四川省南充市2021-2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
四川省南充市2021-2022高一数学上学期期末考试试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，只将答题卡交回.
注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标题涂黑.
第Ⅰ卷共12小题.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则A B =（ ）
A. {}1,1,2-
B. {}0,1
C.
1,0,1,2
D.
{}1,0,2-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据集合并集运算规则即可得解.
【详解】由题：集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =， 则A
B =1,0,1,2.
故选：C
【点睛】此题考查集合的并集运算，根据给定集合直接写出并集，属于简单题. 2.22log 6log 3-=（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
【答案】D 【解析】 【分析】
根据同底对数减法法则求解.
【详解】根据同底对数减法法则：222log 6log 3log 21-==. 故选：D
【点睛】此题考查对数的基本运算，同底对数相减，根据公式直接求解. 3.tan 225?=（ ）
A. 1
B. -1
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
处理()tan 225tan 18045tan 45?=?+?=?即可得解. 【详解】由题：()tan 225tan 18045tan 451?=?+?=?=. 故选：A
【点睛】此题考查求已知角的正切值，根据正切函数的周期直接写出正切值，或根据诱导公式求解，属于简单题.
4.若函数()1
2
x f x =+，则()1f -=（ ）
1 1
1
1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数解析式直接代入得解.
【详解】由题：函数()1
2
x f x =+，
则()1
1112
f -==-+.
故选：B
【点睛】此题考查根据函数解析式求函数值，代入解析式计算即可. 5.若角α的终边经过点()6,8P ，则sin α=（ ）
A.
45
B.
35
C.
34
D.
43
【答案】A 【解析】 【分析】
根据角的终边上的点的坐标表示三角函数的公式即可得解. 【详解】由题：角α的终边经过点()6,8P ，
则84sin 105
α==
=. 故选：A
【点睛】此题考查根据角的终边上的点的坐标求正弦值，关键在于熟练掌握相关公式，直接计算.
6.若函数()1
tan 2
3f x x π??=+ ???，则()f x 的最小正周期是（ ）
A. π
B.
2
π C. 2π
D. 1
【答案】C 【解析】 【分析】
根据函数最小正周期的求法，T π
ω
=
即可得解. 【
详解】函数()1
tan 2
3f x x π??=+
???，
则()f x 的最小正周期212
T π
π
=
=.
故选：C
【点睛】此题考查正切型函数最小正周期的求法，此题易错点在于混淆正弦型与正切型函数最小正周期的公式，导致出错.
7.已知()f x 是偶函数,且在区间(,0]-∞上单调递减,则满足1(31)2f x f ??
+< ???
的实数x 的取值范围是( ) A. 11,26??
-
-????
B. 11,26-
-??
??
? C. 1
1,36--
??????
D.
11,36--?? ???
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意可得()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而可得11
3122
x -
<+<，解不等式即可. 【详解】解析:由()f x 是偶函数且在(,0]-∞上单调递减,知()f x 在(0,)+∞上单调递增, 则满足1(31)2f x f ??
+< ???
的实数x 的取值范围为113122x -<+<
解得11
26
x -
<<-. 故选：B
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解抽象函数不等式，属于基础题. 8.为了得到函数()1cos 23x x f ?
?
=+ ???
，x ∈R 的图象，
只需把函数()cos2f x x =，x ∈R 的图象上所有的点（ ）
A. 向右平行移动1
3个单位长度 B. 向左平行移动
1
3个单位长度 C. 向右平行移动1
6
个单位长度
D. 向左平行移动1
6
个单位长度
【答案】D 【解析】 【分析】
根据同名函数之间的平移规则，将平移后的函数变形为()1cos 26f x x ??
??=+
? ?????
即可得解. 【详解】由题：把函数()cos2f x x =平移得到()1cos 23x x f ??=+
??
?
即()1cos 26f x x ??
??=+ ? ??
???，
只需将函数()cos2f x x =图象上的所有点向左平行移动1
6
个单位长度. 故选：D
【点睛】此题考查函数的平移，熟练掌握平移规则和口诀，对函数解析式进行适当变形.
9.若tan 2α=，则224sin 3sin cos 5cos αααα--的值为（ ） A. 0 B. 1
C.
32
D. 2
【答案】B 【解析】 【分析】
对所求代数式变形222
2
224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos αααα
αααααα
----=+，分
子分母同时除以2cos α即可得解. 【详解】由题：tan 2α=，
222
2
224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos αααα
αααααα
----=
+ 22
4tan 3tan 5
tan 1ααα--=+ 1665
41
--=
+
1=
故选：B
【点睛】此题考查三角函数给值求值，涉及同角三角函数的基本关系，常用构造齐次式分子分母同时除以2cos α求解.
10.若1111333b a
????
<<< ? ?????
，则（ ）
A. a b a a a b <<
B. a a b a b a <<
C. b a a a a b <<
D.
b a a a b a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据指数函数()13x
f x ??= ???
的单调性得,a b 的大小关系和取值范围，构造函数()x g x a =，
()a h x x =即可进行比较.
【详解】指数函数()13x
f x ??= ???
单调递减， 1111333b a
????
<<< ? ?????
，即()()()()10f f b f a f <<<， 所以01a b <<<，
所以指数函数()x
g x a =是减函数，()()g b g a <，b a a a <，
考虑幂函数()a
h x x =在()0,x ∈+∞单调递增，()()h a h b <，即a a a b <，
综上所述：b a a a a b <<. 故选：C
【点睛】此题考查比较指数幂的大小关系，关键在于构造恰当的指数函数或幂函数，结合单调性比较大小. 11.若4
x π
≤
，则()2
cos sin f x x x =+的最小值是（ ）
A.
1
2
B. 1
2
-
C. 1-
D.
12
【答案】D 【解析】
令sin t x =，因为4
x π
≤
，所以22
t -
≤≤
，则22
cos sin 1sin sin y x x x x =+=-+ 22151()24t t t =-++=--+
，当2
t =-
时，min 12y -=；故选D.
点睛：求形如2sin sin y a x b x c =++或2
cos cos y a x b x c =++的值域或最值时，要利用换元思想，将问题转化为三角函数的有界性和一元二次函数的值域问题，即令sin t x =或cos t x =，则2
y at bt c =++，但要注意t 的取值范围.
12.已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ?<≤?
=?-+>??
，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，
2x ，3x ，
4
x，满足
1234
x x x x
<<<，则
()()
34
12
33
x x
x x
--
的取值范围是（）
A. ()
0,3 B. (]
0,4 C. (]
3,4 D. ()
1,3
【答案】A
【解析】
【分析】
作出函数图象，根据图象关系，得出211
x x=，
34
10
x x
+=，即可求解
()()
34
12
33
x x
x x
--
的取值范围.
【详解】作出函数()
3
2
log,03
110
8,3
33
x x
f x
x x x
?<≤
?
=?
-+>
??
的图象，如图所示：
方程()
f x m
=有四个不同的实根
1
x，
2
x，
3
x，
4
x，满足
1234
x x x x
<<<，
则01
m
<<，()
3
3,4
x∈
3
log x m
=即：
3231
log,log
x m x m
==-，所以
3231
log log0
x x
+=，
321
log0
x x=，所以
21
1
x x=，根据二次函数的对称性可得：
34
10
x x
+=，
()()()
()
34
1212
34342
3333
39
102110
3
2
3
1
x x x x x x
x x x x
x x x x
--
==
-+
--=-+-
+
，()
3
3,4
x∈
考虑函数()
21021,3,4
y x x x
=-+-∈单调递增，
3,0
x y
==，4,3
x y
==
所以()
3
3,4
x∈时2
33
1021
x x
-+-的取值范围为()
0,3.
故选：A
【点睛】此题考查函数零点的综合应用，涉及分段函数，关键在于根据对数函数和二次函数的图象性质找出零点的等量关系，构造函数关系求解取值范围.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.幂函数()f x 的图像经过(2,4)，则(3)f = ________． 【答案】9 【解析】
试题分析：设y x α=，则有2
42,2,y x αα===，所以，(3)f =9
考点：幂函数
点评：简单题，待定系数法确定幂函数，进一步求函数值．
14.若1sin 1cos 2x x +=，则cos sin 1x
x =-______.
【答案】1
2
-
【解析】 【分析】
根据同角三角函数关系22sin cos 1αα+=变形即可得解. 【详解】因为22sin cos 1αα+=，所以22cos 1sin αα=-，
由题：221sin cos sin 1cos sin 1cos x x x x x x +-÷=
-， 即
1cos 12sin 1
x x ÷=--， 所以
cos sin 1x
x =-12-. 故答案为：1
2
-
【点睛】此题考查根据同角三角函数关系求值，关键在于准确找出其中隐含的平方关系，构造出22sin cos 1αα+=的等价形式求解. 15.若偶函数()f x 对任意x ∈R 都有()()
1
3f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时，()4f x x =，则()107.5f =______.
【答案】
110
【解析】 【分析】 由()()
1
3f x f x +=-
得函数周期为6，结合周期性和奇偶性计算()107.5f . 【详解】由题：任意x ∈R 都有()()1
3f x f x +=-
，所以
()()
()163f x f x f x +=-=+， 所以()f x 周期为6，且为偶函数，当[]3,2x ∈--时，()4f x x =，
()()()()107.5176 5.5 5.50.5f f f f =?+==-，
()()10.530.5f f -+=-
-，所以()()
1
0.5 2.5f f -=-，
根据函数为偶函数()()2.5 2.510f f =-=-， 所以()()11
0.5 2.510
f f -=-=，
即()1107.510
f =. 故答案为：
110
【点睛】此题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数值，关键在于准确识别函数关系，将自变量的取值转化到给定解析式的区间. 16.下面有四个命题：
①若()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，且在[]1,0-上是减函数，则当,42ππθ??∈
??
?时，()()sin cos f f θθ>；
②终边落在坐标轴上的角α的集合是|,2k k z παα?
?=
∈???
?
； ③若函数()1
sin
2
f x x =，则()()f x f x π+=对于任意x ∈R 恒成立；
④函数sin 2y x π??
=-
??
?
在区间[]0,π上是减函数. 其中真命题的编号是______.（写出所有真命题的编号） 【答案】①② 【解析】 【分析】 ①当,42ππθ??
∈
??
?时，sin cos θθ>，根据奇偶性和单调性即可判定；②根据终边相同的角的表示方法即可得解；③举出反例()()0f f π≠；④函数sin 2
y x π
??
=- ??
?
在区间[]0,π上是增
函数.
【详解】①若()f x 是定义在[]1,1-上的偶函数，且在[]1,0-上是减函数，所以在0,1单调递增， 则当,42ππθ??
∈
???
时，1sin cos 0θθ>>>所以()()sin cos f f θθ>，所以①正确； ②终边落在坐标轴上的角α的集合是|,2k k z παα??
=
∈???
?
，所以②正确； ③若函数()1
sin
2
f x x =，可得()()01,00f f π+==，不相等，所以③说法错误； ④函数sin y x =在,22ππ??
-
????单调递增，函数向右平移2π得到sin 2y x π??=- ??
?在区间[]
0,π上增函数，所以④错误. 故答案为：①②
【点睛】此题考查三角函数及相关概念辨析，涉及单调性与奇偶性及函数平移的综合应用，终边相同的角的表示方式和周期性的辨析，综合性强.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分
17.已知函数(
)f x =
（1）求函数()f x 的定义域； （2）若()8f m =，求m
值.
【答案】（1）{}|6x x >（2）7m =或55 【解析】 【分析】
（1）解不等式60x ->，其解集就是定义域；
（28=即可得解. 【详解】（1）函数的自变量x 应满足： 60x ->，即6x >，
所以函数()f x 的定义域是
{}|6x x >.
（2）因为()8f m =8=， 化简得2623850m m -+=，
()()7550m m --=，
所以7m =或55.
【点睛】此题考查求函数定义域和根据函数值求自变量的取值，关键在于求解不等式和解方程，需要注意定义域要写成集合或区间的形式.
18.（1）计算：2
3212lg 2lg 25log 2log 32-??--+? ???
. （2）化简：
()()cos 2sin cos 2sin 2παπαπαπα??- ????+?-??+ ???
. 【答案】（1）3（2）2sin α-
【解析】 【分析】
（1）根据指数幂及对数的运算法则求解； （2）结合诱导公式即可化简.
【详解】（1）原式()333log 3
4lg 4lg 25log 2log 2
=-++?
331
4lg100log 2log 2
=-+?
4213=-+=.
（2）原式()sin sin cos cos α
ααα
=?-? 2sin α=-.
【点睛】此题考查指数对数的
基本运算以及根据诱导公式进行化简，考查通式通法和对基本
公式的掌握.
19.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2
f x x x =-+.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求函数()y f x =的零点.
【答案】（1）()22,0
,0f x x x x x x x ?-+≥=?+
（2）零点是-1，0，1
【解析】 【分析】
（1）根据函数的奇偶性0x <，则0x ->，()2
f x x x -=--，即可得到解析式；
（2）分段解方程0f x 即可得到函数的零点.
【详解】解：（1）设0x <，则0x ->， 所以()2
f x x x -=--，
因为()f x 为奇函数， 所以()()f x f x -=-，
所以()2
f x x x =+，
故()f x 的解析式为
()22,0,0
f x x x x x x x ?-+≥=?+
（2）由0f x
，得
200x x x ?-+=?
≥?或20
x x x ?+=?
【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，根据函数解析式求函数的零点，关键在于准确求解方程.
20.已知函数()()204f x x πωω?
?=
-> ??
?的图象的对称中心到对称轴的最小距离为
4
π
. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在区间3,84ππ??
????
上的最小值和最大值.
【答案】（1）()24x f x π?
?=- ??
?（2，最小值为-1
【解析】 【分析】
（1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据2222T ππ
ωπ
=
==即可求解； （2）求出函数的单调增区间，即可得到函数在3,84ππ??
?
??
?的单调性，即可得到最值. 【详解】解：（1）设()f x 的周期为T ，图象的对称中心到对称轴的最小距离为
4
π
，
则
44
T π=， 所以T π=， 所以2222T ππωπ
=
==， 所以1ω=.
所以函数()f x 的解析式是
()
24x f x π?
?=- ??
?.
（2）因为()24x f x π?
?=
- ??
?，讨论函数的增区间：
令222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-≤-
≤+
∈，
得3,8
8
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈， 所以函数在区间3,88ππ??
?
???上为增函数，在区间33,84ππ??????上为减函数.
因为08f π??
=
???
，38
f π??
= ???
33
4244f ππππ????
=-= ? ?
????
1=-，
故函数()f x 在区间3,84ππ??
?
??
?，最小值为-1. 【点睛】此题考查根据函数图象特征求参数得函数解析式，解决三角函数在某一区间的最值问题，可以利用单调性讨论，也可利用换元法求值域. 21.已知变量t ，y 满足关系式33log log a
t t y
a a
=（0a >且1a ≠，0t >，且1t ≠），变量t ，x 满足关系式x t a =.
（1）求y 关于x 的函数表达式()y f x =；
（2）若（1）中确定的函数()y f x =在区间[]2,3a a 上是单调递增函数，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）()()2
33
0x x f x a x -+=≠（2）()1
0,1,2??
+∞ ??
?
【解析】 【
分析】 （1）根据33log log a
t t y a a
=，结合x t a =，利用对数的运算法则，变形得到()()233
0x x y f x a
x -+==≠；
（2）根据复合函数单调性的讨论方法分类讨论实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）由33log log a
t t y
a a
=得 log 3log 3log a t t t y a -=-，
由x t a =知log a x t =， 代入上式得log 33a y x x x
-=
-， 所以2
log 33a y x x =-+， 所以()()233
0x x y f x a
x -+==≠.
（2）令()2
2
3333024u x x x x ??=-+=-+≠ ??
?，则u
y a =.
因为函数()f x 在[]2,3a a 上是增函数，则
33201a a ?≤???<
a a ?
≥
???>?， 解得1
02
a <≤
或1a >， 故实数a 的取值范围是()10,1,2
??+∞ ?
?
?
.
【点睛】此题考查根据对数型复合函数关系求解函数解析式，根据指数型复合函数单调性求参数的取值范围，涉及分类讨论思想.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22.求证：函数()2
1f x x =+在
,0上是减函数.
【答案】证明见解析 【解析】 【分析】
利用定义法证明函数单调性.
【详解】证明：任取()12,,0x x ∈-∞，且12x x <，则
()()22
1212f x f x x x -=-
()()1212x x x x =-+.
因为120x x -<，120x x +<，
所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以()2
1f x x =+在
,0上是减函数.
【点睛】此题考查利用定义法证明函数的单调性，关键在于任取()12,,0x x ∈-∞，且12x x <，通过作差法比较函数值的大小. 23.已知函数()tan 2
3x f x π
π??=+
???.
（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的单调区间.
【答案】（1）1|2,3
x x k k z ?
?≠+∈???
?
（2）512,233k k ??
-++ ???
，k z ∈
【解析】 【分析】 （1）求解23
2x k π
π
π
π+
≠+
，k z ∈，得出解集即函数定义域；
（2）由2
2
3
2
k x k π
π
π
π
ππ-
+<
+
<
+，k z ∈，即可得到函数的单调增区间，没有减区间.
【详解】解：（1）函数的自变量x 应满足
2
3
2
x k π
π
π
π+
≠+
，k z ∈，
即123
x k ≠+，k z ∈. 所以，函数的定义域是
1|2,3x x k k z ??
≠+∈????
.
（2）由2
2
3
2
k x k π
π
π
π
ππ-
+<
+
<
+，k z ∈，解得
51
2233
k x k -+<<+，k z ∈. 因此，函数的单调递增区间是512,233k k ??
-
++ ???
，k z ∈，没有减区间.
【点睛】此题考查求正切型函数的定义域和单调区间，考查通式通法，关键在于准确求解不等式的解集.