高一数学直线和平面所成的角

高中数学直线与平面的夹角题库

3.2.3直线与平面的夹角 3.2.4二面角及其度量 学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角θ.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤． 知识点一直线与平面所成的角 1．直线与平面所成的角 2．最小角定理 知识点二二面角及理解 1．二面角的概念 (1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．如图所示，其中，直线l叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，如图中的α，β.

(2)二面角的记法：棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作α—l —β.如图，A ∈α，B ∈β，二面角也可以记作A —l —B ，也可记作2∠l . (3)二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角，如图所示．由等角定理知，这个平面角与点O 在l 上的位置无关． (4)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5)二面角的范围是[0°，180°]． 2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1)如图，分别在二面角α—l —β的面α，β内，并沿α，β延伸的方向，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则〈n 1，n 2〉等于该二面角的平面角． (2)如图，设m 1⊥α，m 2⊥β，则角〈m 1，m 2〉与该二面角大小相等或互补． 1．直线与平面所成的角α与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角β互余．( × ) 2．二面角的大小范围是??? ?0，π 2.( × ) 3．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小．( × ) 题型一 求直线与平面的夹角 例1 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角． 解 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，

高中数学专题讲义-直线与平面所成的角

【例1】 （全国2文7） 已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） A ．3 B ．3 C ．22 D ．3 【例2】 （全国2理7） 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面11ACC A 所成角的正弦等于（ ） A ．6 B ．10 C ．2 D ．3 【例3】 （福建卷6） 如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ） A ． 63 B ． 26 5 C ． 155 D ． 105 D C B A A 1 D 1 B 1 C 1 【例4】 （浙江） 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 典例分析 板块二.直线与平面所成的角

E A 1 C 1 B 1 D C B A 【例5】 （四川卷理13）在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且 OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 （ 用反三角函数表示） 【例6】 （全国Ⅰ）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内 的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ） A ．13 B C D ． 23 【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45o 角，求此三棱柱的体积． 【例8】 （四川卷15） 且对角线与底面所成角的余弦值 ，则该正四棱柱的体积等于________________． 【例9】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， ⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角； ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值． A B C D B 1 C 1 D 1 A 1

高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式

空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平

面平行。

符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ?????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα//////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。

高一数学下册知识点：直线和平面的位置关系

高一数学下册知识点：直线和平面的位置关 系 下面是查字典数学网高中频道为大家整理的高一数学下册知识点：直线和平面的位置关系，希望对广大朋友有所帮助。 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内有无数个公共点 ②直线和平面相交有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90] 最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任

意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a 叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行没有公共点 直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。直线和平

直线和平面所成的角练习题

《直线和平面所成的角 》 练习 题 2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；(2 ) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。( 2 ) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD ） (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, （4 ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ） (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角的正切值。（5 ） 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角的正切值（2 ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值；（ 5） (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。（ 10 ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D 1A 1 B 1 C 1 D O A C E F

6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ，Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥，求ＭＮ和平面ＤＣＥＦ所成的角 ） １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30°） １１、三棱锥中，, PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求PA 12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB === ,,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(3 2 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（9 25 ） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB 与底面ABCD ） (2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少（60°） 15、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。（ 3A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E 1 1 A

直线与平面所成的角

直线与平面所成的角 教学目的： 1、掌握斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念 2、掌握公式cos θ=cos θ1?cos θ2，会用这个公式解决一些问题 教学重点： 斜线在平面上的射影的概念、斜线与平面所成角的概念 教学难点：公式cos θ=cos θ1?cos θ2的灵活运用 教学过程： 一、引入新课 发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程最远？铅球运动员在投掷时，以多大的角度，投出的距离最远？这都与我们今天学习的直线和平面所成的角有关。 二、讲授新课 1、公式cos θ=cos θ1?cos θ2 已知AO 是平面α的斜线，A 是斜足，OB 垂直于α， B 为垂足，则直线AB 是斜线OA 在α内的射影，设AC 是α 内的任一条直线，且BC ⊥AC 于C ，又设AO 与AB 成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ，则cos θ=cos θ1?cos 证：不妨设AO 为单位长，则 2 121211cos cos cos ,cos cos ||||, cos cos cos ||||,cos cos ||||θθθθθθθθθθ=∴======AO AC AB AC AO AB 2、最小角定理 平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中的最小角。 在公式cos θ=cos θ1?cos θ2中，由于0＜cos θ2＜1，所以cos θ＜cos θ1，从而θ1＜θ（y ＝cosx 在[0,π]上是减函数） 3、直线和平面所成的角 ⑴定义：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。 规定：如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0°的角。 说明：斜线和平面所成的角的定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的锐角。 ⑵斜线和平面所成角的范围是(0,π/2)；直线和平面所成角的范围是［0,π/2］；两条异面直线所成角的范围是(0,π/2］，三者不同，要注意区分。 ⑶求斜线和平面所成的角一般步骤是： ①作：作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角），作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足（有时可以是两垂足）作直线，注：斜线上点的选取以及斜足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算。 ②证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角。

高一数学知识点直线和平面的位置关系

高一数学知识点直线和平面的位置关系 查字典数学网为同学总结归纳高一数学知识点直线和平面的位置关系。希望对高三考生在备考中有所帮助，欢迎大家阅读作为参考。 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内有无数个公共点 ②直线和平面相交有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90] 最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a

叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行没有公共点 直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 以上就是高一数学知识点直线和平面的位置关系，希望能帮助到大家。

直线和平面所成的角练习题2

《直线和平面所成的角》 练 习题 2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值；) (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。(2) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ，（） (4)求1B O 和侧面11BCC B 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A B C D ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） 4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。（10 ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D A B C D 1A 1B 1 C 1 D A B C D 1A 1B 1 C 1 D O A B C E F

6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） 8、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小（60°） (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小（30°） ９、两个正方形ＡＢＣＤ和ＤＣＥＦ不在同一平面内，Ｍ， Ｎ 分别是ＡＢ， ＤＦ的中点，AD DF ⊥，求ＭＮ和平面ＤＣＥＦ所成 ） １０、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角（30°） １１、三棱锥中，,PA PB PC BC ===AB AC ⊥，求PA 12、直三棱柱中,90ABC ∠=o ,14,3AB BC BB === ,,M (1)求MN 和面ABC 所成的角(32 ) (2)求异面直线1AB 和1BC 所成的角的余弦值（925 ） 14、点P 在正方形ABCD 所在平面外,PD ⊥平面ABCD, PD=AD, 求: (1)PB 与底面ABCD ） (2)异面直线PA 和B D 所成角大小是多少（60°） 15、正方体中，求1BB 和平面1ACD 所成角的余弦值。（3）A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E F 1 1A

用向量法求直线与平面所成的角教案

用向量法求直线与平面所 成的角教案 Prepared on 24 November 2020

第二讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法.

教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：（范围：]2,0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为n ，则>

高一数学平面向量测试题

必修4第二章《平面向量》 一、选择题 1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5=== （ ） A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(21 12e e - D ．)35(2 1 12e e - 2．化简)]24()82(2 1 [31--+的结果是 （ ） A ．-2 B ．-2 C ．- D ．- 3．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB = ②||||= ③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2 其中正确的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．=+ B ．=- C ．=- D ．=- 5．已知向量与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||-=+ D ．||||||+=+ 6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ） A ．（1，5）或（5，－5） B ．（1，5）或（－3，－5） C ．（5，－5）或（－3，－5） D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5） 7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )4 3 ,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 8．与向量)5,12(=d 平行的单位向量为 （ ） A ．)5,1312( B ．)135 ,1312(-- C ．)135,1312(或)13 5,1312(-- D ．)13 5,1312(±±

高一数学知识点：直线和平面的位置关系

高一数学知识点：直线和平面的位置关系 精品学习高中频道为各位同学整理了高一数学知识点：直线和平面的位置关系，供大家参考学习。更多各科知识点请关注新查字典数学网高中频道。 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内有无数个公共点 ②直线和平面相交有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0，90] 最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a

叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ③直线和平面平行没有公共点 直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB ，a ；坐标表示法 ),(y x j y i x a =+= 。 向量的模（长度），记作|AB |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小， 但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意 的，规定0平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量， 记作a ∥b ⑤相等向量记为b a =。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?2121 y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+= 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR +++ ++=，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同

一个图中画出a b a b +-、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ。 二．【典例解析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a ==则 (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a =，c b =，则 c a =； (7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a =的充要条件是||||b a =且b a //； (9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则==,A 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律

直线和平面所成的角练习题2

《直线和平面所成的角》练习题2 1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角正切值； (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角的正切值。 (2 ) 2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点， (1)求EF 和底面ABCD 所成的角的正切值， (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角的正切值, （ 4 ） (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角的正切值 ， (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角的正切值。 （5 3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点, (1)求1AC 和上底面1111A BC D 所成的角的正切值（2 ） (2)求MN 和底面ABCD 所成的角（45°） A B C D 1A 1 B 1 C 1 D B C D 1A 1 B 1 C 1 D O B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M N E F

4、空间四边形PBCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA = (1)求PB 与平面PAC 所成的角正切值； (2)求PC 和平面PAB 所成的角的正切值。 ） 5、长方体中,2,AB BC == 11AA = ,求1BC 和平面11BB D D 所成的角的正弦值（5 ） 6、,E F 分别是正方体的棱 1,AA AB 的中点, 求EF 和平面11ACC A 所成角的大小（30°） 7、正方体中, 求1A B 和面11BB D D 所成角的大小（30°） A B C P A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D E C D 1 A 1 B 1 C 1D

高一数学直线与平面平行的判定

课题：直线与平面平行、平面与平面平行的判定 设计者：蒋建国 第一课时直线与平面平行、平面与平面平行的判定 （一）教学目标 1．知识与技能 （1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理； （2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 2．过程与方法 学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理. 3．情感、态度与价值观 （1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性； （2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想. （二）教学重点、难点 重点、难点：直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用. （三）教学方法 借助实物，让学生通过观察、思考、交流、讨论等理解判定定理，教师给予适当的引导、点拔. 教学过 程 教学内容师生互动设计意图 新课导入 1．直线和平面平行的重要性 2．问题（1）怎样判定直线与平面平 行呢？ （2）如图，直线a与平面 平行吗？ 教师讲述直线和平 面的重要性并提出问题： 怎样判定直线与平面平 行？ 生：直线和平面没有 公共点. 师：如图，直线和平 面平行吗？ 生：不好判定. 师：直线与平面平 行，可以直接用定义来检 验，但“没有公共点”不 好验证所以我们来寻找 比较实用又便于验证的 判定定理. 复习巩固点 出主题 探索新知 一．直线和平面平行的判定 1．问题2：如图，将一本书平放在 桌面上，翻动收的封面，封面边缘AB所 在直线与桌面 所在平面具有 什么样的位置 教师做实验，学生观 察并思考问题. 生：平行 师：问题2与问题1 有什么区别？ 生：问题2增加了条 通过实验， 加深理解. 通过讨论， 培养学生分 析问题的能 力.

直线与平面所成的角教学设计

【课题】9.3 直线与平面所成的角 【教学目标】 知识目标： 理解直线与平面垂直、直线与平面所成的角的概念． 能力目标： 培养学生的空间想象能力和数学思维能力． 【教学重点】 直线与平面所成的角的概念 【教学难点】 直线与平面所成的角的求解 【教学设计】 斜线在平面内的射影是本节的重要概念之一，是理解直线与平面所成的角的基础．要讲清这一概念，可采取“一边演示，一边讲解，一边画图”的方法，结合图形讲清斜线、斜足、斜线段、垂足、垂线段、斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影．要讲清斜线在平面内的射影与斜线段在平面内的射影的区别． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 1课时．(40分钟) 【教学过程】

过 程 行为 行为 意图 图9?33 *动脑思考 探索新知 如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l 与平面α垂直，记作α⊥l ．直线l 叫做平面α的垂线，垂线l 与平面α的交点叫做垂足. 画表示直线l 和平面α垂直的图形时，要把直线l 画成与平行四边形的横边垂直（如图9?34所示），其中交点A 是垂足． 图9?34 提问 指导 思考 解答 领会知识 *创设情境 兴趣导入 将一根木棍P A 直立在地面α上，用细绳依次度量点P 与地面上的点A 、B 、C 、D 的距离（图9?35），发现P A 最短． 质疑 引导 分析 思考 启发 学生思考 *动脑思考 探索新知 如图9?35所示，PA α⊥，线段P A 叫做垂线段，垂足A 叫做点P 在平面α内的射影． 直线PB 与平面α相交但不垂直，则称直线PB 与平面α斜交，直线PB 叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点叫做斜 讲解 说明 思考 图9?35

高一数学必修二平面知识点详解

高一数学必修二平面知识点详解 一、高一数学平面概念 通常用一个平行四边形来表示。 平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC. 在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母， a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如： a)A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内; b)lα—直线l在平面α内; c)aα—直线a不在平面α内; d)l∩m=A—直线l与直线m相交于A点; e)α∩l=A—平面α与直线l交于A点; f)α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l. 二、高一数学平面的基本性质 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行 特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线)柱体、锥体、台体的体积公式 球体的表面积和体积公式：V=;S= 1空间点、直线、平面之间的位置关系1平面含义：平面是无限 延展的2三个公理：(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为 A∈LB∈L=>LαA∈αB∈α公理1作用：判断直线是否在平面内. (2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符 号表示为：A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：确定一个平面的依据。 (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有 且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据. .2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下 三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表 示为：设a、b、c是三条直线a∥bc∥b强调：公理4实质上是说平 行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断 空间两条直线平行的依据。 3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两 个角相等或互补. 4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上; ②两条异面直线所成的角θ∈(0，);

高一数学直线与平面的平行判定和性质经典例题

例1 简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线?a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？ （2）直线α?a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？ 分析：（1）由图（1）可知：α?b 或A b =α ； （2）由图（2）可知：α//b 或α?b ． 说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法． 典型例题二 例2 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证：//PC 平面BDQ ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了． 证明：如图所示，连结AC ，交BD 于点O ， ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CO AO =，连结OQ ，则OQ 在平面BDQ 内，且OQ 是APC ?的中位线， ∴OQ PC //． ∵PC 在平面BDQ 外， ∴//PC 平面BDQ ． 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？ 由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为： 过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．

例3 经过两条异面直线a ，b 之外的一点P ，可以作几个平面都与a ，b 平行？并证明你的结论． 分析：可考虑P 点的不同位置分两种情况讨论． 解：（1）当P 点所在位置使得a ，P （或b ，P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P 点再作不出与a ，b 都平行的平面； （2）当P 点所在位置a ，P （或b ，P ）本身确定的平面与b （或a ）不平行时，可过点P 作a a '//，b b //'．由于a ，b 异面，则a '，b '不重合且相交于P ．由于P b a ='' ，a '， b '确定的平面α，则由线面平行判定定理知：α//a ，α//b ．可作一个平面都与a ，b 平行． 故应作“0个或1个”平面． 说明：本题解答容易忽视对P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论． 典型例题四 例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线b a //，//a 平面α，α?b ． 求证：α//b ． 证明：如图所示，过a 及平面α内一点A 作平面β． 设c =βα ， ∵α//a ， ∴c a //． 又∵b a //， ∴c b //． ∵α?b ，α?c ， ∴α//b ． 说明：根据判定定理，只要在α内找一条直线b c //，根据条件α//a ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a 作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化． 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的． 典型例题五 例5 已知四面体ABC S -的所有棱长均为a ．求：

综合法求直线与平面所成的角

综合法求直线与平面所 成的角 方法：直线与平面所成的角 1.???作角：在斜线上取一点作平面的垂线 2.用等积法求斜线上一点到平面的距离 1.已知平面α外两点A 、B 到平面α的距离分别为1和2，A 、B 两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB 和平面α所成的角． ．解 (1)如图①，当A 、B 位于平面α同侧时，由点A 、B 分别向平面α作垂线，垂足分别为A 1、B 1，则AA 1＝1，BB 1＝2，B 1A 1＝ 3.过点A 作AH ⊥BB 1于H ，则AB 和α所成角即为∠HAB . 而tan ∠BAH ＝2－13 ＝33. ∴∠BAH ＝30°. (2)如图②，当A 、B 位于平面α异侧时，经A 、B 分别作AA 1⊥α于A 1，BB 1⊥α于B 1，AB ∩α＝C ，则A 1B 1为AB 在平面α上的射影，∠BCB 1或∠ACA 1为AB 与平面α所成 的角． ∵△BCB 1∽△ACA 1， ∴BB 1AA 1＝B 1C CA 1 ＝2， ∴B 1C ＝2CA 1，而B 1C ＋CA 1＝3， ∴B 1C ＝233 . ∴tan ∠BCB 1＝ BB 1B 1C ＝223 3＝3， ∴∠BCB 1＝60°. 综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为30°或60°. 2.如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11ABC 90AB AC 2,AA 4,A ∠====o ，在底 面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. （1）证明：11D A BC A ⊥平面； （2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.

高一数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系基础练习题及答案

A 高一数学（必修2）第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [基础训练] 一、选择题 1．下列四个结论： ⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。 ⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。 其中正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．下面列举的图形一定是平面图形的是（ ） A ．有一个角是直角的四边形 B ．有两个角是直角的四边形 C ．有三个角是直角的四边形 D ．有四个角是直角的四边形 3．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．以上都有可能 4．如右图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中， ,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（ ） A ．0 30 B ． 090 C ． 0 60 D ．随P 点的变化而变化。 5．互不重合的三个平面最多可以把空间分成（ ）个部分 A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 6．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面 ABC 所成的角的大小为（ ） A ．90 B ．60 C ．45 D ．30 二、填空题 1. 已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系____________。 2. 2. 直线l 与平面α所成角为0 30，,,l A m A m αα=?? ， 则m 与l 所成角的取值范围是 _________ 3．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为 1234,,,d d d d ，则1234d d d d +++的值为 。 4．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面,αβ内各有一条射线AB ， AC 与l 成045，,AB AC αβ??，则BAC ∠= 。 5．下列命题中：

最新高一数学平面向量练习题

高一平面向量测试题 一、选择题： 1.下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．)0,0(=a ρ )2,1(-=b ρ B ．)2,1(-=a ρ )4,2(-=b ρ C ．)5,3(=a ρ )10,6(=b ρ D ．)3,2(-=a ρ )9,6(=b ρ 2.已知向量)3,2(=→ a ，)2,1(-=→ b ，若→→+b n a m 与 → →-b a 2共线，则 n m 等于( ) A ．21- ； B ．2 1 ； C ．2-； D ．2； 3.已知两个非零向量2 2 ),2,3(),6,3(,b a b a b a b a --=--=+则与=（ ） A ．－3 B ．－24 C ．21 D ．12。 4. 在四边形ABCD 中，2+=，--=4，35--=，则四边形ABCD 的形状是（ ）A ．长方形 B ．平行四边形 Ｃ．菱形 Ｄ．梯形 5.已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a +b =（1，3），则a 等于（ ） A ． 2 B . 3 C. 5 D. 10 6.已知向量a = (-3 ,2 ) , b =(x, -4) , 若a//b ，则x=（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 7.下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是 （ ） A.=- B.a （b ·c ）= （a ·b ）c C.()()(,)a a λμλμλμ=∈R D ．00=? 8. 已知向量b a b a b a b a 与则满足,37|2|,3||,2||,= +==的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 9.已知向量等于则垂直与若a b a n b n a ρ ρ ρ ρ ,),,1(),,1(-==（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 10.(2,1),(3,4)a b → → ==，则向量a b → → 在向量方向上的投影为 （ ） A ． B ． 2 C ． D ．10