仅可以分析线性系统,还可以分析非线性系统; 不仅可以分析定常系统,还可以分析时变系统。 (2)数学建模方面:微分方程(适用于连续系统)与差分方程(适用于离散系统)就是描述与分析控制系统的基本方法。然而,求解高阶与复杂的微分与差分方程较为繁琐,甚至难以求出具体的系统表达式。所以,通过其它的数学模型来描述系统。 经典控制理论就是频域的方法,主要以根轨迹法与频域分析法为主要的分析、设计工具。因此,经典控制理论就是以传递函数(零初始状态下,输出与输入Laplace变换之比)为数学模型。传递函数适用于单输入单输出线性定常系统,能方便的处理这一类系统频率法或瞬态响应的分析与设计。然而对于多信号、非线性与时变系统,传递函数这种数学模型就无能为力了。传递函数只能反应系统的外部特性,即输入与输出的关系,而不能反应系统内部的动态变化特性。 现代控制理论则主要状态空间为描述系统的模型。状态空间模型就是用一阶微分方程组来描述系统的方法,能够反应出系统内部的独立变量的变化关系,就是对系统的一种完全描述。状态空间描述法不仅可以描述单输入单输出线性定常系统,还可以描述多输入多输出的非线性时变系统。另外状态空间分析法还可以用计算机分析系统。 (3)应用领域方面:由于经典控制理论发展的比较早,相对而言理论比较成熟,并且生产生活中很多过程都可近似瞧为线性定常系统,所以经典控制理论应用的比较广泛。 现代控制理论就是在经典控制理论基础上发展而来的,对于研究复杂系统较为方便。并且现代控制理论可以借助计算机分析与设计系统,所以有其独特的优越性。 联系:(1)虽然现代控制理论的适用范围更多,但并不能定性的说现代控制理论更优于经典控制理论。我们要根据具体研究对象,选择合适的理论进行分析,这样才能就是分析的更简便,工作量较小 (2)两种控制理论在工业生产、环境保护、航空航天等领域发挥着巨大的作用。 (3)两种理论有其各自的特点,所以在对系统进行分析与设计时,要根据系统的特征选取与就

单服务台排队系统离散事件系统仿真实验

离散事件系统仿真实验 一、实验目标 通过单服务台排队系统的方针，理解和掌握对离散事件的仿真建模方法，以便对其他系统进行建模，并对其系统分析，应用到实际系统，对实际系统进行理论指导。 二、实验原理 1．排队系统的一般理论 一般的排队系统都有三个基本组成部分： （1）到达模式：指动态实体（顾客）按怎样的规律到达，描写实体到达的统计特性。通常假定顾客总体是无限的。 （2）服务机构：指同一时刻有多少服务设备可以接纳动态实体，它们的服务需要多少时间。它也具有一定的分布特性。通常，假定系统的容量（包括正在服务的人数加上在等待线等待的人数）是无限的。 （3）排队规则：指对下一个实体服务的选择原则。通用的排队规则包括先进先出（FIFO），后进先出（LIFO），随机服务（SIRO）等。 2．对于离散系统有三种常用的仿真策略：事件调度法、活动扫描法、进程交互法。 （1）事件调度法（Event Scheduling）： 基本思想：离散事件系统中最基本的概念是事件，事件发生引起系统状态的变化，用事件的观点来分析真实系统。通过定义事件或每个事件发生系统状态的变化，按时间顺序确定并执行每个事件发生时有关逻辑关系。 （2）活动扫描法： 基本思想：系统有成分组成，而成分又包含活动。活动的发生必须满足某些条件，且每一个主动成分均有一个相应的活动例程。仿真过程中，活动的发生时间也作为条件之一，而且较之其他条件具有更高的优先权。 （3）进程交互法： 基本思想：将模型中的主动成分历经系统所发生的事件及活动，按时间发生的顺序进行组合，从而形成进程表。系统仿真钟的推进采用两张进程表，一是当前事件表，二是将来事件表。 3．本实验采用的单服务台模型 （1）到达模式：顾客源是无限的，顾客单个到达，相互独立，一定时间的到达数服从指数

古典控制理论和现代控制理论

古典控制理论（自动控制原理） 第一部分 控制理论的总线：建立数学模型、分析响应、提出性能指标、判断稳定性。在此基础上进行设计和校正。 古典在两个领域内研究稳定性和性能分析和提出性能指标（研究对象是连续和离散系统，其中对离散系统研究不多）：对应的总线： 时域：由数学模型传函乘输入再反变换--传函时域响应曲线—超调量等---劳斯、根轨迹 频域：传函GH（jw）---幅相曲线、波特图---稳定裕量等---乃奎斯特判据。 现控：根据实际需要、分析求解系统，提出了性能指标：能控性和能观性。 控制理论其实有两个大方面的内容：系统分析和系统综合。系统分析就是在建立和解数学模型的基础上，分析响应，提出性能指标，进行稳定性、快速性（超调量、调节时间等）、ess 误差分析，以及这些性能指标的模型参数表达式、模型参数和其它影响系统性能的系统特征如零极点的变动的影响（这是系统综合的基础）、古典控制中有时域法、频域法、根轨迹法等，这些方法都有对应不同角度的系统分析。最后在系统分析的基础上提出系统稳定的判据。这一切都是来源于数学函数上的分析。 系统综合其实就是校正和设计。就是根据期望的性能指标，调整模型的参数，手段是加入可以调节（影响、使变化）模型参数的部分，就是所谓的控制器，（通过调节控制器的参数可以影响系统的模型参数取值），常用的控制器是PID控制器、超前-滞后校正、前馈控制、串级控制、状态反馈等，这些控制器通过引入其它参数使模型参数表示发生变化，是系统的性能指标变好（性能指标之间往往是相互制约的）。 数学工具的使用，包括用拉普拉斯域代替时域分析性能（设计者要十分清楚两个域内的动作对应关系）、用线性代数进行状态空间表达式的相关计算，是为了方便分析，这就体现了数学作为基础学科的重要作用，就像下地干活要有工具一样。 第二部分 控制理论的内容就是由物理特性等方法建立实际系统的数学模型（微分方程、传函等），给了典型输入信号，求出输出的相应，从而分析系统的时域性能、频域性能，测定各项指标，判定稳定性，提出改进方案，进而设计系统。 研究的对象 1、线性定常连续控制系统的分析、设计与综合。（三大核心分析方法是时域法、根轨迹法、频域法），研究的目的是使系统能够稳定（劳斯判据、乃奎斯特判据），准、快。 2、线性定常离散控制系统的分析、设计与综合。（表面上是采用了采样开关）也可以采用三大分析方法，常用前两个。 3、非线性控制系统的分析、设计与综合。 自动控制理论不研究具体的系统，而是研究典型系统的数学模型，通过解数学模型来分析和设计系统的性能。