中考数学压轴题专题十动态几何问题

中考数学压轴题专题十动态几何问题

试题特点

用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变” 、“一般” 与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段

（直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）．

方式趋势

动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力．

热点解析

一、点的运动

4 【题1】（2011 盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7 与正比例函数y＝x 的图象3

交于点A ，且与x 轴交于点B．

（1）求点A 和点B 的坐标；

（2）过点A 作AC⊥y轴于点C，过点B 作直线l∥y 轴，动点P 从点O

出发，以每秒1 个单位长的速度，沿O－C－A 的路线向点A 运动；同时直线l

从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R，交线

段BA 或线段AO 于点Q．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运

动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．

①当t 为何值时，以A、P、R 为顶点的三角形的面积为8?

②是否存在以A 、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请说明

理由．

求t 的值；若不存在，

4

【思路】（1）联立方程y＝－x＋7 和y＝3x 即可求出点A 的坐标，令－x＋7＝0 即

3

可得点B 的坐标．

（2）①只要把三角形的面积用t 表示，求出即可．应注意分P 在OC 上运动和P 在CA

上运动两种情况．

（D 只要把有关线段用t表示，找出满足AP＝AQ，AP＝PQ，AQ＝PQ的条件时t 的值即可，应注意分别讨论P在OC上运动（此时直线∠与AB 相交）和P在CA上运动（此时直线∠与AO 相交）时AP＝AQ ，AP ＝PQ，AQ ＝PQ 的条件．

【失分点】以A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形有多种可能，容易考虑不周．

【反思】涉及的主要知识点有：一次函数的图象和性质，解二元一次方程组，勾股定理，锐角三角函数，解一元二次方程，等腰三角形的判定．

【牛刀小试】1．(2010 湖北咸宁)如图6，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC，∠ DAB ＝90°，AD＝

2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C－D－A 向点A 运动，当点M 到达点B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线

∠∥ AD ，与线段CD 的交点为E，与折线A－C －B 的交点为Q．点M 运动的时间为t(秒)．

(1)当t＝时，求线段QM 的长．

(2)当0

果以C，P，Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值．

CQ

(3)当t>2 时，连接PQ 交线段AC 于

点R，请探究是否为定值．若是，试求这

RQ

个定值；若不是，请说明理由．

2．(2010 湖南娄底)如图7，在梯形ABCD 中，AB ∥CD，AB＝2，DC＝10，AD＝BC＝5，点M ，N分别在边AD，BC 上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E，F．

(1)求梯形ABCD 的面积．

(2)探究一：四边形MNFE 的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由．

(3)探究二：四边形MNFF 能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．

3．(2010 广西钦州)如图8，将OA＝6，AB＝4 的矩形OABC 放置在平面直角坐标系中，动点M，N 以每秒1个单位的速度分别从点A ，C同时出发，其中点M沿AO 向终点0 运动，点N 沿CB 向终点B 运动，当两个动点运动了ts 时，过点N 作NP⊥ BC ，交OB 于点P，连接MP ．

(1)点B 的坐标为__________ ；用含￡的式子表示点P 的坐标为 _________________ ．

(2)记△ OMP的面积为S，求S与t的函数关系式(0

(3)试探究：当S 有最大值时，在y 轴上

是否存在点T，使直线MT 把△ ONC

分割成1

三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ ONC面积的1？若存在，求出点T 的坐标；

3 若不存在，请说明理由．

二、线的运动

【题2】 (2010 云南昭通)如图，已知直线l 的解析式为y＝－x＋6，它与x 轴，y 轴分别相交于A ，B两点．平行于直线l 的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，运动过程中始终保持n∥ l．直线n 与x 轴，y 轴分别相交于C，D两点．线段CD的中点为P，以P

为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S．当直线n 与直线l 重合时，运动结束．

(1)求A ，B 两点的坐标．

(2)求S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值范围．

(3)直线n 在运动过程中，

①当t 为何值时，半圆与直线l 相切？

1

②是否存在这样的T值，使得半圆面积S＝S梯形ABCD ？若存在，求出t 值；若不存2

在，说明理由。

思路】(2)用勾股定理求出CD 的长(用t表示)，即可求出S与t的函数关系式；

(3)半圆面积

1

S＝S 梯形ABCD ，可表示为关于

2

t 的方程，是否存在t 值，即方程是否有解．

【失分点】将是否存在 t 值转化为方程是否有解的问题，是本题的难点和失分点．

【反思】这是一道典型的“线段运动型”的动态几何问题，线段的运动往往带动的是 一个图形大小的变化（如三角形、平行四边形等） ，问题常以求图形面积的最值，或者探 究运动过程中是否存某一特殊位置的形式出现．解决此类问题时，一是要选择适当的求图 形面积的方法．若是规则图形，可以直接选择面积公式计算；若是不规则图形，一般情况 下选择割补法，通过“割补”将不规则图形转化为规则图形解决，二是要根据线段的运动 变化过程，探究其他图形的运动变化规律．有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不 同位置的图形，确定线段运动变化的不同阶段，从而判断随之而动的其他图形的一般位置 和特殊位置，

【牛刀小试】 4．（2010 湖南衡阳）已知：如图 10，等边三角形 ABC 的边长为 4 cm ， 长为 1 cm 的线段 MN 在△ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 cm/s 的速度向 B 点运动（运动 开始时，点 M 与点 A 重合．点 N 到达点 B 时运动终止） ，过点 M ，N 分别作 AB 边的垂 线，与△ ABC 的其他边交于 P ，Q 两点，线段 MN 运动的时间为 t s ．

（1） 线段 MN 在运动的过程中， t 为何值时， 四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的 面积． （2）线段 MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为 S ，运动的时间为 t ，求四边形 MNQP 的面

积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围．

三、图形运动类

OC

的长．

【题 3］（2011 连云港）已知∠ AOB 沿边 OA

从右向左平行移动，与边 OA 相

AOB ＝60°，半径为 3 cm 的⊙P OA 相切的切点记为点 C ． （1）⊙P 移动到与边 OB 相切时（如图 11），切点为 D ，求劣弧

CD 的长；

（2）⊙P 移动到与边 OB 相交于点 E ，F ，若 EF ＝4 2cm ，求

【思路】(1)要求弧长，就要求弧长所对的圆心角，故作辅助线内角和是

360°，可求圆心角，从而求出弧长．

(2)应考虑CP 延长线与OB 的交点N 的位置，分情况ON>OF ，股定理和

特殊角的三角函数求解，

【解答】(1)连接PC，PD．(如图12)

PC，PD，用四边形的

OE

ON>OF ，OE

【反思】涉及的主要知识点有：多边形的内角和，弧长公式，勾股定理，特殊角三角函数．

【题形，如图∠E＝45° ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△ DEF 沿AC 方向移动，在移动过程中，D，E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．

(1) 在△ DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：

4】( 2010 江苏苏州)刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角15①，②．图①

中，∠ B＝90°，∠ A ＝30°．BC＝6 cm；图②中，∠ D ＝90°，，DE＝4 cm．图③是刘卫同

学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE 与△

F，C 两点间的距离逐渐

_________ ．(填“不变” 、“变大”或“变小” )

(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题．

问题①：当△ DEF移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F，C的连线与AB 平行？问题②：当△ DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD ，FC，BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形？

问题③：在△ DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠ FCD＝15°？如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．

请你分别完成上述三个问题的解答过程．

【思路】可假设F，C 的连线与AB 平行，再求出须满足的条件．“以线段AD 、FC、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形”未明确直角三角形的斜边，须分类讨论．“是否存在某个位置，使得∠ FCD＝15°”可转化为“方程是否有解”的问题.

【解答】(1) 变小．

(2)问题①：

∴不存在这样的位置，使得∠ FCD ＝15°．

【失分点】“以线段 AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形”须分类讨 论． 【反思】本题考查了方程、全等、相似等知识，考查了方程思想、分类思想等．

【牛刀小试】 5．(2011 无锡)如图 18，等腰梯形 MNPQ 的上底长为 2，腰长为 3，一 个底角为

60°．正方形 ABCD 的边长为 1，它的一边 AD 在 MN 上，且顶点 A 与 M 重合， 现将正方形 ABCD 在梯形

的外面沿边 MN 、 NP 、PQ 进行翻滚，翻滚到有一个顶点与 Q 重 合即停止滚动．

(1)请在所给的图中，用尺规画出点

(2)求正方形在整个翻滚过程中点 所围成图形的面积 S ．

A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；

A 所经过的路线与梯形 MNPQ 的三边 MN 、NP 、

PQ

(2)S ＝ 3

(7－ 2t)，此时 2≤t ≤3．

5． (2) 7

π＋ 2．

(1) 点 A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图如图 5：

解题策略

虽然动态几何问题运动类型多样，题目变化复杂，涉及知识广泛，但是在解题方法和 技巧上也有共性可循，建议要能够结合不同的问题，提炼共同的解题方法和技巧，学会归 纳总结．比如解决动态几何问题总的来说有三个步骤：

1．设出初始变量元素； 2．用初始

变量表示图形中其他的变量； 3．运用几何知识建立方程或函数模型来解决问题．

注意把握运动规律，寻求运动中的特殊位置，在“动”中求“静” ，在“静”中探求 “动”的一般规律，通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种 性质．

参考答案

1． 5

(1)1 (2)t ＝1或 3 (3)为定值．

3

2．

(1)18 ． (2)四边形 MEFN 的面积的最大值是 75

(3)四边形 MEFN 能为正方形

3． 21

(1)(6 ，4)；(t ， 2 t )． (2)S ＝－1(t －3)2

＋3(0

2 2 13

(3)存在 在 y 轴上存在点 T 1(0， 2 2 13

)，T 2(0，2 13 －2)

3

4．

3

(1)t ＝．矩形面积为 32 3 cm 2