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高三理科数学4月份高考模拟卷及答案

高三理科数学4月份高考模拟卷及答案
高三理科数学4月份高考模拟卷及答案

山东省聊城市 年 高 考 模 拟 试 题数学试题(理)

注意事项:

1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,满分150分。考试时间

120分钟

2.答第Ⅰ卷前,考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答

题卡和试题纸上。

3.第I 卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改

动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试题卷上。 4.第II 卷写在答题纸对应区域内,严禁在试题卷或草纸上答题。 5.考试结束后,将答题卡和答题纸一并交回。 参考公式:

①如果事件A 在一次试验中发生概率是P ,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概

率Pn (k )

=C k

n

Pk (1-P )n -k 。

②棱柱的体积公式:V=sh (s 底面积,h 为高)。

③K 2统计量的表达式K 2=)

)())()(()

(2

d b c a d c b a bc ad n ++++-。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分;共60分。在每小题给出的四个选项中,选出

一个符合题目要求的选项。) 1.给定下列结论:其中正确的个数是 ( )

①用20㎝长的铁丝折成的矩形最大面积是25㎝2;

②命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”;

③函数y=2-x 与函数y=log 2

1x 的图像关于直线y=x 对称。

A .0

B .1

C .2

D .3

2.已知{

}*

∈==N

n i y y M n ,|2(其中i 为虚数单位),,11lg |?

???

??

-+==x

x y x N

{}

,,1|2R x x x P ∈>=则以下关系中正确的是

( )

A .P N M =?

B .N P M

C R ?=

C .M N P =?

D .Φ=?)(N P C R

3.若a>2,则函数13

1)(23

+-=

ax x x f 在区间(0,2)上恰好有 ( )

A .0个零点

B .1个零点

C .2个零点

D .3个零点 4.如果执行如图所示的程序框图,那么输出的S= ( )

A .1

B .

100

101

C .

10099 D .

99

98

5

.在ABC BC AB ABC ???=??=?则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的

面积等于

( )

A .

22

B .

4

2 C .

2

3 D .2

6.2008年北京奥运会期间,计划将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作,

每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 ( ) A .540 B .300 C .150 D .180 7.某个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( )

A .32

B .3

C .

4

3

3 D .

2

3

3 8.两个正数a 、b 的等差中项是5,等比例中项是4,若a>b ,则双曲线12

2=-b

y a x 的离心率e 等于

( )

A .

23

B .

2

5 C .

50

17 D .3

9.给出下列四个命题,其中正确的一个是 ( ) A .在线性回归模型中,相关指数R 2=0.80,说明预报变量对解释变量的贡献率是80% B .在独立性检验时,两个变量的2×2列表中对角线上数据的乘积相差越大,说明这

两个变量没有关系成立的可能性就越大

C .相关指数R 2用来刻画回归效果,R 2越小,则残差平方和越大,模型的拟合效果越好

D .随机误差e 是衡量预报精确度的一个量,它满足

E (e )=0 10.已知函数),0()0,()(,4)(2

+∞?-∞-=是定义在x g x x f 上的奇函数,当x>0时,

)()(,log )(2x g x f y x x g ?==则函数的大致图象为

( )

11.已知在平面直角坐标系),(),1,2(),1,1(),2,1(),0,0(,y x M C B A O xOy 动点中--满足条件

?????≤?≤≤?≤-,

21,22OB OM 则OC OM ?的最大值为

( )

A .-1

B .0

C .3

D .4

12.一支足球队每场比赛获胜(得3分)的概率为a ,与对手踢平(得1分)的概率为b ,

负于对手(得0分)的概率为c (a ,b ,c ∈(0,1)),已知该足球队进行一场比赛得

分的期望是1,则b

a 31

1+的最小值为 ( )

A .

3

16 B .3

14

C .

3

17

D .

3

10

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分。) 13.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:

①“mn=nm ”类比得到“a ·b=b ·a ”; ②“(m+n )t=mt+nt ”类比得到“(a+b )·c=a ·c+b ·c ”;

③“t ≠0,mt=nt n m =?”类比得到“c a c b c a c =??=?≠,0”; ④“||||||n m n m ?=?”类比得到“||||||b a b a ?=?”。

以上类比得到的正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号)。 14.在),(4

1,,,,,,222

a c

b S

c b a C B A ABC -+=

?若其面积所对的边分别为角中 A ∠则= 。

15.已知抛物线则的直线与抛物线相交于过点,,)0,2(),0(22

B A p M p px y >=

?OB 。

16.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关。某品牌的电视机的显像管开关了10000

次还能继续使用的概率是0.96,开关了15000次后还能继续使用的概率是0.80,则已经

开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是 。 三、解答题:本大题共6小题,共74分。解答出应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)

设函数a x x x x f ++=

2cos cos sin 3)(。

(1)写出函数)(x f 的最小正周期及单调递减区间; (2)当??

?

???-

∈3,6ππx 时,函数)(x f 的最大值与最小值的和为23,求)(x f 的图象、y

轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积。

18.(本小题满分12分)

某校有一贫困学生因病需手术治疗,但现在还差手术费1.1万元。团委计划在全校

开展爱心募捐活动,为了增加活动的趣味性吸引更多学生参与,特举办“摇奖100%中奖”活动。凡捐款10元便可享受一次摇奖机会,如图是摇奖机的示意图,摇奖机的旋转盘是均匀的,扇形区域A ,B ,C ,D ,E 所对应的圆心角的比值分别为1:2:3:4:5。相应区域分别设立一、二、三、四、五等奖,奖品分别为价值5元、4元、3元、2元、1元的学习用品。摇奖时,转动圆盘片刻,待停止后,固定指针指向哪个区域(边线忽略不计)即可获得相应价值的学习用品(如图指针指向区域,可获得价值3元的学习用品)。

(1)预计全校捐款10元者将会达到1500人次,那么除去购买学习用品的款项后,剩余

款项是否能帮助该生完成手术治疗?

(2)如果学生甲捐款20元,获得了两次摇奖机会,求他获得价值6元时的学习用品的

概率。

19.(本小题满分12分)

如图,在四棱台ABCD —A 1B 1C 1D 1中,下底ABCD 是边长为2的正方形,上底

A 1

B 1

C 1

D 1是边长为1的正方形,侧棱DD 1⊥平面ABCD ,DD 1=2。 (1)求证:B 1B//平面D 1AC ;

(2)求二面角B 1—AD 1—C 的余弦值。

20.(本小题满分12分) 已知函数)1,,(2

3)(2

3>+-

=a b a b ax x x f 且为实数在区间[-1,1]上最大值为1,最小值为-2。 (1)求)(x f 的解析式;

(2)若函数mx x f x g -=)()(在区间[-2,2]上为减函数,求实数m 的取值范围。 21.(本小题满分12分)

过点P (1,0)作曲线)1,),,0((:>∈+∞∈=*

k N k x x y C k

的切线,切点为M 1,

设M 1在x 轴上的投影是点P 1。又过点P 1作曲线C 的切线,切点为M 2,设M 2在x 轴

上的投影是点P 2,…。依此下去,得到一系列点M 1,M 2…,M n ,…,设它们的横坐标a 1,a 2,…,a n ,…,构成数列为{}n a 。 (1)求证数列{}n a 是等比数列,并求其通项公式; (2)求证:1

1-+

≥k n a n ; (3)当{}n n

n b a n

b k 求数列令时,,2==的前n 项和S n 。

22.(本小题满分14分)

已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b

y a x C 的离心率为33,直线l :y=x+2与以原点

为圆心、椭圆C 1的短半轴长为半径的圆O 相切。

(1)求椭圆C 1的方程;

(2)设椭圆C 1的左焦点为F 1,右焦点为F 2,直线l 1过点F 1,且垂直于椭圆的长轴,动

直线l 2垂直于l 1,垂足为点P ,线段PF 2的垂直平分线交l 2于点M ,求点M 的轨迹C 2的方程; (3)设C 2与x 轴交于点Q ,不同的两点R 、S 在C 2上,且 满足0=?, 求||QS 的取值范围。

参考答案

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1—5 CBBCA 6—10 CBBDB 11—12 DA

二、填空题:本大题共4个小题,每小题4分,共16分。 13.①② 14.

4

π 15.0 (文)4

5 16.

6

5;(文)1000。 三、解答题。 17.解(1),2

1)62sin(22cos 12sin 23)(+++=+++=a x a x x x f π (2分)

.π=∴T (4分)

.326,2236222ππππππππk x kx k x k +≤≤++≤+≤+得由 故函数)(x f 的单调递减区间是)(32,6Z ∈??

?

???++k k k ππππ。 (6

分)

(2)(理).1)6

2sin(21.656

26

,3

6

≤+≤-∴≤

+

≤-

∴≤

≤-π

ππ

π

π

π

x x x 当??

?

???-

∈3,6ππx 时,原函数的最大值与最小值的和)2121()211(++-+++a a

.2

1

)62sin()(,0,23++=∴=∴=

πx x f a (8分)

)(x f 的图象与x 轴正半轴的第一个交点为)0,2(π

(10分) 所以)(x f 的图象、y 轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积

?+=??????++-=??????++=.432|2)62cos(2

121)62sin(2020ππππ

πx x dx x S (12分)

18.解:(1)设摇奖一次,获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记为A 、B 、C 、D 、E

则其概率分别为,5

1

153)(,152)(,151543211)(====++++=

C P B P A P

.3

1

155)(,154)(===

E P D P (3分)

设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为ξ,则ξ的分布列为: ξ

1 2 3 45 5

P

3

1

154 51 152 15

1

.3

1551545315231=?+?+?+?+?=ξE (6分)

若捐款10元者达到1500人次,那么购买学习用品的款项为1500E ξ=3500(元), 除去购买学习用品的款项后,剩余款项为1500×10-3500=11500(元),

故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗。 (8

分)

(2)记事件“学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品”为F ,则

.45

7154152153153155151)(1

21

2=??+?+??

=C C F P 即学生甲捐款20元获得价值6元的学习用品的概率为

45

7

。 (12分)

19.以D 为原点,以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、

y 轴、z 建立空间直角坐标系D —xyz 如图,则有A (2,0,0), B (2,2,0),C (0,2,0),A 1(1,0,2),B 1(1,1,2), C 1(0,1,2),D 1(0,0,2)。 (3分)

(1)证明:设,E BD AC =?连结D 1、E ,则有E (1,1,0), )2,1,1(11-==B B E D 。所以B 1B//D 1E 。

AC D B B AC D E D AC D B B 111111//,,平面平面平面∴?? ; (6

分)

(2)解:),2,0,2(),0,1,1(111-==A D B D 设的法向量为平面11),,(D AB z y x n =,

)1,1,1(.1,1,1.022,0111-==-===-=?=+=?n z y x z x A D n y x D B n 则于是令

(8分) 同理可以求得平面D 1AC 的一个法向量m=(1,1,1)。 (10

分)

.3

1

.31||||,cos 11的余弦值为二面角C AD B n m n m n m --∴=?>=

< (12

分)

20.解:(1),33)('2

ax x x f -=

[][])

6(.12)(.

3

4

,223)1(),

1()1(,23

2)1(,23)1()

4(,1)0()2(.1,0,0,1)(,

1,,0,0)('2321分分分上为减函数在上为增函数在得令 +-=∴=-=-=-∴<-∴-=-=-==∴-∴>===x x x f a a f f f a f a f b f x f a a x x x f

(2),12)(2

3

+-+=mx x x x g

.43)('2m x x x g --=

由[]上为减函数在2,2)(-x g ,

知[].2,20)('上恒成立在-∈≤x x g (8分)

??

?≤≤-∴0)2('0)2('g g , 即???≤-≤-0

40

20m m .20≥∴m .20≥∴m m 的取值范围是实数 (12分)

21.解:(1)对k

x y =求导数,得),(,1k

n n n k a a M kx y 切点是-=的切线方程是

)(1

n k n k n a x ka a y -=-- (2分)

当n=1时,切线过点P (1,0),即0

;1

),1(1111-=

-=--k k

a a ka a k k 得 当n>1时,切线过点)0,(11--n n a p ,即0.1

),(111-=-=----k k

a a a a ka a n n n n k n k n 得

所以数列{},1

,11的等比数列公比为是首项--=

k k k k a a n 所以数列{}*∈-=N n k k a a n

n n ,)1

(的通项公式为

(4分) (2)应用二项公式定理,得

)

8(.1

1)1

1()11(11)111()1(

2210分 -+≥-++-+-+=++=-=k n k C k C k C C k k k a n n

n n n n n n n

(3)当

{}n

n n n n n n n

S n b n b a k 2

232221.2,2,232++++==

== 项和的前项数列时, 同乘以.223222121,211432+++++=n n n

S 得 (10分)

两式相减,得

11132221122

11)

21

1(2

122122212121+++--=---=-++++=n n n n n n n n n n S 所以n n n S 22

2+-= (12分)

22.解:(1)由;32

1,3322=-==e a

b e 得 (2分) 由直线3,2,.||2

2,02:2

2

2

====+=+-a b b b y x y x l 所以得

相切与圆

所以椭圆的方程是.12

32

2=+y x (4分)

(2)由条件,知|MF 2|=|MP|。即动点M 到定点F 2的距离等于它到直线1:1-=x l 的距离,由抛物线的定义得点M 的轨迹C 2的方程是x y 42

=。 (8分)

(3)由(2),知Q (0,0)。设),4

(),,4(),,4(12

122

2121y y y y S y y R =所以 )

12().4,256(6432256232256)

10(16

,.

0)(16

)

(,0).

,4

(12

12

121212211221121212

221122

12

2分时等号成立即当且仅当分化简得因为得由 ±===+≥++

=∴--=≠=-+-=?--=y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y

.64,64)8(4

1)4(||2

222222222≥-+=+=y y y y

所以当.58||,8,64min 22

2=±==y y 时即

故||的取值范围是[)

∞+.58。

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