轴向拉伸与压缩习题及解
答
Prepared on 22 November 2020
轴向拉伸与压缩习题及解答
一、判断改错
1、构件内力的大小不但与外力大小有关,还与材料的截面形状有关。 答:错。 静定构件内力的大小之与外力的大小有关,与材料的截面无关。
2、杆件的某横截面上,若各点的正应力均为零,则该截面上的轴力为零。 答:对。
3、两根材料、长度都相同的等直柱子,一根的横截面积为1A ,另一根为2A ,且21A A >。如图所示。两杆都受自重作用。则两杆最大压应力相等,最大压缩量也相等。
答:对。 自重作用时,最大压应力在两杆底端,即max max N Al
l A A
νσν=
== 也就是说,最大应力与面积无关,只与杆长有关。所以两者的最大压应力相等。
最大压缩量为 2
max max
22N Al l l l A EA E
νν??===
即最大压缩量与面积无关,只与杆长有关。所以两杆的最大压缩量也相等。
A 1
(a) (b)
4、受集中力轴向拉伸的等直杆,在变形中任意两个横截面一定保持平行。所以宗乡纤维的伸长量都相等,从而在横截面上的内力是均匀分布的。 答:错 。在变形中,离开荷载作用处较远的两个横截面才保持平行,在荷载作用处,横截面不再保持平面,纵向纤维伸长不相等,应力分布复杂,不是均匀分布的。
5、若受力物体内某电测得x 和y 方向都有线应变x ε和y ε,则x 和y 方向肯定有正应力x σ和y σ。
答:错, 不一定。由于横向效应作用,轴在x 方向受拉(压),则有x σ;y 方向不受力,但横向效应使y 方向产生线应变,y x εενε'==-。
二、填空题
1、轴向拉伸的等直杆,杆内的任一点处最大剪应力的方向与轴线成(45)
2、受轴向拉伸的等直杆,在变形后其体积将(增大)
3、低碳钢经过冷做硬化处理后,它的(比例)极限得到了明显的提高。
4、工程上通常把延伸率δ>(5%)的材料成为塑性材料。
5、 一空心圆截面直杆,其内、外径之比为,两端承受力力作用,如将内外径增加一倍,则其抗拉刚度将是原来的(4)倍。
6、两根长度及截面面积相同的等直杆,一根为钢杆,一根为铝杆,承受相同的轴向拉力,则钢杆的正应力(等于)铝杆的正应力,钢杆的伸长量(小于)铝杆的伸长量。
7、 结构受力如图(a )所示,已知各杆的材料和横截面面积均相同,面积
2200A mm =,材料的弹性模量E=200GPa ,屈服极限280s MPa σ=,强度极限
460b MPa σ=,试填写下列空格。
当F=50kN ,各杆中的线应变分别为1ε=(46.2510-?),2ε=(0),3ε=(46.2510-?),这是节点B 的水平位移Bx δ=(43.6110m -?),竖直位移By δ=(46.2510-?m ),总位移B δ=(47.2210m -?),结构的强度储备(即安全因素)n=()
三、选择题
1、下列结论正确的是(C )。
A 论力学主要研究物体受力后的运动效应,但也考虑物体变形效应。
B 理论力学中的四个公理在材料力学都能应用。
C 材料力学主要研究杆件受力后的变形和破坏规律。
D 材料力学研究的为题主要是静止不动的荷载作用下的问题。
析: 理论力学的研究对象是质点、质点系和刚体,不研究变形效应,理论力学中的二力平衡公理、加减平衡力系公理及他们的力的可传性原理都适用于刚体,而不适用于变形体,所以材料力学中不能用以上公理及原理。材料力学中的荷载主要是静载,产生的加速度不会影响材料的力学性能。所以静载不是静止不动的荷载。
2、理论力学中的“力和力偶可传性原理”在下面成立的是(D ) A 在材料力学中仍然处处适用 B 在材料力学中根本不能适用 C 在材料力学中研究变形式可以适用 D 在材料力学研究平衡问题时可以适用
析:力与力偶可传性原理适用于刚体,所以在考虑变形式不适用。但在求支座反力、杆的内力时不牵涉到变形,可以应用以上两个原理。
3、下列结论中正确的是(B)
A 外力指的是作用与物体外部的力
B 自重是外力
C 支座约束反力不属于外力
D 惯性力不属于外力
析:外力指的是物体以外的其他物体对它的作用力,外力可以作用在物体内、外部。自重是物体受地球的引力,属于外力。惯性力也属于外力。
4、下列结论中正确的是(A)
A 影响材料强度的是正应力和切应力的大小。
B 影响材料强度的是内力的大小。
C 同一截面上的正应力必是均匀分布的。
D 同一截面上的剪应力必定是均匀分布的。
5、下列结论中正确的是(B)
A 一个质点的位移可以分为线位移和角位移
B 一个质点可以有线位移,但没有角位移。
C 一根线或一个面元素可以有角位移但没线位移
D 一根线或一个面元素可以有线位移但没角位移
6、空心圆截面杆受轴向拉伸时,下列结论正确的是(B)
A 外径和壁厚都增大
B 外径和壁厚都减小
C 外径减小、壁厚增大
D 外径增大、壁厚减小
析:设原管的外径为D ,内径为d ,则壁厚t=(D-d)/2。轴向拉伸后,外径为
D D D ν'=-,内径为d d d ν'=-,其中ν为泊松比。壁厚
()()(1)222
D d D D d d D d
t ννν''-----'=
==-= (1)t t ν-< 7、设低碳钢拉伸试件工作段的初始横截面面积为0A ,试件被拉断后端口的最小横截面面积为1A ,试件断裂后所能承受的最大荷载为b P 。则下列结论正确是(B )
A 材料的强度极限1/b b P A σ=
B 材料的强度极限0/b b P A σ=
C 试件应力达到强度极限的瞬时,试件横截面面积为0A
D 试件开始断裂时,试件承受的荷载是b P 8、图示的杆件,轴的BC 段(B )
A 有变形,无位移
B 有位移,无变形
C 既有变形,又有位移
D 既无变形也无位移
析 本题为四选一概念题。本题考查学生对于变形和位移的概念是否清楚。显然,BC 段会随着AB 段转过一定角度(扭转角),因而该段有角位移,但不发生变形。
9、一等直杆如图所示,在外力F 作用下(D )。
A 截面a 的轴力最大
B 截面b 的轴力最大
C 截面c 的轴力最大
D 三个截面上轴力一样大
析本题考查学生关于内力的概念,根据截面法,延截面a(或b或c)将杆切开后,截面的内力(即轴力),一定和外力相平衡,构成了共线力系。三个截面上的应力分布不同,但截面上的内力系的合力是完全相同的。
10、关于材料的力学一般性能,如下结论正确的是(A)
A 脆性材料的抗拉能力低于其抗压能力
B 脆性材料的抗拉能力高于其抗压能力
C 韧性材料的抗拉能力高于其抗压能力
D 脆性材料的抗拉能力等于其抗压能力
11、低碳钢材料在拉伸实验过程中,不发生明显的塑性变形时,承受的最大应力应当小于的数值,以下四种答案中正确的是(A)
A 比例极限
B 屈服强度
C 强度极限
D 许用应力
12、低碳钢加载→卸载→再加载路径有以下四种,其中正确的是(B)
A OAB→BC→COA
B B OAB→BD→DOAB
C OAB→BAO→ODB
D OAB→BD→DB
四、简答题
1、图示悬臂梁,初始位置ABC,作用F力后变为AB C'',试问
(1)AB、BC两段是否都产生位移
(2)AB、BC两段是否都产生变形
解(1)AB 、BC 段都产生了位移,分别为BB '、CC '。 (2)只有AB 段有变形,而BC 段无。 2、指出下列概念的区别。
(1)内力、外力、和应力; (2)变形和应变 (3)变形和位移 答: (1)内力指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成;外力指的是物体以外的其他物体对它的作用力;应力指的是杆件截面上的分布内力集度。
(2)变形指物体尺寸、形状的改变;应变指单位长度物体的变形。 (3)变形指物体尺寸、形状的改变;而位移指物体上同一点前后位置的距离,为矢量。 五、计算题
1、图示矩形薄板,未变形前长为1l ,宽为2l ,变形后长和宽分别增加了
1l ?、2l ?,求其沿对角线AB 的线应变。
解:变形前对角线AB 长为AB l
=
变形后对角线长为A B ''
=A B l ''=所以沿对角线AB 的线应变
AB A B AB
AB AB AB l l l l l ε''?-===
2、图示(a )和(b )中干的材料相同,横截面积1A =
2
2
A ,杆的长度12L L =,荷载12F F =,1C 点和2C 点的铅锤方向位移分别为1?和2?,则1?和2?的大小关
解 图(a)中两杆的内力相同均为1N F =
两根杆的各自伸长量为11
1
N F L l EA ?=
1C '
1C
60
60
1C
点的位移可根据如图几何关系得到111
1
23C F L l EA ?=
==
2C 点的位移为2
2211
21
2C F L F L EA EA ?=
= 因此12C C ?>?
3、构件极受力如图所示,已知1220,55,10/,1F kN F kN q kN m a m ====,画出构件的轴力图 。
解:如图所示,以向下为正y 方向。
则当0y a ≤≤时,1N F F =-=20kN -(为压力)
当2a y a <≤时,[]1()N F F q y a =-+-=(1010)y kN -+(为压力) 当23a y a <≤时,21()25N F F F qa kN =-+=(为拉力) 轴力图如图所示。
4、求图示阶梯状直杆各横截面上的应力,并求杆的总伸长。材料的弹性模量E=200GPa 。横截面面积21200A mm =,22300A mm =,23400A mm =。
25kN
30kN
20kN
解:CD 段 320N F kN =(压)
33396
3201010.000250.252001040010
N CD F l l m mm EA -???====??? CB 段 210N F kN =(压)
32296
21010 1.50.000250.252001030010
N CB F l l m mm EA -???====??? AB 段 110N F kN =
31196
110101
0.000250.252001020010
N AB F l l m mm EA -???====??? 1230.25l l l l mm ?=?-?-?=-(缩短)
5、如图所示,在杆件的斜截面m —m 上,任一点A 出的应力p=120MPa ,其方位角20θ=,是求该点处的正应力σ和切应力τ。
解: 如图所示:
sin(60)sin80118.18p p MPa σθ=+== cos(60)cos8020.84p p MPa τθ=+==
m
60
6、图示阶梯形圆截面杆AC ,承受轴向载荷1200F kN =,2100F kN =,AB 段的直径1d =40mm 。如欲使BC 与AB 段的正应力相同,求BC 段的直径 。
解 设BC 段的直径为2d ,
AB 段的轴力为1200NAB F F kN ==,应力为121
4
NAB AB AB F F
d A σπ=
= BC 段的轴力为12300NBC F F F kN =+=,应力为12
2
24
NBC BC BC
F F F d A σπ+=
= 令AB BC σσ=,则
112
22
1244
F F F d d ππ+=,得2
149.0d mm ==
7、一根直径16d mm =,长l=3m 的圆截面杆,承受轴向拉力F=30kN ,其伸长为 2.2l mm ?=。试求杆横截面上的弹性模量E 。 解: 应用和可定律求材料的弹性模量
332330103203(1610) 2.2104
N F l Fl E Pa GPa lA lA π--??=
===????? 根据轴向拉伸杆的应力公式,杆横截面上的应力为
32
32
30103
149(1610)
4
4
F
Pa MPa d
σπ
π
-??=
=
=?
8、图示AB 杆横截面面积A=22cm ,在点B ,点C 出分别作用有集中力
160F kN =,2100F kN =,材料的比例极限210p MPa σ=,屈服极限
260s MPa σ=,弹性模量
200E GPa =,受力后AB 干的总伸长为0.9mm ,求AC 、BC 段的应变。
解:BC 段轴力为1NBC F F =,1
300NBC AB BC s F F MPa A A
σσσ==
==>, 因此BC 段身长或缩短量不能根据胡可定律求得。 AB 段轴力为21NAB F F F =-,21200NAB AB AB p F F F MPa A A σσσ-====< 所以AB 段变形在线弹性范围内,0.1NAC AC AC
F l
l mm EA
?==(缩短)
()1BC AC l l l mm ?=?--?=
0.001AC
AC AC
l l ε?=
= 0.01BC
BC BC
l l ε?=
= 9、 如图所示结构中的A 点,作用着水平载荷F ,试用几何方法定型的确定出变形后点A 的位置。
解:如图所示A '即为变形后A 点的位置。
10、在如图(a)所示结构中,AB 为水平放置的刚性杆,1、2、3杆材料相同,弹性模量E=210GPa 。已知22123100,150A A mm A mm ===,20P kN =。求C 点的水平位移和铅锤位移。
解: 取水平刚性杆AB 为受力体,受力图如图(b )所示,因为 30,0X N ==∑
20,102A P
M N kN ==
=∑ 10,102B P
M N kN ===∑
所以 34
11296
110101 4.76100.4761201010010N l l l m m mm EA --???=?===?=??? 由于12l l ?=?,故 A B y y = 又由于 30N =,所以30l ?=
这是AB 作平动。A 点连接1,3 二杆。变形后的A 点在1A 点,如图(b )虚线所示。根据几何关系: 11AA A A l ''==? 即 1A A y x l ==?
所以 0.476C C y x l mm ==?=
析 本题中30N =是一个关键。由于30N =,所以12N N =,同时
12l l ?=?。30l ?=,造成AB 平动,AB 杆平动是本题的又一个关键。根据A 点的
变形几何图得到1A A y x l ==?。由于AB 平动,AB 上各点位移都相同 ,所以
0.476C C y x l mm ==?=。
11、 横截面面积为A ,单位长度重量为q 的无限长弹性杆,自由地放在摩擦系数为f 的粗糙水平地面上,如图(a )所示,试求欲使该杆端点产生位移δ十所需的轴向力P 。弹性模量E 为已知。
解 此时弹性杆的受力图如图(b )所示。弹性杆因为无限长,所以只有伸长部分有滑动摩擦力,不伸长部分没有摩擦力。设伸长部分长度为l ,单位长度摩擦力q f qf =。伸长段内x 截面处的轴力为 ()N x P qfx =- 平衡方程 :0,0X qfl P =-=∑ 所以 p l qf
=
dx 微段的伸长量为()()N x dx
d l EA
?= l 长度伸长了δ,所以
22
00()/2()2l
l
P qfx dx P qfl P l d l EA EA qfEA
δ--?==?===??
(a)
即
P =
析 轴向拉伸的杆件,只要截面上有轴力,其相邻微段上就有伸长量,所以只有轴力为零时,才不伸长。伸长所引起的摩擦是滑动摩擦,单位长度摩擦力q f qf =。同时伸长段的轴力是x 的一次式,而不是常数。所以应先求dx 微段的伸长,然后积分求出伸长段的伸长量,最后解出拉力P 值。
12、已知混凝土的容重γ=322/kN m ,许用压应力[]2MPa σ=。试按强度条件确定图示混凝土柱所需的横截面面积1A 和2A 。混凝土的弹性模量E=20GPa 。
并求柱顶A 的位移。
解 如右图,AC 段:1N F P A x γ=+ max 11(1000240)N F P Al A kN γ=+=+ []max max 11
1000
264()N F kPa A A σσ==+≤ 得 210.58A m ≥ BC 段:
max 12N F P Al A l γγ=++max 122(1000152.1264)N F P Al A l A kN γγ=++=++
[]max max 22
1152.1(264)N F kPa A A σσ=
=+≤ 得 220.66A m ≥
3B
(c)
4B
1B
α
B α 13、图示一简单托架,B
C 杆为圆钢,横截面直径d=20mm ,B
D 杆为8号槽钢,两杆的弹性模量
E 均为20GPa ,试求托架B 点的位移。设F=50kN 。
解 B 点在力F 作用下产生位移,是由于BC 杆,BD 杆的变形引起的。F 力作用后,两杆均有轴力产生,使其伸长或缩短,而B 、C 、D 点均为铰链。变形后的结构C 、D 点不动,B 点在加载过程中将绕C 点和D 点转动到新的节点位置。即,将节点B 假象拆开,变形后为BC 为2B C ,BD 为1B D ,两杆分别绕点C,D 作圆弧,两弧交点为新节点,由于是小变形,一般采用用切线代替弧线的方法求变形,即分别过21B B 、点作BC 杆垂线和BD 杆垂线,用两垂线交点点B 代替新节点B ',这样一来就容易求出点B 的位移3BB 。
(1)求各杆的内力。截面法取分离体的平衡(图(b ))由平衡方程
0x
F =∑得1cos 2N N F F α= 0y
F
=∑得1sin N F F α=
解得 15
62.5()4N F F kN ==- 2
3
37.5()4
N F F kN ==+ (2)求各杆的变形。
BD 杆面积查表得242110.24810.24810A cm m -==?
2B
BC 杆面积 2
262220104
4
d A m ππ
-=
=
??
由胡克定律求得两杆的变形为
131
31194
162.5105
1.525102001010.24810N F l BB l m EA --??=?===???? 33
222296
237.5103 1.791102001031410
N F l BB l m EA --??=?===???? 1l ?为缩短变形,2l ?为伸长变形
(3)B 点位移
先用解析发求位移的两个分量,由图(c )可看出,两个位移分量在每个杆上的投影和即为敢杆的变形,即
22BB l =?
4341sin cos BB B B l αα-=?
故322 1.79110 1.791x BB B l m mm -=?=?=?=
33124cos 1.525 1.7911035
3.2510 3.25sin 45y l l BB B m mm αα--?+????=?===?=
B
点位移3 3.71BB mm ==
14、两根不同的实心截面杆在B 出焊接在一起,弹性模量均为E=200GPa ,受力和尺寸均标在图中。试求: 1 画轴力图;
2 各段杆横截面上的工作应力;
3 杆的轴向变形总量。
解 1 假设各段轴力均为拉力 对于AB 段:水平方向上列平衡方程 0x F =∑ 1500N F -= 得150N F kN =(拉)
对于BC 段:水平方向上列平衡方程
0x F =∑ 255500N F +-= 得25N F kN =-(压) 轴力图如右图所示。 2 39126
150100.04410443810
4N AB
F Pa MPa A σπ-?===?=??(拉应力) 3926
25100.001510 1.56510
4
N BC
F Pa MPa A σπ-?===?=??(压应力) 3 333
11126
91
5010900100.198100.1983810
200104N F l
l m mm EA π---????==
=?=????
(伸长) 33
322226
92
5101220100.0092100.00926510
200104
N F l
l m mm EA π---????==
=?=????
(缩短) 120.189l l l mm ?=?-?=(伸长)
15、有甲乙丙三种材料,其拉伸应力—应变试验曲线如图所示,指出:
5kN
50kN
(1)那种材料的弹性模量E大
(2)那种材料强度高
(3)那种材料的塑性好
解:(1)弹性阶段,σ—ε直线段斜率越大,弹性模量就越小;直线段斜率越小,弹性模量就越大。因此,从图中可以看出,丙曲线的直线段的斜率最小,其弹性模量最大。
(2)σ—ε曲线对应的屈服极限越大,材料的强度就越高。从图中可以看出,甲的屈服极限最大,其强度也最高。
(3)当进入强化阶段后,ε增加相同量,σ值减小越多,材料塑性就越好,从图中可看出丙材料的塑性好一些。
16、某拉伸试验机的结构示意图如图所示,设试验机的CD杆与试件AB的材
料相同为低碳钢,其200
p MPa
σ=,240
s MPa
σ=,400
b MPa
σ=。试验机最大拉力为100kN。
(1)用这一试验机做拉断实验时,试样直径最大可达多大
(2)若设计时取试验机的安全因素为n=2,则杆的横截面面积为多少
(3)若试样直径d=10mm,今欲测弹性模量,则所加载荷最大不能超过多少