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正弦函数和三角函数的积分及Matlab编程

正弦函数和三角函数的积分及Matlab 编程

求正弦函数y = sin x 从0到π的积分

当x = 0时，积分为0，画出积分的函数曲线。

定积分的结果为 ππ00

sin d cos 2S x x x ==-=? 不定积分的结果为

sin d cos I x x x C ==-+?

其中C 是积分常量，由初始条件决定。当x = 0时，积分为I = 0，必有C = 1。结果为

I = -cos x + 1

根据积分的基本概念，将积分区域分为多份，用矩形法求曲线下的近似面积表示积分的近似值

1()n

i i S f x x ==?∑

矩形法的函数是sum(f)。

用梯形法求曲线下的近似面积表示积分的近似值

101[()()]2

n i i i S f x f x x -+==+?∑

梯形法的函数是trapz(f)。

用数值积分的函数是quad 和quadl ，常用使用格式是

S = quad(f,a,b)

其中，f 表示被积函数，a 表示积分的下限，b 表示积分的下限。

用符号的函数是int ，常用使用格式是

S = int(f,a,b)

程序如下

%正弦函数的积分

clear %清除变量

x=linspace(0,pi); %自变量向量

dx=x(2); %间隔

y=sin(x); %被积函数

s1=sum(y)*dx %矩形法积分

s2=trapz(y)*dx %梯形法积分

f=inline('sin(x)'); %被积的内线函数

s3=quad(f,0,pi) %数值定积分

s4=int('sin(x)',0,pi) %符号积分

sc1=cumsum(y)*dx; %矩形法累积积分(精度稍差)

sc2=cumtrapz(y)*dx; %梯形法累积积分

figure %创建图形窗口

plot(x,-cos(x)+1,x,sc1,'.',x,sc2,'o') %画解析式和矩阵法以及梯形法积分曲线 s=int('sin(x)') %符号积分

sc3=subs(s,'x',x); %替换数值求符号积分的值

C=-sc3(1) %求积分常数

hold on %保持图像

plot(x,sc3+C,'c*') %画符号法积分曲线

grid on %加网格

fs=16; %字体大小

xlabel('\itx','FontSize',fs) %横坐标

ylabel('\intsin\itx\rmd\itx','FontSize',fs)%纵坐标

title('正弦函数的积分','FontSize',fs) %标题

legend('解析解','矩形法','梯形法','符号法')%图例

2.三角函数和指数的积分

[问题]求如下函数的积分

y = e ax sin bx

其中a = 0.5，b = 2。积分下限为0。画出积分的函数曲线。

[数学模型]

设

11e sin d sin de {e sin e cos d }ax ax ax ax I bx x bx bx b bx x a a

=-??? 11{e sin cos de }{e sin [e cos e sin d ]}ax ax ax ax ax b b bx bx bx bx b bx x a a a a =-=-+?? 因此不定积分为

221e (sin cos )ax I a bx b bx C a b

=-++ 当x = 0时，I 应该为零，所以

22b C a b =+ 因此，从0开始的积分为

221e (sin cos )ax I a bx b bx b a b

=-++ [算法]可用积分的解析式直接画图，也可利用被积函数通过梯形求和指令cumtrapz 求积分，数值积分指令quad 求积分，还可通过符号积分int 求解。

程序如下。

%数值积分和符号积分方法

clear %清除变量

a=0.5; %指数的常数

b=2; %正弦函数的常数

dx=0.1; %间隔

xm=6; %上限

x=0:dx:xm; %自变量向量

s1=(exp(a*x).*(-b*cos(b*x)+a*sin(b*x)))/(a^2+b^2);%积分的解析解

C=-s1(1); %求积分常数

y=exp(a*x).*sin(b*x); %被积函数

s2=cumtrapz(y)*dx; %梯形法积分

%s2=cumsum(y)*dx; %矩形法求积分

figure %创建图形窗口

plot(x,s1+C,x,s2,'.') %画积分曲线

s=['exp(',num2str(a),'*x).*sin(',num2str(b),'*x)'];%被积分函数字符串

f=inline(s); %化为内线函数

s3=0; %第1个值

for i=2:length(x) %按自变量循环

s3=[s3,quad(f,0,x(i))]; %连接积分

end%结束循环

s=int('exp(a*x)*sin(b*x)') %对x进行符号积分

ss=subs(s,{'a','b'},{a,b}); %替换常数

s4=subs(ss,'x',x); %替换向量

hold on%保持图像

plot(x,s3,'or',x,s4-s4(1),'ch','MarkerSize',16)%画数值积分和符号积分曲线title(['\ity\rm=e^{',num2str(a),'}\it^x\rmsin',num2str(b),'\itx\rm的积分'],'FontSize',16)%标题

legend('公式法','梯形法','数值法','符号法',2)%加图例

zqy4.1图zqy4.2图

三角函数大题专项(含问题详解)

三角函数专项训练 1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a ﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c． 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值． 3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值． 4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC． 5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值． 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；

（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值 7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值． 8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值． 9．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长． 10．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b． 11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．

高中数学必备知识点正弦与余弦定理和公式

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。正弦定理的变形公式 (1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题 (3)相关结论： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径）（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 正弦、余弦典型例题 1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为 2．已知α为锐角，且，则α的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．120° 4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60° 5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点， EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

正弦型三角函数的图像-中等难度-习题

正弦型三角函数的图像一、选择题（共12小题；共60分） 1. 函数的一条对称轴方程为 A. B. C. D. 2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象 A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3. 函数在区间中的简图如图所示，则函数的解析式可以是 A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如图所示，，则 A. B. C. D. 5. 如果函数＋的图象关于点中心对称，那么的最小值为 A. B. C. D. 6. 已知函数，，则的单调递减区间是 A. B. C. ， D. ， 7. 函数的定义域是 A. B.

C. D. 8. 将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为 A. B. C. D. 9. 已知函数对任意实数有恒成立，且，则实数的值为 A. B. C. 或 D. 10. 已知函数，若对任意的实数，总有，则的最小值是 A. B. C. D. 11. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是 A. B. C. D. 12. 函数的部分图象如图所示，如果且，则等于 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题；共25分） 13. 函数（，）的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为．

14. 要得到的图象，可以将的图象向平移个单位长度． 15. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象至少向右平移个单位长度． 16. 已知，，，是函数一个周期内图象上的四个点，如图，点，为轴上的点，为图象上的最低点，为该函数图象的一个对称中心，点与点关于点对称，在轴上的投影为，则，的值分别为． 17. 若已知，函数在上单调递增，则的取值范围是．三、解答题（共5小题；共65分） 18. 函数的图象向左平移个单位，得到的图象恰好关于直线对称，求的最小值． 19. 已知函数的定义域为，最大值为，最小值为，求实数和的值． 20. 已知函数的图象的一部分如图所示．（1）求的表达式；（2）试写出的对称轴方程． 21. 某同学用“五点法”画函数的图象，先列表，并填写了一些数据，如表：（1）请将表格填写完整，并画出函数在一个周期内的简图；

高数三角函数公式大全

三角函数公式大全两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) = tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3 π +a)·tan( 3 π -a) 半角公式 sin( 2A )= 2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )= A A sin cos 1-=A A cos 1sin +

sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2 b a +sin 2 b a - tana+tanb= b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π -a) = cosa cos(2 π -a) = sina sin(2 π +a) = cosa cos( 2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina c os(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin

正弦三角函数查询表(0°-90°)

正弦三角函数查询表（0°-90°）

0.0{0.0000} 0.1{0.0017} 0.2{0.0035} 0.3{0.0052} 0.4{0.0070} 0.5{0.0087} 0.6{0.0105} 0.7{0.0122} 0.8{0.0140} 0.9{0.0157} 1.0{0.0175} 1.1{0.0192} 1.2{0.0209} 1.3{0.0227} 1.4{0.0244} 1.5{0.0262} 1.6{0.0279} 1.7{0.0297} 1.8{0.0314} 1.9{0.0332} 2.0{0.0349} 2.1{0.0366} 2.2{0.0384} 2.3{0.0401} 2.4{0.0419} 2.5{0.0436} 2.6{0.0454} 2.7{0.0471} 2.8{0.0488} 2.9{0.0506} 3.0{0.0523} 3.1{0.0541} 3.2{0.0558} 3.3{0.0576} 3.4{0.0593} 3.5{0.0610} 3.6{0.0628} 3.7{0.0645} 3.8{0.0663} 3.9{0.0680} 4.0{0.0698} 4.1{0.0715} 4.2{0.0732} 4.3{0.0750} 4.4{0.0767} 4.5{0.0785} 4.6{0.0802} 4.7{0.0819} 4.8{0.0837} 4.9{0.0854} 5.0{0.0872} 5.1{0.0889} 5.2{0.0906} 5.3{0.0924} 5.4{0.0941} 5.5{0.0958} 5.6{0.0976} 5.7{0.0993} 5.8{0.1011} 5.9{0.1028} 6.0{0.1045} 6.1{0.1063} 6.2{0.1080} 6.3{0.1097} 6.4{0.1115} 6.5{0.1132} 6.6{0.1149} 6.7{0.1167} 6.8{0.1184} 6.9{0.1201} 7.0{0.1219} 7.1{0.1236} 7.2{0.1253} 7.3{0.1271} 7.4{0.1288} 7.5{0.1305} 7.6{0.1323} 7.7{0.1340} 7.8{0.1357} 7.9{0.1374} 8.0{0.1392} 8.1{0.1409} 8.2{0.1426} 8.3{0.1444} 8.4{0.1461} 8.5{0.1478} 8.6{0.1495} 8.7{0.1513} 8.8{0.1530} 8.9{0.1547} 9.0{0.1564} 9.1{0.1582} 9.2{0.1599} 9.3{0.1616} 9.4{0.1633} 9.5{0.1650} 9.6{0.1668} 9.7{0.1685} 9.8{0.1702} 9.9{0.1719} 10.0{0.1736} 10.1{0.1754} 10.2{0.1771} 10.3{0.1788} 10.4{0.1805} 10.5{0.1822} 10.6{0.1840} 10.7{0.1857} 10.8{0.1874} 10.9{0.1891} 11.0{0.1908} 11.1{0.1925} 11.2{0.1942} 11.3{0.1959} 11.4{0.1977} 11.5{0.1994} 11.6{0.2011} 11.7{0.2028} 11.8{0.2045} 11.9{0.2062} 12.0{0.2079} 12.1{0.2096} 12.2{0.2113} 12.3{0.2130} 12.4{0.2147} 12.5{0.2164} 12.6{0.2181} 12.7{0.2198} 12.8{0.2215} 12.9{0.2233} 13.0{0.2250} 13.1{0.2267} 13.2{0.2284} 13.3{0.2300} 13.4{0.2317} 13.5{0.2334} 13.6{0.2351} 13.7{0.2368} 13.8{0.2385} 13.9{0.2402} 14.0{0.2419} 14.1{0.2436} 14.2{0.2453} 14.3{0.2470} 14.4{0.2487} 14.5{0.2504} 14.6{0.2521} 14.7{0.2538} 14.8{0.2554} 14.9{0.2571} 15.0{0.2588} 15.1{0.2605} 15.2{0.2622} 15.3{0.2639} 15.4{0.2656} 15.5{0.2672}

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试注：奇变偶不变，符号看象限。注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限注：三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：

函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：

三角函数正弦定理和余弦定理

(文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =， (sin ,sin )n B A =，(2,2)p b a =-- . (1)若m //n ，求证：ΔABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c = 2，角ΔABC 的面积 . 答案：证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R ? =? ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b =. ABC ∴?为等腰三角形（2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知， 2 2 2 4()3a b ab a b ab =+-=+- 2()340ab ab --=即4(1)ab ab ∴==-舍去. 11 sin 4sin 223 S ab C π ∴==??= 来源：09年高考上海卷题型：解答题，难度：中档

(文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4 2sin(π - A 的值。答案：（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理， A BC C AB sin sin = ，于是522sin sin ===BC A BC C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC AB BC AC AB A ?-+=2cos 2 22 于是A A 2cos 1sin -== 5 5，从而5 3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-== =A A A A A A 10 2 4 sin 2cos 4 cos 2sin )4 2sin(= -=- π π π A A A 来源：09年高考江西卷题型：解答题，难度：容易在⊿ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且

三角函数公式大全(很详细)

高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义

图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式

3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式证明过程首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式）则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式）将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一）同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是

三角函数之正余弦定理

教师寄语：天才=1％的灵感+99％的血汗 1 戴氏教育中高考名校冲刺教育中心【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。谢谢使用！！！】主管签字：________ §3.6 正弦定理和余弦定理一、考点、热点回顾 2014会这样考 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．复习备考要这样做 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识.自主学习 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数一解两解一解一解