第二章 薛定谔方程

第二章 薛定谔方程

本章介绍：本章将系统介绍波动力学。波函数统计解释和态叠加原理是量子力学的两个基本假设。薛定谔方程是波动力学的核心。在一定的边界条件和初始条件下求解薛定谔方程，可以给出许多能与实验直接比较的结果。

§2.1 波函数的统计解释

§2.1.1 波动—粒子两重性矛盾的分析按照德布罗意的观点，和每个粒子相联系的都有一个波。怎样理解粒子性和波动性之间的联系，这是量子力学首先遇到的根本问题。

2.1.1 波动—粒子两重性矛盾的分析能否认为波是由粒子组成？ 粒子的单缝和双缝实验表明，如减小入射粒子强度，让粒子近似的一个一个从粒子源射出，实验发现，虽然开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍然会出现衍射条纹。如果波是由粒子做成，那末，波的干涉、衍射必然依赖于粒子间的相互作用。这和上述实验结果相矛盾，实际上，单个粒子也具有波动性的。 能否认为粒子是由波组成？ 比如说，电子是三维空间的物质波包，波包的大小即电子的大小，波包的速度即电子的速度，但物质波包是色散的，即使原来的物质波包很小，但经过一段时间后，也会扩散到很大的空间去，或者形象地说，随着时间的推移，粒子将越来越“胖”，这与实验相矛盾 经典物理对自然界所形成的基本物理图像中有两类物理体系： ◆一类是实物粒子

◆另一类是相互作用场（波）经典粒子是以同时确定的坐标和动量来描述其运动状态，粒子的运动遵从经典力学规律，在运动过程中具有确定严格的轨道。粒子的能量，动量在粒子限度的空间小区域集中；当其与其它物理体系作用时，只与粒子所在处附近的粒子相互作用，并遵从能量、动量的单个交换传递过程，其经典物理过程是粒子的碰撞；“定域”是粒子运动的特征。经典波动则是以场量（振幅、相位等）来描述其运动状态，遵从经典波动方程，波的能量和动量周期性分布于波所传播的空间而不是集中在空间一点，即波的能量、动量是空间广延的。波与其他物质体系相互作用时，可同时与波所在广延空间内的所有物理体系相互作用，其能量可连续变化，波满足叠加原理，“非定域”是波动性运动的特性。◆◆在经典物理中，粒子和波各为一类宏观体系的呈现，反映着两类对象，两种物质形态，其运动特点是不相容的，即具有粒子性运动的物质不会具有波动性；反之具有波动性运动的物质不会具有粒子性。综上所述，微观粒子既不是经典的粒子又不是经典的波，或者说它既是量子概念的粒子又是量子概念的波。其量子概念中的粒子性表示他们是具有一定的能量、动量和质量等粒子的属性，但不具有确定的运动轨道，运动规律不遵从牛顿定律；其量子概念中的波动性并不是指某个实在物理量在空间的波动，而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率。◆现在被物理学家们普遍接受的波函数解释是玻恩提出的统计解释。他认为，粒子在衍射或干涉实验中所揭示的波动性质，既可以看成是大量粒子在同一实验中的统计结果，也可以认为是单个粒子在多次相同实验中显示的统计结果。 ◆玻恩的统计解释：波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波 §2.1.2 波函数统计解释

波函数的的特点：1.由于 2

|),(|t r ψ给出在 t 时刻，粒子在 r

处出现的几率密度，因此原

则上可由统计平均公式：?

?>=

d r f r f

ψψψψ*)(*)(

求出力学量 )(r f 的平均值><)(r f 。在这种意义下，波函数),(t r

ψ描述了微观粒子的运

动状态，微观粒子的运动状态叫量子态。波函数),(t r ψ应该是r

的单值、有界、连续函数。3.不确定性：

a.常数因子的不确定性：若C 为常数，则 C ),(t r ψ和),(t r

ψ描述同一个物理状态。 b.相角的不确定性：由于 ),(t r ψ与 αψi e t r ),(

的模相同，因此α不定。 4.可归一化：1|),(|2

=?

r d t r

ψ

5、容易将波函数统计解释推广到多粒子体系。1|),,(|21221=?n n r d r d r d t r r r

ψ 6.描述

粒子微观运动的波函数与可以用其他量（如动量）为自变量。

1|),(|2=?p d t p C ， r d e t r t p C r p i

??-=

),()

2(1),(2/3ψπ 薛定谔 薛定谔(S c h r o d i n g ,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学

与狄拉克(D i r a c ,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖

玻恩M.玻恩，(Max Born 1882～1970)德国理论物理学家，量子力学的奠基人之一。主要成就是创立矩阵力学和对波函数作出统计解释。1954年因波函数的统计解释荣获诺贝尔物理学奖。

§2.2态叠加原理

态叠加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加深对态叠加原理的理解。 态叠加原理： 如果

,,21n ψψψ 是体系可能的状态，则它们的线性叠加所得出的波函数∑==+++=n

i i i n n c c c c 12211ψψψψψ

也是体系的一个可能状态；当体系处于ψ 态时，出现 i ψ的概率是

∑=n

i i

i c

c 1

2

2

||||，n 可以是

有限的，也可以是无限的。

几点讨论：

I .测量力学量A 得出的是一些可能值 n a a ,,1 但这些可能值的相对概率，或者说每个可能态的相对权重，是完全确定的。

I I .态叠加原理中所谓的叠加，是波函数的叠加，或者说是概率幅的叠加，而不是概率的叠加。因而它必然会出现干涉、衍射等现象。

I I I .在量子力学中，对于概率波而言，波的干涉是描述粒子运动状态的概率波本身的干涉，而不是粒子之间的干涉。

I V .一般来说， ψ依赖于时间，是t 的函数，因此态叠加原理不仅对某一时刻成立，而且随

时间的变化，态叠加原理仍然成立。

§2.3薛定谔方程

经典力学中，体系运动状态随时间的变化遵循牛顿力学。和经典力学类似，我们也应建立一个决定波函数随时间变化规律的方程式。从物理上，这个方程式必须满足下述条件： I .由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描述波函数随时间变化的方程应该是线性方程。I I .方程的系数仅含有质量、电荷等内禀量，不应含有和个别粒子运动状态特定性质有关的量，如动量。

I I I .因为波函数的自变量是坐标和时间，因此它必然是关于坐标和时间的偏微分方程。 I V .由于经典力学是量子力学的极限情况，因此这个方程必须满足对应原理，当 取经典极限时，它能过渡到牛顿方程。

V .对于自由粒子，这个方程的解应该是单色平面波的波函数。 方程的建立

对平面波式

/)()(),(Et r p i wt r k i Ae

Ae t r -?-?==ψ 分别对坐标和时间求微商后得：ψψE t

i =??

，ψψ222p =?- 由上两式可以看出能量与动量作用在波函数上的结果与算符 t

i ??

及? i 作用在波函数上

的结果相同，即存在对应关系：,t

i E ??

-→ ?→ i p ?1926年，薛定谔推广

上述规则到一般情况，建立了描述波函数演化规律的薛定谔方程，得到薛定谔方程：

),()),(2(),(?),(22t r t r U m

t r H t r t i ψψψ+?-==?? 薛定谔方程式量子力学的基本假设之一，但必须指出，我们并未建立薛定谔方程，因为只知道微分方程的解是不足以建立微分方程的。B .以上对应关系式（2.3.3）式，只是在直角坐标系中的对应关系，在其他坐标系中不一定成立。

下面我们讨论一下定态情况：若势能),(t r U

不显含时间t ，则薛定谔方程可用分离变量法求解，此时可令 ：)()(),(t f r t r ?ψ=将上式代入薛定谔方程并用)()(),(t f r t r

?ψ=遍除

等式两边，可得： i Ef dt df =， )()()()(222r E r r U r m

???=+?- 此即定态薛定谔方程。

方程（2.3.5）的解可直接给出为 Et i

ce

t f

-=)(代入（2.3.4）并将c 吸收入)(r

?中去，

并有归一化条件来确定，有Et

i

e r t r -=)(),(?ψ，按照德布罗意关系，E 就是体系出于这个

波函数所描写的状态时的能量。由此可见，体系出于上述波函数所描述的状态时，能量具有

确定值，这种状态称为定态。波函数称为定态波函数。以n E 表示体系的能量算符的第n 个

本征值，n ψ是与n E 相应的波函数，则体系的第n 个定态波函数是 t iEn n n e

r t r -

=)(),(?ψ

含时的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性叠加：

t iEn n n

n n

e

r t r t r

-∑∑==)(),(),(?ψψ

§2.4概率流密度与概率流守恒定律?本节我们将进一步讨论粒子在一定区域内出现的几率将怎样随时间变化。

?设描述粒子状态的波函数是),(t r ψ，在t 时刻、在r

点周围单位体积内粒子出现的几率是

),(),(*),(t r t r t r w

ψψ=

?几率密度随时间的变化率为

ψψψψt

t t w ??+??=??**由薛定谔方程及其共轭：ψψψU i m i t 122+?=??， *1

*2*2ψψψU i m i t -?-=??可得：*)*(2*)*(222ψψψψψψψψ?-??=?-?=??m i m i t w 令：*)*(2ψψψψ?-?-=m

i J

称为概率流密度，由（2.4.1）式得：0=??+??J t

w

（2.4.2）式就是概率流守恒定律对上式两边同时对任意空间体积V 积分dS J wdV dt d

s

?????-=

这是概率流守恒定律的积分表示。此式表明，在空间某体积V 内发现粒子的概率在单位时

间内的增量，必定等于在同一时间内通过V 的边界S 流入体积V 的概率。

若以粒子的质量m 乘w 和J ，则有：2|),(|t r m mw w m ψ==是在t 时刻在点r

的质量密度。-==J m J m *)*(2ψψψψ?-?

i 是质量流密度，满足：0=??+??m m J t

w 即量子力学中的质量守恒定律。

B.同样，以粒子电荷e 乘w 和J 后，得到ew w e =是电荷密度，J e J e

=是电流密度， 方程0=??+??e e

J t

w

是量子力学中的电荷守恒定律。

§2.5一维方势阱本节将以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量E ，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。

§2.5.1一维无限深方势阱已知粒子所处的势场为：

{

a

x a

x x U <≥∞=||||0)( 粒子在势阱势能为零，

在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深方势阱。其定态薛定谔方程

为：ψψE dx d m =-2222 a x <||，ψψψ

E U dx

d m =+-2

222 a x ≥||当 ∞→U 时，根据波函数的连续性和有限性条件得：0=ψ a x ≥||，

令：2

2

mE

=

α 则薛定谔方程可简写为：02

2

2=+ψαψdx

d a x <||， 它的解是：x B x A x ααψcos sin )(+= a x <||， 利用边界条件 0|==a x ψ及0|=-=a x ψ，得

0cos sin =+a B a A αα， 0cos sin =+-a B a A αα

带入（2.5.1）得体系的能级：2

2

228m a n E n π= ,3,2,1=n

显然，一维无限深方势阱的能谱是分立谱，这个分离的能谱就是量子化了的能级。

由图可以看出，在不同能级上粒子出现的概率密度是不同的。在基态，粒子出现的概率在阱区中部为最大，而越靠近阱壁概率越小，阱壁上概率为零。在激发态，粒子在阱内出现

的概率是起伏变化的，随着量子数n 的增大，起伏变化越来频繁。而在经典物理中，粒子在阱内各处出现的概率是相等的。 由图可以推断，只有当量子数n 很大时，粒子在阱内各处的概率才趋于均匀。

粒子的最低能量状态称为基态，就是1=n 的状态，基态能量为 082

2

2≠=

ma

E π

此本征值能量称为零点能，是束缚在无限深方势阱内粒子所具有的最低能量。归一化以后

的波函数为：)(2sin 1

a x a n a

n -=

πψ a x <||，0=n ψ a x ≥||。我们把粒子只能束

4

E 3

E 2

E 1

E 0

x =x a

=0

x =x a

=1

n =2

n =3n =4

n =2

ψ

缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态称为束缚态。

§2.5.2一维有限深方势阱 求解势场)(x U 为 {

2

/||2/||00)(a x a x U x U <≥=

的薛定谔方程。讨论

0U E <的情况：在2/||a x >区，

相应的薛定谔方程是0'2

2

2=-ψψk dx

d ，20)(2' E U m k -=在±∞→x 时，ψ有界的解是：=)(x ψx

k Ae

'- 2/a x >，x k Be x ')(=ψ 2/a x <在 2/||a x ≤区，薛定谔

方程是：022

2=+ψψk dx

d ， 2

/2 mE k = 其解为 kx B kx A cos 'sin '+=ψ

1.在2/||a x ≤ 区，取kx x cos )(=ψ，解取有偶宇称的情况 利用 2/a x ±=处波函数对数微商的连续条件都可得 '2

k ka

ktg

=引入2

',2a k ka ==

ηξ可将（2.5.3）是改写为 ηξξ=tg 另外，又（2.5.1）和（2.5.2）有可得 2

202

222

2

2)'(4 a mU k k a =+=+ηξ 联立（2.5.5）--（2.5.6）式，解出ηξ,，再由（2.5.4）可给出能谱。

2.在 2/||a x ≤区，取kx x sin )(=ψ，解取有奇宇称的情况 同样，利用波函数对数微商在2/a x ±= 连续条件得：ηξξ=-ctg

同样，联立（2.5.6）--（2.5.7）式，解出 ηξ,，再由（2.5.4）可给出能谱。 （2.5.5）--（2.5.7）都是超越方程，可用图解法求出能谱。

在 ηξ-平面中分别就（2.5.5）与（2.5.6）式作相应的曲线，曲线的交点表示具有偶宇

称是相应的能谱。如上图。由以上图可见，对于偶宇称态，由于曲线 ξξηtg =经过原点，

因此无论20a U 多么小，两条曲线总有交点，这意味着至少有一个束缚态，且相应的宇称为

偶。

η1

2

3tg ηξξ=224

ηξ+=tg ηξξ

=

同样，作（2.5.6）和（2.5.7）式相应曲线，他们的交点表示波函数其宇称时相应的能谱。所得结果见上图。

由以上图可见，对于奇宇称态，当且仅当 4222

202

2

πξη≥=+

a mU 时，即当m a U 2222

0 π≥时，曲线才有交点，才出现奇宇称态解。显然，一维无限深势阱的结果可作为一维方势阱

的特例得出。当∞→0U 时，可得2

2

228m a

h n E n π=这正是阱宽为a 的一维无限深势阱的能谱公式。

§2.6 一维方势垒

前面讨论了束缚态，这一节我们讨论散射态首先讨论一维方势垒问题。

势垒为 0

0{)(U x U =

a x x a

x ≥≤<<,00设能量为E 的粒子从势垒的左方向右方运动，下面分别就

0U E >与0U E <来讨论。

1. 0U E >的情形

此时，)(x ψ满足的薛定谔方程为

η

1

2

3

123

4

ξ

/2πctg ηξξ

=-π

a x E m

dx d a x U E m

dx d x E m

dx d r r m m l l >=+≤≤=-+<=+

0200)(2,0022220222222ψψψψψψ 为方便起见，令)(2,2022222

1U E m k mE k -==

方程可改为： a x k dx

d a x k dx d x k dx d r r m m l l >=+≤≤=+<=+ 000,002

12

22

22

22

12

2ψψψψψψ其解分别为 x ik x ik l e A Ae x 11')(-+=ψ x

ik x

ik m e

B Be x 122')(-+=ψ

x ik x

ik r e C Ce

x 11')(-+=ψ

利用在 a x =和0=x 处波函数连续性和波函数微商连续性条件

1

221221222211''''''ika a ik a ik a

ik a ik a ik e Ck e B k Be k Ce e B Be B k B k A k A k B B A A =-=+-=-+=+--

可得出C A ,'与A 关系A e k k e k k a

k k k i A a

ik a ik 2222122122

221)()(sin )(2'-+---=

A e

k k e k k e k k C a

ik a ik a

ik 22122122121)()(4--+---= 由概率流密度公式可得入射波的概率流密度为 21

||A m

k J =

λ透射波的概率流密度为：21||C m k J T =

反射波的概率流密度为：21|'|A m

k

J R =反射系数为：2

2

2122222212222221224sin )(sin )(|||'|k k a k k k a

k k k A A J J R R +--===λ透射系数为：2

2

21222222

122

21224sin )(4||||k k a k k k k k A C J J T T +-===λ由上两式可见，一般情况下，透射系数

1R ，而这之和为1。这表明，在量子力学中，即是粒子的能量大于势

垒高度，仍有部分被反射回来。这正是微观粒子具有波动性的体现。由第二式可见，一般情况下透射系数1

此时，2k 为虚数。但若令 32ik k =，则 )(202

2

3E U m

k -=

系数关系变为A a

chk k ik a shk k k a

shk k k A 33132

2321323212)()('+-+= A a chk k ik a shk k k e k ik C a

ik 331322321312)(21+-=-反射系数和透射系数为：

2

3

21222232

1322232122

4)()(|||'|k k a k sh k k a k sh k k A A J J R R +++===λ 2

3213222321232122

4)(4||||k k a k sh k k k k A C J J T T ++=

==λ由此可见，反射系数 0>R 和透射系数 1

子仍有一部分透射过去。

这种粒子在其能量 E 小于势垒高度0U 时，仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫

隧道效应，又叫隧穿效应隧道效应的应用：1.扫描隧道显微镜（STM ）是电子隧道效应的重要应用之一。

扫描隧道显微镜可以显示表面原子台阶和原子排布的表面三维图案。

在表面物理、材料科学和生命科学等诸多领域中，扫描隧道显微镜都能提供十分有价值的信息。

2.隧道二极管是一种利用隧道效应的半导体器件，也是隧道效应的重要应用之一。

由于隧道效应而使其伏安特性曲线出现负阳区，因而隧道二级管具有高频、低噪声的特点。

隧道二级管是低频放大器、低频噪声振荡器和超高速开关电路中的重要器件。

§2.7 一维谐振子

本节我们来讨论一维谐振子问题。

一维谐振子的哈密顿量为：22222212?x mw dx d m H +-= 满足的定态定谔方程为：ψψψE x mw dx d m =+-2

22222

12 为方便求解，引入系数：w

E

mw x 2,,=

==λααξ 则方程可改写为：0)(2

2

2=-+ψξλξ

ψd d 这是一个变系数的二阶常微分方程，当 ξ很大时，2

ξλ<<，上式中的λ可略去。从而，

得到上式的渐进方程 02

2

2=-ψξξ

ψd d 其解 2

/2ξψ±=Ae

就是原方程的解，又由于波函数在±∞→ξ时的有限性条件，得

2

/2

ξ

ψ-≈Ae

为了求出在整个空间都合适的解，可以将系数A 视为 ξ的某一特定函数 )(ξH ，假设方程的解为 2

/2

)(ξ

ξψ-=e H

)(ξH 在ξ有限时应该有限，在 时它的行为±∞→ξ也必须保证波函数有限。代回薛定谔

方程，得到待定系数)(ξH 满足的方程 0)1(22

2=-+-H d dH

d H d λξξξ

对)(ξH 作泰勒展开 v

v v a H ξ

ξ∑∞

==0

)(

可由

0)1(2)1(12

=-+--∑∑∑--v v

v v v

v v v

v a v a v v a ξλξξ

得 v v a v v v a )

2)(1(1

22+++-=

+λ

当 ∞→v 时，)(ξH 的渐进行为是

v

a a v v v 2

2??→?∞→+ 与 2

ξe

的渐进行为相同。若)(ξH 为无穷级数时，)(ξψ在 ∞→ξ 时将趋向无穷大。为

了在 ∞→ξ时，波函数仍有限，)(ξH 必须断为多项式。因为如果)(ξH 是多项式，当

∞→ξ时，它趋于无穷的行为永远比 2

/2ξe

趋于零慢，从而保证了)(ξψ在 是∞→ξ有

限。由（2.7.2）可知方程(2.7.1)有解的条件为 ,2,1,0,21==-n n λ此时，有

0222

2=+-n n

n nH d dH d H d ξξξ

这是厄米方程，其解为厄米多项式。厄米多项式有三种重要表示：1.级数表示：

k n n k k n k n k n H 2]2

[0)2()!2(!!

)1()(-=∑--=ξξ

式中n n n ,2]2[=为偶数时; n n n ,2

1

]2[-=

为奇数。 积分表示： dt e it H t n n

n 2

)(2)(-∞

∞

-?

+=

ξπξ 3.微分表示：2

2

)1()(ξξξ

ξ--=e d d e

H n

n n

n 厄米多项式具有如下性质：

递推关系)()(21

)(11ξξξξ-++=

n n n nH H H 微分性质)(21ξξ

-=n n nH d dH 正交归一性：''!2)()(2

nn n

n n n d H H e

δπξξξξ=?

∞

∞

--完备性：)()(0

ξξn n n H c f ∑∞

==

式中的展开系数为：ξξξπ

ξd H f e n c n n n )()(!212

?

∞

∞

--=

由式（2.7.1）即可得能量本征值 E 为： ,2,1,0,)2

1

(=+

=n w n E n n 叫振动量子数。从而其波函数为：222

1)(x n n e N x αψ=)(x H n α式中归一化常数n N 为：

π

α

!2n N n

n =

由（2.7.2）可见，一维谐振子的能量也是量子化的，并且能量间隔相等，

为w 。一维谐振子基态能量：w E 2

1

0=

叫零点能。 经典与量子的比较 按经典力学的结论，一维谐振子的能量如图谐振子只能处于||A x ≤的范围内,||A x > 的区域则是经典禁区。

而在量子力学中，由于隧道效应，粒子可以到达经典进取，也就是说在所谓经典禁区内发现粒子的概率不为零。按经典力学的规律，在0=x 处振子的速度最大停留时间最短，在 A x =处振子的速度为零停留时间最长。将这一规律应用于微观粒子，自然会得到在0=x 处粒子出现的概率最小，而在 A x ±=处粒子出现的概率最大。而实际情况如何呢？由

2,1,0=n 时的波函数及概率密度的图：

可以看出，在量子数n 较小的时候，粒子位置的概率密度的分布与经典结论明显不同。 可以推断，随着量子数n 的增大，概率密度的平均值将越来越接近经典结论。

M

N

E

A

A

-x

()

U x 0

ψ1

ψ2

1

ψ2

ψx x

x

x

n =0

n =1

n =1

n =n =

2

n =

§2.8一维周期场

设空间周期为 b a l +=，考虑到势场 )(x U 的周期性条件：)()(x U nl x U =+,n 为任意

整数。则在晶格周期势场中运动粒子的薛定谔方程为)()()(22

22x E x x U dx

d m ψψψ

=+- 显然，)(,),(),(nl x l x x ++ψψψ 都满足上述薛定谔方程，并且具有同一本征值E ，从而可以得到 ：)()(,),()2(),()(2

x c nl x x c l x x c l x n ψψψψψψ=+=+=+

其中c 为一常数。

由波函数的有界性，当 ∞→n 时，若c 为实数，必使∞→+)(nl x ψ。

所以，c 必为复相因子，令?

i e c =则：),()(x e l x i ψψ?=+ ),(*)(*x e l x i ψψ?

-=+

,|)(||)(|22x l x ψψ=+所以，粒子在空间呈现的几率也是周期性的。在某一个周期

a x

b <<-内，定态薛定谔方程为

,0)(20222=-+ψψU E m

dx d 0<<-x b ,0222

2=+ψψE m

dx d

a x <<0 下面就0U E >和 0U E <两种情况分别讨论：1. 0U E >的情况 令 ,222

mE =

α

,)(2202

U E m -=β

则方程的解为：x i x i Be Ae x ββψ-+=)( 0<<-x b

x i x i De Ce x ααψ-+=)( a x <<0同理下一个周期

l a x a +<<中的解为：)()()()(l x i l x i i Be Ae e x ---+=ββ?ψ l x a <<

)()()()(l x i l x i i De Ce e x ---+=αα?ψ l a x l +<<由在 a x =处的连续性条件 )(b i b i i a i a i Be Ae e De Ce ββ?αα+=+--

)()(b i b i i a i a i Be Ae e De Ce ββ?ααβα-=---在0=x 处的连续性条件 ,D C B A +=+

)()(D C B A -=-αβ

稍加整理，有：0

)()(=--+=+--=--+-+-D e C e B e A e D C B A D C B A a i a i b i b i ααβ?β?ααββ

0)()(=+---+-D e C e B e A e a i a i b i b i ααβ?β?ααββD C B A ,,,具有非零解的条件是其系数行

列式为零

01

111

)

()

()

()

(=---------+-+-a

i a

i b i b i a

i a i b i b i e e e e e e e

e

ααβ?β?ααβ?β?ααββα

αββ

展开并整理，再除以αβ4得

0)sin sin sin sin cos cos 2(12=+--

-??βαα

β

βαβαβαi i e b a b a b a e 所以 0)sin sin 2cos cos 2(2

2=+--+-b a b a e

e

e i i i βααβ

βαβα?

?

?

于是b a b a βααβ

βαβα?sin sin 2cos cos cos 2

2+-=

上式为一超越方程，为简单起见，只讨论 只讨论10<<-U E 的极限情形，此时，有),2(2022

2

U E m

-=

+

β

α )(202

U E E m

-=

αβ

则：

1

21)

(2)(22)(4)2(220

00002

0222>>-=

-≈

--=-?-=+U E E

U E E E U E E U E U E E m U E m αββα同时，此时有：

1)(202

<

b U E m

b

β， ,si n ,1c o s b b b βββ≈≈ 所以，a b U E E a αβα?sin 21cos cos 0--

=a

a

U E E b a a ααβααsin 2cos 0--

由于)(202

U E E m

-=

αβ 则 a a

r a a a E abm a αααααα?sin cos sin cos cos 2-=-=

这里 ,2E abm

r

= 1c o s

1≤≤-? 只有当a a r a αααsin cos -的值在 1与-1之间时对应的 a α 值才是允许的能量取值。这样一来，其能量被分割成一段一段的带状结构。在带内能量可连续取值，叫做能带，而在能

2. 0U E <的情况

在0U E < 时，β为虚数，令，

(202E m

=

利用 ,sinh sin x i ix = ,c o sh c o s

x ix = 有 b a i i b a ρααρ

αρρα?sinh sin 2cosh cos cos 2

2-+=

此时取 0U E <<的极限，得：,1<

2

2)2(2

mU E U m

≈-=

-αρ 02022)(2EU m

E U E m

≈-=αρ，E

U E E U E U E E U 0

00022)

(2≈-≈

--=

-αραρ 设1<

a

a

a a a

b a E E U a ααδ

αααραα?sin cos sin 21cos cos 0+=-+

= 其中 1)2)((2

0002>>≈--=

abmU E U E U abm δ a

αsin cos a a a

ααγα-1

1-0

禁带

允带

由图可见，只有当 a

a

a ααδαsin cos +的值在-1与1之间对应的 a α值才是允许的能量取

值，和0U E >相似。

由此可见，无论是0U E >，还是 0U E < 只要是在周期场中运动，粒子的能量都是带状结构，叫做能带结构。

微观粒子既不是经典的粒子又不是经典的波，或者说它既是量子概念的粒子又是量子概念的波。其量子概念中的粒子性表示他们是具有一定的能量、动量和质量等粒子的属性，但不具有确定的运动轨道，运动规律不遵从牛顿定律；其量子概念中的波动性并不是指某个

实在物理量在空间的波动，而是指用波函数

的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率。态叠加原理：

如果

,,21n ψψψ 是体系可能的状态，则它们的线性叠加所得出的波函数

∑==+++=n

i i i n n c c c c 1

2211ψψψψψ

也是体系的一个可能状态。

4．波函数随时间变化的规律是薛定谔方程：

),()),(2(),(?),(22

t r t r U m

t r H t r t i ψψψ+?-==??

若势能),(t r U 不显含时间t ，Et i

e -=?ψ， )()()()(222r E r r U r m

???=+?-

此即定态薛定谔方程，它是能量算符的本征值方程。

以n E 表示体系的能量算符的第n 个本征值，n ψ是与n E 相应的波函数，则体系的第n 个定

态波函数是 t

iEn n n e

r t r -

=)(),(?ψ，含时的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函

数的线性叠加：t iEn n n

n n

e

r t r t r

-

∑∑==)(),(),(?ψψ。

5．波函数应满足三个基本条件：连续性、有限性、单值性。 6．概率流密度*)*(2ψψψψ?-?-

=m

i J

与几率密度ψψ*=w 满足连续性方程 0=??+??J t

w

。7．定态薛定谔方程求解。 22228m a n E n π=，归一化波函数为：)(2sin 1a x a n a

n

-=πψ a x <||，0=n ψ a x ≥|| 本征值： ,2,1,0,)2

1

(=+

=n w n E n 禁

允带

a

αsin cos a a a

ααδα+1

-1

波函数为：222

1)(x n n e

N x αψ=)(x H n α式中归一化常数n N 为：π

α

!2n N n

n =

粒子在其

能量 E 小于势垒高度0U 时，仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫隧道效应，又叫隧穿效应。

（4）周期场

无论是0U E >，还是 0U E < 只要是在周期场中运动，粒子的能量都是带状结构，叫做能带结构。

定态薛定谔方程讲义

定态薛定谔方程 一、定态Schr?dinger 方程 2 2(,)[()](,)2i r t V r r t t m ψψ?=-?+? (1) 在一般情况下，从初始状态ψ(r,0)求 ψ(r,t)是不容易的。以下，我们考虑一个很重要的特殊情形——假设势场V 不显含时间 t （在经典力学中，在这种势场中运动的粒子，其机械能守恒），此时薛定谔方程（1）可以用分离变量数法求其特解。 ()V r 与t 无关时，可以分离变量 令(,)()()r t r f t ψψ= 代入(1)式 2 2()1[()]()()()2i df t V r r f t dt r m ψψ=-?+ E = 其中E 是即不依赖于t ，也不依赖于r 的常量，这样 ()()df t i Ef t dt = (2) 2 2[()]()()2V r r E r ψψμ -?+= (3) ——定态薛定谔方程 由(2)解得 Et i ce t f -=)( 其中c 为任意常数。把常数c 放到()E r ψ 里面去，则 (,)()i Et E r t r e ψψ-= (4) 这个波函数与时间的关系是正弦式的，其角频率是ω=Ε/?按照德布罗意关系E=h ν=?ω，E 就是该体系处于这个波函数所描写状态时的能量。由此可见，当体系处于（4）式所描写状态时，能量具有确定值E ，所以这种状态称为定态，波函数ψ(r,t)称为定态波函数。 定态有两个含义：1、(,)()i Et E r t r e ψψ-= ；2、E 具有确定值；（判断是否为定态的依 据） 空间波函数()E r ψ 可由方程 2 2[()]()()2E E V r r E r m ψψ-?+= 和具体问题()E r ψ 应满足的边界条件得出。方程(3)称为定态Schr?dinger 方程，()E r ψ 也可

最新薛定谔方程及其解法

关于薛定谔方程 一．定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提 出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定， 其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合 建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都 有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式 以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基 本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二．表达式 三．定态方程 ()() 2 2 2 V r E r m η ψψ + ?? -?= ?? ?? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E是粒子本身的能量；v(x，y，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2 2 22222 z y x ??????++=? 可化为 d 0)(222 =-+ψψv E h m dx 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法 二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 ). ()()((3) ) ,(),()( ,,(2) )(),( 311212 2111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==?????=≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法的值及确定常数ββα βα

大学物理-一维定态薛定谔方程的应用

一维定态薛定谔方程 的应用 授课人： 物理科学与技术学院

势 阱 日常生活中的各种井（阱） 物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名 水井 窨井 陷阱 U x O a U

() U x x O a ∞ ∞00()0 , x a U x x x a ≤≤?=?∞<>? 这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念 这样的势能函数称为 一维无限深势阱

建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 22 2d ()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=???? x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 22 2d ()()2d x E x m x ψψ-= x x a U x 0 , ()<>→∞ 阱外( )： 令： 2 22mE k =得通解： ()sin() x A kx ψ?=+ 微观粒子的能量不可能达到 无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。 ()0 x ψ≡222 d 0d k x ψψ+=

利用标准条件确定 和 k ?因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0 A kx x a x x x ?ψ+≤≤?=? <>?，(0)sin 0 A ψ?== a A ka ()sin()0 ψ?=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数 2220π()d sin d a n x x A x x a ψ+∞-∞=??221 A a =?= 2A a = n a x x a x a x x a π2sin 0()00 , ψ? ≤≤?=??<>?() π ()sin 1,2,3n x A x n a ψ==??， 0?=π n k a =()1,2,3n =???，

第二章原子结构与性质§氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其

第二章 原子结构 ?性质 §2.1.氢原子和 ?氢原子的 ?定谔方程 ?其解 2.1.1.单电子原子?的 定谔方?程 H 原子和H ?e +、Li 2+ 等 氢离子?是单原子，它们的核电?荷数为Z ，若把原子的?质量中心 ?在坐标原 ?上，绕核运动的?电子离核的?距离为r ，电子的电荷?为-e ，其静电作 ?势能为： r Ze V 0 2 4πε-= 将势能代 ? 定谔方程?： 得 0)(2 2282 =ψ+ + ψ?r Ze h m E π 或ψ=ψ- ?- E r Ze m h ][2 2 2 2 8π 为了解题方?便，将x 、y 、z 变量换 ?极坐标变量?r 、θ、φ。 其关系：φθcos sin r x = φθsin sin r y = φcos r z = 2222 z y x r ++= 2 1 ) /(cos 2 22z y x Z ++=θ x y tg /=φ })(sin )({2 222 sin 1sin 121 2 φθθθ θθ ??????????++= ? r r r r 代 定谔?方程： )()(sin )(2 2 22 222228sin 1 1sin 1121=ψ+ + ++???ψ??????? r Ze h m r r r r r E r πφθθθ θθ 2.1.2.分离变量§法：

上述的方程?是含三个 ?量的偏微分?方程，要解这个方?程可 数?分离法将其?化为三个分?别只含一个? 量的常微?分方程求解?。 含：)()()(),,(φθθΦΘ=Φψr R r 代 方程：并乘以ΘΦR r θ 22sin 移项 可 得： ) (s )(s )(228s i 2s i n 1222 2 2V E r r h u d d d d dr dR dr d R d d ---- =ΘΘΦΦθθ πθθ θθφ左边不含r ?、θ，右边不含 ?，欲左右两边?相等必等 ?同一个常数?（-m 2 ） Φ-=Φ 222m d d φ , 而右边可为?：（除以sin ?θ） )(sin )()(sin 1sin 821 22 2 2θ θ θθ πθ d d d d m h ur dr dR dr d R V E r ΘΘ-= -+ 则有： K d d d d m =-ΘΘ)(sin sin 1sin 22 θ θ θ θθ K E r r Ze h ur dr dR dr d R =++)()(2 2 2 2821 π 2.1. 3.方程解的 ?果 2.1.3.1.Φ（φ）方程的解 022 2=Φ+Φ m d d φ 这是一个常?系数二阶 ?次线性方程?，有两个复 ?数的独立解?。 |)|(]exp[m m im A m ±==Φφ Φ符合波 ?数品优条 ?：连续、单值、电子边界条? （归一） 1]exp[]exp[202 20 *=-A =ΦΦ?? φφφφπ πd im im d m m π21=A ]exp[][21φπ im m =Φ α、φ周期变化?，Φm 值不变 )2()(πφ φ+Φ=Φm m

薛定谔方程与提出背景

薛定谔方程 在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为 ；(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为 。(2) 假若，系统有个粒子，则波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。用方程表达， 。 其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。所以，第个粒子的位置是。 不含时薛定谔方程 不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。 应用分离变量法，猜想的函数形式为 ； 其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量． 代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程： 。 类似地，方程 (2) 变为

。 历史背景与发展 爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。 1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。电子也有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。1927年，克林顿·戴维和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。然后，测量反射的强度，侦测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。 薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。这也是薛定谔所成就的。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。 但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库仑位势的量子行为。薛定谔计算出这方程的定态波函数。可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。1926年，正式发表于物理学界[2]。从此，给予了量子力学一个新的发展平台。 薛定谔方程漂亮地解释了的行为，但并没有解释的意义。薛定谔曾尝试解释代表电荷的密度，但却失败了。1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解释了的物理意义[3]。可是，薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信，薛定谔清楚地表明了这看法。 含时薛定谔方程导引

第二章 薛定谔方程 习题

第二章 薛定谔方程 习题 (课本44页) 证明在定态中，概率流密度与时间无关。 证明：当一个系统处于定态时，其波函数),(t r ?可以写作， ?? ? ??-=Et i r t r ex p )(),(φ? 于是便有， ?? ? ??=Et i r t r ex p )(),(**φ? 根据概率流密度的定义式有， ?????????? ??-??? ??-???? ????? ??-= ??????????????? ??-???? ??-????????? ?????? ??-=?-?≡????????ψψψψt iE t iE t iE t iE m i t iE t iE t iE t iE m i m i J exp exp exp exp 2exp exp exp exp 2) (2* ***** 即有，)(2)(2****φφφφ?????-?=?-?=m i m i J 显然，在定态中概率流密度与时间无关。从某种意义上说明上述波函数称为定态波函数是名副其实的。 — 由下列两定态波函数计算概率流密度：⑴ )exp(1 1ikr r =?，⑵ )exp(12ikr r -=?。 从所得结果说明1?表示向外传播的球面波，2?表示向内(即向原点)传播的球面波。 解：在解本题之前，首先给出一个函数f 的梯度在球坐标系下的表达式，即 ? θθ? θ??+??+??=?f r e f r e r f e f r sin 1?1?? ⑴ 首先求解函数1?的概率流密度

r ikr ikr r ikr ikr ikr r ikr e mr k r ike r e e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i m i J ???2)exp()exp()exp()exp(2) (22221*1*111 =?????????? ??+--???? ??-+-=?? ? ???---?=?-?=---???? 可见，概率流密度1J 与r 同号，这便意味着1J 的指向是向外的，即1?表示向外传播的球面 波。 ⑵ 同理，可以得到2?的概率流密度 r ikr ikr r ikr ikr ikr r ikr e mr k r ike r e e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i m i J ???2)exp()exp()exp()exp(2) (22222*2*222 -=? ????????? ??---???? ??+-=?? ? ??-?-?-=?-?=---???? 这里的负号，即为概率流密度2J 与r 的符号相反，意味着概率流密度2J 的指向是向内 的，即波函数2?表示向内传播的球面波。 < 一粒子在一维势场 ?? ? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,0,00, )( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：在量子力学中，一维薛定谔方程扮演着非常重要的角色。 其一，一维问题是微分方程中最简单、最基础的问题，通过解一维薛定谔方程，不但可以了解到量子力学中不同于经典力学的结果，如能量的量子化和势垒的贯穿等，还可以解更高维薛定谔方程的基础，如经典的氢原子的结构问题和现代的黑洞的结构问题，这些问题通过分离变量，最终化成求解一维薛定谔方程问题。 其二，随着现代科学技术的发展，在实验室中已经制成了一维的或准一维的系统，这样，求解一维薛定谔方程对于理解这些系统的性质起着至关重要的作用。 一维薛定谔方程的求解一般有两大类：一类是束缚态的求解，即求解束缚态的能级及相 x

量子力学课程论文由薛定谔方程引发的深思

量子力学课程论文题目：《由薛定谔方程引发的深思》 学院：数理信息工程学院 专业：物理112班 学生姓名：徐盈盈王黎明 学号：11260124 11180216 完成时间： 2013年12月20日

由薛定谔方程引发的深思 【摘要】 薛定谔方程的提出揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具[1]。作为量子力学之魂，薛定谔方程完整的向我们诠释了微观世界的魅力。为更加深入地学习薛定谔方程和量子力学，我们将分析薛定谔方程的推导过程、介绍其在求解粒子问题中的应用以及其在原子物理、核物理、固体物理等学科的应用，最后谈谈自己的想法。 【引言】 随着“任何粒子都具有波粒二象性”的德布罗意假说成功被戴维森-革末实验所证实，薛定谔思考着会有一个波动方程可以反应粒子的这种量子行为。于是，基于众多前人研究成果，薛定谔于1926年提出薛定谔方程，完美的解释了波函数的行为。正是因为薛定谔方程在量子力学进程中起着举足轻重的作用，所以我们必须深入学习其推导过程和应用。并且由薛定谔方程出发，深刻思考我们在物理学习过程中所必须具备的思维方式和学习态度。 【关键词】 薛定谔方程玻尔理论波函数深思 【正文】 一、薛定谔方程的提出与推导 1、薛定谔方程的历史背景 爱因斯坦认为普朗克的量子为光子，并且提出了奇妙的“波粒二象性”。1924年，路易·德布罗意提出“物质波”的概念，认为任何粒子都具有波粒二象性，并且这个假说于1927年成功被戴维森-革末实验所证实。薛定谔由此认为一定会有一个波动方程能够恰当的描述粒子的这种性质。最后他借助于经典力学的哈密顿原理以及光学的费马原理，将牛顿力学与光学类比，并且以哈密顿-雅克比方程为工具，成功建立了薛定谔方程，并且准确的计算了氢原子的谱线。 2、薛定谔方程的推导思路 ①首先自由粒子可用平面波来表示，可当粒子收到随时间或位置变化的力场的作用时，应该用波函数来表示。波函数描写体系的量子状态。波函数是指在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的概率成比例[2]。 ②当讨论粒子状态随时间变化所遵从的规律时，必须建立波函数随时间变化的方程。 ③用平面波描写自由粒子的波函数ψ(r,t)=Ae i(p.r-Et)/h,并且对时间求偏微商，对位置求二次偏微商，再利用能量和动量的关系式E=p2/2m+V(r),最终可得到薛定谔方程： ④从一维薛定谔方程出发，可以得出三维薛定谔方程和定态薛定谔方程：

薛定谔方程

第一章 薛定谔方程 §1.1.波函数及其物理意义 1. 波函数： 用波函数描述微观客体的运动状态。 例：一维自由粒子的波函数 推广 ：三维自由粒子波函数 2. 波函数的强度——模的平方 3. 波函数的统计解释 用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。 t 时刻，出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。 t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的概率。 t 时刻，粒子在空间分布的概率密度 4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1 标准条件：一般情况下， 有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。 对微观客体的数学描述： 脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾 §1.2. 薛定谔方程 是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。 1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般） 一维自由粒子的振幅方程 非相对论考虑 2. 一维定态薛定谔方程 2 |),,,(|t z y x ψ1d d d d d ||2===?=ψ???N N N N V V N N V V V . 是单值、有限、连续的ψ0)(2d )(d 222=ψ+ψx mE x x 0)()(2d )(d 222=ψ-+ψx U E m x x

3. 三维定态薛定谔方程 4. 一般形式薛定谔方程 5. 多粒子体系的薛定谔方程 讨论： 1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U 中粒子状态随时间的变化规律。 2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。 3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。 4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。 5、薛定谔方程是非相对论的方程。 量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。 求解问题的思路： 1. 写出具体问题中势函数U (r )的形式代入方程 2. 用分离变量法求解 3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数 4. 讨论解的物理意义， 薛定谔的另一伟大科学贡献 《What is life ？》 薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖 定态薛定谔方程 一．定态薛定谔方程条件：V （r,t ）=V(r)， 与t 无关。用分离变量法, 令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程： 此称定态薛定谔方程 整个定态波函数形式： ),,,(),,,()],,,(2[),,,(2121212221t r r t r r V t r r m t r r t i i i i ψ+ψ?-=ψ??∑)t (Ef t )t (f i =?? Et i ce )t (f -=)r (E )r ()r (V )r (m ?=?+??-222Et i e )r ( -?=ψ

固体物理学 1-5-薛定谔方程应用举例II

薛定谔方程应用举例II---原子系统
? 氢原子 ? 电子自旋 ? 多电子原子
1

氢原子的定态薛定谔方程
?原子由一个原子核和核外电子构成，属于多粒子体系。多粒 子体系的总能量等于每一个粒子的能量与粒子间相互作用能量 之和。
?氢原子包括一个原子核和电子，库仑场是各向同性的，哈密 顿量可记作（绝热近似）：
H?
=
?
h2 2me
?2
+
qeU(r)
me为电子质量，qe是电子电荷。U(r)为原子核静电场中的库 仑势，记作：
U(r) = ? Zqe = ? Z h2
4πε0r a1meqer
Z为核的电荷数，a1 = 4πε0?2/(meqe2) = 0.529?，为氢原子的第
一波尔轨道半径。
2

??? ?
h2 2me
?2
?
Zh 2 a1meqer
??ψ
?
(r)
=
E
?ψ
(r)
中心力场问题，采用球坐标，薛定谔方程为：
? ?? ??
h2 2me
?
????
1 r2
? ?r
r2
? ?r
?
L?2 r2
???? ?
Zh2
?
?ψ (r,?,θ ) =
a1mer ??
E ?ψ (r,?,θ )
用分离变量法求解，令：
ψ (r,θ ,φ) = R(r) ?Y (?,θ )
分别求解径向波函数R(r)和角向波函数Y(?,θ)。
3

非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真

[键入作者姓名] [键入文档标题] ——利用分步快速傅里叶变换对光纤中光信号的传输方程进行数值求解

1、非线性薛定谔方程 非线性薛定谔方程(nonlinear Schrodinger equation ，NLSE)是奥地利物理学家薛定谔于1926 年提出的，应用在量子力学系统中。由于量子力学主要研究粒子的动力学运动状态，所以不能运用牛顿力学公式来表示。通常在量子力学中，研究系统的状态一般通过波函数(x ，t)来表示。而对波函数的研究主要是求解非线性薛定谔方程。本文主要研究光脉冲在光纤中传输状态下的演变。 一般情况下，光脉冲信号在光纤中传输时，同时受到光纤的色散和非线性效应的影响。通过Maxwell 方程，考虑到光纤的色散和非线性效应，可以推导出光信号在光纤中的传输方程，即非线性薛定谔方程。NLSE 是非线性偏微分方程，一般很难直接求出解析解，于是通过数值方法进行求解。具体分为两大类：(1)分布有限差分法(split-step finite differencemethod ，SSFD)；(2)分步傅里叶变换法(split-step Fourier transform method ，SSFT)。一般情况，在达到相同精度，由于分步傅里叶变换法采用运算速度快的快速傅里叶变换，所以相比较有限差分法运算速度快一到两个数量级。于是本文介绍分步傅里叶变换法来对光纤中光信号的传输方程，即非线性薛定谔方程进行数值求解。并通过MATLAB 软件对结果数值仿真。 非线性薛定谔方程的基本形式为: 22||t xx iu u u u =+ 其中u 是未知的复值函数. 目前，采用分步傅立叶算法(Split step Fourier Method)求解非线性薛定谔方程的数值解应用比较多。分步傅立叶方法最早是在1937年开始应用的，这种方法己经被证明是相同精度下数值求解非线性薛定愕方程最快的方法，部分原因是它采用了快速傅立叶变换算法(Fast Fourier Transform Algorithm)。基于MATLAB 科学计算软件以及MATLAB 强大的符号计算功能，完全可以实现分步傅立叶数值算法来对脉冲形状和频谱进行仿真。 一般情况下，光脉冲沿光纤传播时受到色散和非线性效应的共同作用，假设当传输距离 很小的时候，两者相互独立作用，那么，根据这种思想可建立如下分步傅立叶数值算法的数 学模型： 把待求解的非线性薛定谔方程写成以下形式: ??()U D N U z ?=+? （I ） （II ）

§4.3薛定谔方程

§4.3 薛定谔方程 在这一节，我们讨论态随时间变化的规律问题。大家知道，在经典力学中，当质点的初始状态为已知时，由其运动方程就可以知道以后任一时刻的运动状态。在量子力学中的情况也是这样的，即当粒子在初始时刻的态为已知时，在以后任一时刻的态也要由一个相应的方程来决定。所不同的是：在经典力学中，质点的状态用质点的坐标和速度描写，质点的运动方程就是我们所熟知的牛顿运动方程。而在量子力学中，微观粒子的状态则用波函数来描写，决定粒子状态变化的方程不再是牛顿运动方程，而是下面我们要建立的薛定谔方程。从物理上，这个方程式 必须满足下述条件： 一、在非相对论条件下，薛定谔方程应该满足的条件 1、在粒子的速度v c 时，质量为m 的粒子的总能量为：22p E U m =+ 2、方程是线性的 由于波函数满足态叠加原理，而态叠加原理对任何时间都成立，因此描述波函数随时间变化的方程应该是线性方程。即如果1ψ和2ψ是方程的解，那么它们的线性迭加 1122c c ψ+ψ也是方程的解。 3、方程的系数仅含有质量、电荷等内禀量，不应含有和个别粒子运动状态特定性质有关的 量，如动量、能量等。 4. 方程应当是波函数 (,)r t ψ 对时间的一阶微分方程 因为我们所要建立的是波函数(,)r t ψ 随时间变化的运动方程，而波函数完全描述态，因此方程必须波函数 ),(t r ψ对时间的一阶微分方程。也就是说方程必然包 含(,)r t t ?ψ? ，但方程不包含22 (,)r t t ?ψ? ，否则需要利用两个初始条件(,0)r ψ 和0(,)|t r t t =?ψ? 才能确定),(t r ψ，这就意味着体系的初始状态不能由波函数(,0)r ψ 完全描述，违反了波函数完全描述态体系运动状态的基本假设。 二、自由粒子波函数所满足的微分方程 下面，就以自由粒子为例，来建立满足上述条件的运动方程。自由粒子的波函数就是德布罗意平面波函数 ()()·,i p r Et r t Ae -ψ= （1）

第二章 薛定谔方程

第二章 薛定谔方程 本章介绍：本章将系统介绍波动力学。波函数统计解释和态叠加原理是量子力学的两个基本假设。薛定谔方程是波动力学的核心。在一定的边界条件和初始条件下求解薛定谔方程，可以给出许多能与实验直接比较的结果。 §2.1 波函数的统计解释 §2.1.1 波动—粒子两重性矛盾的分析按照德布罗意的观点，和每个粒子相联系的都有一个波。怎样理解粒子性和波动性之间的联系，这是量子力学首先遇到的根本问题。 2.1.1 波动—粒子两重性矛盾的分析能否认为波是由粒子组成？ 粒子的单缝和双缝实验表明，如减小入射粒子强度，让粒子近似的一个一个从粒子源射出，实验发现，虽然开始时底片上的感光点是无规则的，但只要时间足够长，感光点足够多，底片上仍然会出现衍射条纹。如果波是由粒子做成，那末，波的干涉、衍射必然依赖于粒子间的相互作用。这和上述实验结果相矛盾，实际上，单个粒子也具有波动性的。 能否认为粒子是由波组成？ 比如说，电子是三维空间的物质波包，波包的大小即电子的大小，波包的速度即电子的速度，但物质波包是色散的，即使原来的物质波包很小，但经过一段时间后，也会扩散到很大的空间去，或者形象地说，随着时间的推移，粒子将越来越“胖”，这与实验相矛盾 经典物理对自然界所形成的基本物理图像中有两类物理体系： ◆一类是实物粒子 ◆另一类是相互作用场（波）经典粒子是以同时确定的坐标和动量来描述其运动状态，粒子的运动遵从经典力学规律，在运动过程中具有确定严格的轨道。粒子的能量，动量在粒子限度的空间小区域集中；当其与其它物理体系作用时，只与粒子所在处附近的粒子相互作用，并遵从能量、动量的单个交换传递过程，其经典物理过程是粒子的碰撞；“定域”是粒子运动的特征。经典波动则是以场量（振幅、相位等）来描述其运动状态，遵从经典波动方程，波的能量和动量周期性分布于波所传播的空间而不是集中在空间一点，即波的能量、动量是空间广延的。波与其他物质体系相互作用时，可同时与波所在广延空间内的所有物理体系相互作用，其能量可连续变化，波满足叠加原理，“非定域”是波动性运动的特性。◆◆在经典物理中，粒子和波各为一类宏观体系的呈现，反映着两类对象，两种物质形态，其运动特点是不相容的，即具有粒子性运动的物质不会具有波动性；反之具有波动性运动的物质不会具有粒子性。综上所述，微观粒子既不是经典的粒子又不是经典的波，或者说它既是量子概念的粒子又是量子概念的波。其量子概念中的粒子性表示他们是具有一定的能量、动量和质量等粒子的属性，但不具有确定的运动轨道，运动规律不遵从牛顿定律；其量子概念中的波动性并不是指某个实在物理量在空间的波动，而是指用波函数的模的平方表示在空间某处粒子被发现的概率。◆现在被物理学家们普遍接受的波函数解释是玻恩提出的统计解释。他认为，粒子在衍射或干涉实验中所揭示的波动性质，既可以看成是大量粒子在同一实验中的统计结果，也可以认为是单个粒子在多次相同实验中显示的统计结果。 ◆玻恩的统计解释：波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波 §2.1.2 波函数统计解释 波函数的的特点：1.由于 2 |),(|t r ψ给出在 t 时刻，粒子在 r 处出现的几率密度，因此原 则上可由统计平均公式：? ?>= <)(r f 。在这种意义下，波函数),(t r ψ描述了微观粒子的运

非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解

非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解 摘要：光纤中光波的传输模型一直是当前研究的热点理论模型之一，从非线性薛定谔方程到金格堡-朗道方程，都试图对其进行更好的阐释，其次对于非线性动力学系统中，非线性薛定谔方程的解有呈现出非常多有趣的特征，对于其中特定解的研究能够让我们了解脉冲演化的本质，所以本文主要从孤子解的传输入手，并且简单介绍了怪波解的解形式。 薛定谔方程又称薛定谔波动方程，是量子力学的一个基本方程，同时又是量子力学的基本假设之一，由奥地利物理学家薛定谔1926年在《量子化就是本征值问题》中提出的，它在量子力学中的地位非常重要，相当于牛顿定律对于经典力学一样。 随着人们对世界的不断探索，非线性现象逐渐走进人们的视野，这种现象一般大都用非线性偏微分方程的数学模型来描述，显然线性方程已经不能满足人们的需求。 1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是： 其中为常数。因为这个方程在几乎所有的物理分支及其他科学领域得到了广泛的应用，如超导，光孤子在光纤中传播，光波导，等离子体中的Langnui波等，所以许多学者对此方程的研究投入了很大的热情，至今还在生机勃勃的向前发展着。 1 分步傅里叶法计算演化过程 对于处理非线性性薛定谔方程，常用的数值仿真方式为分步傅里叶方法，为了简单起见，只考虑二阶色散和自相位调制，不考虑高阶色散、自陡以及四波混频等高阶非线性效应。上述方程中做 2 β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。可以得到 2 k k k k k dA i A i a a dz βγ =?+F. 其中2 2 2 k i β β ?=Ω 令() exp k k A B i z β =?可以得到 () 2exp k k k k dB i a a i z dz γβ =-? F 以上方程可以用四阶龙格库塔直接求解，但是速度较慢，所以我们需要做差分处理。 ()() ()()() 2 exp k k k k k B z z B z i a z a z i z z γβ +?- =-? ? F 再利用() exp k k A B i z β =?可以得到 ()()()() ()()() 2 2 exp exp exp k k k k k k k k A z z A i a z a z z i z a z i a z z i z γβ γβ ?? +?=+??? ?? ?? ?? ≈????? ?? F F 然后做傅里叶反变换就可以得到最终的结果 ()()()() 2 1exp exp - k k k k a z z a z i a z z i z γβ ?? +?=????? ?? F F

薛定谔方程对氢原子的应用

（16.4.4） （16.4.5） (图16.4a )球极坐标 薛定谔方程对氢原子的应用 （一）氢原子的薛定谔方程 前一节讨论一维运动自由粒子的薛定谔方程及 其定态解．本节要讨论氢原子中电子的运动，这与 前一节有两点不同： （1）氢原子电子作三维空间运动，因此，薛定 谔方程（16.3.3）中的波函数ψ（x,t ）应换成ψ（x,y,z,t ） 或ψ（r ,t ）,而22x ??应换成=??+??+??222222z y x ▽2．此▽2称为拉普拉斯算符或拉氏算符． ??????<<的薛定谔方程三维运动自由粒子)c (v 222222222z y x )m 2/(t i ??+??+??=?=?ψ?-=?ψ? （16.4.1） （2）氢原子的电子不是自由粒子，它受到氢核的库仑力，此力的作用可用它们的电势能E p 表示．因此，氢原子电子的薛定谔方程可表示如下??，见〔附录16D 〕． ??????<<的薛定谔方程氢原子电子)c (v p 2p k p 22E )m 2/p (E E E E )m 2/(t i +=+=ψ+ψ?-=?ψ? （16.4.2） *（二）氢原子的定态薛定谔方程 定态解是解决氢原子各种问题的基础．参照（16.3.4）至（16.3.6）式，可把（16.4.2）式中的波函数ψ（r ,t ）分离为空间部分u （r ）和时间部分f （t ），并参照（16.3.10）式写出氢原子的定态薛定谔方程，见〔附录16E 〕． ψ（r ,t ）=u （r ）f （t ）， f （t ）=C /iEt e - （16.4.3） ??????<<的定态薛定谔方程氢原子电子)c (v r 4e E 0u )E E )(/m 2(u 02p p 22πε-==-+? 氢核的质量比电子的大得多，可认为氢核不动，电子绕核转动．其电势能可表成E p =－e 2/4πε0r ．此势能E p 只与电子至氢核的距离r 有关，而与方向无关，即具有球对称性，应用球极坐标较为方便．如（图16.4a ）,O 表氢核，e 表电子，r 为e 至O 的距离．θ为r 与z 轴的夹角，θ称天顶角或极角．?为r 在xOy 平面的投影与x 轴的夹角．故有 x=rsin θcos ?； y=rsin θsin ?； z=rcos θ （16.4.6） 拉氏算符 2222222z y x ??+??+??=?改用球坐标（r,θ,?）表示如下：?? ()() 22222222sin r 1sin sin r 1r r r r 1???θ+θ??θθ ??θ+????=?(16.4.7) 将此▽2算符代入（16.4.4）式，便得到以球坐标表示的氢原子定态薛定谔方程． ? 郭敦仁《量子力学初步》18—19，34—35页，1978年版. ? 程守洙、江之永编，王志符、朱讠永春等修订《普通物理学》第3册177—180页，1982年修订本. ? 郭敦仁《量子力学初步》35—45页，1978年版. ? 周世勋编《量子力学》59—72页，1961年版.

§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例

§16.3 一维定态薛定谔方程的建立和求解举例 （一）一维运动自由粒子的薛定谔方程 波函数随时间和空间而变化的基本方程，是薛定谔于1926年提出的，称为薛定谔波动方程，简称波动方程或薛定谔方程，它成为量子力学的基本方程． 将（16.2.14）式分别对t 和x 求导，然后从这两式消去E 、p 、和ψ，便可得到一维运动自由粒子的薛定谔方程： ψ-=?ψ?)/iE (t 即ψ=?ψ?E t i （16.3.1） ψ=?ψ ?22)/ip (x 2 ψ=ψ ?-2222p ????? ?????<<的薛定谔方程自由粒子轴运动的沿)c x (v 方程（16.3.3）中不含有能量E 和动量p ，表明此方程是不受E 和p 的数值限制的普遍方程． 请同学们自己试一试，如果上述波函数不用复数表式（16.2.14），改用类似于（16.2.1）式的余弦函数或正弦函数表式，就不会得到合乎要求的薛定谔方程（16.3.3）式?． 这薛定谔方程不是根据直接实验结果归纳而得，也不是由经典波动理论或其他理论推导出来的，它是在物质波假设的基础上，参照经典波动方程而建立起来的．薛定谔方程在微观领域中得到广泛的应用，它推导出来的结果，都与相关实验结果符合得很好，这才是薛定谔方程正确反映微观领域客观规律的最有力的证明． （二）一维运动自由粒子的定态薛定谔方程?? 上述薛定谔方程（16.3.3）是偏微分方程，从此方程可解出波函数ψ（x ，t ）．在量子力学中最重要的解，是可把波函数ψ（x,t ）分离成空间部分u （x ）和时间部分f （t ）两函数的乘积的特解，即 〔一维运动自由粒子的定态波函数〕 ψ（x,t ）=u （x ）f （t ）（16.3.4） 将此式代入（16.3.3）式得： 22 2dx u d )t (f )m 2/(dt df )x (u i -= 两边除以ψ=uf 得： 22 2dx u d u 1)m 2/(dt df f 1i -= 此式左边是时间t 的函数，右边是坐标x 的函数．已知t 与x 是互相独立的自变量，左右两边相等，必须是两边都等于同一常量E ，即 ? 郭敦仁《量子力学初步》16—17页，人民教育出版社1978年版. ? 郭敦仁《量子力学初步》21—22页，人民教育出版社1978年版. ? 周世勋编《量子力学》32—33页，上海科学技术出版社1961年版.

薛定谔方程

薛定谔方程(Schr?dinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。 薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。 薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。 薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。 目录 [隐藏] ? 1 含时薛定谔方程 ? 2 不含时薛定谔方程 ? 3 历史背景与发展 ? 4 含时薛定谔方程导引 o 4.1 启发式导引 ? 4.1.1 假设 ? 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数 o 4.2 薛定谔的导引 ? 5 特性 o 5.1 线性方程 ? 5.1.1 证明 o 5.2 实值的本征态 o 5.3 幺正性 ? 5.3.1 证明 o 5.4 完备基底 ? 6 相对论性薛定谔方程 ?7 解析方法 ?8 实例 o8.1 自由粒子 o8.2 一维谐振子 o8.3 球对称位势 ?8.3.1 角部分解答

薛定谔方程及其解法

关于薛定谔方程 一． 定义及重要性 薛定谔方程（Schrdinger equation ）是由奥地利物理 学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。 二． 表达式 三． 定态方程 ()()2 22V r E r m ηψψ+??-?=???? 所谓势场，就是粒子在其中会有势能的场，比如电场就是一个带电粒子的势场；所谓定态，就是假设波函数不随时间变化。 其中，E 是粒子本身的能量；v(x ，y ，z)是描述势场的函数，假设不随时间变化。

2 2 22222z y x ?? ????++=? 可化为d 0)(222=-+ψψ v E h m dx 薛定谔方程的解法 一． 初值解法；欧拉法，龙格库塔法 二． 边值解法；差分法，打靶法，有限元法 龙格库塔法（对欧拉法的完善） 给定初值问题 ).()()((3) ) ,() ,() ( ,,(2) )() ,( 3112122111021h O t y t y hk y h t f k y t f k k c k c h y y y c c a y b t a y t f dt dy i i i i i i i i =-???????++==++==????? =≤≤=++的局部截断误差使以下数值解法 的值及确定常数ββα βα