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微分几何(第三版)【梅向明_黄敬之_编】第三章课后题答案[1]

§4.直纹面和可展曲面

1. 证明曲面r =}3

,2,31{2432v u u uv u v u +++是可展曲面.

证法一：已知曲面方程可改写为r =},2,{432u u u +v }3

,,31{2u u ，令()a u r =},2,{432u u u ，

()b u r =}3

2,,3

1{2

u u ，则r =()a u r + v ()b u r ，且()b u r ≠0，这是直纹面的方程，它满足

(',,')a b b r r r =2

2641

340

u u u u u u =0 ,所以所给曲面为可展曲面。证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

2。证明曲面r

={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

证法一：曲面的方程可改写为 r =()a v r + u ()b v r ，其中()a v r

={cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v}，

()b v r ={-sinv, cosv,1} ，易见()b v r

≠0，所以曲面为直纹面，又因为

(',,')a b b r r r

2sin cos 2cos sin 2

sin cos 1cos sin 0

v v v v v v v v v v ------=0，所以所给曲面为可展曲面。证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

3．证明正螺面r

={vcosu,vsinu,au+b}(a ≠0)不是可展曲面。

证法一：原曲面的方程可改写为 r =()a u r + v ()b u r ，其中()a u r

={0,0,au+b},()b u r ={cosu,sinu,0}.易见

()

b u r ≠

0, 所以曲面为直纹面, 又因为(',,')a b b r r r

=00cos sin 0sin cos 0

u u u u -=a ≠0.故正螺面不是可展曲面。

证法二：证明曲面的高斯曲率为零。（略）

4．证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面。

证挠曲线（C ）:()a a s =r r 的主法线曲面为 1():()()s r a s v s β=+r r r

,因为

(,,)a ββr r r &&=(,,)0αβκατγτ-+=≠r r r r ，故1():()()s r a s v s β=+r r r 不是可展曲面。

挠曲线（C ）:()a a s =r r 的副法线曲面为 2():()()S r a s v s γ=+r r r ，因为(,,)a γγ=r r r &&(,,)0αγτβτ-=≠r r r ，故

2():()()S r a s v s γ=+r r r

不是可展曲面。

5。求平面族{}απ：xcos α+ysin α-zsin α-1=0 的包络。

解 cos sin cos 0sin cos cos 0F x y z F x y z α

αααααα=+-=??=-+-=?，即c o s

()s i n 1

s i n ()c o s 0

x y z x y z αααα+-=??

-+-=? ，将此两式平方后相加得 22()1x y z +-= 。这就是所求的包络面。

6．求平面族2222a x ay z a +=的包络。

解从222202220a F a x ay z a F ax y ?=++-=?=+-=?中消去参数a ，则得所求的包络面为

2(1)20y axz --=。

7．证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面。

证柱面1()S 的方程可写为 r =()a u r + v 0b r ，（0b r ≠0 为常向量）因为(',,')a b b r r r =0(',,0)0a b =r

r 。故1()S 是可展曲面。

锥面2()S 的方程可写为 r =0a r + v ()b u r （0a r 为常向量），因为(',,')a b b r r r =(0,,')b b r r =0，故2()S 是可展曲面。曲线（C ）:()a a s =r r 的切线曲面为 3():()()S r a s v s α=+r r r 。因为(',,')a b b r r

r =(,,')0ααα=r r r ，故

3():()()

S r a s v s α=+r r r

是可展曲面。 8．证明0uu uv r r ==r r

的曲面(S):r=r(u,v)r r 是柱面。

证法：因为uu r 0=r ，所以()u r b v =r r ，又因为0uv r =r ，因此00u r b =≠r r

r 为固定向量。从而积分得

0(,)()r u v a v ub =+r r r

。故曲面(S):r=r(u,v)r r 是柱面。

§5 曲面的基本定理

1．平面上取极坐标系时，第一基本形式为2222ds d d ρρθ=+，试计算第二类克氏符号k

ij Γ。

解因为21,0,E F G ρ===，所以12

11111120,0,0222E E E E

G E

ρθθ

Γ=

=Γ=-

=Γ==， 2

1212

221

,,0222G G G G

ρρθ

ρρ

Γ=

Γ=-

=-Γ=

=。 2．证明高斯曲率det()j i K μ=。证因为d e t ()

d e t ()d e t ()d e t ()j k

k j

i i k

i k i k

L g L g L g μ=-∑=

-=，而1

()()kj kj

g g -=，所以

1det()det()kj

kj g g =，从而2

2det()det()/det()j

i ik kj LN M

L g EG F

μ-==-，故det()j i K μ=。

3．证明平均曲率12

21()2

H μμ=-+。证因为1212112112221

21211122122()k k k k k

L g L g L g L g L g L g μμ+=-∑-∑=-+++= -22221121111

122122()(2)/()g g g g

L L L L LG MF NE EG F g g g g

--+=--+-=2H -，所以12

21()2

H μμ=-+。 5．对于3R 中的空间曲面来说，()l

l l ijk j jk k ij R K g g δδ=--其中K 是曲面的高斯曲率。

证因为121211221221,,R Kg g g g g g =-=-所以121211221221()R K g g g g =--，又

1212211212212121,0(mijk R R R R R m i =-=-===或j=k),从而()mijk mj ik mk ij R K g g g g =--

上式两边分别与

ml g 相乘并关于m 从1到2求和，则得

[()()ml ml ml mijk

mj ik mk ij g R K g g g g g g =--=()l l j ik k ij K g g δδ--,而,ml l mijk ijk g R R =故得()l

l l ijk j jk k ij R K g g δδ=--。

注在解题过程中省略了求和号∑。 6．证明以下公式： ⑴ 2212221222

1112111211221211121[()()()]v u K E

Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ；

⑵ 22

1112[))]K v u ??=-??；

⑶ 11

2212[))]K u v ??=-??；

⑷对于曲面上的等温坐标网有222()ds du dv λ=+，求证2

[(ln )(ln )]uu vv K λλλ=-

+；

⑸ 对于曲面上的半测地坐标网有2

ds du Gdv =+，求证K =。证 ⑴ 高斯公式mijk ij mk ik mj R L L L L =-的两边分别与mk g 相乘并关于m 从1到2求和,再注意到

l mk i j k mi j k R g R =及l

ijk R 的定义，可得

()()l l ij

p l p l

mk ik ij pk ik pj ij mk ik mj k

j p m

g L L L L u u ?Γ?Γ-+∑ΓΓ-ΓΓ=∑-??,今取i=1,j=1,k=2,l=2, 则有2212221222

111211121122121112()()()v u Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ=2112121()m m m m

g L L L L ∑-=

12221112121111221221()()g L L L L g L L L L -+-=22222

()()E

g LN M LN M KE EG F

-=-

故 22122212221112111211221211121[()()()]v u K E

Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ。 ⑵ 因为1212R K g

=，所以2

221221112112111212121121211g R g R g R g R R g K g ααα=∑=+==-，

又因为22

2221211121

121112()p p p p p R

u v

?Γ?Γ=-+∑ΓΓ-ΓΓ??，所以

22122212221112111112112212111221g K v u ?Γ?Γ=-+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ??=22

221

1112112212()

v u ?Γ?Γ-+ΓΓ+Γ??-

2211221

12121111121112()2()ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ ①

而2

122

Γ+Γ=

1211Γ+Γ=

② 2222111112

1112112[11,1]2[12,1]g g u v ??Γ-Γ=Γ-Γ??=22

11112112112()2()k k k k k k

g g ∑ΓΓ-∑ΓΓ=

1221221212

1111121112111212121111111212112()2()2()g g g g g Γ+ΓΓ-Γ+ΓΓ=ΓΓ-ΓΓ，即

1212

221111

1112121112111112()()g g g u v

??ΓΓ-ΓΓ=

Γ-Γ?? ③ 于是将②，③代入①可得：。

222211121111

11121211111()

g g g K v u g u v ?Γ?Γ??=-+ΓΓ+Γ-Γ????

221112K ∴=ΓΓ

212

11221112[

))]v u ΓΓ??=

-??

因此命题得证。

⑶ 因为1212R K g

=，所以2

11122212

2121212121222g R g R g R R g K g ααα=∑===-，又因为111

1121

22212

212221()p p p p p R

v u

?Γ?Γ=-+∑ΓΓ-ΓΓ??，所以

11112121121222

212222111221222121222212()()2()g K u v

?Γ?Γ=-+ΓΓ+Γ-ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ?? ①

112121

222221

2222222121222()g g g v u

??Γ-Γ=ΓΓ-ΓΓ?? 即1212

112222

212222122122221

2()()g g

g v u

??ΓΓ

-ΓΓ=

Γ-Γ?? ③ 于是将②，③代入①并整理得：

2212[()()]

K u G v G

=Γ-Γ

⑷

因为E=G=2λ,F=0,所以

2211][()()][(ln )(ln )]u v u v u v uu vv K λλλλ

λλλλ=

+=-+=-

因此命题得证。

⑸ 因为E=1， F=0, G=G

（u ，v ），所以

]0]u v uu K =+=+= 因此命题得证。

7．如果曲面的第一基本形式为222

222

()

du dv ds u v c +=++，计算克氏符号k

ij Γ。解因为222

1,0()E G F u v c ==

=++ ，所以1

222,2u E u E u v c -Γ==++ 212

111212222222222,,222v v u E E G v v u G u v c E u v c G u v c --Γ=-

=Γ==Γ==++++++，

12222

22u G u

E u v c

Γ=-

=++，

222

2222v G v G u v c

-Γ==++ 。 8．求证第一基本形式为22

222()du dv ds u v c +=++的曲面有常高斯曲率

。

证

因为222

0()

G F u v c =

=++ ，所以 ]u v K =+=-()22

22222

2222

2()2()[]()()v c u u c v u v c u v c u v c -+--+-+++++++=4c 故所给曲面有常高斯曲率。

9．求以E=1,F=0,G=1,L=-1,M=0,N=0为第一、第二类基本量的曲面。

解由已知条件和k ij Γ的定义易知k

ij Γ=0，所以所求曲面的基本方程是

微分几何主要习题解答

,0,0,0,

uu uv vv u u v r n r r n r n =-==??==?

，从第一式和第四式可得0uuu u r r +=

，所以()cos ()sin ()r a v u b v u c v =++ ，再由第二式得'sin 'cos 0a u b u -+= ，因此,a b

是常向量，于是从第三式得(,c dv e d e =+ 为常向量），从而所求的方

程为cos sin r a u b u dv e =+++

，

而sin cos ,u v r a u b u r d =-+= ，所以2222sin cos 2sin cos 1

u u r r a u b u ab u u =+-= ，因此221,0,a b ab ===

又sin cos 0u v r r ab u bd u =-+= ，所以0,ad bd ==

再注意到

1v v r r dd == ，于是,,,a b d

可以分别作为x,y,z 轴上的单位向量，故所求曲面可表示为{cos ,sin ,}r u u v e =+ ，

因此所求曲面是半径为1的圆柱面。

10．证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.

证若存在曲面满足题设条件，则所给E,F,G,L,M,N 必须满足在正交坐标网下的G —C —M

公式，但

]01u v LN M EG -+=≠=-，所以不满足高斯公式，故不存在满足题设条件的曲面。

§6 曲面上的测底线

1．求正交网的坐标曲线的测地曲率。解因为坐标网是正交的，所以F=0，故

g d k ds θθθ=

，而对u-曲线来说，θ=0

，故gu k = 对v-曲线来说，θ=222

n g

κκκ=+2π

，所以gv k = 2．证明球面r ={acosucosv,acosusinv,asinu}上曲线的测地曲率sin ,n d udv

ds ds

θκ=- 其中θ表示曲线与经线的交角。

证易求出E=2a , F=0,G=2a 2cos u ,因此

g d k ds θθθ==

221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?+?=sin sin cos d u ds a u θθ-，

而1

cos dv sin ds a u θθ==，故 sin g d dv k u ds ds θ=-。 3．求位于半径为R 的球面上半径为a 的圆的测地曲率.

解法一：因为sin ,(,)n n κκθθβ=±=∠

，而1,sin a κθ==，所以

n aR

解法二：半径为a 的圆的曲率为1a κ=

，圆上每一点处的法曲率1

n R

κ=±，由222n g κκκ=+知，222

22g n R a R a κκκ-=-=

，所以g Ra

κ=± 。

解法三：任何球面上的圆都可以通过建立适当的曲纹坐标网使其成为纬圆，过不妨求半径为a 的纬圆

的测地曲率。由1题知所求即为v-线的测地曲率：

gv k =

因为所考虑纬圆的半径为a

，所以cos ,sin R u a u ==

所以v g κ=。

4．求位于正螺面r ={ucosv,usin,av}上的圆柱螺线00():{cos ,sin ,}C r u v u v av =

（0u =常数）的测地曲率。

解易计算出E=1，F=0，G=22a u +，而（C ）是一条v-曲线：u=0u ,于是由

2222

1ln()2gv a u u

u a u κ?+===?+，可知（C ）的测地曲率为0220gv u a u κ=+。 5．设曲面(S)上曲率线(C)，(C)上的点不是抛物点。证明(C)在点P 的测地曲率的绝对值等于在(S)的

球面映射下(C)的象在对应点的测地曲率与(C)在点P 的法曲率之积的绝对值。

分析本题是一个综合应用题，可利用球面像和测地曲率及曲率线等概念，罗德里格定理，默尼埃定理证之。

证设所给曲面(S)上曲率线(C)的方程为r =)(s r ，它的球面像()C 的方程为()r n s =

，注意到曲率线的

定义及罗德里格定理，则有n n dn dn ds dr ds ds ds ds ds ds ds ds

ακκα=

==-=-

，其中s 是()C 的弧长，即(1)n ds ds αεαεκ==±=- ，所以1n

ds ds αεαα

κ==- ，又因为(C)的点都不是(S)抛物点，即K ≠0,所以||

K n n K =

，（n 为(S)的球面像（S ）的单位法向量），从而有测地曲率的定义可得11()()g g n

k n n ααα

ακκκ=?=±?=± ，即||||g g n

κκκ= ，即||||g g n κκκ= 。 6．若曲面(S)(,)r r u v =

上曲线(C):u = u(t),v = v(t),t 为曲线(C)上的任意参数，试导出测地曲率g k 的计算公式。

解由于(,,)g r r n κκβε==

，而2

',''()ds ds d s r r r r r dt dt dt ==+ ，所以

()2

2332','',[(())](,,)()|'|g ds ds d s ds r r n r r r n r r n r dt dt dt dt

κ=?+== ，所以3

(','',)/|'|g r r n r κ= ，又'i i i du r r dt =∑ ， 22,''i j i ij i i j i du du d u r r r dt dt dt =∑

+∑ = 22,,,i j i j k k

k ij k i j k i j k du du du du d u r L n r dt dt dt dt

dt ∑Γ+∑+∑ ，从而(','',)(''')r r n r r n =?=

[1222222122,,()(i j i j

ij ij i j i j du d u du du du d u du du dt dt dt dt dt dt dt dt +∑Γ-+∑Γ

|'|r = ，由此得到：

1222222122,,2[()()]()

i j i j

g ij ij i j i j ij du d u du du du d u du du dt dt

dt dt dt dt dt dt g dt dt

κ=+∑Γ-+∑Γ。 7．求证旋转曲面的子午线是测地线，而平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线。

证设旋转曲面为(S)，{()cos ,()sin ,()}(()0)r t t t t ?θ?θψ?=

，则易计算出E=

'2'22,0,F G ?ψ?+==,于是子午线（t —曲线）的测地曲率为

'2'21ln()

02gt k ?ψ?θ?+==-=?，故子午线是测地线。

又平行圆（θ-曲线）的测地曲率为

2g k θ=== 。

所以0g k θ=的充要条件是'()0t ?= ，即{'()cos ,'()sin ,'()}{0,0,'()}t r t t t t ?θ?θψψ==

故平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线。 8．求证 ⑴ 如果测地线同时为渐近线，则它是直线；

⑵如果测地线同时为曲率线，则它是一平面曲线。

证 ⑴因为所给曲线是测地线，所以0g k =；又因为所给曲线是渐近线，所以

0n k =，而222

n g

k k k =+ ，所以k=0，故所给曲线是直线。 ⑵ 方法一：因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有n ‖β ，n ‖α ，

而γαβ=? ，所以,n γα=±? 从而()(0)0n n k n γααβ=±?+?=±-?+= ，又γτβ=- ，所以0τ=，故所给

曲线是平面曲线。

方法二：因所给曲线是测地线，所以沿此曲线有n ‖β ，所以β

‖dn ，又因曲线是曲率线，所以dn ‖dr

‖α ，所以()κατγ-+ ‖α ，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线。

方法三：因所给曲线是测地线，所以该曲线的主法线重合于曲面的法线；因为是曲率线，所以沿此曲

线曲面的法线曲面是可展曲面。从而该曲线的主法线曲面是可展曲面，而挠曲线的主法线曲面不是可展曲面，因此该曲线一定是平面曲线。

方法四：设Γ是测地线，所以Γ的主法向量β ‖n （曲面的单位法向量），所以Γ的副法向量γ ⊥n

；即曲线Γ在每点处的副法向量与曲面在该点的法向量成定角，因Γ是曲率线，所以由P 114习题14知，曲线Γ是平面曲线。

9．已知曲面的第一基本形式22()v du dv I =+，证明它上面的测地线是uv 平面上的抛物线。证因为E=G=v,F=0,所以测地线的微分方程化为

1,2d dv tg du v du θθ== ，于是2dv tg d v

θθ= ，积分后得

cos v h θ=（常数），由此得tg

θ= 。将此式代入第二式得du = ，积分后得

002(u u u =±=常数），即

2220()4()u u h v h -=- 。故测地线在uv 平面上的表示为抛物线。

10．求正螺面r

={ucosv,usin,av}上的测地线。

解易计算出E=1，F=0，G=22a u +，所以测地线的微分方程化为

22,d u dv tg du a u du θθθ=-=+，

对第一式积分得sin h =（常数）。于是

tg θ=

，将此式代入第二式并积分，则得所求测地线为

v h = 。

11．利用刘维尔公式证明：⑴平面上的测地线为直线；⑵圆柱面上的测地线为圆柱螺线。

证 ⑴方法一：由于曲面的第一基本形式可写为22du dv I =+，所以由利乌维公式可知，平面上的测地线的微分方程为0,0,d d dv tg du dv du

θθθ===，于是有θ=常数，v utg c θ=+，故测地线为直线。

方法二：取平面直角坐标系xoy ，平面方程为{,,0}r x y =

，可得1,0,1E F G ===，所以 22dx dy I =+。由刘维尔公式，对平面上的测地线有：

g d d ds ds θθ

κθθ=

= = 0 所以测地线的（相对曲率）r d k ds

= 0 ，所以测地线是直线。方法三：如方法二得

0d ds

=，所以0θθ=是常数，所以

0000cos ,cos ,sin ,sin dx dy x s y s ds ds

θθθθ==== 即测地线方程

是0v u K ???????

=+=??

?00cos sin x s y s θθ=??

=? ，所以测地线是直线。 ⑵ 证法一：设圆柱面为{cos ,sin ,}r a u a u v =

，则易计算2,0,1E a F G ===。所以测地线的微分方程为

g d d ds ds θθκθθ== = 0

，,du dv ds ds θθ== ，所以θ=常数，

0,0,d d dv atg du dv du

θθθ===，()v atg u c θ=+，即圆柱面上的测地线为{cos ,sin ,}.r a u a u bu c =+ 。其中b atg θ=，这正是圆柱面上的圆柱螺线。因此得证。

证法二：设圆柱面为{cos ,sin ,}r a u a u v =

，则易计算2,0,1E a F G ===

。所以测地线的微分方程为

0,g d d ds ds du dv ds ds θθκθθθθ

?===??

?==??

所以0001cos ,sin du dv

ds a ds θθθθ===是常数，，0102cos ,sin u S C v s C a

θθ=

+=+ 。所以测地线为：00

1102cos cos {cos(),sin(),sin }r a s C a s C s C a a

θθθ=+++ （C 1 ,C 2为常数）。因为0{s i n }r θ'=

…，…，与

z 周成定角，所以测地线为圆柱螺线： 00θ=时为112{cos(),sin(),}s s r a C a C C a a

=++

是纬圆；

θ=时为112{cos ,sin ,}r a C a C s C =+

是直母线。

12．证明：若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线，则它必为曲率线。

证法一：因为所给曲面曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有n β=± ，从而()n κατγ=±-+ ，又

因为曲线是平面曲线，所以0τ=，从而n κα=± 。因此由罗德里格定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线。

证法二：设曲面上非直线的曲线Γ为测地线且为平面曲线。因为Γ为测地线，所以它的主法线是曲面

的法线，又因Γ为平面曲线，所以Γ的主法线曲面是可展曲面，于是曲面沿Γ的法线组成曲面是可展曲面，所以Γ为曲率线。

13．如果曲面上引进半测地坐标网，222(,)ds du G u v dv =+。求证：

1[g ds d tg κ-= 。证明因为E=1，F=0，G=(,)G u v ，所以根据Liouville 公式有

sin

d d

ds ds G

θθ

κθθθ

==+

，而

=，

θθ

，从而1

[

κ-

故得

[

ds d tg dv

κ-

。

14．给出曲面的第一基本形式为222

(,)

ds du G u v dv

=+，如果此曲面上的测地线与u-曲线交于角α时，求证

dv u

。

证因为E=1，F=0，G=(,)

G u v，所以与u-曲线交于角α的测地线应满足微分方程组

sin

cos

ds G

ααα

αα

==-

于是有

，故有

=。

15．证明：若曲面上两族测地线交于定角，则曲面是可展曲面。

证法一：取一族测地线为u-曲线，与其正交的测地平行线为v-曲线，在曲面上建半测地坐标网，则曲面的第一基本形式可写为222

(,)

ds du G u v dv

=+，由于两族测地线交于定角（设为?），所以对另一族测地线来说应有

0sin0

ds G

θθ

==-=，所以0

，这说明G仅与v有关，于是曲面的第一基本形式可写为222

()

ds du G v dv

，作参数变换,

u u v

==，则曲面的第一基本形式化为22

du dv

I=+，这与平面的第一基本形式一致。因此所给曲面与平面是等距的，故为可展曲面。

证法二：同上得到曲面的第一基本形式为222

()

ds du G v dv

=+，所以曲面的高斯曲

率

v u

?????

=+=

，所以曲面为可展曲面。

证法三：同17题利用高斯--泼涅公式证明曲面的高斯曲率处处为零，从而曲面为可展曲面。

16．求半径为R的球面上测地三角形三内角之和。

解任给半径为R的球面上的一个测地三角形?，设其边缘为G?，所围成的区域为G，则有高斯--泼涅公式可知

()2

Kdσπαπ

+-=

∑

??，其中iα（i=1,2,3）是?的三个内角，而曲面的高斯曲率K=21

，

所以3

1()2i

i G

d R

σπαπ=+-=∑?? ，故得

i i S R

απ?==+

∑ ，其中s ?是测地三角形?的面积。 17．利用高斯--泼涅公式证明若曲面(S)上存在两族交于定角的测地线，则它的高斯曲率处处为零。证不妨选取题设中的两族交于定角（设为α）的测地线为坐标曲线。若(S)在一点0P 处的高斯曲率K （0P ）≠0，不妨设K （0P ）> 0,则由K 的连续性可知，存在点0P 的一个充分小的邻域G 使得K(P)>0(P ∈G).不妨设G 是由两条u-曲线和两条v-曲线所围成，则由高斯--泼涅公式可知

()()2G

Kd σπααπααπ+-++-+=??，从而可知0G

Kd σ=??，这与K(P)>0，从而上式左边大于零矛盾，因

此命题得证。

注：如果不对证题方法有特殊要求，则用15题中的证明方法也可。

18．若曲面(S)的高斯曲率处处小于零，则曲面(S)上不存在围成单连通区域的光滑闭测地线。证若不然，则(S)上存在围成单连通区域G 的光滑闭测地线（C ），于是由高斯--泼涅公式可得

Kd σπ=??。因为K<0,所以0G

Kd σ?? ，这与上式右边的20π 相矛盾，因此命题得证。

19．设,a b

是沿曲面上曲线（C ）的向量场，f 是定义在（C ）上的数量函数，证明下列绝对微分的运算性质：

⑴ ()D a b Da Db +=+

； ⑵ ()()D fa df a fDa =+ ；

⑶ ()()d ab Da b aDb =+

。

证⑴ ()()[()][()][()]D a b d a b nd a b n da nda n db ndb n Da Db +=+-+=-+-=+

⑵ ()()[()]()[()]D fa d fa nd fa n df a fda n df a fda n =-=+-+

()[()]()df a f da nda n df a fDa =+-=+

⑶ ()()[(()][()]d ab da b adb Da nda n b a Db ndb n =+=+++ =()Da b aDb +

。

20．设(),()a s b s

是曲面上曲线():()C r r s = 的两个平行向量场，证明ab =常数，并由此证明当曲面上一点处二向量沿曲面上曲线作勒维—其维塔平行移动时，他们的长度和夹角不变。

证 ⑴ 因为()()d ab Da b aDb =+ ，且(),()

as bs

是沿():()C r r s = 的两个平行向量场，即0,0Da Db == ，所以()0,d ab =

故ab =常数。

⑵ (),()a s b s

是沿():()C r r s = 的两个平行向量场，所以由⑴可知2a aa == 常数，2b bb == 常数，ab =

常数。故||a =常数，||b =常数，cos (,)||||

ab a b a b ∠=

=常数，因此命题得证。

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则

微分几何第四版习题答案解析梅向明

§1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ；法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

微分几何主要习题解答第一章曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①

微分几何试题库

微分几何一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0

二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率

微分几何第四版习题答案梅向明

微分几何第四版习题答案梅向明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ；法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0

第四版微分几何第二章课后习题答案

第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。

4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。

微分几何习题及答案解析

第一章曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，' 'r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、

微分几何第四版习题答案梅向明

微分几何试题库

微分几何一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ，

γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为:

微分几何彭家贵课后题答案

习题一（P13） 2.设()a t 是向量值函数，证明：（1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=；（2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。（1）证明：a =常数?2 a =常数?(),()a t a t <>=常数 ?(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>= ?2(),()0a t a t '<>=?(),()0a t a t '<>=。（2）注意到：()0a t ≠，所以 ()a t 的方向不变?单位向量() ()() a t e t a t = =常向量。若单位向量() ()() a t e t a t = =常向量，则()0()()0e t e t e t ''=?∧=。反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。由()e t 为单位向量?(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=?<>=?()()e t e t '⊥。从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '? '?=?=?'⊥? 常向量。所以，()a t 的方向不变?单位向量() ()() a t e t a t = =常向量 ?()()1 ()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ??''∧=?∧+= ? ??? ( )()2111()()()()()0()() () d a t a t a t a t dt a t a t a t '? ∧+∧= ()()0a t a t '?∧=。即 ()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。补充：

微分几何陈维桓习题答案

习题答案2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2 221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++，并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222 u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而 22222221 (,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++u u u v 22222222 221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2 (,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ，又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ，

微分几何期终试题

《微分几何》期终考试题（A）班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(<

二、单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的【】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是【】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的【】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是【】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是【】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是【】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是【】 k g k n k

微分几何二四五章_课后习题答案_

微分几何参考答案： P51页 1. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。解原点对应t=0 , 'r (0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0}=t ={0,1,1}， =)0(''r {2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t ={2,0,2} ，所以切线方程是 1 10z y x == ，法面方程是 y + z = 0 ；密切平面方程是2 02110z y x =0 ，即x+y-z=0 ，主法线的方程是???=+=-+00z y z y x 即112z y x =-= ；从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1 11-= =z y x 。 2．求以下曲面的曲率和挠率 ⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r = , ⑵ )0)}(3(,3),3({323 a t t a at t t a r +-=。解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r = ，}0,sinh ,cosh {''t a t a r = ，}0,cosh ,{sinh '''t t a r = ， }1,cosh ,sinh {'''--=?t t a r r ，所以t a t a t a r r r k 23 23cosh 21) cosh 2(cosh 2|'||'''|==?= t a t a a r r r r r 2 2422cosh 21 cosh 2)'''()''','','(==?= τ 。 ⑵ }1,2,1{3'22t t t a r +-= ，}1,0,1{6'''},,1,{6''-=-=a r t t a r ， 'r ×''r =}1,2,1{182 22+--t t t a ，2 23 22223) 1(31 ) 1(2227)1(218| '||'''|+=++=?=t a t a t a r r r k

(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.

§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。证明：设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数），其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ，其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲

线）之间的夹角。证明易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -，而1sin cos dv ds a u θθ ==，故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-，其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-，并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。证明设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

> 《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题本科第一部分：练习题库及答案一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）第一章 1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5．计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ． 6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t t t e =++g i j ，求0 lim(()())t t t →?=f g 0 ． 7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2 t u =，t v sin =，则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =?，2 t =θ，则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9．已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ，6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ，求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b 10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r 2 12 t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-．第二章 13．曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

微分几何课后习题答案第四版梅向明黄敬之编

§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v } 表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u } 表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ????? ?a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ；法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t ,

微分几何(第三版)【梅向明_黄敬之_编】第三章课后题答案[1]

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